Transcript Sterowalność systemu

Sterowalność, obserwowalność
Teoria sterowania SN 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Sterowalność określa możliwości wpływania na stan (lub wyjście) systemu
odpowiednim ukształtowaniem wejścia
Ogólnie wyróżnia się dwa określenia sterowalności:
1. Sterowalność do początku (controllability-to-the-origin), nazywana
krócej sterowalnością (controllability)
2. Sterowalność od początku (controllability-from-the-origin), nazywana
krócej osiągalnością (reachability)
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
1
Sterowalność, obserwowalność
Teoria sterowania SN 2014/2015
Systemy ciągłe
Sterowalność stanu
Stan sterowalny
Stan
xt0   0 systemu liniowego
x t   Axt   But 
jest sterowalny, jeżeli można system przeprowadzić z tego stanu do stanu
xt f   0

za pomocą odpowiedniego sterowania w skończonym czasie t f  t0 , t  t0 ,t f

Jeżeli każdy stan jest sterowalny, mówimy, że system jest całkowicie
sterowalny lub krócej sterowalny
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
2
Sterowalność, obserwowalność
Teoria sterowania SN 2014/2015
Sterowalność systemu
System sterowalny
System liniowy
x t   Axt   But 


t0 ,t f , jeżeli istnieje
jest sterowalny w skończonym przedziale czasu
wejście ut  , które przeprowadzi system z dowolnego stanu xt0   x0
do stanu zerowego x t f  0
 
Jeżeli istnieje chociaż jeden stan systemu na który nie można oddziaływać
przez jakiekolwiek wejście systemu, wówczas system jest niesterowalny
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
3
Sterowalność, obserwowalność
Teoria sterowania SN 2014/2015
Sterowalność systemu ciągłego liniowego stacjonarnego - test
System liniowy stacjonarny
x t   Axt   But 
jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz sterowalności, nazywana
macierzą sterowalności Kalmana


Mc  B AB A2B  An1B  nn p
ma rząd n, tzn. rząd systemu
Wymiar macierzy sterowalności: nxnp; n – wymiar stanu, p – wymiar wejścia
Dla p=1 macierz sterowalności jest macierzą kwadratową i dla sprawdzenia
sterowalności wystarczy sprawdzić nieosobliwość macierzy sterowalności
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
4
Sterowalność, obserwowalność
Teoria sterowania SN 2014/2015
Sterowalność a przekształcenia podobieństwa
x t   Axt   But 

vt   At vt   Bt ut 
vt   Pxt   P 1vt   P 1Pxt   xt   P 1vt 
x t   P 1vt 
x t   Ax t   But   P 1v t   AP 1v t   But 
 PP 1v t   PAP 1v t   PBut 
 v t   PAP 1v t   PBut 
Sterowalność zostaje zachowana podczas transformacji podobieństwa
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
5
Sterowalność, obserwowalność
Teoria sterowania SN 2014/2015
Osiągalność stanu
Stan osiągalny
Stan
xt f   0 systemu liniowego
x t   Axt   But 
jest osiągalny, jeżeli można system przeprowadzić do tego stanu ze stanu
xt0   0

za pomocą odpowiedniego sterowania w skończonym czasie t f  t0 , t  t0 ,t f

Jeżeli każdy stan jest osiągalny, mówimy, że system jest całkowicie osiągalny
lub krócej osiągalny
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
6
Sterowalność, obserwowalność
Teoria sterowania SN 2014/2015
Osiągalność systemu
System osiągalny
System liniowy
x t   Axt   But 


t0 ,t f , jeżeli istnieje
Jest osiągalny w skończonym przedziale czasu
wejście ut  , które przeprowadzi system do dowolnego stanu xt f   x f
ze stanu zerowego xt0   0
Jeżeli istnieje chociaż jeden stan systemu, który nie jest osiągalny, wówczas
system jest nieosiągalny
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
7
Sterowalność, obserwowalność
Teoria sterowania SN 2014/2015
Dla systemów ciągłych sterowalność i osiągalność
są równoważne
Osiągalność systemu ciągłego liniowego stacjonarnego
System liniowy stacjonarny
x t   Axt   But 
jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz osiągalności, nazywana
macierzą osiągalności Kalmana


Mc  B AB A2 B  An1B  nn p
ma rząd n, tzn. rząd systemu
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
8
Sterowalność, obserwowalność
Teoria sterowania SN 2014/2015
Systemy dyskretne
Można wskazać systemy dyskretne posiadające cechę sterowalności, ale nie
posiadające cechy osiągalności
Uzasadnione jest zatem w odniesieniu
stwierdzać posiadanie cechy osiągalności
do
systemów
dyskretnych
W ogólności zatem
System dyskretny sterowalny

system dyskretny osiągalny
Implikacja ta zachodzi dla przypadków, gdy AD jest osobliwa, w przeciwnym
przypadku podobnie jak dla systemów ciągłych:
System dyskretny sterowalny
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.

system dyskretny osiągalny
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
9
Sterowalność, obserwowalność
Teoria sterowania SN 2014/2015
Osiągalność stanu
Stan osiągalny
 
Stan x k f  0 systemu liniowego
xk  1  AD k xk   BD k uk 
jest osiągalny, jeżeli można system przeprowadzić do tego stanu ze stanu
xk0   0

za pomocą odpowiedniego sterowania w skończonym czasie k f  k0 , k  k0 , k f

Jeżeli każdy stan jest osiągalny, mówimy, że system jest całkowicie osiągalny
lub krócej osiągalny
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
10
Sterowalność, obserwowalność
Teoria sterowania SN 2014/2015
Osiągalność systemu dyskretnego liniowego stacjonarnego
Twierdzenie:
System liniowy stacjonarny
xk  1  AD xk   BD uk 
jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz osiągalności, nazywana
macierzą osiągalności Kalmana

McD  BD
AD BD
2
n1

AD BD  AD BD  nn p
ma rząd n, tzn. rząd systemu
Wymiar macierzy osiągalności: nxnp; n – wymiar stanu, p – wymiar wejścia
Dla p=1 macierz osiągalności jest macierzą kwadratową i dla sprawdzenia
osiągalności wystarczy sprawdzić nieosobliwość macierzy osiągalności
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
11
Sterowalność, obserwowalność
Teoria sterowania SN 2014/2015
Dla systemów dyskretnych sterowalność i
osiągalność nie są równoważne
Sterowalność systemu dyskretnego liniowego stacjonarnego
Twierdzenie:
System liniowy stacjonarny
xk  1  AD xk   BD uk 
jest sterowalny wtedy, gdy macierz sterowalności, nazywana macierzą
sterowalności Kalmana

McD  BD
AD BD
2
n1

AD BD  AD BD  nn p
ma rząd n, tzn. rząd systemu
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
12
Sterowalność, obserwowalność
Teoria sterowania SN 2014/2015
Obserwowalność i odtwarzalność
System ciągły
System dyskretny
y t   Cx t   Dut 
yk   C D x k   DD uk 
x t   Ax t   But  x t0   x0
x k  1  AD x k   BD uk  x k0   x0
Obserwowalność/odtwarzalność
określa
możliwość
jednoznacznego
określenia stanu systemu w oparciu pomiary przez skończony przedział
czasu sygnałów wejścia i wyjścia
Znaczenie: znajomość stanu początkowego i wejścia systemu pozwala
zrekonstruować całą trajektorię stanu w oparciu o równania stanu
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
13
Sterowalność, obserwowalność
Teoria sterowania SN 2014/2015
Systemy ciągłe
Obserwowalność stanu
Stan obserwowalny
Stan x t0  systemu liniowego
x t   Ax t   But  x t0   x0
y t   Cx t   Dut 
jest obserwowalny jeżeli można go określić znając wyjście yt  dla chwil ze
skończonego przedziału, t  t0 ,t f


Jeżeli każdy stan x t0 jest obserwowalny, mówimy, że system jest całkowicie
obserwowalny lub krócej obserwowalny
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
14
Sterowalność, obserwowalność
Teoria sterowania SN 2014/2015
Obserwowalność systemu ciągłego liniowego stacjonarnego
Twierdzenie:
System liniowy stacjonarny
x t   Ax t   But  x t0   x0
y t   Cx t   Dut 
jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz obserwowalności,
nazywana macierzą obserwowalności Kalmana
 C 
 CA 


2
M o   CA    nqn





n

1
CA 
ma rząd n, tzn. rząd systemu
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
15
Teoria sterowania SN 2014/2015
Sterowalność, obserwowalność
Wymiar macierzy obserwowalnośći: nqxn; n – wymiar stanu, q – wymiar
wyjścia
Dla q=1 macierz obserwowalności jest macierzą kwadratową i dla
sprawdzenia obserwowalności wystarczy sprawdzić nieosobliwość macierzy
obserwowalności
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
16
Sterowalność, obserwowalność
Teoria sterowania SN 2014/2015
Obserwowalność a przekształcenia podobieństwa
Obserwowalność
podobieństwa
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
zostaje
zachowana
podczas
transformacji
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
17
Sterowalność, obserwowalność
Teoria sterowania SN 2014/2015
Odtwarzalność stanu
Stan odtwarzalny
  systemu liniowego
Stan x t f
x t   Ax t   But  x t0   x0
y t   Cx t   Dut 
jest odtwarzalny jeżeli można go określić znając wyjście
skończonego przedziału, t  t0 ,t f


yt  dla chwil ze
 
Jeżeli każdy stan x t f jest odtwarzalny, mówimy, że system jest całkowicie
odtwarzalny lub krócej odtwarzalny
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
18
Sterowalność, obserwowalność
Teoria sterowania SN 2014/2015
Dla systemów ciągłych obserwowalność i
odtwarzalność są równoważne
Odtwarzalność systemu ciągłego liniowego stacjonarnego
Twierdzenie:
System liniowy stacjonarny
x t   Ax t   But  x t0   x0
y t   Cx t   Dut 
jest odtwarzalny
wtedy i tylko wtedy, gdy macierz odtwarzalnośći,
nazywana macierzą odtwarzalności Kalmana
 C 
 CA 


2
M o   CA    nqn





n

1
CA 
ma rząd n, tzn. rząd systemu
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
19
Sterowalność, obserwowalność
Teoria sterowania SN 2014/2015
Systemy dyskretne
Obserwowalność stanu
Stan obserwowalny
Stan x k0  systemu liniowego
x k  1  AD x k   BD uk  x k0   x0
yk   C D x k   DD uk 
jest obserwowalny jeżeli można go określić znając wyjście y k  dla chwil ze
skończonego przedziału, k  k0 , k f


Jeżeli każdy stan x k0 jest obserwowalny, mówimy, że system jest całkowicie
obserwowalny lub krócej obserwowalny
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
20
Sterowalność, obserwowalność
Teoria sterowania SN 2014/2015
Obserwowalność systemu dyskretnego liniowego stacjonarnego
Twierdzenie:
System liniowy stacjonarny
x k  1  AD x k   BD uk  x k0   x0
yk   C D x k   DD uk 
jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz obserwowalności,
nazywana macierzą obserwowalności Kalmana
M oD
 CD 
 C A 
 D D2 
  C D AD    npn





n 1
C D AD 
ma rząd n, tzn. rząd systemu
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
21
Sterowalność, obserwowalność
Teoria sterowania SN 2014/2015
Dla systemów dyskretnych obserwowalność i
odtwarzalność nie są równoważne
Odtwarzalność systemu dyskretnego liniowego stacjonarnego
Twierdzenie:
System liniowy stacjonarny
x k  1  AD x k   BD uk  x k0   x0
yk   C D x k   DD uk 
jest odtwarzalny wtedy, gdy macierz odtwarzalności, nazywana macierzą
odtwarzalności Kalmana
 CD 
 C A 
 D D2 
M oD   C D AD    npn





C D AD n 1 
ma rząd n, tzn. rząd systemu
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
22
Teoria sterowania SN 2014/2015
Sterowalność, obserwowalność
Dekompozycja Kalmana systemów niesterowalnych i nieobserwowalnych
Przykład 1
Mamy system
Liniowy, stacjonarny, 1 – wejście, 1 - wyjście
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
23
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
23
Teoria sterowania SN 2014/2015
Sterowalność, obserwowalność
Transmitancja
Zera i bieguny transmitancji
Transmitancja po redukcji
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
24
Teoria sterowania SN 2014/2015
Sterowalność, obserwowalność
Transformacja do postaci diagonalnej
Schemat blokowy modelu
w nowej przestrzeni stanu
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
25
Teoria sterowania SN 2014/2015
Sterowalność, obserwowalność
Cztery różne statusy zmiennych stanu:
- v1
 można na niego wpływać sterowaniem u i można go obserwować z
wyjścia y
- v2  nie można na niego wpływać sterowaniem u, ale można go obserwować z
wyjścia y
- v3  można na niego wpływać sterowaniem u, ale nie można go obserwować z
wyjścia y
- v4
 nie można na niego wpływać sterowaniem u, ani nie można go
obserwować z wyjścia y
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
26
Teoria sterowania SN 2014/2015
Sterowalność, obserwowalność
Można wyróżnić cztery podsystemy:
- związany ze zmienną stanu v1  sterowalny i obserwowalny
- związany ze zmienną stanu v2  niesterowalny, ale obserwowalny
- związany ze zmienną stanu v3  sterowalny, ale nieobserwowalny
- związany ze zmienną stanu v4  niesterowalny i nieobserwowalny
Stany niesterowalne i nieobserwowalne mogą być alb stabilne, albo niestabilne
System, którego wszystkie stany niesterowalne są stabilne jest nazywany
stabilizowalnym
System, którego wszystkie stany nieobserwowalne są stabilne jest nazywany
wykrywalnym
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
27
Teoria sterowania SN 2014/2015
Sterowalność, obserwowalność
Dekompozycja na podprzestrzenie sterowalne/osiągalne
Dekompozycja na podprzestrzenie obserwowalne/odtwarzalne
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
28
Teoria sterowania SN 2014/2015
Sterowalność, obserwowalność
Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
29