Transcript Sterowalność systemu

Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Sterowalność i obserwowalność
Obok stabilności – dwa podstawowe pojęcia teorii i inżynierii sterowania
Przykład 1
Mamy system
Liniowy, stacjonarny, 1 – wejście, 1 - wyjście
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
1
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Transmitancja
Zera i bieguny transmitancji
Transmitancja po redukcji
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
2
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Schemat blokowy modelu przestrzeni
stanu
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
3
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Transformacja do postaci diagonalnej
vt   Pxt 
Schemat blokowy modelu
w nowej przestrzeni stanu
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
4
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Cztery różne statusy zmiennych stanu:
- v1
 można na niego wpływać sterowaniem u i można go obserwować z
wyjścia y
- v2  nie można na niego wpływać sterowaniem u, ale można go obserwować z
wyjścia y
- v3  można na niego wpływać sterowaniem u, ale nie można go obserwować z
wyjścia y
- v4
 nie można na niego wpływać sterowaniem u, ani nie można go
obserwować z wyjścia y
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
5
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Można wyróżnić cztery podsystemy:
- związany ze zmienną stanu v1  sterowalny i obserwowalny
- związany ze zmienną stanu v2  niesterowalny, ale obserwowalny
- związany ze zmienną stanu v3  sterowalny, ale nieobserwowalny
- związany ze zmienną stanu v4  niesterowalny i nieobserwowalny
Stany niesterowalne i nieobserwowalne mogą być alb stabilne, albo niestabilne
System, którego wszystkie stany niesterowalne są stabilne jest nazywany
stabilizowalnym
System, którego wszystkie stany nieobserwowalne są stabilne jest nazywany
wykrywalnym
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
6
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Sterowalność i osiągalność
Sterowalność/osiągalność określa możliwości wpływania na stan (lub
wyjście) systemu odpowiednim ukształtowaniem wejścia
Ogólnie wyróżnia się dwa określenia sterowalności:
1. Sterowalność do początku (controllability-to-the-origin), nazywana
krócej sterowalnością (controllability)
2. Sterowalność od początku (controllability-from-the-origin), nazywana
krócej osiągalnością (reachability)
Ograniczymy się do zapoznania się z podstawowymi wynikami znanymi dla
systemów liniowych, a w szczególności stacjonarnych
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
7
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Dla systemów liniowych stacjonarnych mówimy:
Stan x0 nazywamy sterowalnym, jeżeli istnieje wejście, które przeprowadza
stan systemu x(t) z stanu x0 do stanu zerowego w pewnym skończonym
czasie T
Stan zerowy osiągany ze stanu x0
przy zastosowaniu różnych wejść
u1(t) i u2(t),
w różnych
skończonych czasach T1 i T2 oraz
po różnych trajektoriach
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
8
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Dla systemów liniowych stacjonarnych mówimy:
Stan x1 nazywamy osiągalnym, jeżeli istnieje wejście, które przeprowadza
stan systemu x(t) z stanu zerowego do stanu x1 w pewnym skończonym
czasie T
Stan x1 osiągany ze stanu
zerowego
przy
zastosowaniu
różnych wejść u1(t) i u2(t),
w
różnych skończonych czasach T1 i
T2 oraz po różnych trajektoriach
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
9
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Systemy ciągłe
Sterowalność stanu
Stan sterowalny
Stan
xt0   0 systemu liniowego
x t   Axt   But 
jest sterowalny, jeżeli można system przeprowadzić z tego stanu do stanu
xt f   0

za pomocą odpowiedniego sterowania w skończonym czasie t f  t0 , t  t0 ,t f

Jeżeli każdy stan jest sterowalny, mówimy, że system jest całkowicie
sterowalny lub krócej sterowalny
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
10
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Sterowalność systemu
System sterowalny
System liniowy
x t   Axt   But 


t0 ,t f , jeżeli istnieje
jest sterowalny w skończonym przedziale czasu
wejście ut  , które przeprowadzi system z dowolnego stanu xt0   x0
do stanu zerowego x t f  0
 
Jeżeli istnieje chociaż jeden stan systemu, który jest niesterowalny,
wówczas system jest niesterowalny
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
11
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Sterowalność systemu ciągłego liniowego stacjonarnego
System liniowy stacjonarny (twierdzenie SSC LS1)
x t   Axt   But 
jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz sterowalności, nazywana
macierzą sterowalności Kalmana


Mc  B AB A2B  An1B  nn p
ma rząd n, tzn. rząd systemu
Wymiar macierzy sterowalności: nxnp; n – wymiar stanu, p – wymiar wejścia
Dla p=1 macierz sterowalności jest macierzą kwadratową i dla sprawdzenia
sterowalności wystarczy sprawdzić nieosobliwość macierzy sterowalności
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
12
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Przykład 2:
Dany jest system dynamiczny
Zbadać sterowalność systemu
Konstruujemy macierz sterowalności
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
13
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Stąd
Mc
Dla sprawdzenia sterowalności policzymy wyznacznik

det M c  det B
AB
A2 B

1
3 
0
 det 1  3 7 
 3 7  15
 0   21   21   27  0   15  42  42  0
zatem
rankMc  3
System jest niesterowalny (względem stanów)
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
14
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Lewa górna podmacierz macierzy sterowalności
ma wyznacznik różny od zera, zatem
rankMc  2
Przykład 3.
Dany jest system dynamiczny
Zbadać sterowalność systemu
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
15
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Transmitancja systemu
Konstruujemy macierz sterowalności
stąd
Mc
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
16
Systemy dynamiczne 2014/2015
Macierz sterowalności
transmitancji systemu
Sterowalność - osiągalność
jest
niezależna
od
współczynników
licznika
Wyznacznik macierzy sterowalności
0
0
M c  0
1
1  a2

 a2 
a22  a1 
1
det M c  1
Wyznacznik macierzy sterowalności nie zależy od współczynników wielomianu
charakterystycznego a0, a1 oraz a2, zatem system o takiej strukturze jest
zawsze sterowalny względem stanu
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
17
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Przykład 4 – powrót do przykładu 1
Konstruujemy macierz sterowalności
Mc
rank Mc  2  4
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Dwa stany sterowalne, dwa niesterowalne
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
18
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Przykład 5
Dany jest system dynamiczny
Zbadać sterowalność systemu
Macierz sterowalności
System sterowalny
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
19
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Przykład 6
Dany jest system dynamiczny
Zbadać sterowalność systemu
Macierz sterowalności
System sterowalny
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
20
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Inne testy sterowalności systemów ciągłych
Dodatek A
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
21
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Sterowalność a przekształcenia podobieństwa
x t   Axt   But 

vt   At vt   Bt ut 
vt   Pxt   P 1vt   P 1Pxt   xt   P 1vt 
x t   P 1vt 
x t   Ax t   But   P 1v t   AP 1v t   But 
 PP 1v t   PAP 1v t   PBut 
 v t   PAP 1v t   PBut 
Sterowalność zostaje zachowana podczas transformacji podobieństwa
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
22
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Osiągalność stanu
Stan osiągalny
Stan
xt f   0 systemu liniowego
x t   Axt   But 
jest osiągalny, jeżeli można system przeprowadzić do tego stanu ze stanu
xt0   0

za pomocą odpowiedniego sterowania w skończonym czasie t f  t0 , t  t0 ,t f

Jeżeli każdy stan jest osiągalny, mówimy, że system jest całkowicie osiągalny
lub krócej osiągalny
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
23
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Osiągalność systemu
System osiągalny
System liniowy
x t   Axt   But 


t0 ,t f , jeżeli istnieje
Jest osiągalny w skończonym przedziale czasu
wejście ut  , które przeprowadzi system do dowolnego stanu xt f   x f
ze stanu zerowego xt0   0
Jeżeli istnieje chociaż jeden stan systemu, który nie jest osiągalny, wówczas
system jest niesterowalny
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
24
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Dla systemów ciągłych sterowalność i osiągalność
są równoważne
Osiągalność systemu ciągłego liniowego stacjonarnego
System liniowy stacjonarny (twierdzenie OSC LS1)
x t   Axt   But 
jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz osiągalności, nazywana
macierzą osiągalności Kalmana


Mc  B AB A2 B  An1B  nn p
ma rząd n, tzn. rząd systemu
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
25
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Możemy tą równoważność wypowiedzieć też w następujący sposób:
Jeżeli system ciągły posiada cechę sterowalności stwierdzoną w
oparciu o podane wyżej twierdzenie, to oznacza to, że będziemy mogli
znaleźć trajektorię wejścia, która będzie przemieszczać system z
dowolnego stanu początkowego do dowolnego stanu końcowego
System ciągły sterowalny
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.

system ciągły osiągalny
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
26
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Systemy dyskretne
Przykład 7.
Rozważmy system dyskretny
Równania dla poszczególnych stanów maja postać:
W świetle podanej definicji system jest sterowalny, bo:
Weźmy dowolny stan
Wybierając sterowanie
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
27
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Przeprowadzimy system do stanu
dla
Zatem system jest sterowalny, w świetle podanej definicji
jest równy zero dla wszystkich
niezależnie
Drugi stan
od przyłożonego wejścia i nie można go przeprowadzić gdziekolwiek
indziej
System nie posiada zatem cechy osiągalności
Wniosek z przykładu:
Można wskazać systemy dyskretne posiadające cechę sterowalności, ale nie
posiadające cechy osiągalności
Uzasadnione jest zatem w odniesieniu
stwierdzać posiadanie cechy osiągalności
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
do
systemów
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
dyskretnych
28
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
W ogólności zatem
System dyskretny sterowalny

system dyskretny osiągalny
Implikacja ta zachodzi jednak tylko dla przypadków, gdy AD jest osobliwa, w
przeciwnym przypadku podobnie jak dla systemów ciągłych
System dyskretny sterowalny
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.

system dyskretny osiągalny
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
29
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Osiągalność stanu
Stan osiągalny
 
Stan x k f  0 systemu liniowego
xk  1  AD k xk   BD k uk 
jest osiągalny, jeżeli można system przeprowadzić do tego stanu ze stanu
xk0   0

za pomocą odpowiedniego sterowania w skończonym czasie k f  k0 , k  k0 , k f

Jeżeli każdy stan jest osiągalny, mówimy, że system jest całkowicie osiągalny
lub krócej osiągalny
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
30
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Osiągalność systemu dyskretnego liniowego stacjonarnego
Twierdzenie OSD LS1
System liniowy stacjonarny
xk  1  AD xk   BD uk 
jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz osiągalności, nazywana
macierzą osiągalności Kalmana

McD  BD
AD BD
2
n1

AD BD  AD BD  nn p
ma rząd n, tzn. rząd systemu
Wymiar macierzy osiągalności: nxnp; n – wymiar stanu, p – wymiar wejścia
Dla p=1 macierz osiągalności jest macierzą kwadratową i dla sprawdzenia
osiągalności wystarczy sprawdzić nieosobliwość macierzy osiągalności
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
31
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Dla systemów dyskretnych sterowalność i
osiągalność nie są równoważne
Sterowalność systemu dyskretnego liniowego stacjonarnego
Twierdzenie SSD LS1
System liniowy stacjonarny
xk  1  AD xk   BD uk 
jest sterowalny wtedy, gdy macierz sterowalności, nazywana macierzą
sterowalności Kalmana

McD  BD
AD BD
2
n1

AD BD  AD BD  nn p
ma rząd n, tzn. rząd systemu
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
32
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Inne testy sterowalności systemów dyskretnych
Dodatek B
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
33
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Sterowalność wyjścia
Twierdzenie SW LS1
Wyjście liniowego systemu stacjonarnego ciągłego jest sterowalne wtedy i
tylko wtedy, gdy rząd macierz o wymiarze qxnp
jest równy q (q – wymiar przestrzeni wyjścia)
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
34
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
35
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Dodatek A
Inne testy sterowalności systemów ciągłych
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
36
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Zwykle i-ty wektor własny odpowiadający i-tej wartości własnej macierzy A
jest definiowany
Ze względu na porządek mnożenia, tak określony wektor własny vi jest
nazywany prawostronnym wektorem własnym
Podobnie można zdefiniować lewostronny wektor własny wi
Dokonując transpozycji
Widać: lewostronne wektory własne A są prawostronnymi wektorami własnymi
AT
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
37
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Twierdzenie SSC LS2
System liniowy stacjonarny
x t   Axt   But 
jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje żadem lewostronny
wektor własny macierz A, taki że
wiT B  0
co oznacza, że żaden wektor własny macierz A nie jest ortogonalny do
wszystkich kolumn macierz B
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
38
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Twierdzenie SSC LS3
System liniowy stacjonarny
x t   Axt   But 
jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz o wymiarze nx(n+p)
ma rząd n dla dowolnego zespolonego skalara s
Test sterowalności w oparciu o twierdzenia 2 i 3 nosi nazwę testu Popov’a –
Belevitch’a-Hautus’a
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
39
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Przykład 7 – powrót do przykładu 1
Test sterowalności Popov’a – Belevitch’a-Hautus’a
Lewostronne wektory własne
dla
dla
dla
dla
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
40
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Patrząc na
nietrudno spostrzec, że
System jest niesterowalny
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
41
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Twierdzenie SSC LS4
Diagonalny system liniowy stacjonarny z jednokrotnymi wartościami
własnymi jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz B nie ma wierszy
zerowych
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
42
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Przykład 6.
Układ elektryczny; wejście – napięcie u, wyjście - prąd y
Budowa modelu
Równania bilansowe
Zależność wiążąca
Różniczkując zależność wiążącą
bilansowego
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
i podstawiając do drugiego równania
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
43
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Wybierając zmienne stanu
Równania stanu
Równanie wyjścia
System z natury ma diagonalną strukturę – możemy zastosować
Twierdzenie 4 jeżeli wartości własne są jednokrotne
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
44
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Wartości własne
Ponieważ obydwa wiersze macierzy B są zawsze niezerowe – system jest
sterowalny, jeżeli tylko wartości własne są jednokrotne
Macierz testu Kalmana
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
45
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Wyznacznik macierzy Kalmana
1  1
R1 

det M c  
 
R2 LC  R2C L 
Jeżeli wartości parametrów elementów układu
Równania stanu
Równanie wyjścia
Wartość własna dwukrotna
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
46
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Wyznacznik macierzy Kalmana
M c  B
 100 
 1
AB  
0

100  10000
Schemat blokowy układu
Równania stanu są niezależne
Odpowiedzi stanu
gdzie,
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
, x10 i x20 – warunki początkowe
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
47
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Do stanu końcowego
Można doprowadzić system tylko ze stanów początkowych
a nie ze wszystkich
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
48
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Dodatek B
Inne testy sterowalności systemów dyskretnych
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
49
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Twierdzenie OSD LS2
System liniowy stacjonarny
xk  1  AD xk   BD uk 
jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje żadem lewostronny wektor
własny macierz AD , taki że
wiT BD  0
co oznacza, że żaden wektor własny macierz AD nie jest ortogonalny do
wszystkich kolumn macierz BD
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
50
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Twierdzenie OSD LS3
System liniowy stacjonarny
xk  1  AD xk   BD uk 
jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz o wymiarze nx(n+m)
Rr  zI  AD
BD 
ma rząd n dla dowolnego zespolonego skalara z
Test sterowalności w oparciu o twierdzenia 2 i 3 nosi nazwę testu Popov’a –
Belevitch’a-Hautus’a
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
51
Systemy dynamiczne 2014/2015
Sterowalność - osiągalność
Twierdzenie OSD LS4
Diagonalny system liniowy stacjonarny z jednokrotnymi wartościami
własnymi jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz BD nie ma wierszy
zerowych
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
52