Transcript Obserwowalność i odtwarzalność

Obserwowalność i odtwarzalność
Systemy dynamiczne 2014/2015
Obserwowalność i odtwarzalność
System ciągły
System dyskretny
y t   Cx t   Dut 
yk   C D x k   DD uk 
x t   Ax t   But  x t0   x0
x k  1  AD x k   BD uk  x k0   x0
Obserwowalność/odtwarzalność
określa
możliwość
jednoznacznego
określenia stanu systemu w oparciu pomiary przez skończony przedział
czasu sygnałów wejścia i wyjścia
Znaczenie: znajomość stanu początkowego i wejścia systemu pozwala
zrekonstruować całą trajektorię stanu w oparciu o równania stanu
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
1
Obserwowalność i odtwarzalność
Systemy dynamiczne 2014/2015
Systemy ciągłe
Obserwowalność stanu
Stan obserwowalny
Stan x t0  systemu liniowego
x t   Ax t   But  x t0   x0
y t   Cx t   Dut 
jest obserwowalny jeżeli można go określić znając wyjście yt  dla chwil ze
skończonego przedziału, t  t0 ,t f


Jeżeli każdy stan x t0 jest obserwowalny, mówimy, że system jest całkowicie
obserwowalny lub krócej obserwowalny
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
2
Obserwowalność i odtwarzalność
Systemy dynamiczne 2014/2015
Obserwowalność systemu ciągłego liniowego stacjonarnego
Twierdzenie OSC LS1
System liniowy stacjonarny
x t   Ax t   But  x t0   x0
y t   Cx t   Dut 
jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz obserwowalności,
nazywana macierzą obserwowalności Kalmana
 C 
 CA 


2
M o   CA    nqn





n

1
CA 
ma rząd n, tzn. rząd systemu
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
3
Systemy dynamiczne 2014/2015
Obserwowalność i odtwarzalność
Wymiar macierzy obserwowalnośći: nqxn; n – wymiar stanu, q – wymiar
wyjścia
Dla q=1 macierz obserwowalności jest macierzą kwadratową i dla
sprawdzenia obserwowalności wystarczy sprawdzić nieosobliwość macierzy
obserwowalności
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
4
Obserwowalność i odtwarzalność
Systemy dynamiczne 2014/2015
Inne testy obserwowalności systemów ciągłych
Dodatek A
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
5
Obserwowalność i odtwarzalność
Systemy dynamiczne 2014/2015
Obserwowalność a przekształcenia podobieństwa
Obserwowalność
podobieństwa
zostaje
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
zachowana
podczas
transformacji
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
6
Obserwowalność i odtwarzalność
Systemy dynamiczne 2014/2015
Odtwarzalność stanu
Stan odtwarzalny
  systemu liniowego
Stan x t f
x t   Ax t   But  x t0   x0
y t   Cx t   Dut 
jest odtwarzalny jeżeli można go określić znając wyjście
skończonego przedziału, t  t0 ,t f


yt  dla chwil ze
 
Jeżeli każdy stan x t f jest odtwarzalny, mówimy, że system jest całkowicie
odtwarzalny lub krócej odtwarzalny
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
7
Obserwowalność i odtwarzalność
Systemy dynamiczne 2014/2015
Dla systemów ciągłych obserwowalność i
odtwarzalność są równoważne
Odtwarzalność systemu ciągłego liniowego stacjonarnego
Twierdzenie OtSC LS1
System liniowy stacjonarny
x t   Ax t   But  x t0   x0
y t   Cx t   Dut 
jest odtwarzalny
wtedy i tylko wtedy, gdy macierz odtwarzalnośći,
nazywana macierzą odtwarzalności Kalmana
 C 
 CA 


2
M o   CA    nqn





n

1
CA 
ma rząd n, tzn. rząd systemu
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
8
Obserwowalność i odtwarzalność
Systemy dynamiczne 2014/2015
Systemy dyskretne
Obserwowalność stanu
Stan obserwowalny
Stan x k0  systemu liniowego
x k  1  AD x k   BD uk  x k0   x0
yk   C D x k   DD uk 
jest obserwowalny jeżeli można go określić znając wyjście y k  dla chwil ze
skończonego przedziału, k  k0 , k f


Jeżeli każdy stan x k0 jest obserwowalny, mówimy, że system jest całkowicie
obserwowalny lub krócej obserwowalny
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
9
Obserwowalność i odtwarzalność
Systemy dynamiczne 2014/2015
Obserwowalność systemu dyskretnego liniowego stacjonarnego
Twierdzenie OSD LS1
System liniowy stacjonarny
x k  1  AD x k   BD uk  x k0   x0
yk   C D x k   DD uk 
jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz obserwowalności,
nazywana macierzą obserwowalności Kalmana
M oD
 CD 
 C A 
 D D2 
  C D AD    npn





n 1
C D AD 
ma rząd n, tzn. rząd systemu
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
10
Obserwowalność i odtwarzalność
Systemy dynamiczne 2014/2015
Inne testy obserwowalności systemów
dyskretnych
Dodatek B
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
11
Obserwowalność i odtwarzalność
Systemy dynamiczne 2014/2015
Dla systemów dyskretnych obserwowalność i
odtwarzalność nie są równoważne
Odtwarzalność systemu dyskretnego liniowego stacjonarnego
Twierdzenie OtSD LS1
System liniowy stacjonarny
x k  1  AD x k   BD uk  x k0   x0
yk   C D x k   DD uk 
jest odtwarzalny wtedy, gdy macierz oodtwarzalności, nazywana macierzą
odtwarzalności Kalmana
 CD 
 C A 
 D D2 
M oD   C D AD    npn





C D AD n 1 
ma rząd n, tzn. rząd systemu
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
12
Obserwowalność i odtwarzalność
Systemy dynamiczne 2014/2015
Dekompozycja na podprzestrzenie sterowalne/osiągalne
Jeżeli system jest niesterowalny/nieosiągalny można go zdekomponować na
część sterowalną i niesterowalną
Twierdzenie o dekompozycji na podprzestrzenie sterowalne
Jeżeli system liniowy stacjonarny o macierzach A, B i C nie jest
sterowalny (tzn. A jest wymiaru nxn i rank(Mc = p < n) wówczas może być
znalezione przekształcenie podobieństwa
takie, że macierze systemu po transformacji mają postać
gdzie,
,
a para macierzy {AC, BC} jest sterowalna, oraz
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
13
Systemy dynamiczne 2014/2015
Obserwowalność i odtwarzalność
Macierz transformacji Q może być utworzona w następujący sposób:
Macierz MC ma wymiar n x nm, a ponieważ jest rządu p, można spośród jej
kolumn wybrać p kolumn liniowo niezależnych
Załóżmy, że będą to kolumny
Następnie wybieramy n – p wektorów
tak, aby macierz
była nieosobliwa
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
14
Systemy dynamiczne 2014/2015
Obserwowalność i odtwarzalność
Przykład 1.
Rozważamy system dwuwymiarowy ( dwa wejścia, dwa wyjścia)
Macierz sterowalności Kalmana
Rząd macierzy Kalmana
System jest niesterowalny
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
15
Obserwowalność i odtwarzalność
Systemy dynamiczne 2014/2015
Dwie pierwsze kolumny macierzy sterowalności są liniowo niezależne,
dobierzemy wektor
Wówczas
oraz
Macierze systemu po transformacji podobieństwa
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
16
Systemy dynamiczne 2014/2015
Obserwowalność i odtwarzalność
Macierze podsystemu sterowalnego
Niesterowalna część systemu opisana równaniem stanu
Macierz transmitancji systemu przed i po transformacji
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
17
Obserwowalność i odtwarzalność
Systemy dynamiczne 2014/2015
Związki pomiędzy zmiennymi stanu
 5 .5
Wartość własna części niesterowalne wynosi
System jest stabilizowalny
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
18
Obserwowalność i odtwarzalność
Systemy dynamiczne 2014/2015
Dekompozycja na podprzestrzenie obserwowalne/odtwarzalne
Jeżeli system jest nieobserwowalny można go zdekomponować na część
obserwowalną i nieobserwowalną
Twierdzenie o dekompozycji na podprzestrzenie obserwowalna
Jeżeli system liniowy stacjonarny o macierzach A, B i C nie jest
sterowalny (tzn. A jest wymiaru nxn i rank(Mo = p < n) wówczas może być
znalezione przekształcenie podobieństwa
takie, że macierze systemu po transformacji mają postać
gdzie,
,
,
a para macierzy {Ao, Bo} jest obserwowalna, oraz
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
19
Systemy dynamiczne 2014/2015
Obserwowalność i odtwarzalność
Macierz transformacji P może być utworzona w następujący sposób:
Macierz Mo ma wymiar nr x n, a ponieważ jest rządu p, można spośród jej
wierszy wybrać p wierszy liniowo niezależnych
Załóżmy, że będą to kolumny
Następnie wybieramy n – p wektorów
tak, aby macierz n x n
była nieosobliwa
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
20
Obserwowalność i odtwarzalność
Systemy dynamiczne 2014/2015
Przykład 2.
Rozważamy system dwuwymiarowy ( 2 wejścia, dwa wyjścia)
System jest sterowalny lecz nieobserwowalny – macierz obserwowalności
Kalmana
Rząd macierzy Kalmana
rankMo   2
System jest nieobserwowalny
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
21
Obserwowalność i odtwarzalność
Systemy dynamiczne 2014/2015
Dwa pierwsze wiersze macierzy obserwowalności są liniowo niezależne,
dobierzemy wektor
Wówczas
oraz
Macierze systemu po transformacji podobieństwa
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
22
Systemy dynamiczne 2014/2015
Obserwowalność i odtwarzalność
Macierze podsystemu obserwowalnego
Macierz transmitancji systemu przed i po transformacji
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
23
Obserwowalność i odtwarzalność
Systemy dynamiczne 2014/2015
Wartości własne systemu oryginalnego
Podsystemu obserwowalnego
Wartość własna części nieobserwowalnej wynosi
System jest niewykrywalny
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
24
Obserwowalność i odtwarzalność
Systemy dynamiczne 2014/2015
Ilustracja związków sterowalności i obserwowalności systemów ciągłych oraz
ich stabilności
Przykład 3.
Rozważmy system SISO
Policzmy macierz tranzycji
Przyjmijmy zerowe warunki początkowe
i skokowe wejście
poza tym
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
25
Obserwowalność i odtwarzalność
Systemy dynamiczne 2014/2015
Korzystając z macierzy tranzycji możemy policzyć odpowiedź stanu
xt   e
At t0 
xt0    e At   Bu d
t
t0
dla zerowych warunków początkowych
 1 t 
t 


e

e
t
x t     2
0 1
 et   e t  
2
1 t 
e  et   0
2
1d



1 t 
e  et   1
2
t
 1 t 
1
t  
t 
t  




e

e

e

e
t


  2
d   2


0 1
1
t 
t 
t 
t 
 e  e 
  e  e 
2

2
0
1
1 t
1

1 t

0
0
t
t 
t 
t









e

e


e

e

1

e

e
e

e

1

 
 2

2
2
 2


  1 t t   1 t t 
1
1
0
0
t
t

e  e    e  e  
  e  e    e  e  
2
  2
  2

2
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
26
Obserwowalność i odtwarzalność
Systemy dynamiczne 2014/2015
oraz odpowiedź wyjścia
yt   Ce At t0  xt0    Ce At   Bu d  Dut 
t
t0
dla zerowych warunków początkowych


 1 t 
t 
e

e
t
2
y t    1  1
0
1
 et   e t 
2
t



   e t  d   e t 
0
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.

t
0

1
d



  2 e

t
0
t 
 21 e
 e t  
t 


 e t   d

 1  e t  e t  1
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
27
Systemy dynamiczne 2014/2015
Obserwowalność i odtwarzalność
Odpowiedź wyjścia stabilizuje się
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
28
Systemy dynamiczne 2014/2015
Obserwowalność i odtwarzalność
ale odpowiedź stanu wykazuje niestabilność
Złe zachowanie stanu zostało „ukryte” na wyjściu – nie jest widoczne na
wyjściu
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
29
Obserwowalność i odtwarzalność
Systemy dynamiczne 2014/2015
Zbadajmy obserwowalność systemu
Mamy n=2, p=1
 C 
 CA 


2
M o   CA    npn


oraz



CA n 1 
Zatem
 1  1
0
Mo  
1  1

1
C 
M o     212
CA
0 1
A

1
0


C  1  1

 1  1
1   
  1 1 

0  
det Mo  0
System jest nieobserwowalny
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
30
Obserwowalność i odtwarzalność
Systemy dynamiczne 2014/2015
Zmieńmy warunki początkowe
x0  1 1
T
Wyjście systemu
yt   Ce At t0  xt0    Ce At   Bu d  Dut 
t
C  1  1
t0
Wyjście systemu dla tych warunków początkowych
1 t
t


e

e
2
y t   1  1
1 t t
 e  e 
2
1 t t 
e  e  1 t
2
 e 1



1 t
e  e t  1
2
1 t t 1 t t 1 t
1 t
t
t  1
e  e   e  e     et  1
  e  e   e  e 
2
2
2
2
 1
 e
t
1 t
 e    e  1  e t  1
1
t
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Takie samo jak dla zerowych w.p.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
31
Obserwowalność i odtwarzalność
Systemy dynamiczne 2014/2015
Twierdzenie
Niech będzie dany system liniowy stacjonarny SISO
x t   Ax t   but 
y t   c T x t 
i niech u1 ,u2
będą wejściami odcinkami ciągłymi oraz x1 t , x2 t 
i y1 t , y2 t  są określone przez
x i t   Axi t   bui t 
yi t   cT xi t  ; i  1,2
Następujące stwierdzenia są równoważne
(i)
 A,c 
są obserwowalne
(ii) t : u1 t   u2 t    y1 t   y2 t   x1 t   x2 t ; t
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
32
Obserwowalność i odtwarzalność
Systemy dynamiczne 2014/2015
Przykład 4.
Rozważmy system SISO
 x1  1 0   x1  0 
 x   1  1  x   1 u
 2  
 2 
x 
y  0 1  1 
 x2 
Zbadajmy obserwowalność systemu
Mamy n=2, p=1
 C 
 CA 


2
M o   CA    npn


oraz



CA n 1 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
C 
M o     212
CA
1 0 
A

1

1


C  0 1
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
33
Obserwowalność i odtwarzalność
Systemy dynamiczne 2014/2015
Zatem
0 1  0 1



1 0    
Mo  
0 1
 1  1

1  1 

det M o  1
rank Mo = 2 – system jest obserwowalny
Policzmy macierz tranzycji

et
0
At
e   1 t t
t 


e

e
e
 2

 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
34
Obserwowalność i odtwarzalność
Systemy dynamiczne 2014/2015
Korzystając z macierzy tranzycji możemy policzyć odpowiedź stanu
xt   e
At t0 
xt0    e At   Bu d
t
t0
dla zerowych warunków początkowych i skokowego wejścia
t

et 
0  0 
t 0 
 0   0   0 
xt     1 t 

t 
t    1d    t   d   t     0
t 
t 
0
0


e

e
e
 2
 1
e 
e  0 e  e  1  e 
t
oraz odpowiedź wyjścia
yt   Ce At t0  xt0    Ce At   Bu d  Dut 
t
t0
dla zerowych warunków początkowych i skokowego wejścia
t
 0 
t 
t  t
yt    0 1 t   d   e d  e 0  e0  et  1  et
0
0
e 
t
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
35
Obserwowalność i odtwarzalność
Systemy dynamiczne 2014/2015
Zmieńmy warunki początkowe z zerowych na
x0   1 0 
T
Odpowiedź stanu
xt   e At t0  xt0    e At   Bu d
t
t0
dla nowych warunków początkowych i skokowego wejścia

  0  

et
0  1  0  
et
et
xt    1 t t
  1 t t   
 1 t
t     
t 

t

t







e  0  1  e   e  e  1  e  1  e  3e 
 2 e  e

2

 2

 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
36
Obserwowalność i odtwarzalność
Systemy dynamiczne 2014/2015
Odpowiedź wyjścia systemu
yt   Ce
At t0 
xt0    Ce At   Bu d  Dut 
t
t0
C  0 1
dla nowych warunków początkowych

et
0   1
1 t
t
t
 t   1
t



y t   0 1 1 t t

1

e

e

e
e

1

e
t  
 2
 0 
 2 e  e  e  0 
 

1 t
e  et   1  et  1  1 et  3et 
2
2
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
37
Systemy dynamiczne 2014/2015
Obserwowalność i odtwarzalność
Odpowiedź wyjścia systemu
Odpowiedź stanu systemu
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
38
Obserwowalność i odtwarzalność
Systemy dynamiczne 2014/2015
Równania stanu
x1  x1
x2  x1  x2  u
Zbadajmy sterowalność systemu


Mc  B AB A2 B  An1B  nnm
n=2
0 
B 
1
1 0 
A

1  1
0 0 
Mc  

1

1


1 0  0  0 
AB  
 



1  1 1  1
rankMc   1  2
System jest niesterowalny
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
39
Obserwowalność i odtwarzalność
Systemy dynamiczne 2014/2015
Przykład 5.
Rozważmy system SISO
1   x1  0 
 x1   0

 x   2  3  x   1 u
  2  
 2 
x 
y  1  1  1 
 x2 
Zbadajmy obserwowalność systemu
Mamy n=2, p=1
 C 
 CA 


2
M o   CA    npn


oraz



CA n 1 
C 
M o     212
CA
1
0
A


2

3


 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
C  1  1
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
40
Obserwowalność i odtwarzalność
Systemy dynamiczne 2014/2015
Zatem
1  1


1  1


0
1

 
Mo 



1

1

  2  3   2 4 



det Mo  6
rank M o   2
rank Mo = 2 – system jest obserwowalny
Zbadajmy sterowalność systemu


Mc  B AB A2 B  An1B  nnm
n=2, r=1
0 
B 
1
1  0  1 
1
0
0
AB

A
 2  3 1   3


   
 2  3
0 1 
Mc  

1  3
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
det M c  1
rank Mc   2
rank Mc = 2 – system jest sterowalny
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
41
Obserwowalność i odtwarzalność
Systemy dynamiczne 2014/2015
Policzmy macierz tranzycji
t
2 t
t
2 t


2
e

e
e

e
e At   2t t
2t
t 


2
e

e
2
e

e


Zadajmy wejście
et , t  0
ut   
0 , w przeciwnym przypadku
Odpowiedź stanu (zerowe w.p.)
 1 t 1  2 t 1 t 
6 e  3 e  2 e 
x t   
1 t 2  2 t 1 t 
 e  e  e 
6
3
2 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Odpowiedź wyjścia (zerowe w.p.)
yt   e2t  et
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
42
Systemy dynamiczne 2014/2015
Obserwowalność i odtwarzalność
Odpowiedź wyjścia (zerowe w.p.)
Odpowiedź stanu (zerowe w.p.)
System jest nieminimalnofazowy
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
43
Systemy dynamiczne 2014/2015
Obserwowalność i odtwarzalność
Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
44
Obserwowalność i odtwarzalność
Systemy dynamiczne 2014/2015
Dodatek A
Inne testy sterowalności systemów ciągłych
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
45
Obserwowalność i odtwarzalność
Systemy dynamiczne 2014/2015
Twierdzenie OSC LS2
System liniowy stacjonarny
x t   Ax t   But  x t0   x0
y t   Cx t   Dut 
jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje żadem prawostronny
wektor własny macierz A, taki że
CviT  0
co oznacza, że żaden wektor własny macierz A nie jest ortogonalny do
wszystkich kolumn macierz C
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
46
Obserwowalność i odtwarzalność
Systemy dynamiczne 2014/2015
Twierdzenie OSC LS3
System liniowy stacjonarny
x t   Ax t   But  x t0   x0
y t   Cx t   Dut 
jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz o wymiarze (r+n)xn
ma rząd n dla dowolnego zespolonego skalara s
Test obserwowalności w oparciu o twierdzenia 2 i 3 nosi nazwę testu Popov’a
– Belevitch’a-Hautus’a
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
47
Systemy dynamiczne 2014/2015
Obserwowalność i odtwarzalność
Twierdzenie OSC LS4
Diagonalny system liniowy stacjonarny z jednokrotnymi wartościami
własnymi jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz C nie ma
kolumn zerowych
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
48
Obserwowalność i odtwarzalność
Systemy dynamiczne 2014/2015
Dodatek B
Inne testy obserwowalności systemów
dyskretnych
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
49
Obserwowalność i odtwarzalność
Systemy dynamiczne 2014/2015
Twierdzenie OSD LS2
System liniowy stacjonarny
x k  1  AD x k   BD uk  x k0   x0
yk   C D x k   DD uk 
jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje żadem prawostronny
wektor własny macierz AD , taki że
CDviT  0
co oznacza, że żaden wektor własny macierz AD nie jest ortogonalny do
wszystkich kolumn macierz CD
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
50
Obserwowalność i odtwarzalność
Systemy dynamiczne 2014/2015
Twierdzenie OSD LS3
System liniowy stacjonarny
x k  1  AD x k   BD uk  x k0   x0
yk   C D x k   DD uk 
jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz o wymiarze (r+n)xn
 CD 
Ro  

z
I

A
A

ma rząd n dla dowolnego zespolonego skalara z
Test sterowalności w oparciu o twierdzenia 2 i 3 nosi nazwę testu Popov’a –
Belevitch’a-Hautus’a
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
51
Systemy dynamiczne 2014/2015
Obserwowalność i odtwarzalność
Twierdzenie OSD LS4
Diagonalny system liniowy stacjonarny z jednokrotnymi wartościami
własnymi jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz CD nie ma
kolumn zerowych
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
52