Transcript Systemy/modele rozmyte – podstawy i struktury

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Systemy/modele rozmyte – podstawy i struktury
Systemy rozmyte są m. in. modelami przetwarzającymi informację
za pomocą zbioru reguł rozmytych „jeżeli – to”
Rozmytość jest sposobem reprezentowania niejednoznaczności
(niepewności) określeń lingwistycznych (n.p. wysoka temperatura)
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
1
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Czy istnieje jeden rodzaj modeli rozmytych? Nie
Wymienimy najczęściej stosowane w sterowaniu i podejmowaniu decyzji:
 lingwistyczny model rozmyty
 Takagi-Sugeno model rozmyty (TS)
 Tsukamoto model rozmyty
Przedstawimy w tym przedmiocie lingwistyczny model Mamdani’ego
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
2
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Jak wygląda model rozmyty i jak działa?
Przykład: lingwistyczny model rozmyty
IF x is Small THEN
IF x is Medium
y is L arg e
y is Small
zmienna
rozmyta
wartość zmiennej
rozmytej
x*
Mechanizm/system
wnioskowania rozmytego
y is Small
THEN
IF x is L arg e THEN
+
y*
Baza reguł
rozmytych
JEZELI x jest Male TO y jest Male
JEZELI x jest Srednie TO y jest Duze
JEZELI x jest Duze TO y jest Male
Aktualna wartość wejścia x*, ani Small, ani Medium
na pewno nie Large – jaka powinna być
odpowiadająca takiej aktualnej wartości wejścia,
aktualna wartość wyjścia y * ?
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
3
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
W modelach rozmytych zależności pomiędzy zmiennymi modelu są
reprezentowane za pomocą reguł IF-THEN mających ogólną
następującą postać
If antecedent
propositio n then consequent
Jezeli stwierdzen ie przeslanki
propositio n
to stwierdzen ie konkluzji
Przykłady reguł nazywanych regułami rozmytymi
If the heating
IF
power is high
Pr essure is High
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
THEN
then the temperatur e will increase
fast
Volume is Small
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
4
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Rozmyta reguła IF – THEN – możliwa postać
Inne nazwy: reguła rozmyta (fuzzy rule), rozmyta implikacja (fuzzy
implication), rozmyte zdanie warunkowe (fuzzy conditional statement)
Forma:
IF
x is A
JEZELI
THEN
x jest A
y is B
TO
y jest B
gdzie
x, y – zmienne rozmyte/lingwistyczne
A, B – wartości zmiennych rozmytych/lingwistycznych, odpowiednio x i y,
zdefiniowane jako zbiory rozmyte na przestrzeniach rozważań X
iY
Określenia:
x is A – poprzednik, przesłanka
y is B – następnik, konkluzja, rezultat,
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
5
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Stwierdzenie przesłanki ma zawsze postać:
x is A
x jest A
Stwierdzenie konkluzji może mieć różną postać w zależności od typu modelu
rozmytego
W modelach lingwistycznych Mamdani’ego konkluzja ma postać:
y is B
y jest B
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
6
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Podstawowe pojęcie systemów rozmytych – ZBIÓR ROZMYTY
Zbiory rozmyte są powszechnie stosowane przez ludzi do jakościowej oceny
wielkości fizycznych, stanów obiektów i systemów oraz do ich porównywania
wartość rozmyta/lingwistyczna
(zmiennej rozmytej/lingwistycznej)
=
zmienna rozmyta/lingwistyczna
zbiór rozmyty zdefiniowany funkcją
przynależności na przestrzeni rozważań
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
7
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Wszystkie zbiory definiujemy w przestrzeni rozważań
Definicja:
X - przestrzeń rozważań, uniwersalny zbiór będący przedmiotem
naszego zainteresowania
Inne nazwy: obszar rozważań, przestrzeń, zbiór, domena
rozważań, domena, zakres podstawowy, zbiór odniesienia
Przykłady:
 uczniowie klas pierwszych w liceach
 liczby rzeczywiste
 temperatura powietrza w Polsce
 miasta w Polsce
Przestrzeń rozważań może być zbiorem dowolnej natury
(dziedzina zbioru może być dowolnej natury) – w szczególności
może to być dziedzina numeryczna
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
8
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Definicja: zbiór zwykły (1)
Zwykły albo klasyczny zbiór jest definiowany jako zestaw
elementów w X posiadający pewną specyficzną cechę
A  x  X : zdanie A  x  jest prawdziwe

Przykłady:
 chłopcy uczniowie klas pierwszych w liceach
 dodatnie liczby rzeczywiste
 temperatura powietrza latem w Polsce
 miasta wojewódzkie w Polsce
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
9
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Można inaczej definiować zbiory zwykłe korzystając z pojęcia
funkcji przynależności (funkcji charakterystycznej, funkcji
wskaźnikowej)
Definicja: funkcja przynależności zbioru zwykłego
Funkcja przynależności zbioru zwykłego A w przestrzeni rozważań X
(oznaczana μA(x)) jest odwzorowaniem z X w zbiór dwuelementowy
{0,1}: μA(x):X  {0,1} takim, że
1,
 A x  
0 ,
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
x A
x A
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
10
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Definicja: zbiór zwykły (2)
Niech X , dziedzina rozważań, będzie zbiorem pewnych elementów x.
Zbiorem zwyklym A dziedziny rozważań X , nazywamy zbiór par:
A
   A  x , x   ,  x  X
gdzie: A jest funkcją przynależności zbioru zwykłego A, która
każdemu elementowi xX przypisuje dwuwartościowy stopień jego
przynależności A(x) do zbioru rozmytego A, przy czym:
1,
 A x  
0 ,
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
x A
x A
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
11
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Definicj: Zbiór rozmyty (fuzzy set)
Niech X , dziedzina rozważań, będzie zbiorem pewnych elementów x.
Zbiorem rozmytym A dziedziny rozważań X , nazywamy zbiór par:
~
A 
  A  x  , x   ,  x 
X
gdzie: A jest funkcją przynależności (membership function) zbioru
rozmytego A, która każdemu elementowi xX przypisuje stopień
jego przynależności (grade of membership) A (x) do zbioru
rozmytego A, przy czym:
 A  x   0 ,1 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
12
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Przykład:
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
13
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Funkcja przynależności (membership function) i stopień
przynależności (grade of membership)
Funkcja przynależności realizuje odwzorowanie dziedziny rozważań X danej
zmiennej do przedziału [0,1]:
 A : X  0 ,1 
Funkcja przynależności przyporządkowuje każdemu elementowi xX pewną
wartość z przedziału [0,1]:
 A  x  : X  0 ,1  ,
x  X
Wartość ta, zwana stopniem przynależności informuje, w jakim stopniu
element xX należy do zbioru rozmytego A
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
14
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Funkcja przynależności i stopień przynależności - porównanie
Zbiór zwykły
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Zbiór rozmyty
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
15
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Funkcje przynależności i stopień przynależności elementu
przestrzeni rozważań do różnych zbiorów
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
16
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Definicja zbioru rozmytego jest subiektywna (zależy od osądów
autora) i zależna od kontekstu
Wysoki w Chinach
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Wysoki w Europie Wysoki w NBA
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
17
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Przykłady zbiorów rozmytych:
 zbiór rozmyty na dziedzinie dyskretnej nieuporządkowanej
Niech X zbiór miast, spośród których ktoś może wybrać
miejsce zamieszkania
X  Warszawa , Gdansk , Opole , Wroclaw

A – miasto pożądane do zamieszkania
A  Warszawa , 0 . 5 , Gdansk , 0 . 95 , Opole , 0 . 75 , Wroclaw , 0 . 8 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
18
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
 zbiór rozmyty na dziedzinie dyskretnej uporządkowanej
Niech X zbiór liczby dzieci, jaką rodzina może mieć
X  0 ,1, 2 ,3, 4 ,5 , 6
A – rozsądna liczba dzieci w rodzinie
A
0 ,0 .1, 1,0 .3 , 2 ,0 .7 , 3,1 .0 , 4 ,0 .7 , 5,0 .3 , 6 ,0 .1
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
19
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
 zbiór rozmyty na dziedzinie ciągłej
Niech X możliwy wiek ludzi
X  R

A – ludzie w wieku około 50 lat
A
gdzie:
 x ,  A  x  : x  X 
 A x  
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
1
 x  50 
1 

10


4
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
20
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
 zbióry rozmyte dla sterowania wahadłem odwróconym
Obiekt
Struktura systemu sterowania
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
21
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Wejścia regulatora:
e t   r t   y t 
1)
Odchylenie Położenie Położenie
od położenia pożądane aktualne
pożądanego
2)
Wyjście regulatora:
Siła przyłożona do wózka – u(t)
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
d
dt
e t 
Zmiana
odchylenia
od położenia
pożądanego
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
22
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Zmienne lingwistyczne:
Pożądane położenie:
„Odchylenie” – e(t)
„Zmiana odchylenia” –
„Siła” – u(t)
Modele rozmyte – podstawy i struktury
r(t) = 0
d
dt
e t 
Zależności:
e  t    y  t ;
d
dt
e t   
d
y t 
dt
Konwencja:
Położenie  +  Odchylenie - ; Położenie  -  Odchylenie +
Zmiana położenia  +  Zmiana odchylenia - ;
Zmiana położenia  -  Zmiana odchylenia +
Siła
+
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
23
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Wartości lingwistyczne (dla wszystkich zmiennych):
 ujemna, duża co do wartości – „neglarge”
 ujemna, mała co do wartości – „negsmall”
 zero – „zero”
 dodatnia, mała co do wartości – „possmall”
 dodatnia, duża co do wartości – „poslarge”
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
24
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Wahadło odwrócone w różnych pozycjach
Położenie pożądane
Odchylenie ujemne
Odchylenie zerowe
Odchylenie dodatnie
Siła dodatnia
Zmiana odchylenia ujemna
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Zmiana odchylenia dodatnia
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
25
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Zdefiniowanie wartości rozmytych dla poszczególnych zmiennych rozmytych
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
26
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Funkcja przynależności może być wyrażona w postaci:
 diagramu ciągłego lub dyskretnego,
 wzoru matematycznego,
 tabeli,
 wektora przynależności,
 sumy lub całki
Przykłady:
Ciągła (a) i dyskretna (b) graficzna forma (diagram) funkcji
przynależności liczby rozmytej „około zera”
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
27
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Funkcja przynależności w postaci wzoru dla liczby rozmytej
„około zera”
a  x

 x    a
 0
a xa
dla
poza tym
Dyskretna funkcja przynależności w postaci tabeli dla liczby
rozmytej „około zera”
xiX
(x)
x1=-a
0
x2=-0.75a x3=-0.5a
0.25
0.5
x4=-0.25a x5=0
0.75
1
x6=0.25a
0.75
x7=0.5a
0.5
x8=0.75a
0.25
x9=a
0
Elementami xi w tabeli mogą być nie tylko liczby
xiX
(x)
Firma1
Firma2 .....
Firma (n-1) Firman
0.4
0.5
1.0
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
.....
1.0
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
28
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Dyskretna funkcja przynależności w postaci wektora dla liczby
rozmytej „około zera”
  A  xi  
A

 xi 
 0 .0
A
 a
0 . 25
0 .5
0 . 75
1
0 . 75
0 .5
0 . 25
 0 . 75 a
 0 .5 a
 0 . 25 a
0
0 . 25 a
0 .5 a
0 . 75 a
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
0

a
29
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Dyskretna funkcja przynależności w postaci sumy dla liczby
rozmytej „około zera”
A
 A  x1 

 A x2 
x1
A
0 .0
a

0 . 25
 0 . 75 a

 
 A xn 
x2
0 .5
 0 .5 a

xn
0 . 75
 0 . 25 a

1

0

n
 A xi 
i 1
xi

0 . 75
0 . 25 a

0 .5

0 .5 a
0 . 25
0 . 75 a

0
a
Ciągła funkcja przynależności w postaci całki dla liczby
rozmytej „około zera”
 A x 
A 
x
X
A

X
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
a  x  / a
x
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
30
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Pionowa reprezentacja zbioru rozmytego
Pionowa reprezentacja zbioru rozmytego jest A jest formą
przedstawiania zbioru rozmytego jako zbioru par (element x zbioru
A, stopień przynależności elementu x do zbioru A)
Przykłady pionowej reprezentacji zbioru rozmytego
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
31
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Pozioma reprezentacja zbioru rozmytego
Pozioma reprezentacja zbioru rozmytego A polega na
przedstawianiu tego zbioru za pomocą tzw.  - przekrojów A
tego zbioru.
 - przekrój Aα zbioru rozmytego A jest nierozmytym
podzbiorem przestrzeni rozważań X , którego
elementy
wszystkie posiadają stopień przynależności równy lub większy 
A   x  X :  A  x    ,   0 ,1

 - przekrój Aα jest nazywany ścisłym jeżeli
x  A :  A x   

Wartość  nazywana jest  - poziomem
Oznaczenia (inne):
 - przekrój(A), przekrój(A,), Aα , A>α
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
32
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Ilustracja graficzna
Przykładowe  - przekroje zbioru rozmytego A
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
33
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Charakterystyczne parametry zbioru rozmytego:
Nośnik zbioru rozmytego A (support):
Nośnik zbioru rozmytego A jest to podzbiór nierozmyty dziedziny
rozważań X, którego wszystkie elementy mają niezerowy stopień
przynależności do zbioru A
S  A   Supp  A    x  X :  A  x   0 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
34
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Jądro zbioru rozmytego A (core, kernel):
Jądro zbioru rozmytego A jest to podzbiór nierozmyty dziedziny
rozważań X złożony ze wszystkich elementów o stopniu przynależności
równym 1
C  A   Core  A   x  X :  A  x   1
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
35
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Wysokość zbioru rozmytego A (height):
Wysokością zbioru rozmytego A nazywamy supremum funkcji
przynależności elementów zbioru A w całej dziedzinie rozważań
zbioru X
h  A   height  A   sup   A  x  
x X
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
36
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Wypukłość zbioru rozmytego A:
Zbiór rozmyty zdefiniowany w przestrzeni rozważań Rn jest
wypukły jeżeli każdy jego  - przekrój jest zbiorem wypukłym
W yp u k ły
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
N ie w yp u k ły
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
37
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Przykład: wiek kierowcy wysokiego ryzyka dla ubezpieczeń
samochodów
W ie k w ys o k ie g o
ryz yk a
w ie k [la ta ]
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
38
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Charakterystyczne zbiory rozmyte
Pusty zbiór rozmyty
Zbiór A, którego funkcja przynależności A(x) posiada wartość zero
dla wszystkich elementów dziedziny rozważań X nazywa się zbiorem
pustym i oznaczany jest symbolem :
 :   x   0 , x  X
Uniwersalny zbiór rozmyty
Zbiór A, którego funkcja przynależności A(x) posiada wartość
jeden dla wszystkich elementów dziedziny rozważań X nazywa się
zbiorem uniwersalnym i oznaczany jest symbolem U:
U :  U  x   1,
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
x  X
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
39
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Normalny zbiór rozmyty
Zbiór A, którego funkcja przynależności A(x) przyjmuje wartości
pomiędzy 0 a 1, łącznie z 1, nazywany jest zbiorem normalnym
rozmytym
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
40
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Liczba rozmyta:
Pojęcie liczby rozmytej jest używane (czasem) dla wskazania
zbioru rozmytego normalnego i wypukłego określonego na R
Singleton (jednoelementowy zbiór rozmyty):
Singleton jest to taki zbiór rozmyty A, którego nośnik S(A) zawiera
tylko jeden element o stopniu przynależności różnym od zera
L ic zb a ro zm yta
„o k o ło 3 ”
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
R o zm yty
sin g le to n
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
41
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Rodzaje funkcji przynależności zbiorów rozmytych jednowymiarowe
- funkcje przynależności złożone z odcinków prostych
Kształty najczęściej stosowanych odcinkowo – liniowych funkcji
przynależności
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
42
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Zalety wielokątnych funkcji przynależności:
 mała liczba danych potrzebna do zdefiniowania funkcji
przynależności
 łatwość modyfikacji parametrów funkcji przynależności w oparciu o
dane pomiarowe wejście – wyjście systemu
Wady wielokątnych funkcji przynależności:
 są nieróżniczkowalne
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
43
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Trójkątna funkcja przynależności:
0

xa

triangle  x ; a , b , c    b  a
cx

cb
 0
xa
a xb
b xc
xc
Przykład:
triangle(x;20,60,80)
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
44
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Trapezowa funkcja przynależności:
 0
xa

ba
trapezoid  x ; a , b , c , d    1
d  x

d c

 0
xa
a xb
b xc
c xd
d  x
Przykład:
trapezoid(x;10,20,60,95)
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
45
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
- intuicyjne funkcje przynależności
Aksjomaty:
A1. Intuicyjne funkcje przynależności (x) są ciągłe w całym
zakresie dziedziny rozważań
A2. Pierwsza pochodna intuicyjnej funkcji przynależności (x)
  x  
d x 
dx
jest ciągła w całym zakresie dziedziny rozważań
A3. Druga pochodna intuicyjnej funkcji przynależności (x)
  x  
d  x 
2
2
dx
jest ciągła w całym zakresie dziedziny rozważań
A4. Zakrzywienia intuicyjnej funkcji przynależności (x) są
minimalne
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
46
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Przykłady matematycznych reprezentacji intuicyjnych funkcji
przynależności:
1. Funkcja przynależności Gaussa
2. Dzwonowa funkcja przynależności
3. Sigmoidalne funkcje przynależności
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
47
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Gaussowska funkcja przynależności:
gaussian  x ; c ,   e
1  xc 
 

2  
2
Przykład:
gaussian(x;50,20)
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
48
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Dzwonowa funkcja przynależności:
1
bell  x ; a , b , c  
1
xc
2b
a
Przykład:
bell(x;20,4,50)
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
49
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Dzwonowa funkcja przynależności – znaczenie parametrów:
1
bell  x ; a , b , c  
1
xc
2b
a
FP
N a c h yle n ie = -b /2 a
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
50
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Dzwonowa funkcja przynależności – wpływ zmian wartości
parametrów na kształt FP:
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
51
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Sigmoidalna funkcja przynależności:
sig  x ; a , c  
1
1 e
a xc 
Przykłady
Dwie prawe FP sigmoidalne
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Prawa i lewa FP sigmoidalne
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
52
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Poza jednowymiarowymi przestrzeniami rozważań możemy mieć do
czynienia z wielowymiarowymi przestrzeniami rozważań, które są
iloczynem kartezjańskim X przestrzeni składowych X1, X2, ...., Xn
wielkości o różnym charakterze
Przykład:
X1 – zbiór obywateli
X2 – zbiór banków
Definiowanie
zbiorów
przestrzeni rozważań
rozmytych
dla
wielowymiarowych
Bezpośrednio
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
53
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Przykład:
Niech w przestrzeni X x Y  R2 określony jest zbiór rozmyty A
A   x , y  jest bliski  3 ,4 
funkcją przynależności
  x  3 2

2
 A  x , y   exp   
  y  4 
  2 

 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
54
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Funkcja przynależności
  x  3 2

2
 A  x , y   exp   
  y  4 
  2 

może być przedstawiona jako
  x  3 2 
  y  4 2 
 A  x , y   exp   
   exp   
 
  2  
  1  
 gaussian
 x ;3 ,2   gaussian  y ;4 ,1 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
55
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Przykład:
Niech w przestrzeni X x Y  R2 określony jest zbiór rozmyty A
funkcją przynależności
 A x, y  
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
1
1 x  3 y  4
2 .5
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
56
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Modyfikatory lingwistyczne zbiorów rozmytych
Modyfikatory umożliwiają tworzenie pochodnych zbiorów rozmytych
na bazie zbiorów podstawowych bez ponownego definiowania funkcji
przynależności
Wyróżnia się przy tym
- modyfikatory mocy (powered hedges)
-modyfikatory przesunięcia (shifted hedges)
Modyfikatory mocy są realizowane za pomocą funkcji, które działają
na stopniach przynależności i mają ogólną postać
M
 A
P
P
A
Modyfikatory przesunięcia przemieszczają funkcję przynależności w
jej dziedzinie
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
57
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Powszechnie stosowane modyfikatory mocy: Bardzo, Mniej więcej
Bardzo: (operator koncentracji)
 Bardzo A  x   Con   A  x     A  x 
2
Mniej więcej: (operator rozcieńczania – dylatacji)
 Mniej
wiecej A
 x   Dil   A  x   
 A x
M n ie j w ię c e j A
Definicja: Bardzo,
B a rd zo A
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Mniej więcej
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
58
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Przykład: zastosowanie modyfikatora mocy „very” w definiowaniu
zbiorów rozmytych w przestrzeni „wzrost mężczyzny”
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
59
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Operacje (logiczne, mnogościowe) na zbiorach rozmytych
Główne operatory logiczne:
1. Operacja przecięcia (intersection) zbiorów rozmytych
2. Operacja połączenia (union) zbiorów rozmytych
3. Operacja negacji (complement) zbioru rozmytego
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
60
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Operacje na zbiorach klasycznych
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
61
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Definicja: Zawieranie (containment) lub podzbiór
 Zbiór rozmyty A jest zawarty w zbiorze rozmytym B (lub,
równoważnie, A jest podzbiorem B, lub A jest mniejszy lub równy
B) wtedy i tylko wtedy, gdy  A  x    B  x 
dla wszystkich x
A  B   A x    B x 
Przykład:
A B
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
62
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Definicja: Przecięcie (intersection) zbiorów rozmytych
 Przecięcie dwóch zbiorów rozmytych A i B jest zbiorem rozmytym
C, co zapisuje się jako C = A  B lub C = A AND B, którego funkcja
przynależności (FP) jest związana z FP zbiorów A i B zależnością:
 C  A  B  x   min  A  x ,  B  x 
Przykład:
C  A B
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
63
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Operator min nie jest jedynym stosowanym do realizacji operacji
przecięcia zbiorów – opracowano wiele realizacji operacji przecięcia
Najczęściej stosowanymi operatorami przecięcia zbiorów rozmytych
AB są tak zwane T-normy (triangular norm)
Definicja uogólniona : Przecięcie (intersection) zbiorów rozmytych
 Przecięcie dwóch zbiorów rozmytych A i B jest określane przez
funkcję T:[0,1]x[0,1][0,1], która agreguje dwa stopnie
przynależności w następujący sposób:
~
 A  B  x   T  A  x ,  B  x    A  x    B  x 
gdzie
~

jest operatorem binarnym określonym dla funkcji T.
Ta klasa operatorów rozmytego przecięcia, która zwykle kojarzona
jest jako operatory T-normy spełnia podane niżej podstawowe
wymagania
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
64
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Definicja: T - norma
 Operator T – normy jest funkcją dwuargumentową spełniającą
następujące warunki:
1. dziedziny odwzorowania
T : 0 ,1   0 ,1   0 ,1 
2. zerowanie (boudary)
T 0 ,0   0
3. tożsamość jedynki (boundary) T  A  x ,1    A  x ; T 1 ,  B  x    B  x 
4. monotoniczność (monotonicity)  A  x    C  x    B  x    D  x  
 T  A  x ,  B  x   T  C  x ,  D  x 
5. przemienność (commutativity) T  A  x ,  B  x   T  B  x ,  A  x 
6. łączność (associativity)
T  A  x ,T  B  x ,  C  x  
 T T  A  x ,  B  x ,  C  x 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
65
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Operatory T – normy dzielą się na nastawialne
(sparametryzowane) i nienastawialne
Niektóre nienastawialne operatory T – normy
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
66
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Niektóre nastawialne operatory T – normy
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
67
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Uwagi:
 Największe wartości funkcji przynależności daje operator MIN,
inne operatory T – normy dają wartości mniejsze
Twierdzenie: Wszystkie operatory T – normy są ograniczone od dołu
przez operator iloczynu drastycznego a od góry przez operator MIN
 Do realizacji operacji przecięcia zbiorów rozmytych stosuje się
nie tylko operatory będące T - normami
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
68
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Definicja: Połączenie (union) zbiorów rozmytych
 Połączenie dwóch zbiorów rozmytych A i B jest zbiorem rozmytym
C, co zapisuje się jako C = A  B lub C = A OR B, którego funkcja
przynależności (FP) jest związana z FP zbiorów A i B zależnością:
 C  A  B  x   max  A  x ,  B  x 
Przykład:
C  A B
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
69
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Operator max nie jest jedynym stosowanym do realizacji operacji
połączenia zbiorów – opracowano wiele realizacji operacji połączenia
Najczęściej stosowanymi operatorami połączenia zbiorów rozmytych
AB są tak zwane S-normy
Definicja uogólniona : Połączenie (union) zbiorów rozmytych
 Połączenie dwóch zbiorów rozmytych A i B jest określane przez
funkcję S:[0,1]x[0,1][0,1], która agreguje dwa stopnie
przynależności w następujący sposób:
~
 A  B  x   S  A  x ,  B  x    A  x    B  x 
gdzie
~

jest operatorem binarnym określonym dla funkcji S.
Ta klasa operatorów rozmytego połączenia, która zwykle kojarzona
jest jako operatory S-normy spełnia podane niżej podstawowe
wymagania
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
70
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Definicja: S - norma
 Operator S – normy jest funkcją dwuargumentową spełniającą
następujące warunki:
1. dziedziny odwzorowania
S : 0 ,1   0 ,1   0 ,1 
2. zerowanie (boudary)
S 0 ,0   0
3. tożsamość zera (boundary)
S  A  x ,0    A  x ;
T 0 ,  B  x    B  x 
4. monotoniczność (monotonicity)  A  x    C  x    B  x    D  x  
 S  A  x ,  B  x   S  C  x ,  D  x 
5. przemienność (commutativity) S  A  x ,  B  x   S  B  x ,  A  x 
6. łączność (associativity)
S  A  x , S  B  x ,  C  x  
 S  S  A  x ,  B  x ,  C  x 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
71
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Operatory S – normy dzielą się na nastawialne
(sparametryzowane) i nienastawialne
Niektóre nienastawialne operatory S – normy
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
72
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Niektóre nastawialne operatory S – normy
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
73
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Uwagi:
 Najmniejsze wartości funkcji przynależności daje operator MAX,
operatory S – normy dają wartości większe
Twierdzenie: Wszystkie operatory S – normy są ograniczone od dołu
przez operator MAX a od góry przez operator sumy drastycznej
 Do realizacji operacji połączenia zbiorów rozmytych stosuje się
nie tylko operatory będące S - normami
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
74
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Operatory T – normy i S – normy tworzą pary komplementarne
spełniające warunek:
T  A  x ,  B  x   1  S 1   A  x ,1   B  x 
Komplementarne pary T – norm i S - norm
T – norma (S – konorma)
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
S – norma (T – konorma)
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
75
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Operacja negacji (complement, negation) zbioru rozmytego
W logice nierozmytej:
 A  x  X : x  A 
Definicja: Negacja (complement) zbioru rozmytego
 Negacja zbioru rozmytego A jest zbiorem rozmytym A,
określonym zależnością:
Przykład:
 A x   1   A x 
C  A
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
76
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Inne operacje negacji
1. Negacje Sugeno (parametryzowane)
 A x  
gdzie
   1,  
1   A x 
1  
A
x 
2. Negacje Yager’a (parametryzowane)

 A x   1   A x 
gdzie
w

1
w
w  0 ,  
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
77
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Dla wyróżnienia operatory:
 C  A  B  x   min   A  x  ,  B  x  
przecięcie
 C  A  B  x   max   A  x  ,  B  x  
połączenie
 A  x   1   A  x 
negacja
są nazywane klasycznymi lub standardowymi operatorami rozmytymi
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
78
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Operacje na zbiorach możemy przeprowadzać
zdefiniowanych w jednej przestrzeni rozważań
na
zbiorach
Jak realizować operacje na zbiorach rozmytych zdefiniowanych w
różnych przestrzeniach rozważań?
Rozszerzenie cylindryczne zbioru rozmytego
Każdy n-wymiarowy zbiór rozmyty może być rozszerzony do wymiaru
n+1 za pomocą rozszerzenie cylindrycznego
Projekcja zbioru rozmytego
Każdy n+1 - wymiarowy zbiór rozmyty może być ścieśniony do wymiaru
n za pomocą projekcji
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
79
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Definicja: Rozszerzenie cylindryczne
 Jeżeli X1 i X2 są przestrzeniami rozważań, a zbiór rozmyty A
zdefiniowany jest na X1 to rozszerzeniem cylindrycznym zbioru A
na przestrzeń rozważań X = X1 x X2 nazywamy odwzorowanie
F X 1  F X
określone wzorem
  A  x1  
ext X 2  A   
;
  x1 , x 2  

 x1 , x 2   X 1  X 2
dla przestrzeni dyskretnej (skończonej) i
ext X 2  A  

X  X 1 X 2
 A  x1 
 x1 , x 2 
;
 x1 , x 2   X 1  X 2
dla przestrzeni ciągłej
dla wszystkich dwójek x=(x1,x2)X1 x X2
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
80
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Przykład: rozszerzenie cylindryczne z R do R2
ext X 2  A  

X  X 1 X 2
 A  x1 
 x1 , x 2 
;
 x1 , x 2   X 1  X 2
R oz sz e rz e n ie c y lin d ry c z n e
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
81
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Definicja: Projekcja
 Jeżeli X1 i X2 są dziedzinami rozważań, a zbiór rozmyty A zdefiniowany
jest na przestrzeni iloczynowej X=X1xX2 to projekcją tego zbioru na
dziedzinę X1 jest odwzorowanie:
F X   F X 1 
określone zależnością:
 sup  A  x 1 , x 2  
 X

proj X 1  A    2
;
x1




x1  X 1
dla przestrzeni dyskretnej (skończonej) i
proj
X1
A  
X1
sup  A  x 1 , x 2 
X2
x1
;
x1  X 1
dla przestrzeni ciągłej
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
82
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Przykład: projekcja z R2 do R
proj
X2
A  
X2
sup  A  x 1 , x 2 
x1  X 1
x2
;
x2  X 2
P ro je kc ja n a X 2
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
83
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Przykład:
Zbiór A określony na przestrzeni X1xX2 dyskretnej. Należy określić
projekcje tego zbioru na przestrzeń X1
Zbiór A(x1,x2) - dyskretny
Projekcja zbioru A(x1,x2) na przestrzeń X1
 sup  A  x 1 , x 2  
 x2  X 2
  1
Pr oj X 1 A  
  
x1

  a1


 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
0 .5
a2
0 

a 3 
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
84
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Operacje takie jak połączenie lub przecięcie zastosowane do zbiorów
rozmytych zdefiniowanych w różnych przestrzeniach rozważań prowadzą do
wielowymiarowych zbiorów rozmytych na iloczynach kartezjańskich tych
przestrzeni
W istocie operacje takie realizowane są poprzez, najpierw realizację
rozszerzenia cylindrycznego a dopiero potem samej wymaganej operacji na
rozszerzeniach zbiorów
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
85
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Iloczyn kartezjański zbiorów rozmytych
Niech A i B będą zbiorami rozmytymi w przestrzeniach X i Y odpowiednio,
określonymi w nich funkcjami przynależności μA(·) i μB(·). Iloczyn kartezjański
zbiorów A i B, oznaczony AxB, jest zbiorem rozmytym w przestrzeni X x Y
mającym funkcję przynależności
C  A  B  ext Y  A   ext X  B 
mającym funkcję przynależności
~
 C  A B  x , y    A  x    B  y 
np.
 C  A B  x , y   min   A  x ,  B  y 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
86
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Suma kartezjańska zbiorów rozmytych
Niech A i B będą zbiorami rozmytymi w przestrzeniach X i Y odpowiednio,
określonymi w nich funkcjami przynależności μA(·) i μB(·). Suma kartezjańska
zbiorów A i B, oznaczona A+B, jest zbiorem rozmytym w przestrzeni X x Y
C  A  B  ext Y  A   ext X  B 
mającym funkcję przynależności
 C  A B  x , y    A  x  ~
 B y
np.
 C  A  B  x , y   max   A  x  ,  B  y  
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
87
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Przykład:
ext Y  A 
  x  3 2 
 A  x   exp   
 
2

 

 gaussian
 x ;3 ,2 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
ext X  B 
  x  4 2 
 B  y   exp   
 
  1  
 gaussian
 y ;4 ,1 
A B
 ext Y  A   ext X  B 
 A B  x , y 
 min   A  x ,  B  y 
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
88
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele rozmyte – podstawy i struktury
Przykład:
ext Y  A 
  x  3 2 
 A  x   exp   
 
2

 

 gaussian
 x ;3 ,2 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
ext X  B 
  x  4 2 
 B  y   exp   
 
  1  
 gaussian
 y ;4 ,1 
AB
 ext Y  A   ext X  B 
 A B  x , y 
 max   A  x ,  B  y 
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
89