Równania stanu
Download
Report
Transcript Równania stanu
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Systemy dynamiczne – przykłady modeli fenomenologicznych
Podamy kilka przykładów modeli systemów dynamicznych budowanych w
oparciu o wykorzystanie praw zachowania
Systemy dynamiczne leżące w obszarze naszych zainteresowań – systemy
techniczne, środowiskowe … są różnej natury
Wśród systemów technicznych możemy wyróżnić systemy:
mechaniczne
elektryczne
elektromechaniczne
płynowe (gazy, ciecze)
cieplne ........
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
1
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Co różni modele matematyczne tych systemów?
charakter najczęściej stosowanych przybliżeń
„technologie” wyboru zmiennych modelu
stosowane równania równowagi i spójności
stosowane zależności wiążące zmienne poszczególnych elementów systemu
W podręczniku: Robert H. Cannon jr., Dynamika układów fizycznych –
przedstawione są szczegółowe procedury precyzujące wymienione elementy
budowy modeli matematycznych dla różnych systemów technicznych
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
2
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Systemy elektryczne – przykładowe modele
Pokażemy jak korzystając z praw Kirchhoff’a (przykład praw zachowania)
można budować fenomenologiczne modele systemów elektrycznych
Prawa zachowania
eBA
iA
A
B
eAZ
A
eZC
C
Z
iC
iB
C
B
Z
eAZ eBA eZC 0
Równanie spójności
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
iA iB iC 0
Równanie równowagi
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
3
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Elementy elektryczne i odpowiadające im zależności wiążące
u12 t Rit
Rezystor
u12
u12 t L
Indukcyjność
u12
u12 t
Pojemność
u12
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
di t
1 t
; i t u12 d
dt
L
1 t
du12 t
i
d
;
i
t
C
C
dt
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
4
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Przykład 1.
Dany jest układ nie obciążanego prądowo czwórnika RLC
uR(t)
uL(t)
R
L
iRL(t)
iobc(t)
iC(t)
uwe(t)
uC(t)
C
Cel modelowania:
Interesuje nas zależność pomiędzy napięciem wejściowym
wyjściowym
uwy t
uwy(t)
uwe t a napięciem
Prawo zachowania – równanie spójności dla wejściowego oczka (II prawo Kirchhoff’a)
uwe t uR t uL t uC t
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
5
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Zależności wiążące dla poszczególnych elementów układu:
u R t iRL t R;
Tożsamości:
u L t L
di RL t
;
dt
iC t C
du C t
dt
uwy t uC t
Z warunku nie obciążania prądowego czwórnika:
iRL t iC t
Podstawienie:
RC
iRL t R L
d
iRL t uC t u we t
dt
iC t R L
d
iC t u wy t u we t
dt
d
d
d
u wy t L
u wy t u wy t u we t
C
dt
dt
dt
d
d2
RC
u wy t LC
u wy t u wy t u we t
dt
dt 2
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
6
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Porządkując:
d2
d
LC 2 uwy t RC u wy t u wy t u we t
dt
dt
Dla znalezienia rozwiązania potrzebne – warunki początkowe:
uwy 0 uwy ,0
d
u wy 0 u wy ,0
dt
Uzyskany model: model wejście - wyjście
Postać standardowa:
d2
R d
1
1
u
t
u
t
u
t
u we t
wy
wy
wy
2
dt
L dt
LC
LC
Warunki początkowe:
uwy 0 uwy ,0
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
d
u wy 0 u wy ,0
dt
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
7
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Przyjmijmy ogólną konwencję oznaczeń:
ut - wejście
yt - wyjście
- parametry przy zmiennej wejścia
- parametry przy zmiennej wyjścia
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
8
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Model:
Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe niejednorodne (w dziedzinie czasu)
d2
d
y
t
y t 0 y t 0u t
1
2
dt
dt
2
Warunki początkowe
y0 y0
d
u 0 u0
dt
Uzyskany model wejście – wyjście dany jest w formie równania różniczkowego
(zwyczajnego)
Postać standardowa:
d2
d
y
t
y t 0 y t 0 u t
1
dt 2
dt
gdzie,
1
1
2
,
Warunki początkowe
0
0
2
,
y0 y0
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
0
0
2
d
u 0 u0
dt
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
9
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Czy można zapisać model wejście – wyjście w innej formie?
Fakt:
Uzyskany model wejście – wyjście jest liniowy i stacjonarny
Poddajmy obustronnie uzyskany model transformacji Laplace’a przy zerowych
warunkach początkowych
Otrzymamy równanie operatorowe w dziedzinie zmiennej zespolonej s:
2 s 2Y s 1 sY s 0Y S 0U s
lub z postaci standardowej
s 2Y s 1 sY s 0Y S 0U s
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
10
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
W rozważanym przykładzie
Modele fenomenologiczne - przykłady
d2
d
LC 2 uwy t RC u wy t u wy t u we t
dt
dt
LCs 2Y s RCsY s 1 Y S 1 U s
lub z postaci standardowej
s 2Y s
d2
R d
1
1
uwy t
uwy t
uwy t
u we t
2
dt
L dt
LC
LC
R
1
1
sY s
Y s
U s
L
LC
LC
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
11
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Stąd łatwo inna forma modelu transmitancja operatorowa:
0
Y s
Gs
U t 2 s 2 1 s 0
lub w postaci standardowej
Gs
0
Y s
2
U t s 1 s 0
Transmitancja widmowa:
0
Y j
G j
U j 2 j 2 1 j 0
lub w postaci standardowej
G j
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
0
Y j
U j j 2 1 j 0
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
12
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
W rozważanym przykładzie transmitancja operatorowa
LCs 2Y s RCsY s 1 Y S 1 U t
G s
Y s
1
U t LCs 2 RCs 1
lub z postaci standardowej
s 2Y s
1
Y s
LC
Gs
R
1
U t
s2 s
L
LC
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
R
1
1
sY s
Y S
U t
L
LC
LC
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
13
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
W rozważanym przykładzie transmitancja widmowa
LCs 2Y s RCsY s 1 Y S 1 U t
G j
Y j
1
U j LC j 2 RC j 1
lub z postaci standardowej
G j
Y j
U j
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
s 2Y s
j 2
1
LC
R
1
j
L
LC
R
1
1
sY s
Y S
U t
L
LC
LC
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
14
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Różne formy modeli wejście – wyjście:
- równanie różniczkowe
- równanie operatorowe (system liniowy)
- transmitancja operatorowa (system liniowy)
- transmitancja widmowa (system liniowy)
- …..
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
15
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Modele wejście – wyjście modele zewnętrzne
Niech: p – liczba wejść, q – liczba wyjść
m – najwyższa pochodna wejść, n – najwyższa pochodna wyjść
Ogólna struktura modelu zewnętrznego
f1 y1n , , y1 , , yq n , , yq , u1m , , u1 , , u pm , , u p , t 0
.......................................................................................................
f y n , , y , , y n , , y , u m , , u , , u m , , u , t 0
1
q
q
1
1
p
p
q 1
Warunek początkowy:
y1 0 y1,0 ,, y1n1 0 y1n,01 ,, yq 0 yq,0 ,, yqn1 0 yqn,01
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
16
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Model zewnętrzny macierzowo – system wielowymiarowy (MIMO):
f y n ,, y , um ,, u,t 0
Warunek początkowy:
y0 y0 ,, y n1 0 y0n1
y1 t
u1 t
ut
u2 t
f y
n
m
,, y , u
,, u,t 0
y2 t
yt
y p t
u p t
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
17
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Przyjmijmy:
x1 t yt uwy t uC t
x2 t
d
d
d
d
d 1
x1 t
yt
uwy t
uC t
dt
dt
dt
dt
dt C
1
1
i
d
i
t
iRL t
C
C
C
C
t
Model rozważanego układu możemy zapisać:
Stan układu:
d2
d
y t 1
y t 0 y t 0 u t
2
dt
dt
d
dt x1 t x2 t
d
x2 t 1 x2 t 0 x1 t 0 u t
dt
Warunki początkowe:
x1 0 x1,0 ;
x2 0 x2,0
Wyjście układu:
yt x1 t
Uzyskany model – model stanu (model przestrzeni stanu)
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
18
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
System jednowymiarowy – jedno wejście i jedno wyjście (SISO)
f yn ,, y ,,um ,,u ,t 0
Warunek początkowy:
y0 y0 ,, yn1 0 y0n1
Rząd systemu – rząd najwyższej pochodnej wyjścia
Wymiarowość systemu – określona liczbą wejść - wyjść
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
19
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Wykorzystując pierwotne oznaczenia zmiennych:
x1 t yt uC t
LC
d
d
1
x1 t
uC t iRL t
dt
dt
C
Równania stanu
d2
d
uwy t RC u wy t u wy t u we t
dt 2
dt
x2 t
1
C
x1 t yt uwy t uC t
x2 t
d
d
d
1
1
y t
u wy t
uC t iC t iRL t
dt
dt
dt
C
C
d
1
uC t iRL t
dt
C
d
R
1
1
iRL t
iRL2 t
uC t
uwe t
dt
LC
LC
LC
Równanie wyjścia
uwy t uC t
Ostatecznie:
1
d
u
t
iRL t
dt C
C
d
R
1
1
iRL t iRL2 t uC t uwe t
L
L
L
dt
uC 0 uC ,0 ;
iRL 0 iRL,0
uwy t uC t
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
20
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Modele stanu modele wewnętrzne
Niech: p – liczba wejść, q – liczba wyjść, n – liczba stanów
Ogólna struktura modelu wewnętrznego
Równania stanu:
x1 f 1 x1 , , xn ,u1 , ,u p ,t 0
..............................................
x f x , , x ,u , ,u ,t 0
n
1
n
1
p
n
Warunek początkowy:
x1
x
x
n
u1
u
u
p
Wektor stanu
Wektor wejścia
x1 0 x1,0 ,, xn 0 xn ,0
Równania wyjścia:
y1 g 1 x1 , , xn ,u1 , ,u p ,t 0
..............................................
y f x , , x ,u , ,u ,t 0
q
1
n
1
p
q
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
y1
y
y
q
Wektor wyjścia
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
21
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Modele stanu – notacja wektorowa
g 1 x t , ut ,t
g x t , ut ,t
g x t , ut ,t
q
f 1 x t , ut ,t
f x t , ut ,t
f x t , ut ,t
n
t f xt , ut ,t , xt0 x0
x
- równanie stanu
yt g xt , ut ,t
- równanie wyjścia
ut
u2 t
u p t
y1 t
x1 t
u1 t
x t f xt , ut ,t
xt0 x0
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
x2 t
yt g xt , ut ,t
xn t
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
y2 t
yt
yq t
22
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Przyjmijmy ogólną konwencję oznaczeń:
ut - wejście, wektor o wymiarze p, ut R p
yt - wyjście, wektor o wymiarze q, yt R q
x t - stan, wektor o wymiarze n, x t R n
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
23
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Fakt:
Uzyskany model stanu jest liniowy i stacjonarny
Ogólna struktura modelu wewnętrznego (stanu) liniowego
x t At xt Bt ut ,
yt C t xt Dt ut
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
x0 x 0
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
24
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Ogólna struktura modelu wewnętrznego (stanu) liniowego stacjonarnego
x t Ax t But ,
yt Cx t Dut
x0 x 0
A : macierz stanu (systemu, dynamiki), stała, rzeczywista, wymiaru n n
tzn. A R nn
B : macierz wejścia (sterowania), stała, rzeczywista, wymiaru n p
tzn. B R n p
C : macierz wyjścia, stała, rzeczywista, wymiaru q n
tzn. C R
qn
D : macierz bezpośredniego przejścia (sterowania), stała, rzeczywista,
wymiaru q p , tzn. D R q p
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
25
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
W rozważanym przykładzie
1
d
u
t
iRL t
dt C
C
d
R
1
1
iRL t iRL2 t uC t uwe t
L
L
L
dt
uC 0 uC ,0 ;
iRL 0 iRL,0
uC 0 uC ,0 ;
iRL 0 iRL,0
uwy t uC t
Postać macierzowa
u C 0
i RL 1
L
1
0
C u C 1 u
R i RL we
L
L
u
u wy t 1 0 C
i RL
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
26
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
czyli
x1 u C
x
x
i
2 RL
u u1 u u we
0
A
1
L
1
C
R
L
C c T 1 0
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
y y1 y u wy
0
Bb 1
L
Dd 0
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
27
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Systemy mechaniczne – przykładowe modele
Pokażemy jak korzystając z praw Newton’a (przykład praw zachowania) można
budować fenomenologiczne modele systemów mechanicznych
Ruch postępowy
Prawo d’Alambert’a pozwala nam uzyskiwać modele systemów mechanicznych z
ruchem postępowym – jest to inna postać II prawa dynamiki Newton’a
d2
m
x f zew ,i
dt
i
gdzie sumowanie obejmuje wszystkie siły zewnętrzne działające ma masę m
Jeżeli zdefiniować siłę bezwładności masy m
fm
d2
m
x
dt
Otrzymujemy zapis prawa d’Alambert’a
f
zew ,i
0
i
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
28
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Ruch postępowy - elementy mechaniczne i odpowiadające im zależności
wiążące
Element
sprężysty
prostoliniowy
f s k s x1 x2
ks – współczynnik sprężystości
Element
tłumiący
prostoliniowy
d
d
f t k t x1 x2
dt
dt
kt – współczynnik tłumienia
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
29
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Przykład 2.
x2
x1
k12
f(t)
k1
m2
m1
B1
k1 x1
B1 x1
m1x1
B2
B12
k12 x2 x1
m1
B12 x2 x1
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
k12 x2 x1
B12 x2 x1
B2 x2
f(t)
m2
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
m2 x2
30
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Model wejście - wyjście
d 2 x2
dx
dx dx
m2 2 f t B2 2 B12 2 1 k12 x2 x1
dt
dt
dt dt
d 2 x1
dx
dx dx
m1 2 B12 2 1 k12 x2 x1 B1 1 k1 x1
dt
dt
dt dt
dx2 0
x2 ,0
dt
dx 0
x1 0 x1,0 , 1 x1 ,0
dt
x2 0 x2 ,0 ,
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
31
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Naturalny (fizykalny) wybór zmiennych stanu
- jako zmienne stanu wybieramy wyjścia wszystkich integratorów
prowadzących do uzyskania zmiennej z całkowania najwyższej pochodnej
tej zmiennej; robimy to dla wszystkich zmiennych wyjścia
Na przykład
d 2 x1
dt 2
x1 i
d 2 x1
dt 2
dx 1
dt
x1
dx 1
są zmiennymi stanu,
dt
nie jest zmienną stanu
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
32
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Dla rozważanego przykładu, zmienne
z1 x1
z 2 x2
z3
dx1
dt
z4
dx2
dt
d 2 x1
dx
dx dx
m1 2 B12 2 1 k12 x2 x1 B1 1 k1 x1
dt
dt
dt dt
d 2x
dx
dx dx
m2 22 f t B2 2 B12 2 1 k12 x2 x1
dt
dt
dt dt
są naturalnymi zmiennymi stanu, które charakteryzują system
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
33
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Model stanu:
Jedno równanie dla pierwszej pochodnej każdej zmiennej stanu
d 2 x1
dx
dx dx
m1 2 B12 2 1 k12 x2 x1 B1 1 k1 x1
dt
dt
dt dt
d 2x
dx
dx dx
m2 22 f t B2 2 B12 2 1 k12 x2 x1
dt
dt
dt dt
Dla rozważanego przykładu
dz 1 dx1
z3
dt
dt
dz
dx
z2 2 2 z4
dt
dt
z1
z1 x1
z 2 x2
dz3 d 2 x1 B12 dx2 dx1 k12
B1 dx1 k1
z3
2
x
x
x1
2
1
dt
dt
m1 dt dt m1
m1 dt m1
B
k
B
k
12 z4 z3 12 z2 z1 1 z3 1 z1
m1
m1
m1
m1
z3
dx1
dt
z4
dx2
dt
dz4 d 2 x2
1
B2 dx2 B12 dx2 dx1 k12
x2 x1
z4
f
t
2
dt
dt
m2
m2 dt m2 dt
dt m2
1
B
B
k
f t 2 z4 12 z4 z3 12 z2 z1
m2
m2
m2
m2
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
34
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Po uporządkowaniu:
Równania stanu
z1 z3
z2 z4
z3
z4
k1 k12
k
B B12
B
z1 12 z2 1
z3 12 z4
m1
m1
m1
m1
k12
k
B
B B12
1
z1 12 z2 12 z3 2
z4
f t
m2
m2
m2
m2
m2
Warunki początkowe:
z1 0 z1,0 x1,0
z 2 0 z 2 ,0 x2 ,0
z3 0 z3 ,0 x1 ,0
z4 0 z4 ,0 x2 ,0
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
35
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Zapis macierzowy
0
z1
0
z2 k1 k12
z
m
3 k 1
z
12
4
m2
0
0
k12
m1
k
12
m2
1
0
B B12
1
m1
B12
m2
0
z1 0
1
0
B12
z2
z 0 f t
m1
1
3
B B12 z
2
4 m2
m2
Oznaczając:
z1
z2
z
z
3
z
4
0
0
k1 k12
A
m1
k
12
m
2
0
0
k12
m1
k
12
m2
1
0
B B12
1
m1
B12
m2
0
0
z1
1
0
z
B12
2
B 0 f f t
z
m1
z
1
3
z
B2 B12
4
m2
m2
Możemy zapisać
z Az Bf
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
36
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Drugi składnik modelu przestrzeni stanu – równanie wyjścia
Równania wyjścia oblicza wyjścia, to znaczy zmienne, które
wybraliśmy do obserwacji (pomiarów)
Weźmy w naszym przykładzie
y x2
Wówczas
y z2
lub macierzowo
z1
z2
y 0 1 0 0 0 f t
z
3
z
4
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
37
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Oznaczając:
y y
C 0 1 0 0
D 0
Możemy zapisać
y Cz
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
38
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Ruch obrotowy
Prawo d’Alambert’a pozwala nam uzyskiwać również modele systemów
mechanicznych z ruchem obrotowym – jest to inna postać II prawa dynamiki
Newton’a dla ruchu obrotowego
d2
J
M zew ,i
dt
i
gdzie sumowanie obejmuje wszystkie momenty zewnętrzne działające ma ciało o
bezwładności J
Jeżeli zdefiniować moment bezwładności
MJ
d2
J
θ
dt
Otrzymujemy zapis prawa d’Alambert’a
M
zew ,i
0
i
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
39
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Ruch obrotowy - elementy mechaniczne i odpowiadające im zależności
wiążące
ks
Element
sprężysty
obrotowy
M s k s 1 2
Ms
Ms
kt
Element
tłumiący
obrotowy
Mt
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Mt
ks – współczynnik sprężystości
d
d
M t k t 1 2
dt
dt
kt – współczynnik tłumienia
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
40
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Przykład 3a – model silnika PS z obciążeniem inercyjnym przez elastyczny wał
u napiecieobwodutwornika
L indukcyjnosc obwodutwornika
i prad obwodutwornika
R rezystancja obwodutwornika
J m m om entbezwladnosci twornika
m polozeniekatowe twornika
J l m om entbezwladnosci obciazenia
l polozeniekatowe obciazenia
k wspolczynnik sprezystosci polaczeniaelastycznego
b wspolczynnik tlum ienialepkiego polaczeniaelastycznego
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
41
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
- z II zasady dynamiki Newtona
bm
J mm Kai k l m b l m bmm
J ll k l m b l m bll
bl
Konwencja:
Ta m om entobrotowynapedowy
K a stala elektrom echanicznam om entunapedowego
bm wspolczynnik tarcia lepkiegolozysk twornika
Tk m om entobrotowysprezystosci walu
Tb m om entobrotowytlum ienialepkiego
bl wspolczynnik tarcia lepkiegolozysk obciazenia
- z II prawa Kirchhoff’a
lub
u Ri Li kem
1
i u Ri kem
L
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
ke stala m echanoelektryczna
indukowania sily
przeciwelektrom otorycznej twornika
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
42
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
J mm Kai k l m b l m bmm
J ll k l m b l m bll
1
i u Ri kem
L
1 wejście:
ut
1 wyjście: l
t
5 zmiennych stanu:
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
i t , m t , m t ,l t , l t
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
43
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Zmienne modelu:
- zmienne stanu
x x1
x3
x3
x5
x i
Modele fenomenologiczne - przykłady
x5 i m
- zmienna wyjścia
Równania stanu:
T
m
l
m
y l x4
m
l
l
T
T
l x1
x3
x3
x5
T
x5
T
J mm Kai k l m b l m bmm
ke
R
1
x1 x1 x3 u
L
L
L
x2 x3
J ll k l m b l m bll
1
i u Ri kem
L
Ka
b bm
k
k
b
x1
x2
x3
x4
x5
Jm
Jm
Jm
Jm
Jm
x4 x5
x3
x5
b bl
k
b
k
x2 x3 x4
x5
Jl
Jl
Jl
Jl
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
44
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Równania stanu w postaci macierzowej:
R
L
0
Ka
x
Jm
0
0
0
0
k
Jm
0
k
Jl
ke
L
1
b bm
Jm
0
b
Jl
0
0
k
Jm
0
k
Jl
1
0
L
b
0
x 0 u
Jm
1
0
b bl
0
Jl
0
Równanie wyjścia:
y x4
Równania wyjścia w postaci macierzowej:
y 0 0 0 1 0 x
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
45
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Przykład 3b – model silnika PS z obciążeniem inercyjnym przez sztywny wał
k
Teraz
m l
J J m Jl
bb bm bl
J mm Kai k l m b l m bmm
J ll k l m b l m bll
J Kai bb
i 1 u Ri ke
L
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
46
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Zmienne modelu:
- zmienne stanu
x x1
- zmienna wyjścia
x2
Modele fenomenologiczne - przykłady
x i
x
T
x3 i
T
T
1
x 2
y x2
T
x 3
J Kai bb
1
i u Ri ke
L
Równania stanu w postaci macierzowej:
R
L
x 0
Ka
J
ke
1
L
L
0
1 x 0 u
bb
0
0
J
0
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Równanie wyjścia:
y x2
Równania wyjścia w postaci macierzowej:
y 0 1 0 x
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
47
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Przykład 3c – model małego silnika PS z obciążeniem inercyjnym przez sztywny
wał
L0
Model podsystemu elektrycznego
u Ri ke
Model podsystemu mechanicznego bez zmian
J Kai bb
Zmienne modelu:
- zmienne stanu
x x1
T
x2
T
- zmienna wyjścia
y x1
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
48
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
u Ri ke
J K i b
u k e
i
R
a
b
u ke
u ke bb
K k b R
K
J K a
bb K a
a e b a u
R
JR
J
JR
JR
Równania stanu w postaci macierzowej:
1
0
0
K a ke bb R x K a u
x
0
JR
JR
Równania wyjścia w postaci macierzowej:
y 1 0 x
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
49
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Systemy elektromechaniczne – przykładowy model
Przykład 4
Cel modelowania: zbudować model obcowzbudnego silnika prądu stałego (SPS) pozwalający
badać zachodzące w nim procesy przejściowe elektromechaniczne
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
50
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Idealizacja trzech wyróżnionych podsystemów:
mechanicznego
elektrycznego – obwodu wzbudzenia
elektrycznego – obwodu twornika
Część elektromagnetyczna:
ut
ut - napięcie twornika
it - prąd twornika
Rt - rezystancja twornika
Lt - indukcyjność twornika
t - strumień twornika
it
t
Lt
Rt
w
Lw
Rw
iw
uw
uw - napięcie wzbudzenia
iw - prąd wzbudzenia
Rw - rezystancja wzbudzenia
Lw - indukcyjność wzbudzenia
w - strumień wzbudzenia
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
51
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Równania ruchu systemu – podsystem mechaniczny
Prawo zachowania – równanie równowagi – II prawo dynamiki Newton’a
J
t : czas s
d t
M n t M o t
dt
J : bezwładność wypadkowa sprowadzona do wału silnika, czyli bezwładność obejmująca
wirnik silnika i części ruchome układu napędzanego kg m
: prędkość kątowa wału silnika s 1
M n : moment napędowy działający na wał silnika
M o : moment oporowy działający na wał silnika
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
2
N m
N m
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
52
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Zależności wiążące
Moment napędowy M n określony jest w teorii maszyn elektrycznych wzorem
M n t cM w t it t
c M : współczynnik stały dla określonego silnika, zależny od jego danych konstrukcyjnych
N m Wb
1
A1
w : strumień magnetyczny (strumień indukcji magnetycznej|) obwodu wzbudzenia
Wb
it : prąd twornika A
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
53
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Wybrane zmienne systemu: momenty obrotowe, prędkości i położenia kątowe, prądy,
napięcia należy wyrugować strumień magnetyczny obwodu wzbudzenia jako zmienną
Charakterystyka magnesowania obwodu wzbudzenia
Możemy napisać
w , w
w t w iw t
w
w i w t
: funkcja magnesowania obwodu wzbudzenia
oraz
iw
M n t cM w iw t it t
Przyjmiemy na razie, że moment oporowy jest dowolną funkcją czasu
Otrzymane równanie ruchu podsystemu mechanicznego
J
d t
c M w i w t it t M o t
dt
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
54
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Równania ruchu systemu – podsystem obwodu wzbudzenia
Prawo zachowania – równanie spójności – II prawo Kirchhoff’a dla oczka obwodu
wzbudzenia
uw t u Rw t u Lw t
t : czas s
u w : napięcie podawane na uzwojenie wzbudzenia V
u Rw : napięcie na rezystancji uzwojenia wzbudzenia V
u Lw : napięcie na indukcyjności uzwojenia wzbudzenia V
W maszynach elektrycznych wirujących napięcie na indukcyjności obwodu wzbudzenia to
siły elektromotoryczne indukowane w tym uzwojeniu
w
u Lw t eind
w
eind
: siła elektromotoryczna indukowana w uzwojeniu wzbudzenia V
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
55
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Zależności wiążące
a) napięcie na rezystancji uzwojenia wzbudzenia
u Rw t Rw iw t
Rw : rezystancja uzwojenia wzbudzenia
iw : prąd płynący przez uzwojenie wzbudzenia A
b) siła elektromotoryczna indukowana w uzwojeniu wzbudzenia
w
t
eind
składowa wynikająca
ze zmian w czasie
strumienia sprzężonego
z uzwojeniem wzbudzenia
w
t
eind
eitw t
+
składowa wynikająca
z ruchu zwojów
uzwojenia wzbudzenia
względem
jakiegoś strumienia
eirw t
eit w : siła elektromotoryczna indukowana transformacji uzwojenia wzbudzenia V
eir w : siła elektromotoryczna indukowana rotacji uzwojenia wzbudzenia V
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
56
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Dla uzwojenia wzbudzenia
eirw 0
Założenie: z uzwojeniem wzbudzenia sprzężone są jedynie linie strumienia
magnetycznego wytwarzanego przez to uzwojenie
eitw t
d w t
;
dt
przy czym w t z w w t
w : strumień magnetyczny sprzężony z uzwojeniem wzbudzenia Wb
w : strumień magnetyczny zastępczy uzwojenia wzbudzenia odpowiadający w Wb
zw : liczba zwojów uzwojenia wzbudzenia
Skorzystamy z pojęcia indukcyjności własnej
Lw
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
w
iw
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
57
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Możemy napisać
Lw iw t
w iw t
iw t
w iw t Lw iw t iw t
Stąd
d w t d
di t
dL i
Lw iw t iw t Lw iw w iw t w w
dt
dt
dt
dt
dLw iw diw t
Lw iw iw t
diw dt
eit w t
Otrzymane równanie ruchu podsystemu obwodu wzbudzenia
dL i di t
uw t Rw iw t Lw iw iw t w w w
diw dt
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
58
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Równania ruchu systemu – podsystem obwodu twornika
Prawo zachowania – równanie spójności – II prawo Kirchhoff’a dla oczka obwodu
twornika
ut t uRt t uLt t
t : czas s
u t : napięcie podawane na uzwojenie twornika V
u Rt : napięcie na rezystancji uzwojenia twornika V
uLt : napięcie na indukcyjności uzwojenia twornika V
W maszynach elektrycznych wirujących napięcie na indukcyjności obwodu twornika to siły
elektromotoryczne indukowane w tym uzwojeniu
t
uLt t eind
t
eind
: siła elektromotoryczna indukowana w uzwojeniu twornika V
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
59
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Zależności wiążące
a) napięcie na rezystancji uzwojenia twornika
uRt t Rt it t
Rt : rezystancja uzwojenia twornika
it : prąd płynący przez uzwojenie twornika A
b) siła elektromotoryczna indukowana w uzwojeniu twornika
t
t
eind
składowa wynikająca
ze zmian w czasie
strumienia sprzężonego
z uzwojeniem twornika
t
t
eind
eitt t
+
składowa wynikająca
z ruchu zwojów
uzwojenia twornika
względem
jakiegoś strumienia
eirt t
eitt : siła elektromotoryczna indukowana transformacji uzwojenia twornika V
eirt : siła elektromotoryczna indukowana rotacji uzwojenia twornika V
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
60
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Dla uzwojenia twornika
eirt 0
Siła elektromotoryczne indukowana rotacji dla uzwojenia twornika wynika z jego ruchu
względem strumienia magnetycznego uzwojenia wzbudzenia
Określany jest w teorii maszyn elektrycznych wzorem
eirt t cE w t t
cE : współczynnik stały dla określonego silnika, zależny od jego danych konstrukcyjnych
V Wb
1
s
w : strumień magnetyczny (strumień indukcji magnetycznej|) obwodu wzbudzenia
Wb
: prędkość kątowa wirnika silnika s 1
Musimy wyrugować w
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
61
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Skorzystamy
wówczas
Modele fenomenologiczne - przykłady
w t w iw t
eirt cE w iw t t
Założenie: z uzwojeniem twornika sprzężone są jedynie linie strumienia magnetycznego
wytwarzanego przez to uzwojenie
eitt t
d t t
;
dt
przy czym t t zt t t
t : strumień magnetyczny sprzężony z uzwojeniem twornika Wb
t : strumień magnetyczny zastępczy uzwojenia twornika odpowiadający t Wb
z t : liczba zwojów uzwojenia wzbudzenia
Skorzystamy z pojęcia indukcyjności własnej
Lt
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
t
it
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
62
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Możemy napisać
Lt it t
t it t
it t
t it t Lt it t it t
Stąd
d t t d
di t
dL i
Lt it t it t Lt it t it t t t
dt
dt
dt
dt
dLt it dit t
Lt it it t
dit dt
eitt t
Otrzymane równanie ruchu podsystemu obwodu twornika
dLt it dit t
ut t Rt it t cE w iw t t Lt it it t
di
dt
t
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
63
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Zestawimy równania modelu
d t
c M w i w t it t M o t
dt
dLw iw diw t
uw t Rw iw t Lw iw iw t
diw dt
J
dLt it dit t
ut t Rt it t cE w iw t t Lt it it t
dit dt
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
64
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
lub
J
d t
c M w i w t it t M o t
dt
dLw iw diw t
uw t Rw iw t
Lw iw iw t
diw dt
dLt it dit t
L
i
i
t
ut t Rt it t cE w iw t t
t
t t
dit dt
Kategorie otrzymanego modelu
parametryczny
dynamiczny
ciągły
nieliniowy
o parametrach skupionych
niestacjonarny
deterministyczny
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
65
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
I próba uproszczenia modelu
Ograniczenie zakresu zmienności prądu wzbudzenia i twornika
iw
w , Lw
t , Lt
w
t
Lt
Lw
it
iw
iwl
itl
Założenia:
w pewnym obszarze zmian prądu wzbudzenia i w i twornika it związane z nimi
charakterystyki magnesowania są liniowe
silnik ma pracować w obszarze liniowych części charakterystyk magnesowania zarówno
dla obwodu twornika jak wzbudzenia
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
66
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Przy podanych założeniach
w t w iw t kw iw t Lw const
t t t it t kt it t Lt const
oraz
dLw iw diw t
diw t
L
i
i
t
L
w
w w w
di
dt
dt
w
dLt it dit t
dit t
i
i
t
L
t
t
t
di
dt
dt
t
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
67
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Ponadto
M n t cM w iw t it t cM kw iw t it t
eirt cE w iw t t cE kw iw t t
W tych wyrażeniach przy stosowaniu jednostek SI i prędkości kątowej stałe cM oraz cE
są sobie równe
cM cE
a zatem
cM kw cE kw G
G ma wymiar indukcyjności [H] i jest nazywana indukcyjnością rotacji
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
68
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Zestawienie równań modelu po pierwszym uproszczeniu
Lw
diw t
u w t Rw iw t
dt
dit t
Lt
ut t Rt it t G iw t t
dt
d t
J
dt
G iw t it t M o t
Kategorie otrzymanego modelu
parametryczny
dynamiczny
ciągły
nieliniowy
o parametrach skupionych
stacjonarny
deterministyczny
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
69
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Forma modelu
Jeżeli traktować otrzymany układ równań modelowych jako model relacji wejście
wyjście to SPS jest systemem o trzech wejściach i trzech wyjściach
u w t
ut ut t ;
M t
o
u w t
ut ut t
M t
o
iw t
y t it t
t
f yt , yt , ut 0
iw t
it t y t
t
f w yt , y t , ut
f y t , y t , ut f t y t , y t , ut
f yt , y t , ut
m
f w yt , yt ,ut Lw iw t Rw iw t uw t
ft yt , yt ,ut Lt it t Rt it t G iw t t ut t
f m yt , yt , ut J t G iw t it t M o t
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
70
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Ale naturalnym jest traktować otrzymany układ równań modelowych jako równania stanu
modelu stanu - SPS jest systemem o trzech zmiennych wejściowych i trzech zmiennych
stanu
u w t
ut ut t ;
M t
o
iw t
x t it t
t
Jeżeli wybierzemy jako wyjście prędkość kątową
yt t
u w t
ut ut t
M t
o
x t f xt , ut
f w x t , ut
f x t , ut f t x t , ut
f x t , ut
m
iw t
i
t
t x t yt g xt
t
yt t
1
Rw iw t uw t
Lw
1
f t xt , ut Rt it t G iw t t ut t
Lt
1
f m x t , ut G iw t it t M o t
J
f w x t , ut
g xt t
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
71
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Dziękuję
– koniec materiału prezentowanego podczas wykładu
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
72