Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO MECHANIKA PŁYNÓW dr inż.
Download ReportTranscript Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO MECHANIKA PŁYNÓW dr inż.
Slide 1
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 2
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 3
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 4
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 5
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 6
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 7
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 8
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 9
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 10
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 11
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 12
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 13
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 14
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 15
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 16
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 17
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 18
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 19
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 20
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 21
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 22
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 23
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 24
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 25
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 26
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 27
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 28
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 29
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 30
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 31
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 32
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 33
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 34
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 35
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 36
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 37
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 2
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 3
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 4
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 5
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 6
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 7
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 8
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 9
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 10
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 11
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 12
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 13
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 14
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 15
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 16
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 17
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 18
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 19
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 20
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 21
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 22
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 23
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 24
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 25
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 26
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 27
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 28
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 29
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 30
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 31
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 32
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 33
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 34
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 35
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 36
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.
Slide 37
Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesem
odwracalnym
(reversible
process)
nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i
jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu
wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy.
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga
zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych
przebiegających ze skończoną prędkością.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ
ciepła
i
mieszanie
gazów
są
procesami
nieodwracalnymi.
Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów
idealnych.
Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz
niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako
odwracalne.
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest
przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są
niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w
ogóle nie występuje, może być opisany jako proces
odwracalny.
Przepływ w rurociągu jest typowym procesem
nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących
strat tarcia.
Entropia S
Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie
entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą
nieokreśloności
lub
w
przypadku
procesów
termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do
użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu
przepływu.
W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd
dostępna energia maleje.
Entropia S
Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy
jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło
to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to
ciało w momencie pochłaniania tego ciepła:
Q
S
T
Entropia S
Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są
jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do
procesów rzeczywistych.
W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała
jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje
się pod ciśnieniem 0,1 MPa.
Entalpia i
Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia
nazywamy entalpią.
Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem:
i u
p
u p w u R T
gdzie:
i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg)
u – energia wewnętrzna (N·m/kg)
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
Energia wewnętrzna u
Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów
molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość
zależy od temperatury.
u cv T
Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK
równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone
aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być
przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości
(zerowa praca).
i u R T cv T R T cv R T cp T
cv R cp
Energia wewnętrzna u
Przykład 1.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK).
Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty)
J
cp cv R 3161 2078 5239
kg K
cp
5239
1,66
cv
3161
Energia wewnętrzna u
Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od
ciepła właściwego
cp
c
c
R
oraz
p
v
c
v
otrzymujemy:
cp
1
R
cv
1
R
Energia wewnętrzna u
Przykład 2.
Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66.
Oblicz cp oraz cv.
1,66
J
cp
R
2078 5230
1
1 1,66
kg K
R
2078
J
cv
3150
1 1 1,66
kg K
Energia wewnętrzna u
Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się
nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na
przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło
właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%.
W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane
jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu
określają zależności:
i2 - i1 cp·(T2 T1 )
u2 - u1 cv·(T2 T1 )
Równanie izentropy
Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest
równanie izentropy:
p
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
Równanie izentropy
Korzystając z równania stanu równanie izentropy można
przedstawić jako:
p
T
1
const
lub
T
1
1
const
gdzie:
p – ciśnienie (Pa)
ρ – gęstość (kg/m3)
κ – wykładnik adiabaty (-).
równaniest anu
p
R T
Przemiany izentropowe
Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i
jest przemianą odwracalną.
Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające
się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie
izentropowej.
Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością
dźwięku (speed of sound) i definiowana jako:
a
dp
d
Przemiany izentropowe
Wykorzystując równanie izentropy p
można
const
zapisać:
a
p
R T
gdzie:
p – ciśnienie (Pa);
ρ – gęstość (kg/m3);
κ – wykładnik adiabaty (-);
T – temperatura (K);
R – stała gazowa J/(kgK).
Prędkość dźwięku
Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy
liczbą Macha:
v
Ma
a
Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu:
Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic);
Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic).
Prędkość dźwięku
Przykład 3.
Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci
prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na
wysokości 10 km?
v
Ma 1 v a
a
1. H = 1 km
2. H = 10 km
Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą?
T1 > T2
a1 > a2
v1 > v2
a R T
Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza
maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku.
Równanie bilansu energii
Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości
kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę
strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest
różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L,
wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada
termodynamiki).
W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany
jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy):
• energii potencjalnej g·z,
• energii kinetycznej v2/2,
• energii wewnętrznej u.
Równanie bilansu energii
Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans
energii układu wyznacza równanie
p2 v 22
p1 v12
u2 2 g z 2 v n 2 dA2 u1 2 g z1 1v n1dA1
A2
A2
2
1
dLt dEc
v 2
u gz dV
2
dt dt
V t
gdzie:
u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2)
v – prędkość przepływu gazu (m/s)
vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s)
Równanie bilansu energii
Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu
parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i
wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać:
2
2
p2 v 2
p1 v1
u2 g z2 u1 g z1 ec lt
2 2
1 2
gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do
jednostki masy gazu.
Równanie bilansu energii
Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx,
bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe
można zapisać w postaci różniczkowej:
p v2
du d d g dz dec
2
Równanie bilansu energii
Uwzględniając wyrażenie na entalpię
otrzymujemy:
i u
v
v
i2 g z2 i1 g z1 ec lt
2
2
2
2
2
1
gdzie: i – entalpia (m2/s),
v – prędkość gazu (m/s),
g – stała grawitacji (m/s2),
z – wysokość położenia osi strumienia (m).
p
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian
przekroju poprzecznego.
Nieco inne zależności występują w ruchu płynów
ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także
od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu
ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju
poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch
poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1).
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ograniczając
się
do
zagadnienia
przepływu
jednowymiarowego,
równanie
ciągłości
można
przedstawić w postaci:
v A Q M const
Równanie ciągłości
dla gazów!!!!
Po zlogarytmowaniu tego równania
następującą postać równania ciągłości:
d
dv dA
0
v
A
otrzymujemy
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu
izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma
postać następującą:
v dv
dp
Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy
napisać:
dp d
v dv
d
dp
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
d
dv dA
0
v
A
Wykorzystując równanie
do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając
zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie:
dv
1
dA
2
v Ma 1 A
lub
dA
v
2
Ma 1
A
dv
równanie Hugoniota.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem
prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy
dA oraz liczbą Macha Ma.
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v > 0
(malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost
prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v < 0
(rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się
prędkość)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1):
• jeśli dA/A < 0, dv/v < 0
(malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości)
• jeśli dA/A > 0, dv/v > 0
(rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
dA
v
2
Ma 1
A
dv
dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1):
dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała)
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Ma < 1 ruch poddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v < 0
dA/A < 0, dv/v > 0
v A M const
Ma > 1 ruch naddźwiękowy
dA/A > 0, dv/v > 0
dA/A < 0, dv/v < 0
Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego
Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują
przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana
przekroju poprzecznego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny,
podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego.
Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu
naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu
rozbieżnego.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i
wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też
zastosowanie praktyczne.
Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi
zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w
krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na
przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą
Lavala.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi
jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem
odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco
duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu.
Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu
będzie poddźwiękowa (Ma < 1).
Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w
przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi
prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem
się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał
(dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie
prędkością dźwiękową.
Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę
Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej
przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w
przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy.
Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy,
przepływ na odcinku rozbieżnym jest także
poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze
powiększaniem przekroju.