Transcript Równanie różniczkowe osi odkształconej belki Wykonali

Równanie różniczkowe osi
odkształconej belki
Wykonali :
Krzysztof Szulc
Łukasz Gwóźdź
Adrian Panicz
Gr IPB 2004\2005
• W wyniku działania
momentu gnącego
zachodzi wzajemny
obrót względem osi
obojętnej uprzednio
równoległych
przekrojów
• Odkształcenia te powodują zakrzywienie, czyli
ugięcie prostej osi pręta. W zginaniu prostym oś
ugięta jest krzywą płaską.
• W układzie prostokątnym, w którym oś x
pokrywa się z nie odkształconą osią pręta.
• Oś ugiętą określa równanie osi ugiętej y = f(x);
jej krzywiznę natomiast wyraża wzór
1
Mg


EI
• Wzór ten nie uwzględnia wpływu na
odkształcenia pręta siły poprzecznej,
występującej w przypadku zginania
nierównomiernego.
Z
góry
jednak
zaznacza się, że wpływ ten w większości
zagadnień technicznych jest bardzo
nieznaczny.
• Z geometrii różniczkowej krzywiznę dowolnej
krzywej płaskiej y = f (x) przedstawia równanie:
1
y' '

(1.1)
2 3

1   y '

• Podstawiamy :
• Otrzymujemy:

1
Mg


EI
Mg

EI
y' '
1   y' 
2 3
(1.2)
• Jest to równanie osi ugiętej w postaci
różniczkowej
• Całkowanie równania może nastręczać
znaczne trudności. W praktyce technicznej
najczęściej, wskutek dużej sztywności prętów
ich odkształcenia są małe, a promienie
krzywizny osi ugiętej bardzo duże, w wyniku
czego, przemieszczenia liniowe i kątowe są
również
małe.
Z
dostateczną
więc
dokładnością przyjmuje się, że współrzędna y
wyraża całkowite przemieszczenie liniowe osi
pręta i zwykle wielkość tę nazywa się krótko
ugięciem.
• Kąt
zawarty między osią pręta nie
odkształconego x a styczną do osi ugiętej jest
przemieszczeniem kątowym, nazywa się go
zwykle kątem ugięcia
• Jeżeli zakłada się, że przemieszczenia kątowe
są bardzo małe i y’=tg∂~∂ to należy również
uwzględnić, że (y’)2<< 1 można przyjąć, że:
1   y' 
2 3
1
• Stąd
przy
wymienionych
założeniach
upraszczających, równaniu można nadać
następującą postać.
Mg
y' '
• Podstawiamy do:

(1.2)
2 3
EI
1   y '
1   y' 
2 3

1
2
• Otrzymamy:

d y
Mg

(1.3a)
2
EI
dx
• Przyjęcie w równaniu znaku
minus lub plus jest zależne
od
ustalenia
znaku
momentu gnącego i od
orientacji
układu
osi.
Stosując
znakowanie
momentu gnącego i układ
osi jak na rys. tzn. moment
gnący spowodowany siłami
zewnętrznymi działającymi
do góry jest dodatni, a
działającymi w dół - ujemny
2
d y
Mg

(1.3b)
2
EI
dx
• W praktyce najczęściej wymiary poprzeczne i
materiał belki nie zmieniają się na jej długości, w
rezultacie czego jej sztywność jest stała EI =
const. Różniczkując w takim przypadku równanie
(1.3b) dwukrotnie i uwzględniając zależność
różniczkową między obciążeniami i siłami
wewnętrznymi tj. że Druga pochodna momentu
gnącego względem x jest równa natężeniu
obciążenia ciągłego
d 2 Mg
dx
2
 q
• Z wzoru (3.2) wyliczamy Mg i wstawiamy do powyższego
wzoru.
4
d
y
• Otrzymamy:
EI
 q (1.4)
dx2
• W zagadnieniach technicznych ustala się funkcje
określające siły wewnętrzne Mg i T z warunków
redukcji i dlatego punktem wyjścia dla
wyznaczenia przemieszczeń jest równanie (3.2)
Całkując dwukrotnie otrzymujemy
2
d y
EI 2   Mg
dx
dy
EI
   Mgdx  C
dx
EIy   
 Mgdx dx  Cx  D
• Inny sposób
dy
1

dx
EI
1
y
EI
 Mgdx  C  (1.5)
  Mgdx dx  Cx  D(1.6)
• Ugięcie u
• Kąt ∂
• Oś ugięta powinna być krzywą ciągłą i gładką, tzn.
pozbawioną skoków, załamań i ostrzy. Moment gnący
jest określony na pewnym odcinku belki jednym
wyrażeniem analitycznym. Dla takiego przedziału można
napisać jedno równanie różniczkowe (1.3b) osi ugiętej.
Po dwukrotnym całkowaniu otrzymuje się w równaniu osi
ugiętej (1.6) dwie stałe C i D. Stałe te wyznacza się z
określonych warunków, którym muszą odpowiadać
przemieszczenia na brzegach przedziałów (warunki
brzegowe). Są one uzależnione od rodzaju podpór i
ogólnego warunku ciągłości osi ugiętej. Warunek ten dla
punktów stanowiących granicę przedziałów wyrazi się
jako warunek nierozdzielności przemieszczeń kątowych
(kątów ugięcia) i przemieszczeń liniowych (ugięć)
• Warunki brzegowe
Granica przedziału
Warunki brzegowe Liczba
Koniec utwierdzony
y = 0, ∂=0
2
Przegubowa podpora krańcowa
y = 0;
1
Przegubowa podpora pośrednia
∂i=∂p; yl = 0; yp = 0
3
Przegub
yl = yp
1
Miejsce przyłożenia siły lub momentu
skupionego, granica obciążenia ciągłego
∂i=∂p; yl = yp
2
UWAGA: indeks l oznacza, że wielkość wyliczono z równania dla przedziału
po lewej stonie, indeks p z równania dla przedziału po prawej stronie (wartości
lewo- i prawostronne)
• Przykład
• Wyznaczyć przemieszczenia liniowe i kątowe w bekę
wspornikowej jak na rysunku:
• Dane: l; EI = const.; P
Z warunków równowagi wyznaczamy
RP
MA  Pl
Dla przyjętego układu osi x, y moment gnący
wyraża się na całej długości belki jednym
równaniem (jeden przedział)
Mg  MA  RX Lub Mg   Pl  Px
Równanie różniczkowe osi ugiętej przybiera postać:
2
d y
EI 2  Pl  Px
dx
Dwukrotnie je całkujemy:
dy
x2
EI
 Plx  P
C
dx
2
x2
x3
EIy  Pl
 P  Cx  D
2
6
W miejscu utwierdzenia A ugięcie i kąt nachylenia osi
ugiętej są równe zeru.
Uzyskuje się, dwa warunki brzegowe
y ( x  0)  0
Z których wyznacza się stałe
całkowania C = 0 i D = 0
 dy  
  x 0  0
 dx 
Ostatecznie po przekształceniach otrzymujemy
wyrażenia, określające kąt ugięcia ∂ oraz ugięcie y
dy Plx 
x


2  
dx 2 EI 
l
Pl 2 
x
y
x 3  
6 EI 
l
Otrzymujemy:
Kąt ugięcia na końcu belki ∂
Pl 2
B   x l  
2 EI
Ugięcie na końcu belki y
Pl 3
yB  y x l  
3EI
Prezentacja dostępna na
www.rroob.prv.pl
Dziękujemy za uwagę
KONIEC