Transcript mat_cw03 (ok. 800 kB)

Ćwiczenie III. Matematyczny opis zmian zachodzących
w przyrodzie – pochodne. Ciągi i szeregi
matematyczne
•
Strona internetowa ćwiczeń:
http://www.home.umk.pl/~henroz/matm1112
Pochodną funkcji f(x) w punkcie x0 nazywamy granicę ilorazu
różnicowego (Dy/Dx) dla Dx dążącego do zera i oznaczamy symbolem
f’(x0) [ew. dy/dx lub (równanie)’].
Dy dy
f ' ( x )  lim

Dx  0 D x
dx
Dy = y2 – y1
Dx = x2 – x1
Pochodna f’(x0) jest równa tangensowi kąta a, jaki tworzy z osią OX styczna do
wykresu funkcji y = f(x) w punkcie o odciętej x0.Interpretacja fizyczna pochodnej:
Jeżeli drogę przebytą przez punkt przyjmiemy za funkcję czasu, to
szybkość – jest pierwszą pochodną tej funkcji, a przyśpieszenie –
drugą pochodną („pochodna pochodnej”).
•W danym przedziale wartości zmiennej niezależnej x można wyliczyć
pochodną (tzn. funkcja jest w tym przedziale różniczkowalna) tylko
wtedy, gdy funkcja jest w tym przedziale ciągła. Trudno jest też wyliczyć pochodne dla funkcji, które dla danej wartości zmiennej niezależnej nie są określone, przyjmują wartość zero lub dążą do . Przykładowo: funkcja: y = (ex – e–x)/x nie jest określona dla x = 0. Pomocne
może tu być tw. de l’Hospitala, kt. mówi, że
jeżeli 2 funkcje f(x) i g(x) są nieokreślone
w danym punkcie a,2 to prawdziwe jest równanie:
f ( x)
f ' ( x)
 lim
x a g( x ) x a g' ( x )
lim
Dlatego, dla przykładowej funkcji [y = (ex – e–x)/x]:
f ' ( x)
ex  ex 1  1
lim
 lim

2
x0 g' ( x) x0
1
1
Funkcje, które dążą do , powinny być przetransformowane
do postaci: y = 1/f(x).
Pochodne funkcji elementarnych:
Pochodna f. stałej: (c)’ = 0;
Pochodna f. liniowej: (ax + b)’ = a;
Pochodna f. kwadratowej: (ax2 + bx + c)’ = 2ax + b;
Pochodna f. potęgowej: (a.xb)’ = b.axb–1 ;
1
( x )' 
Pochodna pierwiastka kwadratowego:
2 x ;
a
a
( )'  2
Pochodna f. hiperbolicznej: x
x ;
Pochodna pierwiastka dowolnego stopnia:
Pochodna f. sinus: [sin(x)]’ = cos(x);
Pochodna f. cosinus: [cos(x)]’ = – sin(x);
Pochodna f. tangens:
[tan( x)]' 
1
cos 2 ( x)
Pochodna f. cotangens: [ctg( x)]' 
;x 
1
2
sin ( x)
(n x )' 
1
n
n* x
n 1
, n  N \ {0,1}, x  0

 k, dla , k  C
;
2
; x  k, dla , k  C ;
Pochodna f. wykładniczej – podstawa „a”: (ax)’ = ax.ln(a)
Pochodna f. wykładniczej – podstawa „e”: (ex)’ = ex;
Pochodna f. logarytmicznej (ln): [ln(x)]’ = 1/x (x>0);
(a>0);
;
•Pochodne funkcji... cd. (2):
[log a ( x)]' 
1
(a  0, a  1, x  0)
x * ln(a)
Pochodna f. logarytmicznej (dowolna podst. „a”):
1
[arcsin(
x
)]'

, dla :| x | 1
Pochodna f. arcus sinus:
2
1 x
Pochodna f. arcus cosinus:
[arccos(x)]' 
1
1 x
2
;
, dla :| x | 1
;
1
[arctan(
x
)]'

n 2 ;
Pochodna f. arcus tangens:
1
1

e
(1 ) x
n

lim
n
i 1
Pochodna f. arcus cotangens:
n
[arcctg ( x)]' 
1
1  x2 .
Twierdzenia o pochodnych:
Jeżeli funkcje f i g mają pochodne w punkcie x, to:
Pochodna iloczynu funkcji przez stałą „c”: [c.f(x)]’ = c.f’(x), dla c  R;
Pochodna sumy / różnicy funkcji: [f(x)  g(x)]’ = f’(x)  g’(x);
Pochodna iloczynu funkcji: [f(x) . g(x)]’ = f’(x).g(x) + f(x).g’(x);
Pochodna ilorazu funkcji:
[
f ( x)
f '( x)* g ( x)  f ( x)* g '( x)
]' 
, gdy : g ( x)  0
g ( x)
[ g ( x)]2
.
Twierdzenia o pochodnych, cd.:
Pochodna f. złożonej: {f[g(x)]}’ = f’[g(x)].g’(x), gdy f. f ma pochodną
w punkcie g(x), a funkcja g w punkcie x;
Jeżeli f. y = f(x) ma f. odwrotną x = g(x), to poch f. odwr.:
dy df ( x)
1
1
1




dx
dg ( y ) dx
dx
dx
df ( x)
dy
dy
Zastosowanie pochodnej do badania przebiegu funkcji:
Miejsca zerowe pierwszej pochodnej funkcji, odpowiadają maksimom i minimom badanej funkcji. O tym,
czy to jest maksimum, czy minimum – mówi wartość
drugiej pochodnej dla tej samej wartości zmiennej x
(ujemna – maksimum; dodatnia – minimum). I-sza pochodna dla p-ktu xn „+” – funkcja badana rosnąca;
I-sza pochodna „ –” – funkcja malejąca. Jeżeli I-sza
pochodna = 0 nie dla pojedynczego p-ktu (min.; max.),
ale dla pewnego zakresu wart. zm. x – bad. f. jest w
tym zakr. stała (stan równowagi). Miejsca zerowe
II-giej pochodnej, odp. punktom przegięcia bad. f.
Przyrównanie I-szej poch. do 0  znajdowanie min.
lub max. funkcji (zast. praktyczne).
Ciągi i szeregi matematyczne
Ciągiem nazywamy wyrażenie typu: a1, a2, a3, ....., an, gdzie
poszczególne elementy ai, nazywamy wyrazami ciągu [ciągi mogą
być skończone (o ograniczonej liczbie wyrazów: n  3)
i nieskończone, gdy n  ]. Ciąg jest rosnący, gdy an+1 > an; zaś jest
malejący, gdy an+1 < an. Ciąg nazywamy arytmetycznym  każdy
jego wyraz, począwszy od II-giego powstaje przez dodanie do
wyrazu poprzedniego stałej liczby r, zwanej różnicą ciągu. Ciąg
nazywamy geometrycznym  każdy jego wyraz, począwszy od IIgiego powstaje z pomnożenia wyrazu poprzedniego przez stałą
liczbę q, zwaną ilorazem ciągu. Jeżeli ciąg posiada granicę, to
nazywamy go ciągiem zbieżnym (do wartości, która jest granicą).
Ciągi nie mające granicy, nazywamy rozbieżnymi; gdy przy n  ,
an  , to ciąg jest rozbieżny do ; gdy an  –   ciąg jest
rozbieżny do – . Ciąg, którego wyrazami są liczby nazywamy
liczbowym
[w zal. od tego, czy będą to liczby całkowite, rzeczywiste czy zespolone, ciąg nazywa się odpowiednio całkowitoliczbowym, rzeczywistym lub zespolonym. Podobnie ciąg, którego wyrazami są funkcje
nazywa się ciągiem funkcyjnym. Nieskończony ciąg, którego kolejnymi elementami są sumy początkowych wyrazów innego ciągu
nieskończonego, nazywamy szeregiem (wyrażenie typu: a1 + a2 + a3
..... + an, gdy n  ). Wyrażenie Sn = a1 + ... + an, nazywamy n-tą
sumą częściową szeregu. Jeżeli istnieje granica S = lim n Sn, to
nazywamy ją sumą szeregu – a szereg – zbieżny do niej. Szeregi,
podobnie jak ciągi mogą być stałe, rosnące, malejące,
arytmetyczne, geometryczne oraz rozbieżne do + i – . Istnieją też
szeregi liczbowe i funkcyjne.
W zastosowaniach praktycznych, dany wyraz ciągu można wyliczyć –
podstawiając do odpowiedniego równania wartość wyrazu
poprzedzającego, a kolejny (dalszy) – wartość wyrazu ostatnio
wyliczonego. Wykorzystywane jest tu tzw. równanie rekursywne,
czyli takie, w którym wynik dla danego etapu „n” zależy od wyniku
dla etapu poprzedzającego „n-1” i nie jest możliwe przewidywanie
wyniku dla etapu „n” tylko na podstawie założeń/ustaleń
początkowych. Wynik z etapu poprzedzającego (n-1) jest
podstawiany do równania w danym etapie (n) i przeliczany, a proces
takiego, pojedynczego wyliczenia nazywamy iteracją. Powyższy
proces, jest zwany procesem rekursywnym I-szego rzędu, ponieważ
w wyrażeniu po prawej stronie równania występuje tylko Sn–1 (gdyby
dodatkowo występowało: Sn–2, wtedy byłby to proces rekursywny IIgo rzędu). Proces rekursywny nie daje się opisać typowym, „pojedyńczym” równaniem funkcji.
W praktyce często użytecznym staje się przekształcenie
(rozwinięcie) niektórych funkcji w ciąg funkcji, które dają się
sumować, czyli w szereg. Może to mieć zastosowanie np. w
odniesieniu do skomplikowanych funkcji, których równania trudno
jest rozwiązać lub scałkować. Funkcje takie powinny dać się
rozwinąć w ogólne równanie funkcji algebraicznej:
f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3….. =
Warunek ten spełnia tzw. szereg Taylora:
Wyprowadzenie równania na szereg Taylora jest opisane w starym
skrypcie W.U. Dowolną funkcję można rozwinąć w ten szereg przy
użyciu programów takich, jak np. wxMaxima. Szereg Taylora ma
ogromne znaczenie w analizie matematycznej, ponieważ może on
być podstawą do przybliżania i upraszczania wielu bardzo
skomplikowanych wyrażeń.
Wskazówki do wykonania zadań praktycznych ćw. III.
• Wskazówki do zadania 1:
Wyliczone analitycznie pochodne:
(5x2 – 15x + 4)’ = 10x – 15
(50x1,25)‘ = 1,25.50x1,25–1 = 62,5x0,25
[(2x2 – 3x).(x + 4)]’ = (4x – 3 ).(x + 4) + (2x2 – 3x).(1/2x)
2 x  3x
)' 
x 4
2
(
( 4x  3 ) * ( x  4 )  ( 2 x 2  3) *
1
2 x
( x  4) 2
Wskazówki do zadania 2:
Ekran wejściowy programu on-line „Wolfram Alpha”:
Za pomocą
„backspace”
usuwamy
przykładową
funkcję
Następnie wpisujemy w pole „derivative of” „ tylko prawą stronę
równania”, czyli: 1.2*x^4-15*x^3+12*x^2-20*x+15 (1):
Dalej – klikamy w przycisk „=” (2)
Klik (2)
Pojawia się wynik wyliczenia pochodnej:
Wykres funkcji:
Pierwiastki:
(rzeczywiste i zespolone):
Wprowadzenie równania drugiej funkcji „(x*exp(–x))*log(x)” (1):
Klik (2)
Pojawia się wynik wyliczenia pochodnej:
Wykres funkcji
(część rzeczywista
i urojona):
Pierwiastki:
(wyliczone numerycznie):
Wskazówki do zadania 3:
Uruchamiamy program wxMaxima (=> ikona skrótu na pulpicie => podwójny klik). Korzystanie z programu polega na wpisaniu równania funkcji w pole „INPUT:”, a następnie kliknięciu w przycisk, który uruchamia
odpowiednią akcję. Stałą e Nepera, wpisujemy jako „%e”, a st.  – jako:
„%pi”. Ekran wejściowy programu:
Prompt, przy
którym pojawiają się wyniki obliczeń
Pole do wpisywania
równań
wyjściowych
Pasek przycisków, które uruchamiają odpowiednie czynności.
Wpisujemy równanie w pole INPUT (przykładowo przedstawiono przebieg obliczeń dla II-giej funkcji z zad. 2 i 3):
Następnie
klikamy w
przycisk
„Diff”, kt.
uruchamia
różniczkonie
Po tym pojawia się okno opcji różniczkowania:
Akceptujemy klikając
w OK
Pojawiają się wyniki:
Możemy przypuszczać, że wynik
obliczeń pochodnej nie jest
w swej najprostszej postaci
algebraicznej. Dlatego w celu
jego uproszczenia, klikamy
w przycisk „Simplify”
Pojawia się:
Prostsza postać
wyniku
Wynik końcowy: [x.ln(x).e–x]’ = [(x – 1).ln(x) – 1].(– e–x)
(uwaga! Program wxMaxima wykorzystuje tylko log naturalne, które
wpisujemy jako: „log”.
Wyliczenie pochodnych cząstkowych (ze względu na x i t) funkcji:
y = x/t. Poch. cząstkowa dla x – wprowadzamy równanie i wykonujemy
obliczenia tak, jak w przypadku pochodnych „zwykłych”. Ekran po
wprowadzeniu równania i uruchomieniu operacji różniczkowania:
Klikamy w przycisk OK
Wyniki:
dy/dx = 1/t
Pochodna cząstkowa ze względu na t; uruchomienie liczenia:
W polu „in variable” zamieniamy domyślny „x” na
„t” (1)
Klik (2)
Wyniki: dy/dt = -x/t2
Analogicznie – odpowiednie pochodne
cząstkowe dla funkcji: y = x.e–t. Po
wprowadzeniu i uruchomieniu liczenia:
Klik
Wynik: dy/dx = e–t [zamiast: „%e^-t” można wpisać: exp(-t) ]
Pochodna cząstkowa ze względu na t; uruchomienie liczenia:
W „in variable” zamieniamy
„x” na „t” (1)
Klik (2)
Wynik: dy/dt = –x.e–t
Wskazówki do zadania 4:
Wyliczenie I-szej pochodnej funkcji:
y = 4x2/(x2 + 1) wykonujemy podobnie,
jak w zadaniu poprzednim (obok).
Zakładając, że uzyskany wynik można
uprościć, klikamy w przycisk
„Simplify”
Wynik uproszczenia:
[4x 2 /(x 2  1)]' 
W celu obliczenia II pochodnej, uproszczony wynik zaznaczamy (bierzemy
do bloku) i kopiujemy go do schowka
poprzez Ctrl+C (C przy wciśniętym
Ctrl).
Zawartość schowka wklejamy do
pola INPUT poprzez Ctrl+V.
8x
x 4  2x 2  1
Po wklejeniu równania I-szej pochodnej:
Klikamy w przycisk „Diff”, a po pojawieniu się okna różniczkowania
- w przycisk OK.
Uzyskany wynik:
Zakładając, że będzie możliwe
algebraiczne uproszczenie
uzyskanego wyniku, klikamy
w przycisk „Simplify”:
Wynik zostaje uproszczony:
[4x /(x  1)]' '  
2
2
24x 2  8
x 6  3x 4  3x 2  1
W pliku „analiza1.xls” (po pobraniu i zapisaniu na dyskietce), kopiujemy formuły (kolumny B, C i D) od wiersza 3 do 123; w ten sposób
wartości funkcji i obu jej pochodnych zostaną wyliczone dla wszystkich interesujących nas wartości x. Dalej wykonujemy wykres
(jak na ćwiczeniach poprzednich: XY) – a właściwie 3 wykresy na 1
układzie współrzędnych, co powinno wyglądać:
Wykres funkcji: y = 4x2/(x2 + 1) ma „odwrócony kształt gaussiański” z
minimum dla x=0 oraz asymptotą poziomą lewą i prawą dla y=4. Na
obecność ekstremum dla x=0 wskazuje zerowa wartość I-szej pochodnej dla tego punktu, a o tym, że jest to minimum – świadczy dodatnia
wartość II-giej pochodnej (maksimum). Na obecność 2 punktów przegięcia wskazują: minimum i maksimum I-szej pochodnej, odpowiednio
w punktach x= – 0,577 i x = 0,577 oraz miejsca zerowe II-giej pochodnej w tych samych miejscach.
Wskazówki do zadania 5:
Po uruchomieniu programu wxMaxima i wprowadzeniu w pole „INPUT:”
odpowiednich równań, klikamy w przycisk „Series” (ew. Menu: Calculus
 Get series), co otwiera okno dialogowe szeregu.
Dla pierwszego równania będzie to: (2 + 3*x)*exp(-x) .
Klik
Następnie pojawia się okno dialogowe szeregu: akceptujemy
wszystkie wartości domyślne i klikamy OK.
Dalej, uzyskujemy gotowy wynik
rozwinięcia w szereg Taylora
(następne przeźrocze).
Wynik rozwinięcia w szereg Taylora dla równania funkcji
y = (2 + 3x)e–x:
Godnym uwagi jest, że uzyskany szereg
jest naprzemienny,
tzn. poszczególne
jego wyrazy mają
zmieniające się
znaki (+, -, +, -, +),
co jest typowe dla
q < 0*. Tego typu
szereg trudniej osiąga zbieżność, niż szeregi o wyrazach tego
samego znaku.
Drugie równanie, wprowadzamy następująco: asin(x)*exp(x) .
Dalej, klikamy
„Series ” (Calculus
 Get series)
Pojawia się okno dialogowe szeregu, które akceptujemy, klikając
OK. (nie przedstawione). Po tym uzyskujemy wynik rozwinięcia.
*) q – iloraz ciągu geometrycznego
• Wynik rozwinięcia w szereg Taylora funkcji y = [arc sin(x)]ex:
Szereg nie
jest naprzemienny; ma
wyłącznie
dodatnie
wyrazy.
Dlatego
powinien
łatwiej osiągać zbieżność, niż szereg dla funkcji poprzedniej.
Dziękuję
za uwagę ;-)