Transcript u(x)
Pochodna funkcji jednej zmiennej. Pochodna wektora Pochodna funkcji jednej zmiennej Pochodną funkcji jednej zmiennej f(𝒙), jest funkcja f ’(𝒙): 𝒇′ 𝒅𝒇 𝒇 𝐱 + 𝜟𝒙 − 𝒇 𝒙 𝒙 = = 𝒍𝒊𝒎 𝒅𝒙 𝜟𝐱→𝟎 𝜟𝒙 f(x) Df df dxDx x Różniczka funkcji Infinitezymalna zmiana df wartości funkcji f(x) spowodowana infinitezymalną zmianą dx jej argumentu nazywa się różniczką funkcji. f(x) df dx x df f ' ( x ) dx Użyteczne pochodne a=const, f(x), u(x), v(x) - funkcje 𝒅𝒂 𝒅𝒙 =0 𝒅 𝒅𝒇 𝒂𝒇 = 𝒂 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅 𝒎 𝒙 = 𝒎𝒙𝒎−𝟏 𝒅𝒙 𝒅 𝒙 𝒆 = 𝒆𝒙 𝒅𝒙 𝒅 𝟏 𝒍𝒏𝒙 = 𝒅𝒙 𝒙 Użyteczne pochodne 𝒅 𝒅𝒖 𝒅𝒗 𝒖+𝒗 = + 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅 𝒔𝒊𝒏𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 𝒅 𝒅𝒗 𝒅𝒖 𝒖𝒗 = 𝒖 +𝒗 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅 𝒄𝒐𝒔𝒙 = −𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 𝒅 𝒅𝒖 𝒅𝒗 𝒖(𝒗) = ∙ 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 np. 𝒅 𝒔𝒊𝒏𝒂𝒙 = 𝒂𝒄𝒐𝒔𝒂𝒙 𝒅𝒙 Interpretacja geometryczna pochodnej f(x) df 𝒅𝒇 𝐭𝐠 a = 𝒅𝒙 a dx Pochodna jest równa tangensowi kąta nachylenia a stycznej do x wykresu funkcji w danym punkcie. Gdy argumentem funkcji jest czas… Np. pochodna f’(t) po czasie 𝒅𝒇 𝒇 𝒕 + 𝜟𝒕 − 𝒇 𝒕 = 𝒍𝒊𝒎 𝒅𝒕 𝜟𝒕→𝟎 𝜟𝒕 Pochodna wektora Pochodną funkcji wektorowej jednej zmiennej f(𝜉), jest funkcja f ’(𝜉): f ( D ) f ( ) f ' ( ) lim D 0 D Df D f (+D) Df f () Pochodna wektora cd. dA A(t Dt ) A(t ) lim dt Dt 0 Dt A1 (t Dt ), A 2 (t Dt ),... A1 (t ), A 2 (t ),... lim Dt 0 Dt A1 (t Dt ) A1 (t ) A 2 (t Dt ) A 2 (t ) lim , ,... Dt 0 Dt Dt dA1 dA2 , ,... dt dt Pochodna wektora dA dt dA1 dA2 , ,... dt dt Każdą składową wektora różniczkuje się osobno. Wektor położenia, wektor przemieszczenia i wektor prędkości. Punkt materialny Punkt materialny to obiekt o masie różnej od zera i zerowych rozmiarach. W wielu przypadkach rzeczywiste obiekty traktujemy jak punkty materialne. Dla ruchu translacyjnego można założyć, że obiekt to cząstka o masie równej masie obiektu umieszczonej w centrum jego masy. Wektor położenia - Wektor związany z konfiguracją Wszechświata z Element zorientowany, który ma początek w początku układu odniesienia a koniec w punkcie o współrzędnej odpowiadającej położeniu punktu materialnego. z r y x O x r r r = [x,y,z] y Wektor przemieszczenia z Dr r(t1) r(t2) r(t) y Położenie cząstki może zmieniać się w czasie. Różnica wektorów położenia w dwóch różnych chwilach czasu t1 i t2 nazywa się wektorem przemieszczenia: x Dr = r(t2) – r(t1) Wektor prędkości Szybkość zmian wektora położenia cząstki nazywa się wektorem prędkości tej cząstki. z dr r(t) v r(t+dt) y x Dr dr v(t ) lim dt Dt 0 Dt Prędkość chwilowa jest zdefiniowana jako granica szybkości zmian wektora położenia przy Dt dążącym do zera. Prędkość chwilowa A3 A4 y A2 A1 B ∆𝑟1 x Wektor prędkości chwilowej jest styczny do toru Wektor prędkości chwilowej Vp Wektor prędkości chwilowej jest styczny do toru w punkcie, w którym cząstka znajduje się w danej chwili Vk Prędkość chwilowa Przykład: 𝒓(𝒕) = (𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕, 𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕, 𝟎) 𝒙 = 𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕 𝒗𝒙 = −𝝎𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕 𝒚 = 𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕 𝒗𝒚 = +𝝎𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕 𝒗 𝒕 = (−𝝎𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕, 𝝎𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕, 𝟎) Szybkość i przyspieszenie Szybkość Moduł wektora prędkości nazywa się szybkością v v Szybkość jest równa pochodnej drogi po czasie dr dr dr dr dr dl v( t ) dt dt dt dt dt Na kolejnym wykładzie pokażemy, że droga jest równa całce z prędkości chwilowej po czasie. t2 l v(t)dt t1 Szybkość Przykład: ruch jednostajny po okręgu w płaszczyźnie xy 𝒓(𝒕) = (𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕, 𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕, 𝟎) 𝒗(𝒕) = (−𝝎𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕, 𝝎𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕, 𝟎) 𝒗 = 𝝎𝟐 𝑹𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝝎𝒕 + 𝝎𝟐 𝑹𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝝎𝒕 + 𝟎 = 𝝎𝑹 Średnia szybkość Średnia szybkość jest równa stosunkowi drogi do czasu, w którym cząstka tę drogę przebyła Δl vsr = Δt t2 Na kolejnym wykładzie pokażemy, że vdt Δl t1 vsr Δt t 2 t1 Przykład cd Obliczmy średnią szybkość po czasie równym okresowi (punkt wykonał jeden pełny obrót): v R t l x 𝒍 2𝝅𝑹 vsr = = 𝑻 T Tymczasem wektor prędkości średniej po czasie T: Dr r (T ) r (0) vsr 0! Dt T Wektor przyśpieszenia Szybkość zmian wektora prędkości cząstki nazywa się wektorem przyśpieszenia. z -v(t) v(t+dt) a(t) v(t) dv v(t+dt) y x 2 Dv dv d r a(t ) lim 2 dt dt Dt 0 Dt Przyśpieszenie chwilowe jest zdefiniowane jako granica szybkości zmian wektora prędkości przy Dt dążącym do zera. Przyśpieszenie - przykłady ∆𝒗 = 𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 𝒂 𝒗𝟏 𝒗𝟏 ∆𝒗 ∆𝒗 𝒗𝟐 𝒗𝟐 𝒂 Przyśpieszenie - przykłady 𝒗𝟏 ∆𝒗 𝒂 𝒗𝟐 Średnie przyśpieszenie Dv v(t 2 ) v(t1 ) a sr Dt t 2 t1 Stosunek zmiany wektora prędkości do czasu, w którym zaszła ta zmiana nazywa się średnim przyśpieszeniem. t2 Na kolejnym wykładzie pokażemy, że a sr a ( t ) dt t1 t2 t1 t1 𝐚𝑠𝑟 t2 Dv Przykład: ruch jednostajny po okręgu w płaszczyźnie xy 𝒓(𝒕) = (𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕, 𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕, 𝟎) 𝒗(𝒕) = (−𝝎𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕, 𝝎𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕, 𝟎) 𝒂 𝒕 = −𝝎𝟐 𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕, −𝝎𝟐 𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕, 𝟎 𝒂(𝒕) = −𝝎𝟐 𝒓(𝒕) 𝒂 = 𝝎𝟒 𝑹𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝝎𝒕 + 𝝎𝟒 𝑹𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝝎𝒕 + 𝟎 = 𝝎𝟐 𝑹 Prędkość i przyspieszenie jako pochodne 𝒂𝒕𝟐 𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝒗𝟎 𝒕 + 𝟐 x(t) x(0) 0 t V(t) 𝒅𝒙 𝟐𝒂𝒕 𝒗𝒙 = = 𝒗𝟎 + = 𝒗𝟎 + 𝒂𝒕 𝒅𝒕 𝟐 V(0) 0 𝒅𝒗𝒙 𝒂𝒙 = =𝒂 𝒅𝒕 a(t) t a 0 t Użyteczne równania Przekształcając 𝒗 = 𝒗𝟎 + 𝒂𝒕 i 𝒂𝒕𝟐 𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝒗𝟎 𝒕 + 𝟐 otrzymujemy: 𝟏 𝒙 = 𝒙𝟎 + (𝒗𝟎 + 𝒗)𝒕 𝟐 𝒗𝟐 = 𝒗𝟎 𝟐 + 𝟐𝒂(𝒙 − 𝒙𝟎 ) Rzut pionowy 𝒈𝒕𝟐 𝒚 = 𝒚𝟎 + 𝒗𝟎𝒚 𝒕 − 𝟐 y y0 𝒗𝟎𝒚 𝒗𝒚 = 𝒗𝟎𝒚 − 𝒈𝒕 𝒈 Dla 𝒚 = 𝒚𝒎𝒂𝒌𝒔 𝒗𝒚 = 𝟎 x 𝒗𝒚 = 𝒗𝟎𝒚 − 𝒈𝒕𝒎 = 𝟎 𝒕𝒎 𝒗𝟎𝒚 = 𝒈 Rzut poziomy 𝒗𝒙 = 𝒗𝟎𝒙 y 𝒙 = 𝒗𝟎𝒙 𝒕 −𝒗𝒚 = −𝒈𝒕 𝒗𝟎𝒙 y0 𝒗𝟎𝒙 𝒈 𝒗𝒚 𝒈𝒕𝟐 𝒚 = 𝒚𝟎 − 𝟐 𝒗 x xmaks Rzut ukośny y 𝒈 𝒗𝟎 𝒗𝟎𝒚 a x 𝒗 𝟎𝒙 Składowe prędkości początkowej: 𝒗𝟎𝒙 = 𝒗𝟎 𝒄𝒐𝒔𝜶 = 𝒗𝒙 𝒗𝟎𝒚 = 𝒗𝟎 𝒔𝒊𝒏𝜶 Rzut ukośny 𝒈 𝒗𝟎 𝒗𝟎𝒚 a x 𝒗 𝟎𝒙 W kierunku x – ruch jednostajny I 𝒗𝒙 = 𝒗𝟎𝒙 𝒙 = 𝒗𝟎𝒙 𝒕 W kierunku y – rzut pionowy 𝒗𝒚 = 𝒗𝟎𝒚 − 𝒈𝒕 II 𝒈𝒕𝟐 𝒚 = 𝒚𝟎 + 𝒗𝟎𝒚 𝒕 − 𝟐 Rzut ukośny – zasięg 𝒗𝒙 = 𝒗𝟎𝒙 𝒈 I 𝒙 = 𝒗𝟎𝒙 𝒕 𝒗𝟎 𝒗𝟎𝒚 a 𝒗 𝟎𝒙 𝒕𝒛 = 𝟐𝒕𝒎 𝒗𝟎𝒚 =𝟐 𝒈 x z=zasięg 𝒗𝟎 𝒔𝒊𝒏𝜶 𝒛 = 𝒗𝟎𝒙 𝒕𝒛 = 𝟐 𝒗𝟎 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒈 Rzut ukośny – zasięg 𝒗𝟎 𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶 𝒛= 𝒈 1. Maksymalny zasięg otrzymujemy dla 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶 = 𝟏 tj. dla 𝜶 = 𝟒𝟓° 2. Przy tej samej prędkości początkowej, taki sam zasięg otrzymujemy dla dwóch kątów dopełniających się do 𝟗𝟎° 𝒈𝒛 𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶 = 𝟐 𝒗𝟎 Wyznaczając kąt na podstawie funkcji sin𝜶 zawsze otrzymujemy dwie wartości kąta