Transcript u(x)

Pochodna funkcji jednej zmiennej. Pochodna
wektora
Pochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodną funkcji jednej zmiennej f(𝒙), jest funkcja f ’(𝒙):
𝒇′
𝒅𝒇
𝒇 𝐱 + 𝜟𝒙 − 𝒇 𝒙
𝒙 =
= 𝒍𝒊𝒎
𝒅𝒙 𝜟𝐱→𝟎
𝜟𝒙
f(x)
Df
df
dxDx
x
Różniczka funkcji
Infinitezymalna zmiana df
wartości
funkcji
f(x)
spowodowana infinitezymalną
zmianą dx jej argumentu
nazywa się różniczką funkcji.
f(x)
df
dx
x
df  f ' ( x )  dx
Użyteczne pochodne
a=const, f(x), u(x), v(x) - funkcje
𝒅𝒂
𝒅𝒙
=0
𝒅
𝒅𝒇
𝒂𝒇 = 𝒂
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝒅 𝒎
𝒙 = 𝒎𝒙𝒎−𝟏
𝒅𝒙
𝒅 𝒙
𝒆 = 𝒆𝒙
𝒅𝒙
𝒅
𝟏
𝒍𝒏𝒙 =
𝒅𝒙
𝒙
Użyteczne pochodne
𝒅
𝒅𝒖 𝒅𝒗
𝒖+𝒗 =
+
𝒅𝒙
𝒅𝒙 𝒅𝒙
𝒅
𝒔𝒊𝒏𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒅𝒙
𝒅
𝒅𝒗
𝒅𝒖
𝒖𝒗 = 𝒖
+𝒗
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝒅
𝒄𝒐𝒔𝒙 = −𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒅𝒙
𝒅
𝒅𝒖 𝒅𝒗
𝒖(𝒗) =
∙
𝒅𝒙
𝒅𝒙 𝒅𝒙
np.
𝒅
𝒔𝒊𝒏𝒂𝒙 = 𝒂𝒄𝒐𝒔𝒂𝒙
𝒅𝒙
Interpretacja geometryczna pochodnej
f(x)
df
𝒅𝒇
𝐭𝐠 a =
𝒅𝒙
a
dx
Pochodna jest równa
tangensowi
kąta nachylenia
a stycznej do
x wykresu funkcji w
danym punkcie.
Gdy argumentem funkcji jest czas…
Np. pochodna f’(t) po czasie
𝒅𝒇
𝒇 𝒕 + 𝜟𝒕 − 𝒇 𝒕
= 𝒍𝒊𝒎
𝒅𝒕 𝜟𝒕→𝟎
𝜟𝒕
Pochodna wektora
Pochodną funkcji wektorowej jednej zmiennej f(𝜉), jest
funkcja f ’(𝜉):
f (  D )  f ( )
f ' ( )  lim
D 0
D
Df
D
f (+D)
Df
f ()
Pochodna wektora cd.
dA
A(t  Dt )  A(t )
 lim

dt Dt 0
Dt

A1 (t  Dt ), A 2 (t  Dt ),...  A1 (t ), A 2 (t ),...
 lim

Dt 0
Dt
 A1 (t  Dt )  A1 (t ) A 2 (t  Dt )  A 2 (t ) 
 lim 
,
,... 
Dt 0 
Dt
Dt

 dA1 dA2 

,
,...
 dt dt

Pochodna wektora
dA

dt
 dA1 dA2 
,
,...
 dt dt

Każdą składową wektora różniczkuje się osobno.
Wektor położenia, wektor przemieszczenia i wektor
prędkości.
Punkt materialny
Punkt materialny to obiekt o masie różnej od
zera i zerowych rozmiarach.
W wielu przypadkach rzeczywiste obiekty
traktujemy jak punkty materialne.
Dla ruchu translacyjnego można założyć, że
obiekt to cząstka o masie równej masie obiektu
umieszczonej w centrum jego masy.
Wektor położenia
- Wektor związany z konfiguracją Wszechświata
z
Element zorientowany, który
ma początek w początku
układu odniesienia a koniec w
punkcie
o
współrzędnej
odpowiadającej
położeniu
punktu materialnego.
z
r
y
x
O
x
r
r
r = [x,y,z]
y
Wektor przemieszczenia
z
Dr
r(t1) r(t2)
r(t)
y
Położenie cząstki może
zmieniać się w czasie.
Różnica wektorów
położenia w dwóch różnych
chwilach czasu t1 i t2
nazywa się wektorem
przemieszczenia:
x
Dr = r(t2) – r(t1)
Wektor prędkości
Szybkość zmian wektora
położenia cząstki nazywa
się wektorem prędkości tej
cząstki.
z
dr
r(t)
v
r(t+dt)
y
x


Dr dr

v(t )  lim

dt
Dt 0 Dt
Prędkość chwilowa jest zdefiniowana jako granica
szybkości zmian wektora położenia przy Dt dążącym
do zera.
Prędkość chwilowa
A3
A4
y
A2
A1
B
∆𝑟1
x
Wektor prędkości chwilowej jest styczny do toru
Wektor prędkości chwilowej
Vp
Wektor prędkości chwilowej jest
styczny do toru w punkcie,
w którym cząstka znajduje się w
danej chwili
Vk
Prędkość chwilowa
Przykład:
𝒓(𝒕) = (𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕, 𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕, 𝟎)
𝒙 = 𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕
𝒗𝒙 = −𝝎𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕
𝒚 = 𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕
𝒗𝒚 = +𝝎𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕
𝒗 𝒕 = (−𝝎𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕, 𝝎𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕, 𝟎)
Szybkość i przyspieszenie
Szybkość
Moduł wektora prędkości nazywa się szybkością

v v
Szybkość jest równa
pochodnej drogi po czasie
dr
dr dr
dr  dr dl
v( t ) 



dt dt
dt
dt  dt
Na kolejnym wykładzie pokażemy, że droga
jest równa całce z prędkości chwilowej po
czasie.
t2
l   v(t)dt
t1
Szybkość
Przykład: ruch jednostajny po okręgu w płaszczyźnie xy
𝒓(𝒕) = (𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕, 𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕, 𝟎)
𝒗(𝒕) = (−𝝎𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕, 𝝎𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕, 𝟎)
𝒗 =
𝝎𝟐 𝑹𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝝎𝒕 + 𝝎𝟐 𝑹𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝝎𝒕 + 𝟎 = 𝝎𝑹
Średnia szybkość
Średnia szybkość jest równa stosunkowi drogi do
czasu, w którym cząstka tę drogę przebyła
Δl
vsr =
Δt
t2
Na kolejnym wykładzie pokażemy, że
vdt

Δl t1
vsr 

Δt t 2  t1
Przykład cd
Obliczmy średnią szybkość po czasie równym okresowi
(punkt wykonał jeden pełny obrót):
v
R
t
l
x
𝒍 2𝝅𝑹
vsr = =
𝑻
T
Tymczasem wektor prędkości średniej po czasie T:
Dr r (T )  r (0)
vsr  
 0!
Dt
T
Wektor przyśpieszenia
Szybkość zmian wektora
prędkości cząstki nazywa się
wektorem przyśpieszenia.
z
-v(t)
v(t+dt)
a(t)
v(t)
dv
v(t+dt)
y
x


2
Dv dv d r

a(t )  lim

 2
dt dt
Dt 0 Dt
Przyśpieszenie chwilowe jest
zdefiniowane jako granica szybkości
zmian wektora prędkości przy Dt
dążącym do zera.
Przyśpieszenie - przykłady
∆𝒗 = 𝒗𝟐 − 𝒗𝟏
𝒂
𝒗𝟏
𝒗𝟏
∆𝒗
∆𝒗
𝒗𝟐
𝒗𝟐
𝒂
Przyśpieszenie - przykłady
𝒗𝟏
∆𝒗
𝒂
𝒗𝟐
Średnie przyśpieszenie


Dv v(t 2 )  v(t1 )
a sr 

Dt
t 2  t1
Stosunek zmiany wektora prędkości do czasu,
w którym zaszła ta zmiana nazywa się
średnim przyśpieszeniem.
t2
Na kolejnym wykładzie pokażemy, że
a sr 
 a ( t ) dt
t1
t2  t1
t1
𝐚𝑠𝑟
t2
Dv
Przykład: ruch jednostajny po okręgu w płaszczyźnie xy
𝒓(𝒕) = (𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕, 𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕, 𝟎)
𝒗(𝒕) = (−𝝎𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕, 𝝎𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕, 𝟎)
𝒂 𝒕 = −𝝎𝟐 𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕, −𝝎𝟐 𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕, 𝟎
𝒂(𝒕) = −𝝎𝟐 𝒓(𝒕)
𝒂 =
𝝎𝟒 𝑹𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝝎𝒕 + 𝝎𝟒 𝑹𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝝎𝒕 + 𝟎 = 𝝎𝟐 𝑹
Prędkość i przyspieszenie jako
pochodne
𝒂𝒕𝟐
𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝒗𝟎 𝒕 +
𝟐
x(t)
x(0)
0
t
V(t)
𝒅𝒙
𝟐𝒂𝒕
𝒗𝒙 =
= 𝒗𝟎 +
= 𝒗𝟎 + 𝒂𝒕
𝒅𝒕
𝟐
V(0)
0
𝒅𝒗𝒙
𝒂𝒙 =
=𝒂
𝒅𝒕
a(t)
t
a
0
t
Użyteczne równania
Przekształcając
𝒗 = 𝒗𝟎 + 𝒂𝒕
i
𝒂𝒕𝟐
𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝒗𝟎 𝒕 +
𝟐
otrzymujemy:
𝟏
𝒙 = 𝒙𝟎 + (𝒗𝟎 + 𝒗)𝒕
𝟐
𝒗𝟐 = 𝒗𝟎 𝟐 + 𝟐𝒂(𝒙 − 𝒙𝟎 )
Rzut pionowy
𝒈𝒕𝟐
𝒚 = 𝒚𝟎 + 𝒗𝟎𝒚 𝒕 −
𝟐
y
y0
𝒗𝟎𝒚
𝒗𝒚 = 𝒗𝟎𝒚 − 𝒈𝒕
𝒈
Dla 𝒚 = 𝒚𝒎𝒂𝒌𝒔
𝒗𝒚 = 𝟎
x
𝒗𝒚 = 𝒗𝟎𝒚 − 𝒈𝒕𝒎 = 𝟎
𝒕𝒎
𝒗𝟎𝒚
=
𝒈
Rzut poziomy
𝒗𝒙 = 𝒗𝟎𝒙
y
𝒙 = 𝒗𝟎𝒙 𝒕
−𝒗𝒚 = −𝒈𝒕
𝒗𝟎𝒙
y0
𝒗𝟎𝒙
𝒈
𝒗𝒚
𝒈𝒕𝟐
𝒚 = 𝒚𝟎 −
𝟐
𝒗
x
xmaks
Rzut ukośny
y
𝒈
𝒗𝟎
𝒗𝟎𝒚
a
x
𝒗 𝟎𝒙
Składowe prędkości początkowej:
𝒗𝟎𝒙 = 𝒗𝟎 𝒄𝒐𝒔𝜶 = 𝒗𝒙
𝒗𝟎𝒚 = 𝒗𝟎 𝒔𝒊𝒏𝜶
Rzut ukośny
𝒈
𝒗𝟎
𝒗𝟎𝒚
a
x
𝒗 𝟎𝒙
W kierunku x – ruch jednostajny
I
𝒗𝒙 = 𝒗𝟎𝒙
𝒙 = 𝒗𝟎𝒙 𝒕
W kierunku y – rzut pionowy
𝒗𝒚 = 𝒗𝟎𝒚 − 𝒈𝒕
II
𝒈𝒕𝟐
𝒚 = 𝒚𝟎 + 𝒗𝟎𝒚 𝒕 −
𝟐
Rzut ukośny – zasięg
𝒗𝒙 = 𝒗𝟎𝒙
𝒈
I
𝒙 = 𝒗𝟎𝒙 𝒕
𝒗𝟎
𝒗𝟎𝒚
a
𝒗 𝟎𝒙
𝒕𝒛 = 𝟐𝒕𝒎
𝒗𝟎𝒚
=𝟐
𝒈
x
z=zasięg
𝒗𝟎 𝒔𝒊𝒏𝜶
𝒛 = 𝒗𝟎𝒙 𝒕𝒛 = 𝟐
𝒗𝟎 𝒄𝒐𝒔𝜶
𝒈
Rzut ukośny – zasięg
𝒗𝟎 𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶
𝒛=
𝒈
1. Maksymalny zasięg otrzymujemy dla 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶 = 𝟏
tj. dla 𝜶 = 𝟒𝟓°
2. Przy tej samej prędkości początkowej, taki sam zasięg
otrzymujemy dla dwóch kątów dopełniających się do 𝟗𝟎°
𝒈𝒛
𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶 = 𝟐
𝒗𝟎
Wyznaczając kąt na podstawie funkcji sin𝜶 zawsze otrzymujemy dwie wartości kąta