Transcript Przestrzenny układ sił

Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa
w Nysie
Instytut Zarządzania
Projektowanie Inżynierskie
Przestrzenny układ sił
Prowadzący: dr inż. Piotr Chwastyk
e-mail: [email protected]
www.chwastyk.pwsz.nysa.pl
Mechanika techniczna
Redukcja przestrzennego układu sił
Układ sił o dowolnie rozmieszczonych w przestrzeni liniach działania nazywa
się przestrzennym układem sił. Przez redukcję tego układu sił rozumie się
sprowadzenie go do najprostszej postaci, tzn. zastąpienie przez najprostszy
układ statycznie równoważny.
Zakłada się, że na ciało sztywne działa dowolny
przestrzenny układ n sił Pi przyłożonych w
różnych punktach przestrzeni Ai (i = 1,2,..., n). W
celu dokonania redukcji tego układu sił przyjmuje
się dowolny punkt O, zwany środkiem redukcji
układu sił, z którego wychodzi wiązka promieni
wektorów ri określających położeniu punktów
przyłożenia tych sił. Korzystając z równoległego
przesunięcia
poszczególnych
sił,
można
sprowadzić te siły do obranego środka redukcji O.
W wyniku tej redukcji otrzymuje się układ sił
zbieżnych P1, P2,…, Pn przyłożonych do punktu
O i n par sił o momentach M1O, M2O, ... , MnO,
gdzie MiO oznacza moment siły Pi przyłożonej w
punkcie Ai względem środka redukcji O.
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 2
Mechanika techniczna
Redukcja przestrzennego układu sił
Układ sił zbieżnych przyłożonych do punktu O można zastąpić sumą geometryczną sił
n
R  P1  P2    Pn   Pi
i 1
Natomiast układ n par sił jest równoważny jednej parze o momencie MO, równym sumie
geometrycznej momentów tych par
n
n
i 1
i 1
M O  M1O  M 2O    M nO   M iO   ri  Pi
Na podstawie powyższych rozważań można stwierdzić:
Przestrzenny układ sił działających na ciało sztywne można zastąpić siłą R
przyłożoną do dowolnie wybranego środka redukcji O, równą sumie
geometrycznej wszystkich sił układu, oraz parą sił o momencie MO, równym
sumie geometrycznej momentów tych sił względem środka redukcji.
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 3
Mechanika techniczna
Redukcja przestrzennego układu sił
Zgodnie z przyjętym nazewnictwem siłę R nazywa się wektorem głównym, a moment MO momentem głównym względem środka redukcji O. Jak wynika ze wzorów, wektor główny
nie zależy od wyboru punktu O, do którego redukujemy układ sił, natomiast moment
główny w ogólnym przypadku jest zależny od tego wyboru. Zmiana środka redukcji
powoduje, że zawsze otrzymuje się ten sam wektor główny R, lecz odpowiadające tym
środkom redukcji pary sił mają różne momenty.
Jeżeli znane są składowe sił w prostokątnym układzie współrzędnych, to wektor główny R
oblicza się ze wzoru
n
n
n
n
i 1
i 1
i 1
i 1
R   Pi  iRx  jRy  kRz  i  Pix  j  Piy  k  Piz
Następnie można obliczyć wartość wektora głównego R
oraz jego cosinusy kierunkowe
R R R R
2
x
Rx
cos1 
,
R
cos 1 
2
y
Ry
R
2
z
,
Rz
cos 1 
R
gdzie:
α1, 1, 1 - kąty, które wektor główny R tworzy z osiami układu
współrzędnych x, y, z.
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 4
Mechanika techniczna
Redukcja przestrzennego układu sił
Po wybraniu początku układu współrzędnych Oxyz jako środka redukcji oblicza się
moment główny MO
n
n
i 1
i 1
M O   M iO   (ri  Pi )  iM Ox  jM Oy  kM Oz 
n
n
n
i 1
i 1
i 1
 i  ( yi Piz  zi Piy )  j  ( zi Pix  xi Piz ) k  ( xi Piy  yi Pix )
gdzie
ri  xi i  yi j  zi k
M iO
i j k
 ri  Pi  xi yi zi
Pix Piy Piz
Jeżeli są obliczone składowe momentu głównego MOx, MOy i MOz względem początku
układu współrzędnych O, można znaleźć wartość oraz cosinusy kierunkowe tego wektora
M iO  M
2
Ox
M
2
Oy
M
2
Oz
M Ox
cos 2 
,
MO
cos  2 
M Oy
MO
,
M Oz
cos 2 
MO
gdzie:
α2, 2, 2 - kąty, które moment główny MO tworzy z osiami układu współrzędnych x, y, z.
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 5
Mechanika techniczna
Redukcja przestrzennego układu sił
Zakłada się, że układ n sił, zredukowany względem środka
redukcji O, można zredukować względem innego środka
redukcji, np. punktu O1. Poprzedni środek redukcji O jest
określony względem nowego środka redukcji O1 wektorem
r1. Aby dokonać tej redukcji przenosi się układ wektorów
(R, MO) równolegle do punktu O1. Przeniesienie momentu
głównego MO do punktu Ol, jako wektora swobodnego, nie
powoduje żadnych zmian układu. Natomiast przeniesienie
wektora głównego R, jako przeniesienie równoległe siły,
powoduje powstanie w punkcie O1 dodatkowego momentu,
równego r1 x R. Moment główny względem środka redukcji
O1 będzie równy
MO1  MO  r1  R
Na podstawie powyższych rozważań można wysunąć następujący wniosek:
Zredukowanie układu n sił względem innego środka redukcji powoduje
jedynie zmianę momentu głównego układu, nie wywołując zmiany wektora
głównego.
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 6
Mechanika techniczna
Redukcja przestrzennego układu sił
Po przeprowadzeniu rzutowania wektora momentu głównego względem punktu O1 na
kierunek wektora głównego R otrzymuje się
MO1  R  MO  R  (r1  R)  R
Ponieważ moment (r1 x R) jest prostopadły do wektora
głównego R, dlatego iloczyn skalarny
(r1  R)  R  0
Stąd
MO1  R  MO  R  const
Na podstawie definicji iloczynu skalarnego
MO  R  M O R cos  const
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 7
Mechanika techniczna
Redukcja przestrzennego układu sił
Wynika stąd następujący wniosek
Iloczyn skalarny momentu głównego układu względem dowolnego środka
redukcji i wektora głównego jest stały, ponieważ wektor główny R nie zależy
od wyboru środka redukcji.
Natomiast z zależności
MO  R  M O R cos  const
dodatkowo wynika, że iloczyn MOcos jako wartość rzutu momentu głównego MO na
kierunek wektora głównego jest także wielkością stałą.
Zatem każdy układ sił ma dwa niezmienniki (tj. wielkości niezależne od położenia
środka redukcji), którymi są: wektor główny R oraz rzut momentu głównego MO
obliczonego względem dowolnego środka redukcji O na kierunek wektora głównego R.
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 8
Mechanika techniczna
Redukcja przestrzennego układu sił do skrętnika
Układ wektora głównego R i momentu głównego MO, obliczonego względem środka
redukcji O, można zredukować do prostszej postaci. Niech wektory R i MO będą
przyłożone w punkcie O, początku układu współrzędnych. Moment główny MO rozkłada
się na dwie składowe: M’O - zgodną z kierunkiem wektora głównego R i M”O prostopadłą do tego wektora.
Następnie składową M”O zastępuje się parą sił (-R, R),
leżącą w płaszczyźnie prostopadłej do M”O, przy czym
siła (-R) jest przyłożona w punkcie O. Linia działania
drugiej siły R będzie przechodzić przez pewien
szczególny punkt C, którego położenie jest opisane
promieniem wektorem r, wynikającym z następującej
zależności
MO  r  R
która określa równoważność zastępowania wektora M”O parą sił (-R, R). W wyniku tych
przekształceń otrzymuje się dwie siły (-R, R) przyłożone w punkcie O, które można
usunąć jak układ równoważący się.
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 9
Mechanika techniczna
Redukcja przestrzennego układu sił do skrętnika
Cały układ redukuje się wówczas do siły R przyłożonej do punktu C oraz składowej
momentu głównego M’O równoległej do R
R
M O  M O cos 
R
gdzie:
R/R - wektor jednostkowy (wersor) o kierunku i zwrocie wektora R,
cos  - cosinus kąta między wektorami R i MO
cos 
Rx M Ox  Ry M Oy  Rz M Oz
RMO
Ponieważ wektor M’O jest wektorem swobodnym, to można go przenieść do punktu C.
Tak więc wykazano, że dowolny przestrzenny układ n sił można zredukować do dwóch
wektorów kolinearnych: wektora głównego R i wektora M‘O. Taki prosty układ tych
wektorów nazywa się skrętnikiem, a ich linia działania, przechodząca przez punkt C,
nazywa się osią centralną układu sił Pi.
Układ złożony z wektora głównego R i składowej momentu głównego M’O
leżącej na linii działania wektora R, jest nazywany skrętnikiem.
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 10
Mechanika techniczna
Redukcja przestrzennego układu sił do skrętnika
Równanie osi centralnej wyznacza się, redukując wektor główny R i moment główny MO
(obliczony względem środka redukcji O) do innego środka redukcji, którym jest punkt C.
Moment główny MC względem punktu C, opisany promieniem wektorem r o składowych
(-x, -y, -z), jest równy
i j k
M C  M O  r  R  M O   x  y  z  M Cx i  M Cy j  M Cz k 
R x R y Rz
 M Ox i  M Oy j  M Oz k  ( Rz y  Ry z )i  ( Rz x  Rx z ) j  ( Ry x  Rx y )k
Stąd otrzymuje się składowe wektora głównego Mc
M Cx  M Ox  Rz y  Ry z
M Cy  M Oy  Rz x  Rx z
M Cz  M Oz  Ry x  Rx y
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 11
Mechanika techniczna
Redukcja przestrzennego układu sił do skrętnika
Ponieważ punkt C leży na osi centralnej, więc MC = M’O. Wówczas wektory R i MC, jako
kolinearne, muszą być wzajemnie proporcjonalne, czyli
M Cx M Cy M Cz


Rx
Ry
Rz
a ostatecznie
M Ox  Rz y  Ry z
Rx

M Oy  Rz x  Rx z
Ry

M Oz  Ry x  Rx y
Rz
Związki te przedstawiają dwa niezależne równania liniowe z trzema niewiadomymi
(x, y, z) będące równaniem osi centralnej układu sił. Prosta ta ma takie same cosinusy
kierunkowe jak wektor główny układu R.
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 12
Mechanika techniczna
Redukcja przestrzennego układu sił do siły wypadkowej
Szczególny
przypadek
redukcji
przestrzennego układu sił wystąpi
wtedy, gdy wektor momentu głównego
MO, obliczony względem dowolnego
punktu O, będzie prostopadły do
wektora głównego R (rys. a).
Składowa momentu głównego M’O
będzie równa zeru i układ redukuje się
wyłącznie do wektora głównego R,
przechodzącego przez punkt C.
Oznacza to, że taki układ sił P, daje się zredukować wyłącznie do jednej siły R, która jest
wypadkową układu sił, leżącą na osi centralnej układu. W tym przypadku oś centralna
staje się linią działania wypadkowej (rys. b).
Warunkiem koniecznym i dostatecznym, aby przestrzenny układ sił
redukował się do wypadkowej, jest istnienie różnego od zera wektora
głównego R i prostopadłość głównego wektora momentu MO względem
dowolnie wybranego punktu O do linii działania wektora głównego R.
Jeżeli moment główny Mo, obliczony względem punktu O, jest równy zeru, to układ sił
redukuje się do siły wypadkowej przechodzącej przez środek redukcji O.
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 13
Mechanika techniczna
Redukcja przestrzennego układu sił do dwóch sił skośnych i pary sił
W ogólnym przypadku redukcji przestrzennego układu sił Pi otrzymuje się dwa
wektory R i MO, które tworzą ze sobą kąt . Układ ten, przekształcony zgodnie z
rys. a, powoduje uzyskanie dwóch sił wichrowatych (skośnych). Wektor momentu
głównego MO zastępuje się parą sił o zwrocie narzuconym przez zwrot tego
wektora, leżącego w płaszczyźnie  prostopadłej do wektora MO. Niech to będą siły
(P, -P) o ramieniu e, przy czym MO = e x P. Jedną z sił pary (np. –P) należy
umieścić w środku redukcji O. Składając siły R i –P leżące w płaszczyźnie O,
otrzymuje się w rezultacie dwie siły skośne P i F (rys. b).
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 14
Mechanika techniczna
Redukcja przestrzennego układu sił do dwóch sił skośnych i pary sił
Z przeprowadzonej analizy wynika następujący wniosek:
Przestrzenny układ sił daje się sprowadzić do dwóch sił wichrowatych
(skośnych) z których jedna przechodzi przez środek redukcji O.
Następnie należy rozpatrzyć kolejny szczególny
przypadek redukcji przestrzennego układu sił, gdy
wektor główny równa się zeru
n
R   Pi  0
i 1
natomiast moment główny MO względem dowolnego
punktu O nie jest równy zeru
n
M O   M iO  0
i 1
Układ redukuje się do pary sił (-P, P) której moment jest równy momentowi głównemu
układu MO = r x P. Moment główny MO w rozpatrywanym przypadku nie zależy od
wyboru punktu O, gdyż suma geometryczna momentów sił tworzących parę sił jest stała
dla wszystkich punktów przestrzeni i równa momentowi pary.
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 15
Mechanika techniczna
Redukcja przestrzennego układu sił
Zestawienie wszystkich przypadków, które zachodzą przy redukcji
dowolnego przestrzennego układu sił działających na ciało
sztywne:
1. R  0, MO  0 - układ sił redukuje się tylko w jeden sposób
do skrętnika, a na wiele sposobów - do dwóch sił skośnych,
2. R  0, MO  0 oraz MO  R - układ sił redukuje się do sumy
geometrycznej zwanej siłą wypadkową (R = W),
3. R  0, MO = 0 - układ sił redukuje się do siły wypadkowej
przechodzącej przez środek redukcji,
4. R = 0, MO  0 - układ sił redukuje się do pary sił,
5. R = 0, MO = 0 - układ sił jest w równowadze.
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 16
Mechanika techniczna
Równowaga przestrzennego układu sił
Pojęcie równowagi dwóch sił zostało określone w drugiej zasadzie statyki. Zasadę tę
można uogólnić na dowolny przestrzenny układ sił, który można zredukować w ogólnym
przypadku do dwóch sił skośnych. Na podstawie drugiej zasady statyki wiadomo, że
dwie siły równoważą się, gdy mają tę samą linię działania, te same wartości i przeciwne
zwroty. Uzyskane w efekcie redukcji przestrzennego układu sił dwie siły skośne dla
przypadku, gdy układ ten jest w równowadze, muszą spełniać powyższe warunki dwóch
sił równoważących się. Suma geometryczna R takich sił jest równa zeru oraz ich
moment główny MO jest równy zeru. Tak więc warunek równowagi można sformułować
następująco:
Przestrzenny układ n sił jest w równowadze, jeżeli jego wektor główny R
jest równy zeru oraz moment główny MO układu względem dowolnego
punktu O jest równy zeru.
Moment główny układu będącego w równowadze jest równy zeru względem każdego
punktu w przestrzeni. Ponadto należy stwierdzić, że wszystkie układy sił będące w
równowadze są układami równoważnymi.
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 17
Mechanika techniczna
Równowaga przestrzennego układu sił
Analityczne warunki równowagi
n
R   Pi  0
i 1
n
n
i 1
i 1
M O   M iO   ri  Pi  0
Rozpisując oba równania wektorowe, otrzymuje się
R  i  Pix  j  Piy  k  Piz  0
M O  i  M ix  j  M iy  k  M iz  0
Wektory te będą równe zeru, jeżeli wszystkie ich składowe będą równe zeru. Stąd
otrzymujemy sześć równań skalarnych
 P  0,
 M  0,
ix
ix
P
M
iy
iy
 0,
 0,
P  0
M  0
iz
iz
Przedstawione równania równowagi w postaci wektorowej lub w postaci skalarnej noszą
nazwę równań równowagi przestrzennego układu sił.
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 18
Mechanika techniczna
Równowaga przestrzennego układu sił
Warunek równowagi można sformułować w innym, równoważnym brzmieniu:
Przestrzenny układ sił Pi jest w równowadze, jeżeli suma rzutów wszystkich
sił na trzy osie układu jest równa zeru i suma momentów wszystkich sił
względem trzech osi układu jest równa zeru.
Jeżeli rozpatruje się równowagę ciała sztywnego pod działaniem dowolnego
przestrzennego układu sił, to liczba niewiadomych może być równa sześciu, gdyż
tyle mamy równań do ich wyznaczenia. Jeżeli niewiadomych jest więcej niż sześć,
to zadanie jest statycznie niewyznaczalne i nie można go rozwiązywać przy
zastosowaniu metod statyki ciała sztywnego. Z sześciu równań równowagi
wynikają szczególne przypadki równań równowagi prostszych układów sił, które
rozpatrzono poprzednio.
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 19
Mechanika techniczna
Równowaga przestrzennego układu sił
Przy rozwiązywaniu przykładów na równowagę ciał sztywnych poddanych
działaniu dowolnego przestrzennego układu sił należy stosować
następujące wskazówki metodyczne:
a) wydzielić ciało sztywne bądź ciała sztywne, których równowagę
rozpatrujemy,
b) narysować siły czynne i reakcje więzów, obciążające te ciała,
c) sprawdzić czy układ sił jest statycznie wyznaczalny i obrać układ
współrzędnych Oxyz,
d) napisać równania równowagi,
e) rozwiązać układ równań zestawiony w punkcie d) i wyznaczyć
wielkości niewiadome,
f) dokonać sprawdzenia.
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 20