Transcript Kinematyka-prezentacja

Kinematyka
Ruch jednowymiarowy
Elementy rachunku wektorowego
Ruch na płaszczyźnie i w przestrzeni
RHW t.1 rozdz. 2-4
dr hab. inż. Monika Lewandowska
Ruch jednowymiarowy (I)
Przykładowa zależność położenia od czasu
2
Ruch jednowymiarowy (II)
Prędkość średnia
vśr = Dx/Dt = tg a
3
Przykład 2.1
Jechałeś samochodem z po prostej drodze z szybkością 70 km/h.
Po przebyciu km skończyło ci się paliwo i samochód się
zatrzymał. Musiałeś iść pieszo 2 km do stacji benzynowej, co
zajęło 30 min.
a) Ile wynosiło twoje przemieszczenie od początku podróży do
stacji benzynowej?
b) Ile czasu upłynęło od początku podróży, do chwili przybycia
na stację benzynową?
c) Ile wynosiła twoja prędkość średnia w czasie od początku
podróży do przybycia na stację benzynową (2 sposobami).
d) Załóżmy, że nabrałeś benzyny i wróciłeś do samochodu co
zajęło ci 45 min. Ile wynosi twoja średnia prędkość i średnia
szybkość w czasie od początku podróży do chwili powrotu z
benzyną do samochodu.
e) Załóżmy, że po nalaniu benzyny powróciłeś do punktu startu z
prędkością 35 km/h. Ile wynosi średnia prędkość dla całej
podróży?
4
Przykład 2.2
Na rysunku (a) przedstawiono
wykres położenia od czasu
windy początkowo nieruchomej
a następnie jadącej do góry i w
końcu zatrzymującej się.
Zakładając, że podczas
przyspieszania i hamowania
winda poruszała się ruchem
jednostajnie zmiennym sporządź
wykres v(t) i a(t)
RHW rys. 2.6
5
Ruch jednowymiarowy – podstawowe
definicje i wzory






Dxt1 t2  x(t2 )  x(t1 )
Przemieszczenie = zmiana położenia
Prędkość średnia = przemieszczenie/(przedział czasu, w którym ono
nastąpiło)
x(t )  x(t1 ) Dx
vśr t1 t 2  2

t2  t1
Dt
Średni moduł prędkości (szybkość) = droga/ (czas potrzebny na
st1 t2
st1 t2
jej przebycie)
v śr t t 

0
1
2
t 2  t1
Dt
Dx dx
v
(
t
)

lim

Prędkość chwilowa:
Dt 0 Dt
dt
Przyspieszenie średnie = (przyrost prędkości)/ (przedział czasu, w
którym on nastąpił)
v(t 2 )  v(t1 ) Dv
a śr t1 t2 

t 2  t1
Dt
2
Dv dv d x
a

lim

 2
Przyspieszenie chwilowe:
Dt 0 Dt
dt dt
t
x (t )  x0   vdt
t0
t2
st1 t 2   v dt
t1
t
v(t )  v 0   adt
t0
6
Elementy rachunku wektorowego (I)
Geometryczne dodawanie i odejmowanie wektorów
7
Elementy rachunku wektorowego (II)
Układ współrzędnych kartezjańskich, składowe wektora
Wersor – wektor jednostkowy
Wersory wyznaczające położenie
osi układu współrzędnych :

i  [1,0,0]

j  [0,1,0]

k  [0,0,1]
Składowa wektora – rzut wektora na dany
kierunek, np. na oś układu współrzędnych
  


A  Ax  Ay  Axi  Ay j  [ Ax , Ay ]
Ax  A cos
Ay  A sin 
A  Ax2  Ay2
długość wektora
8
Elementy rachunku wektorowego (III)
Działania na wektorach przy użyciu składowych
 
A  B  [ Ax  Bx , Ay  By , Az  Bz ] dodawanie i odejmowanie

kA  [kAx , kAy , kAz ] mnożenie przez skalar
Iloczyn skalarny
 
A  B  ABcos  Ax Bx  Ay By  Az Bz
Iloczyn wektorowy



i
j k
  
C  A  B  Ax Ay Az
Bx By Bz
C  ABsin 
 
 
CA i CB
RHW Rys. 3.20. Reguła prawej dłoni wyznaczania zwrotu iloczynu wektorowego 9
Przykłady 4.2-4.4
Współrzędne biegnącego królika opisują równania:
x(t)= -0.31t2 +7.2t+28 oraz y(t)=-0.22t2 -9.1t+30, gdzie t wyrażono w
sekundach, a x i y w metrach.
a) Znajdź wektor położenia królika w chwili t=10 s i wyraź go za
pomocą współrzędnych oraz przez długość i kierunek.
b) Wykreśl tor królika od t=0 do t=25 s.
c) Znajdź wektor prędkości oraz wektor przyspieszenia królika w
chwili t=10 s i wyraź go za pomocą współrzędnych oraz przez
długość i kierunek.
10
Przykład: Rzut ukośny
Z urwiska o wysokości h wystrzelono pocisk nadając mu prędkość
początkową v0 skierowaną pod kątem 0 do poziomu. Na jaką
maksymalną wysokość wzniesie się pocisk? Po jakim czasie, w
jakiej odległości od podstawy urwiska oraz pod jakim kątem do
poziomu pocisk uderzy w ziemię? Obliczenia wykonaj dla
h = 100 m, 0 = 30o i v0 = 100 m/s.
Na rysunku pokazano wektor
prędkości początkowej i wektory
prędkości pocisku w różnych
punktach toru oraz składowe
tych wektorów. Składowa
pozioma prędkości pozostaje
stała, zaś jej składowa pionowa
zmienia się w sposób ciągły.
RHW Rys. 4.10. Tor pocisku
11
Ruch po okręgu (I)


j  droga kątowa [rad], droga przebyta przez cząstkę: s  j r
dj


Prędkość kątowa jest wektorem o wartości
dt [rad/s]
i kierunku prostopadłym do płaszczyzny okręgu. Zwrot wektora
określa reguła prawej dłoni.






Prędkość liniowa v    r [m/s] wektor styczny do okręgu
Przyspieszenie liniowe [m/s2]



 dv d   dr     

a

r  
   r    v  at  a n
dt
dt
dt 
 d

Wektor przyspieszenie kątowego 
[rad/s2] jest
dt
równoległy (gdy ciało przyspiesza) lub antyrównoległy (gdy zwalnia) do


wektora
. Wartość przyspieszenia stycznego
dv d

r   r, zaś przyspieszenia dośrodkowego
wynosi a t 
dt
dt
v2
  2 r.
(normalnego) wynosi a n 
r
12
Ruch po okręgu (II)
W ruchu jednostajnym po okręgu (  const,   0) czas
potrzebny na wykonanie jednego pełnego obiegu (tzn. drogi
kątowej 2p rad) nazywamy okresem T. Zachodzi związek:
T = 2p/ .
Odwrotność okresu, równą liczbie obiegów wykonanych w
jednostce czasu nazywamy częstotliwością
f =1/T = /2p [Hz] .
13
Przykład
Talerz adaptera o średnicy d = 20 cm obraca się ruchem jednostajnym
wykonując 33 obroty/min w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek
zegara. Oblicz
a) prędkość kątowa talerza,
b) prędkość liniową i przyspieszenie dośrodkowe punktu na brzegu
talerza.
c) Ile obrotów/min powinien wykonywać talerz, aby przyspieszenie
dośrodkowe punktu na jego brzegu było równe przyspieszeniu
ziemskiemu? Jaki byłby jego okres obrotu?
d) Gdy adapter wyłączono talerz zatrzymał się po upływie 10 s.
Zakładając, że siła oporu była stała obliczyć przyspieszenie
kątowe talerza podczas hamowania oraz ilość obrotów, które
wykonał talerz od momentu wyłączenia do zatrzymania. Oblicz
przyspieszenie liniowe punktu na brzegu talerza w chwili
rozpoczęcia hamowania. Narysuj wektory prędkości i
przyspieszenia kątowego talerza oraz prędkości liniowej,
przyspieszenia dośrodkowego, stycznego i całkowitego punktu na
brzegu talerza tuż po wyłączeniu adaptera.
14