Transcript funkcja
Dane do obliczeń Korzystanie z tabel danych • Tablice w formacie swobodnym: podobne do macierzy lecz z możliwością dynamicznej zmiany ilości wierszy i kolumn – Menu: Insert/Component/Input Table Korzystanie z tabel danych Korzystanie z tabel danych • Zewnętrzne pliki z danymi, pliki w formatach rozpoznawalnych przez MathCADa (text, MatLab, QuattroPro, Lotus123, dBaseIII) – Menu: Insert/Component/File Read or Write Korzystanie z tabel danych Korzystanie z tabel danych • Arkusze Excela, umożliwiają operacje dostępne w Excelu. Należy podać zakres komórek, w których mieszczą się dane wyjściowe. – Zakresów może być kilka – Każdy zakres to osobna zmienna – Wszystkie zmienne tworzą wektor, który wypełnia się nazwami zmiennych – Wywołanie zmiennych jak dla zmiennych wektorowych lub macierzowych – Zawartość może być zarówno liczbą jak i tekstem Wektor zmiennych Analiza danych Aproksymacja danych definicja • Aproksymacja jest działem analizy numerycznej zajmującym się najbardziej ogólnymi zagadnieniami przybliżania funkcji, polegającymi na wyznaczaniu dla danej funkcji f(x) takich funkcji F(x), które w określonym sensie najlepiej przybliżają funkcję f(x). zastosowanie • gdy funkcja f(x) jest zdefiniowana bardzo skomplikowanym wzorem • gdy funkcja f(x) określona jest na dyskretnym zbiorze argumentów i znana jest postać funkcji aproksymującej otrzymuje się zależność ciągłą. Określa się tylko wartości liczbowe parametrów, przy których przybliżenie danej funkcji jest najlepsze – wyznaczanie parametrów na podstawie danych doświadczalnych rodzaje • aproksymacja interpolacyjna • aproksymacja jednostajna • aproksymacja średniokwadratowa aproksymacja interpolacyjna • żąda się spełnienia warunku, aby funkcja dana f(x) i funkcja szukana F(x) przyjmowały dokładnie te same wartości na zbiorze z góry ustalonych punktów węzłowych. Czasem uzupełnia się warunkiem równości pochodnych w węzłach (jeżeli wartości pochodnych zostaną zadane). aproksymacja interpolacyjna 3.112 4 2 f ( x) y ( v) 0 2 3.232 f ( x) 2 ln x 1 sin ( 2x) 4 2 3 0 2 x v 4 6 7 aproksymacja jednostajna • funkcję f(x) przybliżamy taką funkcją F(x) w całym przedziale [a,b], że maksymalne odchylenie osiąga minimum aproksymacja średniokwadratowa • funkcja aproksymująca wyznaczana jest z warunku, aby wartość wyrażenia b E F x f x dx min 2 a była możliwie najmniejsza. Geometrycznie warunek ten wyraża żądanie, aby pole powierzchni między liniami reprezentującymi funkcję było najmniejsze • Przy znanej postaci funkcji aproksymującej wartość E jest funkcją parametrów tej funkcji aproksymacja średniokwadratowa • W przypadku dyskretnego zbioru argumentów funkcja celu przyjmuje postać: E F xi f xi min 2 i Jawna aproksymacja średniokwadratowa w MathCADzie • Dzięki procedurze: minimize(funkcja, p1, p2,...) można tak dobrać szukane parametry funkcji aproksymującej aby zminimalizować sumę kwadratów odchyleń miedzy wartościami stabelaryzowanymi a obliczonymi z funkcji. funkcja – to funkcja obliczająca sumę kwadratów odchyłek miedzy wartościami danymi w zbiorze i obliczonymi funkcja aproksymującą. Argumentami są parametry funkcji aproksymującej • Algorytm: 1. Utworzenie funkcji dopasowującej. Argumentami są zmienna niezależna oraz szukane parametry 2. Nadanie licznikowi wartości z zakresu od 0 do ilość punktów danych w zbiorze –1 – Ilość danych w zbiorze można uzyskać stosując funkcję length, której argumentem jest dowolna kolumna danych 3. Utworzenie funkcji obliczającej sumę kwadratów odchyłek między doświadczeniem a wartościami obliczonymi z funkcji. Zmiennymi utworzonej funkcji są parametry funkcji aproksymującej 4. Założenie startowych wartości parametrów 5. Wykonanie procedury Minimize na utworzonej funkcji i parametrach. Analiza danych • Dowolna funkcja o parametrach wyznaczonych narzędziem genfit: c:=genfit(X, Y, c0, F) – c0 – startowy wektor szukanych parametrów funkcji – c - wektor szukanych parametrów – F – funkcja wektorowa zmiennej niezależnej i wektora c, składająca się szukanej funkcji oraz jej pochodnych po parametrach – X – zmienne niezależne ze zbioru danych – Y – zmienne zależne ze zbioru danych Analiza danych • Aproksymacja wielomianem: – – aproksymacja średniokwadratowa składnia Z:= Regress(X, Y, s) • • • • X wektor zmiennych niezależnych Y wektor zmiennych zależnych s – stopień wielomianu Wynikiem jest wektor Z, którego s+1 ostatnich elementów to parametry wielomianu Analiza danych • Kubiczna funkcja sklejana (Cubic Spline) – aproksymacja interpolacyjna – składnia Z:=lspline(X, Y) – Wynikiem jest wektor Z, parametrów funkcji sklejanej – Funkcja wymaga posortowania danych W:=csort(W,i), W – macierz danych, i – nr kolumny porządkującej Analiza danych • Funkcja interpretująca równanie interp uwalnia od konieczności pisania równania: F(x):=interp(Z, X, Y, x) odpowiada np. Y(x):=Z4+Z5x+Z6x2 (przy Z wyznaczonym procedurą regress) – – – Z – wektor znaleziony przez procedurę aproksymującą X, Y – wektory zmiennych zależnych i niezależnych ze zbioru danych x – zmienna niezależna Można całkować Można różniczkować