Transcript Ekonometria - wykład w roku 2009

Ekonometria
mat. pomocnicze 3
W. Borucki
Modele ekonometryczne






MNK
Modele liniowe
Modele nieliniowe
Modele z wieloma zmiennymi
Ocena dobroci dopasowania modelu
Wykorzystanie modeli ekonometrycznych
Wprowadzenie 1

Zastosowanie modeli matematycznych do opisu zjawisk ekonomicznych.
Przykładami są:
–
–
–
–


Zależność popytu na alkohol od wielkości dochodów rozporządzalnych
Rozwój (w czasie) konsumpcji cukru, słodyczy, …
Wydajność pracy w zależności od technicznego uzbrojenia pracy i/lub bodźców
płacowych,
…
Zjawiska ekonomiczne opisane są zbiorem wartości zmiennych zależnych
(objaśnianych) i niezależnych (objaśniających) – wektorami (punktami),
których współrzędne odpowiadają obserwowanym wartościom zmiennych
Co obserwujemy ? Jak to mierzymy?
–
–
–
–
–
Zmienne ekonomiczne, ich (standaryzowane) definicje i substytuty (symptomy?)
Wzorce miar i błędy pomiaru
Rola czasu („ nie wchodzi się dwa razy do tej samej rzeki”)
Zmiany definicji i klasyfikacji (porównywalność w czasie).
Wprowadzenie 2


Model matematyczny, to początkowo hipoteza, a następnie teza o
rodzaju zależności pomiędzy zmiennymi objaśnianymi i objaśniającymi
(odpowiednia formuła matematyczna)
Modele dzielimy na:
–
–
–
–
–


Z jedną zmienną objaśniającą lub wieloma zmiennymi objaśniającymi,
Liniowe lub nieliniowe,
Jednorównaniowe lub wielorównaniowe,
O równaniach niezależnych lub współzależnych
Ze zmiennymi ilościowymi i/lub jakościowymi
Spośród różnych hipotez (propozycji modeli) tezą staje się (wybierany
jest) ten model, dla którego odpowiednio zdefiniowany wskaźnik
jakości jest największy
Jak ocenić jakość modelu - zdefiniować wskaźnik jakości modelu?
Przykład z arkusza 1

Rozwój w czasie zmiennej obserwowanej

Co można powiedzieć o prawidłowości
rozwoju? (w języku matematycznym)
Wprowadzenie 3
A
y = cx + d
(xi ,yi)
y
B
???
y = ax + b
C
x
Która prosta lepiej opisuje rzeczywistość ?
Metoda najmniejszych kwadratów 1
n
S (a, b)  { yi (axi  b)}2 
 min
i 1
n
S
 2 ( yi  axi  b)( xi )  0
a
i 1
n
S
 2 ( yi  axi  b)(1)  0
b
i 1
Metoda najmniejszych kwadratów 2
- układ równań
n
n
n
i 1
i 1
a  x  b xi   xi yi
i 1
2
i
n
n
n
i 1
i 1
i 1
a  xi  b 1   yi
NMK 4
a
 ( x  x )( y  y )
i
i 1
i
n
(x  x)
i 1
2
i
b  y a x
MNK 3
Współczynnik zbieżności i/a współczynnik korelacji
2 
2
S min
n
2
(
y

y
)
 i
i 1
n
2
S min
  { y i  (axi  b)}2
i 1
n
R2 
2
{(
x

x
)(
y

y
)}
 i
i
i 1
n
n
2
2
(
x

x
)
(
y

y
)
 i
 i
i 1
i 1
Trendy - funkcje czasu




Liniowy (stała prędkość
wzrostu)
Potęgowy (stała
elastyczność)
Wykładniczy (stała stopa
wzrostu)
Logistyczny (poziom
nasycenia i punkt
przegięcia)
y (t )  at  b
y (t )  At

t
y (t )  Ae
a
y (t ) 
t
1  be
Wspomniane wskaźniki
mikroekonomiczne

Prędkość wzrostu

Stopa wzrostu

Elastyczność
dy
pw 
dx
dy 1
sw 
dx y
dy dx
el 
:
y x
Trendy 2





Zastosowanie: do prognozowania.
Prognoza, to każde zdanie warunkowe (uzasadnione
prawami rozwojowymi – przeniesionymi z przeszłości
{?}) odnoszące się do przyszłości.
Uwaga: Wróżba, to też zdanie odnoszące się do
przyszłości! (ale bez naukowego uzasadnienia)
Czy potrafimy określić wielkość błędu prognozy? Jakie
czynniki mogą mieć wpływ na jego wielkość?
Jak błąd prognozy zmienia się w zależności od
horyzontu prognozy?
Modele nieliniowe - linearyzacja



Dla modeli potęgowego i wykładniczego – obustronne
logarytmowanie, a następnie operacje odwrotne
Dla modeli wielomianowych (model kosztu całkowitego
lub jednostkowego) bądź hiperbolicznych (modele
Törnquista) – wprowadzenie zmiennych pomocniczych
(odpowiednia potęga zmiennej objaśniającej, lub
odpowiednie ilorazy wynikające z dobranych
przekształceń)
Inne modele (np. logistyczny) – indywidualnie
Modele nieliniowe – przykłady
zastosowań



Krzywe Engla (funkcje
popytu)
Modele wykładnicze
(głównie trendy)
y  Ax ,
Funkcje kosztów
y  a0  a1 x  a2 x 2  a3 x 3
(x – rozmiar działalności)
–
całkowitych
–
jednostkowych

t
y  Ae
dla   1
dla t  0
1
z  a0  a1  a2 x  a3 x 2
x
Modele Törnquista 1
Na dobra
podstawowe
Na dobra wyższego
rzędu
Na dobra luksusowe
x
ya
xb
xc
ya
xb
xc
y  ax
xb
1. Model Törnquista
Własności
ax
lim x 
a
xb
ax
lim x  b 
 
xb
y
y x
b
y
e

* 
x x y x  b
x
Szacowanie
ax
y
xb
yx  by  ax // x
y
y  b  a
x
y  b z  a
Własności modelu Törnquista (II rz.)
a ( x  c)
lim x 
a
xb
a( x  c)
lim x c
0
xb
a ( x  c)
lim x   b 
 
xb
y
y x
a ( x  b)  a ( x  c )
x
y
e

* 

2
x
a( x  c)
x y
( x  b)
x
xb
(b  c ) x

( x  b)(x  c )
Linearyzacja modelu Törnquista III rz.
przekształcenia
xc
y  ax
xb
xc
lim x  ax

xb
y ( x)
lim x 
a
x
lim x   b (  ) y ( x)  
yx  by  ax2  acx // x
y
y  b  ax  ac
x
y  bz  ax  ac
y  z   x  
Modele nieliniowe – trend logistyczny i
metoda Hotelinga
a
y
1  be ct
lim t  y (t )  a
a
ln b
t( ) 
2
c
a
y ( 0) 
1 b
dy c
 y (a  y )
dt a
dy
dt  c  c y
y
a
y y
 t  t t 1
yt
    y
c
 
a
 c
Modele z wieloma zmiennymi
objaśniającymi



Model
Szacowanie
parametrów, układ
równań
n
y   ai xi  b  
i 1
 1 
 
 2
 ...  
Podstawowe problemy α 
 
– dobór zmiennych do
 n 
modelu  
współliniowość
 
–
zmiennych
błędy ocen
parametrów
 y1 
 x11 x21
y 
x x
 2
y   ...  X   12 22
 .
.
 

 ym1 
x1m x2 m

 ym 
(y  α T XT )T (y  α T XT )  min
( X XT )α  X y
... xn1 1
... xn 2 1
... . . 

... xnm 1
Błędy średnie ocen parametrów
D (Δ j ) 
E ((a j  α j ) 2 )  
c jj
C  ( X XT )
s2 
S k2, min
n  k 1
d ( a j )  s c jj
P{ a j   j  t p d ( a j )}  1  p
a j  t p d (a j )   j  a j  t p d (a j )
Ocena jakości modelu

Ocena statystyczna
–
–
–

Ocena merytoryczna
–
–

Podstawy teoretyczne
Możliwości interpretacyjne
Celem pracy ekonometryka jest
–

Stabilność zjawiska
Współczynnik determinacji
Błędy ocen parametrów
Dobry wskaźnik jakości modelu i małe błędy ocen parametrów i racjonalna (naukowa)
interpretacja wyników
A Jego dylematy?
–
–
Dużo zmiennych to dużo szumów informacyjnych, większe błędy ocen parametrów
ale mniejsza suma kwadratów reszt
Mało zmiennych to oczekiwana prostota ale zbyt duży redukcjonizm (uproszczenie
rzeczywistości) i gorsze dopasowanie do wyników obserwacji
Dobry model ?




Zgodny z obserwacjami
Prosty
Interpretowalny / dobrze wyjaśniający
Które zmienne warto włączyć do opisu
badanego zjawiska?
Wybór zmiennych objaśniających
metodami statystycznymi





Wyznaczyć macierz
współczynników korelacji
zmiennych objaśniających
R={rij} oraz wektor R0
Utworzyć kombinacje
zmiennych – (k – nr komb.)
Dla każdej kombinacji
wyznaczyć pojemność
informacyjną hkj (j - ind. zm.)
Wyznaczyć integralną
pojemność informacyjną Hk
dla kombinacji
Wybrać kombinację o
maksymalnym Hk
R0
R
2
hkj 
r0 j
r
iI k
ij
H k   hkj
j
Funkcja produkcji Cobb-Douglasa


przy     1
Y  AC L
Y
C 
A 
L
L

Stałe elastyczności
 Substytucyjność kapitału i pracy
 Współliniowość zmiennych

Funkcja produkcji wg Leontief’a
y  mina ( s ) M , b( z ) L
M  m ajatek
L  praca
a  wydajnoscm ajatku
b  wydajnosc pracy
z  bodzce
s  stym ulatorefektywnosci
Ekonometria – etapy budowy modelu
ekonometrycznego






Określenie celu badań (modelowania) – zdefiniowanie zmiennej
objaśnianej i/lub zmiennych sterujących
Postawienie hipotez roboczych (wynikających z merytorycznego
rozpoznania problemu) – określenie zbioru zmiennych objaśniających i
rodzaju zależności między nimi i zmienną (-ymi) objaśnianą (-ymi)
Zebranie danych, ich wstępna analiza (uaktualnienie hipotez
dotyczących rodzaju zależności)
Estymacja parametrów modelu
Ocena „poprawności” modelu (statystyczna – współczynnik
zbieżności, błędy ocen parametrów i ich istotność, a także
merytoryczna – zgodność z teorią, „zdrowym rozsądkiem”,
interpretowalność,
Wykorzystanie modelu: sformułowanie wniosków (prognoz, predykcji) i
ich ocena
Przykład 1
W kraju Zab PKB/cap w roku Niedźwiedzia wynosił $
6000,- , a w kraju Gier wynosił $ 9000,-. Wiadomo że
w Zab dochód wzrasta ze stałą stopą wzrostu
wynoszącą 10% , a w Gier ze stałą prędkością
wzrostu wynoszącą $ 200,-.
Opisz funkcje trendów dochodów narodowych Gier i
Zab odpowiednimi modelami ekonometrycznymi i
odpowiedz na pytanie kiedy ich PKB/cap się
zrównają.
Przykład 2


Liczba użytkowników telefonów komórkowych może
być opisana funkcją logistyczną. Posiada ona
asymptotę odpowiadającą poziomowi 120 telefonów
na 100 osób. Poziom 60 telefonów / 100osób
osiągnięty został w ciągu 10 lat .
Jak wielka będzie ich liczba za dwa lata jeżeli
aktualnie mija 11 rok od uruchomienia sieci i
aktualna liczba użytkowników wynosi 72/100?
Przykład 3



Popyt na warzywa
opisany został funkcją
Jak zinterpretujemy
parametry tego modelu?
Jakie możemy mieć
zaufanie do predykcji
dokonanych w oparciu o
ten model?
y  0,17x 0.2  dla x  500zł
x  dochód w zł
y  wydatki na warzywa w zł
przy  2  0,15
param etrysa istotne statystycznie
Przykład 4



Popyt na mięso opisany
został funkcją liniową,
dla której współczynnik
zbieżności i błędy ocen
parametrów podane
zostały obok.
Jak interpretujemy
otrzymane wyniki?
Czy model uznać
można za dobrze
opisujący badane
zjawisko?
y  0,15x  2 z  20
gdzie
x  dochody w rodzinie
z  liczba osób w rodzinie
y  wydatkirodziny na mięię
Φ 2  0,05
błłdy ocen parametrównieistotne
Kilka pytań 1

Co to jest metoda najmniejszych
kwadratów?

Podaj postać funkcji Törnquista II
rodzaju i omów jej podstawowe
własności.


Jak można oszacować parametry trendu
potęgowego?
Stopa wzrostu dochodu narodowego na
głowę mieszkańca Pyrlandii jest od 2000
roku stała i wynosi 7%. Jak wielki będzie
ten dochód w roku 2010 jeżeli w 2000
wynosił 10 000 D/cap?
• Oszacowano model popytu
na mięso:
y  0,08x  650
gdzie
x  dochodyw rodzinie
y  wydatki rodziny na m ięię
 2  0,05
Zinterpretuj otrzymane
wyniki
Kilka pytań 2






Co to jest współczynnik zbieżności i jak się go wyznacza?
Podaj postać funkcji Törnquista III rodzaju i omów jej własności
Jak można szacować paramatry trendu wykładniczego?
Elastyczność dochodowa popytu na mięso wynosi 0,15, a
(teoretyczne ) wydatki przy dochodzie 1 tys. wynoszą 200 zł.
Pokaż funkcję popytu na mięso.
Prędkość wzrostu funkcji wartości zapasów w przedsiębiorstwie X
wynosi 0,15, a jeszcze pięć lat temu zapasów n ie było wcale.
Jaką funkcją opisać można trend rośnięcia zapasów w
przedsiębiorstwie X?
Oszacowanie parametrów funkcji kosztów całkowitych przyniosło
wyniki (poniżej)
Zinterpretuj otrzymane wyniki
y  1,15x 2  0,8x  650