Transcript logarytmiczne kryterium Nyquista
Slide 1
AUTOMATYKA
i
ROBOTYKA
(wykład 7)
Wykładowca : dr inż. Iwona Oprzędkiewicz
Nazwa wydziału: WIMiR
Nazwa katedry: Katedra Automatyzacji Procesów AGH
Slide 2
Stabilność układów – kryteria częstotliwościowe
Cechy kryteriów częstotliwościowych:
• wnioskowanie o stabilności układu na podstawie
doświadczalnie wyznaczonej charakterystyki
częstotliwościowej układu,
• o stabilności układu zamkniętego wnioskujemy na
podstawie przebiegu charakterystyki częstotliwościowej
układu otwartego,
• przebieg charakterystyki częstotliwościowej dostarcza
bezpośredniej informacji na temat zapasów stabilności.
Slide 3
Stabilność układów – kryteria częstotliwościowe
1. Zamknięty układ regulacji ( ze sprzężeniem zwrotnym):
R(s)
+
Gr(s)
G(s)
-
Gdzie:
Gr(s) oznacza transmitancję regulatora,
G(s) oznacza transmitancję obiektu regulacji
Slide 4
Stabilność układów – kryteria częstotliwościowe
2. Załóżmy, że w układzie rozłączamy sprzężenie zwrotne:
R(s)
+
Gr(s)
G(s)
-
Transmitancja operatorowa układu otwartego ( po
rozłączeniu toru sprzężenia zwrotnego):
G o ( s ) G r ( s )G ( s )
Lo ( s )
M o (s)
Slide 5
Stabilność układów – kryteria częstotliwościowe
3. Zakładamy że wielomian charakterystyczny układu otwartego
Mo(s) ma k pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie zespolonej ( i n-k
w lewej )
4. Oznaczmy transmitancję widmową układu otwartego przez Go(jω)
Twierdzenie 1 (kryterium Nyquista)
Równanie charakterystyczne układu zamkniętego ma
wszystkie
pierwiastki w lewej półpłaszczyźnie
zespolonej ( czyli układ zamknięty jest stabilny ) wtedy
i tylko wtedy, gdy przyrost argumentu wyrażenia
1+Go(jω) przy zmianie pulsacji ω w zakresie od 0 do
nieskończoności jest równy k:
arg 1 G
0
o
( j ) k
Slide 6
Stabilność układów – kryteria częstotliwościowe
UWAGI:
1. W przypadku układu otwartego stabilnego k = 0
przyrost argumentu wyrażenia 1+Go(jω)
przy
zmianie pulsacji ω
w zakresie od 0 do
nieskończoności powinien być równy 0, aby układ
zamknięty był stabilny.
2. Ważna w zastosowaniach praktycznych jest
geometryczna interpretacja kryterium Nyquista.
Slide 7
Interpretacja geometryczna kryterium Nyquista
Twierdzenie 2 ( kryterium Nyquista)
•Załóżmy, że układ otwarty jest stabilny.
•Układ zamknięty będzie stabilny wtedy i tylko wtedy,
gdy charakterystyka amplitudowo – fazowa układu
otwartego nie obejmuje punktu (-1,j0) na płaszczyźnie
zespolonej.
Slide 8
Interpretacja geometryczna kryterium Nyquista
Q(ω)
Układ niestabilny
P(ω)
Układ stabilny (-1,j0)
Układ stabilny
Układ na granicy
stabilności
Slide 9
Interpretacja geometryczna kryterium Nyquista
UWAGI:
1. Kryterium Nyguista pozwala wnioskować o stabilności
układu zamkniętego ( z zamkniętą pętlą sprzężenia
zwrotnego
)
na
podstawie
zachowania
się
transmitancji widmowej układu otwartego ( z otwartą
pętlą sprzężenia zwrotnego ),
2. Warunek z kryterium Nyquista może być sprawdzony
doświadczalnie.
Slide 10
Interpretacja geometryczna kryterium Nyquista
Twierdzenie 3 ( kryterium Nyquista)
Załóżmy, że układ otwarty jest niestabilny i ma k
pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie.
Układ zamknięty będzie stabilny wtedy i tylko wtedy,
gdy charakterystyka amplitudowo – fazowa układu
otwartego obejmuje k/2 razy w kierunku dodatnim
punkt (-1,j0) na płaszczyźnie zespolonej.
UWAGA: kierunek dodatni oznacza
przeciwny do ruchu wskazówek zegara.
kierunek
Slide 11
Kryterium Nyquista - przykład
Rozważmy układ otwarty o transmitancji równej:
Go (s)
1
s 3s 2 s 1
3
2
Należy sprawdzić przy pomocy kryterium Nyquista, czy
układ po zamknięciu sprzężenia zwrotnego będzie
stabilny.
Etap 1
Sprawdzamy stabilność układu otwartego przy pomocy
kryterium Hurwitza (zob. założenie twierdzenia Nyquista)
– układ otwarty jest stabilny.
Slide 12
Kryterium Nyquista - przykład
Etap 2
Wyznaczamy charakterystykę amplitudowo – fazową
układu otwartego
G o ( j )
1
j 3 j 2 1
3
2
1
(1 3 ) j ( 2 )
2
2
Slide 13
Kryterium Nyquista - przykład
2
(1 3 )
P ( )
2 2
2
2 2
(
1
3
)
(
2
)
2
(
2
)
Q ( )
2 2
2
2 2
(
1
3
)
(
2
)
Punkty charakterystyczne wykresu:
ω
P(ω)
Q(ω)
0
1
0
3
0
3 3
5
2
-0.2
0
0
0
1
Slide 14
Kryterium Nyquista - przykład
Układ zamknięty stabilny
Nyquist Diagram
1.5
1
Imaginary Axis
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
Real Axis
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Slide 15
Logarytmiczne kryterium Nyquista
Twierdzenie
Nyquista)
(
logarytmiczne
kryterium
1.Rozważmy
charakterystykę
częstotliwościową
logarytmiczną modułu i fazy układu otwartego.
2.Załóżmy, że układ otwarty jest stabilny.
Układ zamknięty będzie stabilny wtedy i tylko wtedy,
gdy dla fazy φ(ω180) = - wartość 20log(M(ω180))<0
Warunek sformułowany powyżej wynika wprost z
kryterium Nyquista.
Slide 16
Logarytmiczne kryterium Nyquista
20log(M(ω))
U Z gran stab
U Z niestabilny
U Z stabilny
Φ(ω)
-
Slide 17
Logarytmiczne kryterium Nyquista
Q(ω)
Układ niestabilny
M(ω)=1
(-1,j0)
Φ(ω)=-
Układ stabilny
Układ stabilny
Układ na granicy
stabilności
P(ω)
Slide 18
Zapas stabilności
Dla scharakteryzowania zapasu stabilności rozważymy stabilny
układ regulacji o znanym schemacie blokowym:
W (s )
–
G (s)
Y (s)
H (s)
Rys. Schemat blokowy układu regulacji
Slide 19
Zapas stabilności
Niech funkcja przejścia układu zamkniętego przyjmie postać (3 warianty):
G z (s)
G z (s)
G z (s)
Ku
T z1 s 2 z1T z1 s 1
2
2
Ku
(T z1 s 1)
2
Ku
(T z1 s 1)(T
z2
s 1)
przy czym
T z2 T z1
Z tych funkcji przejścia wynikają charakterystyki:
1)
2)
3)
4)
Char. oscylacyjna o dużym przeregulowaniu i dużym czasie regulacji,
Char. oscylacyjna o małym przeregulowaniu i małym czasie regulacji,
Char. inercyjna o małym czasie regulacji,
Char. inercyjna o dużym czasie regulacji.
Slide 20
Zapas stabilności
w
Aw
t
0
y
K u Aw
1
0
2
3
4
t
Rys. Charakterystyki czasowe ukł. dla skokowego sygn. sterującego
Slide 21
Zapas stabilności
Z pokazanych charakterystyk wynika, że nie wszystkie układy regulacji nadają się do praktycznego wykorzystania, mianowicie:
1. Nadaje się układ o charakterystyce 2 lub 3, mówimy,
że ma on właściwy zapas stabilności.
2. Nie nadaje się układ o charakterystyce 1, który ma za
mały zapas stabilności.
3. Nie nadaje się układ o charakterystyce 4, który ma za
duży zapas stabilności.
Slide 22
Zapas stabilności
Zapas wzmocnienia i fazy w układzie otwartym,
są to miary zapasu stabilności.
Zapas stabilności wyrażamy za pomocą
charakterystyk:
• amplitudowo-fazowej,
• logarytmicznych amplitudowej i fazowej,
Slide 23
Zapas stabilności
j Im H ( j ω ) G ( jω )
aπ
R e H ( jω ) G ( jω )
ωπ
-1
γ
1
ω
r=
ωφ
φ
Rys. Fragment charakterystyki amplitudowo-fazowej
Slide 24
Zapas stabilności
Dla pulsacji
H(j )G(j ) K d 1
a K d 1
Z rysunku
Więc zapas wzmocnienia:
Kd
1
a
Kd 1
dla układów stabilnych,
Kd 1
dla układów na granicy stabilności,
Kd 1
dla układów niestabilnych, czyli 0 K d 1.
Slide 25
Zapas stabilności
Zapas fazy (margines fazowy) zdefiniowany jest wzorem
180
przy czym:
0
dla układów stabilnych,
0
dla układów na granicy stabilności,
0
dla układów niestabilnych.
Slide 26
Zapas stabilności
W praktyce stosuje się wartości:
2 Kd 4
30 60
Zapas fazy ma znaczenie decydujące, natomiast zapas
wzmocnienia drugorzędne.
Slide 27
Zapas stabilności na charakterystykach Bodego
20log(M(ω))
M [dB]
Φ(ω)
-/2
-
φ
Slide 28
Zapas stabilności
6dB M 12dB
Stosowane wartości
zapasu wzmocnienia i fazy:
30 60
Oczywiście zachodzą zależności:
M 0 i 0
dla układów stabilnych,
M 0 i 0
dla układów na granicy stabilności,
M 0 i 0
dla układów niestabilnych.
Slide 29
Zapas stabilności
Uwagi:
•Zapasy stabilności pozwalają na określenie „marginesu
bezpieczeństwa” ze względu na stabilność przy
możliwych zmianach parametrów układu.
•Układ niestabilny ma ujemne wartości zapasów
stabilności, które wtedy są miarą, o ile należy
skorygować parametry np. regulatora dla uzyskania
stabilności.
Slide 30
Jakość regulacji
Rozważmy zamknięty układ regulacji (przypomnienie) :
Z(s)
r
E(s)
+
-
Gr(s)
gdzie:
•r – wartość zadana,
•E(s) – uchyb regulacji,
•U(s) – sterowanie,
•Z(s) –zakłócenie,
•Y(s)–wielkość regulowana
U(s)
-
+
G(s)
Y(s)
Gr(s) – transmitancja
regulatora,
G(s) – transmitancja
obiektu regulacji
Slide 31
Jakość regulacji – dokładność statyczna
Uchyb statyczny est
Błędem, odchyleniem lub uchybem statycznym
nazywamy uchyb regulacji występujący w układzie
regulacji w stanie ustalonym.
Dla układu z powyższego schematu uchyb statyczny
jest sumą uchybu pochodzącego od zakłócenia i
uchybu pochodzącego od wartości zadanej:
e st e e
z
st
r
st
Slide 32
Jakość regulacji – dokładność statyczna
Uchyby statyczne można wyznaczyć
twierdzenia o wartości końcowej:
z
e st
r
e st
na
lim e z ( t ) lim se z ( s ) lim s z ( s )
t
s 0
s 0
lim e r ( t ) lim se r ( s ) lim s R ( s )
t
s 0
Gdzie R(s) oznacza
wartości zadanej.
s 0
transformatę
podstawie
G (s)
1 G ( s )G r ( s )
1
1 G ( s )G r ( s )
Laplace’a
Slide 33
Jakość regulacji – dokładność statyczna
Przykład
Wyznaczyć uchyby ustalone pochodzące od:
1. skoku wartości zadanej na wejściu układu regulacji,
2. skoku zakłócenia na wejściu obiektu w układzie regulacji
składającym się z regulatora proporcjonalnego o wzmocnieniu kr oraz
obiektu inercyjnego I rzędu.
Gr (s) kr
z ( t ) 1( t ) Z ( s )
;
1
s
G (s)
k
Ts 1
; r ( t ) 1( t ) R ( s )
1
s
Slide 34
Jakość regulacji – dokładność statyczna
Uchyb ustalony od zakłócenia:
k
e
z
st
lim
s 0
s
Ts 1 lim
kk r
s
s 0 Ts
1
Ts 1
1
e
z
st
k
1 kk r
k
1 kk r
Slide 35
Jakość regulacji – dokładność statyczna
Uchyb ustalony od wartości zadanej:
e
r
st
lim s
s 0
1
s
1
1
kk r
lim
s 0
Ts 1
e
r
st
1
1 kk r
Ts 1
Ts 1 kk r
Slide 36
Jakość regulacji – jakość dynamiczna
Jakość dynamiczna regulacji może być określana na
podstawie:
1. bezpośrednich wskaźników jakości wyznaczanych
na podstawie przebiegu czasowego uchybu regulacji w
układzie,
2. parametrów charakterystyki częstotliwościowej
układu zamkniętego,
3. całkowych wskaźników jakości wyznaczanych na
podstawie przebiegów czasowych uchybu regulacji.
Slide 37
Jakość regulacji – jakość dynamiczna
0.3
e(t)
0.25
Bezpośrednie wskaźniki jakości
0.2
0.15
e
0.1
m
0.05
0
-0.05
e2
-0.1
-0.15
-0.2
0
2
Tr
4
6
8
10
12
t
Slide 38
Jakość regulacji – jakość dynamiczna
Bezpośrednie wskaźniki jakości regulacji:
1. Czas regulacji Tr
jest to czas, po jakim uchyb regulacji jest w
sposób trwały mniejszy od założonej wartości
. Najczęściej przyjmuje się =5%.
2. Odchylenie maksymalne em
3. Przeregulowanie :
e2
em
100 %
AUTOMATYKA
i
ROBOTYKA
(wykład 7)
Wykładowca : dr inż. Iwona Oprzędkiewicz
Nazwa wydziału: WIMiR
Nazwa katedry: Katedra Automatyzacji Procesów AGH
Slide 2
Stabilność układów – kryteria częstotliwościowe
Cechy kryteriów częstotliwościowych:
• wnioskowanie o stabilności układu na podstawie
doświadczalnie wyznaczonej charakterystyki
częstotliwościowej układu,
• o stabilności układu zamkniętego wnioskujemy na
podstawie przebiegu charakterystyki częstotliwościowej
układu otwartego,
• przebieg charakterystyki częstotliwościowej dostarcza
bezpośredniej informacji na temat zapasów stabilności.
Slide 3
Stabilność układów – kryteria częstotliwościowe
1. Zamknięty układ regulacji ( ze sprzężeniem zwrotnym):
R(s)
+
Gr(s)
G(s)
-
Gdzie:
Gr(s) oznacza transmitancję regulatora,
G(s) oznacza transmitancję obiektu regulacji
Slide 4
Stabilność układów – kryteria częstotliwościowe
2. Załóżmy, że w układzie rozłączamy sprzężenie zwrotne:
R(s)
+
Gr(s)
G(s)
-
Transmitancja operatorowa układu otwartego ( po
rozłączeniu toru sprzężenia zwrotnego):
G o ( s ) G r ( s )G ( s )
Lo ( s )
M o (s)
Slide 5
Stabilność układów – kryteria częstotliwościowe
3. Zakładamy że wielomian charakterystyczny układu otwartego
Mo(s) ma k pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie zespolonej ( i n-k
w lewej )
4. Oznaczmy transmitancję widmową układu otwartego przez Go(jω)
Twierdzenie 1 (kryterium Nyquista)
Równanie charakterystyczne układu zamkniętego ma
wszystkie
pierwiastki w lewej półpłaszczyźnie
zespolonej ( czyli układ zamknięty jest stabilny ) wtedy
i tylko wtedy, gdy przyrost argumentu wyrażenia
1+Go(jω) przy zmianie pulsacji ω w zakresie od 0 do
nieskończoności jest równy k:
arg 1 G
0
o
( j ) k
Slide 6
Stabilność układów – kryteria częstotliwościowe
UWAGI:
1. W przypadku układu otwartego stabilnego k = 0
przyrost argumentu wyrażenia 1+Go(jω)
przy
zmianie pulsacji ω
w zakresie od 0 do
nieskończoności powinien być równy 0, aby układ
zamknięty był stabilny.
2. Ważna w zastosowaniach praktycznych jest
geometryczna interpretacja kryterium Nyquista.
Slide 7
Interpretacja geometryczna kryterium Nyquista
Twierdzenie 2 ( kryterium Nyquista)
•Załóżmy, że układ otwarty jest stabilny.
•Układ zamknięty będzie stabilny wtedy i tylko wtedy,
gdy charakterystyka amplitudowo – fazowa układu
otwartego nie obejmuje punktu (-1,j0) na płaszczyźnie
zespolonej.
Slide 8
Interpretacja geometryczna kryterium Nyquista
Q(ω)
Układ niestabilny
P(ω)
Układ stabilny (-1,j0)
Układ stabilny
Układ na granicy
stabilności
Slide 9
Interpretacja geometryczna kryterium Nyquista
UWAGI:
1. Kryterium Nyguista pozwala wnioskować o stabilności
układu zamkniętego ( z zamkniętą pętlą sprzężenia
zwrotnego
)
na
podstawie
zachowania
się
transmitancji widmowej układu otwartego ( z otwartą
pętlą sprzężenia zwrotnego ),
2. Warunek z kryterium Nyquista może być sprawdzony
doświadczalnie.
Slide 10
Interpretacja geometryczna kryterium Nyquista
Twierdzenie 3 ( kryterium Nyquista)
Załóżmy, że układ otwarty jest niestabilny i ma k
pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie.
Układ zamknięty będzie stabilny wtedy i tylko wtedy,
gdy charakterystyka amplitudowo – fazowa układu
otwartego obejmuje k/2 razy w kierunku dodatnim
punkt (-1,j0) na płaszczyźnie zespolonej.
UWAGA: kierunek dodatni oznacza
przeciwny do ruchu wskazówek zegara.
kierunek
Slide 11
Kryterium Nyquista - przykład
Rozważmy układ otwarty o transmitancji równej:
Go (s)
1
s 3s 2 s 1
3
2
Należy sprawdzić przy pomocy kryterium Nyquista, czy
układ po zamknięciu sprzężenia zwrotnego będzie
stabilny.
Etap 1
Sprawdzamy stabilność układu otwartego przy pomocy
kryterium Hurwitza (zob. założenie twierdzenia Nyquista)
– układ otwarty jest stabilny.
Slide 12
Kryterium Nyquista - przykład
Etap 2
Wyznaczamy charakterystykę amplitudowo – fazową
układu otwartego
G o ( j )
1
j 3 j 2 1
3
2
1
(1 3 ) j ( 2 )
2
2
Slide 13
Kryterium Nyquista - przykład
2
(1 3 )
P ( )
2 2
2
2 2
(
1
3
)
(
2
)
2
(
2
)
Q ( )
2 2
2
2 2
(
1
3
)
(
2
)
Punkty charakterystyczne wykresu:
ω
P(ω)
Q(ω)
0
1
0
3
0
3 3
5
2
-0.2
0
0
0
1
Slide 14
Kryterium Nyquista - przykład
Układ zamknięty stabilny
Nyquist Diagram
1.5
1
Imaginary Axis
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
Real Axis
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Slide 15
Logarytmiczne kryterium Nyquista
Twierdzenie
Nyquista)
(
logarytmiczne
kryterium
1.Rozważmy
charakterystykę
częstotliwościową
logarytmiczną modułu i fazy układu otwartego.
2.Załóżmy, że układ otwarty jest stabilny.
Układ zamknięty będzie stabilny wtedy i tylko wtedy,
gdy dla fazy φ(ω180) = - wartość 20log(M(ω180))<0
Warunek sformułowany powyżej wynika wprost z
kryterium Nyquista.
Slide 16
Logarytmiczne kryterium Nyquista
20log(M(ω))
U Z gran stab
U Z niestabilny
U Z stabilny
Φ(ω)
-
Slide 17
Logarytmiczne kryterium Nyquista
Q(ω)
Układ niestabilny
M(ω)=1
(-1,j0)
Φ(ω)=-
Układ stabilny
Układ stabilny
Układ na granicy
stabilności
P(ω)
Slide 18
Zapas stabilności
Dla scharakteryzowania zapasu stabilności rozważymy stabilny
układ regulacji o znanym schemacie blokowym:
W (s )
–
G (s)
Y (s)
H (s)
Rys. Schemat blokowy układu regulacji
Slide 19
Zapas stabilności
Niech funkcja przejścia układu zamkniętego przyjmie postać (3 warianty):
G z (s)
G z (s)
G z (s)
Ku
T z1 s 2 z1T z1 s 1
2
2
Ku
(T z1 s 1)
2
Ku
(T z1 s 1)(T
z2
s 1)
przy czym
T z2 T z1
Z tych funkcji przejścia wynikają charakterystyki:
1)
2)
3)
4)
Char. oscylacyjna o dużym przeregulowaniu i dużym czasie regulacji,
Char. oscylacyjna o małym przeregulowaniu i małym czasie regulacji,
Char. inercyjna o małym czasie regulacji,
Char. inercyjna o dużym czasie regulacji.
Slide 20
Zapas stabilności
w
Aw
t
0
y
K u Aw
1
0
2
3
4
t
Rys. Charakterystyki czasowe ukł. dla skokowego sygn. sterującego
Slide 21
Zapas stabilności
Z pokazanych charakterystyk wynika, że nie wszystkie układy regulacji nadają się do praktycznego wykorzystania, mianowicie:
1. Nadaje się układ o charakterystyce 2 lub 3, mówimy,
że ma on właściwy zapas stabilności.
2. Nie nadaje się układ o charakterystyce 1, który ma za
mały zapas stabilności.
3. Nie nadaje się układ o charakterystyce 4, który ma za
duży zapas stabilności.
Slide 22
Zapas stabilności
Zapas wzmocnienia i fazy w układzie otwartym,
są to miary zapasu stabilności.
Zapas stabilności wyrażamy za pomocą
charakterystyk:
• amplitudowo-fazowej,
• logarytmicznych amplitudowej i fazowej,
Slide 23
Zapas stabilności
j Im H ( j ω ) G ( jω )
aπ
R e H ( jω ) G ( jω )
ωπ
-1
γ
1
ω
r=
ωφ
φ
Rys. Fragment charakterystyki amplitudowo-fazowej
Slide 24
Zapas stabilności
Dla pulsacji
H(j )G(j ) K d 1
a K d 1
Z rysunku
Więc zapas wzmocnienia:
Kd
1
a
Kd 1
dla układów stabilnych,
Kd 1
dla układów na granicy stabilności,
Kd 1
dla układów niestabilnych, czyli 0 K d 1.
Slide 25
Zapas stabilności
Zapas fazy (margines fazowy) zdefiniowany jest wzorem
180
przy czym:
0
dla układów stabilnych,
0
dla układów na granicy stabilności,
0
dla układów niestabilnych.
Slide 26
Zapas stabilności
W praktyce stosuje się wartości:
2 Kd 4
30 60
Zapas fazy ma znaczenie decydujące, natomiast zapas
wzmocnienia drugorzędne.
Slide 27
Zapas stabilności na charakterystykach Bodego
20log(M(ω))
M [dB]
Φ(ω)
-/2
-
φ
Slide 28
Zapas stabilności
6dB M 12dB
Stosowane wartości
zapasu wzmocnienia i fazy:
30 60
Oczywiście zachodzą zależności:
M 0 i 0
dla układów stabilnych,
M 0 i 0
dla układów na granicy stabilności,
M 0 i 0
dla układów niestabilnych.
Slide 29
Zapas stabilności
Uwagi:
•Zapasy stabilności pozwalają na określenie „marginesu
bezpieczeństwa” ze względu na stabilność przy
możliwych zmianach parametrów układu.
•Układ niestabilny ma ujemne wartości zapasów
stabilności, które wtedy są miarą, o ile należy
skorygować parametry np. regulatora dla uzyskania
stabilności.
Slide 30
Jakość regulacji
Rozważmy zamknięty układ regulacji (przypomnienie) :
Z(s)
r
E(s)
+
-
Gr(s)
gdzie:
•r – wartość zadana,
•E(s) – uchyb regulacji,
•U(s) – sterowanie,
•Z(s) –zakłócenie,
•Y(s)–wielkość regulowana
U(s)
-
+
G(s)
Y(s)
Gr(s) – transmitancja
regulatora,
G(s) – transmitancja
obiektu regulacji
Slide 31
Jakość regulacji – dokładność statyczna
Uchyb statyczny est
Błędem, odchyleniem lub uchybem statycznym
nazywamy uchyb regulacji występujący w układzie
regulacji w stanie ustalonym.
Dla układu z powyższego schematu uchyb statyczny
jest sumą uchybu pochodzącego od zakłócenia i
uchybu pochodzącego od wartości zadanej:
e st e e
z
st
r
st
Slide 32
Jakość regulacji – dokładność statyczna
Uchyby statyczne można wyznaczyć
twierdzenia o wartości końcowej:
z
e st
r
e st
na
lim e z ( t ) lim se z ( s ) lim s z ( s )
t
s 0
s 0
lim e r ( t ) lim se r ( s ) lim s R ( s )
t
s 0
Gdzie R(s) oznacza
wartości zadanej.
s 0
transformatę
podstawie
G (s)
1 G ( s )G r ( s )
1
1 G ( s )G r ( s )
Laplace’a
Slide 33
Jakość regulacji – dokładność statyczna
Przykład
Wyznaczyć uchyby ustalone pochodzące od:
1. skoku wartości zadanej na wejściu układu regulacji,
2. skoku zakłócenia na wejściu obiektu w układzie regulacji
składającym się z regulatora proporcjonalnego o wzmocnieniu kr oraz
obiektu inercyjnego I rzędu.
Gr (s) kr
z ( t ) 1( t ) Z ( s )
;
1
s
G (s)
k
Ts 1
; r ( t ) 1( t ) R ( s )
1
s
Slide 34
Jakość regulacji – dokładność statyczna
Uchyb ustalony od zakłócenia:
k
e
z
st
lim
s 0
s
Ts 1 lim
kk r
s
s 0 Ts
1
Ts 1
1
e
z
st
k
1 kk r
k
1 kk r
Slide 35
Jakość regulacji – dokładność statyczna
Uchyb ustalony od wartości zadanej:
e
r
st
lim s
s 0
1
s
1
1
kk r
lim
s 0
Ts 1
e
r
st
1
1 kk r
Ts 1
Ts 1 kk r
Slide 36
Jakość regulacji – jakość dynamiczna
Jakość dynamiczna regulacji może być określana na
podstawie:
1. bezpośrednich wskaźników jakości wyznaczanych
na podstawie przebiegu czasowego uchybu regulacji w
układzie,
2. parametrów charakterystyki częstotliwościowej
układu zamkniętego,
3. całkowych wskaźników jakości wyznaczanych na
podstawie przebiegów czasowych uchybu regulacji.
Slide 37
Jakość regulacji – jakość dynamiczna
0.3
e(t)
0.25
Bezpośrednie wskaźniki jakości
0.2
0.15
e
0.1
m
0.05
0
-0.05
e2
-0.1
-0.15
-0.2
0
2
Tr
4
6
8
10
12
t
Slide 38
Jakość regulacji – jakość dynamiczna
Bezpośrednie wskaźniki jakości regulacji:
1. Czas regulacji Tr
jest to czas, po jakim uchyb regulacji jest w
sposób trwały mniejszy od założonej wartości
. Najczęściej przyjmuje się =5%.
2. Odchylenie maksymalne em
3. Przeregulowanie :
e2
em
100 %