METODY WIELOWYMIAROWEJ ANALIZY PORÓWNAWCZEJ



Metody wielowymiarowej analizy porównawczej:

metody służące do wykrywania prawidłowości w obiektach opisywanych przez wiele ich właściwości. Pozwalają one na dokonywanie różnorodnych porównań obiektów wielowymiarowych.

Grupy metod WAP

-

metody taksonomiczne

- porównywanie obiektów obejmujące zarówno porządkowanie zbioru obiektów jak i ich grupowanie w podzbiory jednostek podobnych do siebie ze względu na charakteryzujące je właściwości oraz wybór reprezentantów otrzymanych grup obiektów

metody analizy czynnikowej

- transformacja wejściowego zbioru charakterystyk obiektów dowolnej natury, najczęściej zmiennych opisujących obiekty przestrzenne, w nowe nie obserwowalne charakterystyki zwane czynnikami, poprzez ortogonalne przekształcenie macierzy danych wejściowych

Przedmiot analizy porównawczej

– obiekty, które mogą być jednostkami przestrzeni, zmiennymi lub jednostkami czasu lub ich iloczyny kartezjańskie.

Przestrzeń analizy porównawczej

– właściwości obiektów, czyli wartości 2 pozostałych elementów, które mogą być przedmiotem analizy porównawczej.

1

X

  

ijt

,

MACIERZ OBSERWACJI

i=1,2,...,n; j=1,2,...,m; t=1,2,...,T, gdzie:

-

x ijt

– wartość j-tej zmiennej (cechy) w i-tym obiekcie przestrzennym w t-tym okresie (momencie) czasu.



Zbiory i ich iloczyny kartezjańskie stanowiące przedmiot i przestrzeń analizy porównawczej w badaniach społeczno-ekonomicznych: P={p

1 ,...,p n

} – zbiór obiektów przestrzennych,

-

Y={y

1 ,...,y m

} – zbiór zmiennych (cech),

-

T={t

1 ,t 2 ,...,t k

} – zbiór okresów (jednostek czasu), PY=P



Y{p

1 y 1 ,p 2 y 1 ,...,p n y 1 ,p 1 y 2 ,p 2 y 2 ,...,p n y 2 ,...,p 1 y m ,p 2 y m ,...,p n y m

} – zbiór obiekto-zmiennych, PT=P



T – zbiór obiekto-okresów,

-

YT=Y



T – zbiór zmienno-okresów,

-

PYT=P



Y



T – zbiór obiekto-zmienno-okresów.

2

ETAPY BADANIA WYKORZYSTUJĄCEGO METODY WAP 1.

Sformułowanie celu analizy (wstępnych hipotez badawczych).

2.

Określenie zakresu merytorycznego, terytorialnego i czasowego badań, a w szczególności wyspecyfikowanie elementów zbioru obiektów oraz zbioru ich charakterystyk.

3.

Zebranie kompletnych i adekwatnych danych statystycznych:

-

ustalenie źródeł danych i zebranie danych źródłowych, doprowadzenie danych do wzajemnej porównywalności,

-

eliminacja obserwacji o anormalnych poziomach, interpolacja brakujących informacji, wyznaczenie zmiennych przetworzonych (udziałów procentowych, współczynników dynamiki, wskaźników ekonomicznych itp.).

4.

Analiza statystyczna danych wejściowych:

-

wyznaczenie i analiza parametrów opisowych rozkładu (miary przeciętne, miary

-

dyspersji, miary asymetrii, miary koncentracji), ocena stopnia i kierunku współzależności między zmiennymi wyjściowymi.

3

5.

Dobór optymalnego podzbioru zmiennych diagnostycznych:

-

wyeliminowanie zmiennych quasi - stałych,

-

analiza struktury macierzy korelacji, ustalenie końcowej listy zmiennych.

6.

Porównywanie obiektów w ramach analizowanych układów zmiennych:

-

wybór metody porównania, określenie sposobu normalizacji zmiennych,

-

ustalenie miar podobieństwa, porównanie obiektów za pomocą wybranej metody.

7.

A

naliza i interpretacja wyników, sformułowanie wniosków końcowych.

4

SKALE POMIARU Pomiar

- przyporządkowanie charakterystykom obiektów liczb w taki sposób, aby odzwierciedlały relacje zachodzące między obiektami



skala nominalna

-

przyporządkowuje poszczególnym wartościom cechy wyłącznie nazwy pozwala ona jedynie na stwierdzenie identyczności lub różnic porównywanych obiektów oraz zliczyć obiekty identyczne i różne przykładem pomiaru na tej skali jest przyporządkowanie płci (kobieta, mężczyzna) porównywanym ze względu na tą cechę osobom



skala porządkowa (rangowa)

-

pozwala nie tylko na zróżnicowanie obiektów lecz także porównywanie wartości zmiennych zaobserwowanych w obiektach (liniowe porządkowanie obiektów) nie pozwala określić odległości między obiektami umożliwia w efekcie zliczanie obiektów uporządkowanych (liczby relacji równości (identyczności), równości, większości i mniejszości) typowym przekładem tego typu cech jest poziom wykształcenia.

5



skala przedziałowa (interwałowa)

-

pozwala dodatkowo, w stosunku do skali porządkowej, obliczyć odległości między obiektami, dokonując pomiaru cech za pomocą liczb rzeczywistych dla skali tej możliwe jest, obok operacji arytmetycznych dopuszczalnych dla skal o mniejszej mocy, także dodawanie i odejmowanie wartość zerowa na tej skali ma charakter umowny (np. 0 o w skali Celsjusza), co prowadzi do zachowania różnic między wartościami cechy przy zmianie jednostek

-

miary przykładem zmiennych, dla których pomiar dokonywany jest na skali przedziałowej są dochody gospodarstw domowych



skala ilorazowa (stosunkowa)

-

ma podobny charakter jak skala przedziałowa, z tym występuje na niej zero bezwzględne (zero ogranicza lewostronnie zakres tej skali) można na tej skali obok operacji dopuszczalnych na skalach słabszych dokonywać także dzielenia i mnożenia, a tym samym przedstawiać dowolną wartość cechy danego obiektu jako wielokrotność wartości cechy dla innego obiektu zmienną mierzoną na takiej skali jest na przykład wiek czy też waga osób

6

DOBÓR OPTYMALNEGO PODZBIORU ZMIENNYCH DIAGNOSTYCZNYCH

OGÓLNE ZASADY DOBORU ZMIENNYCH



kryteria pozastatystyczne (merytoryczne i formalne)

-

wykorzystanie wskazań wypracowanych w ramach ogólnych teorii badanych zjawisk

-

wykorzystanie opnii ekspertów z danej dziedziny



kryteria statystyczne

7

KRYTERIA MERYTORYCZNE



istotność z punktu widzenia analizowanych zjawisk



wyczerpanie zakresu zjawisk



logiczność wzajemnych powiązań



proporcjonalność reprezentacji zjawisk cząstkowych

8

KRYTERIA STATYSTYCZNE

-

zdolność dyskryminacyjna zmiennych, czyli ich zmienność względem badanych obiektów

-

pojemność (potencjał) informacyjna zmiennych, czyli stopień ich skorelowania z innymi zmiennymi

9

METODY DOBORU MERYTORYCZNEGO



burza mózgów

-

opiera się na swobodnej wymianie poglądów w niewielkich zespołach osób, dobranych ze względu na znajomość badanego zjawiska

-

w klasycznej burzy mózgów tworzone są dwa zespoły zadaniowe:

-

zespół twórczy ma za zadanie zaproponowanie jak największej liczby potencjalnych zmiennych diagnostycznych

-

rolą drugiego zespołu, oceniającego, jest dokładna analiza i ocena przygotowanej przez zespół twórczy wstępnej listy potencjalnych zmiennych diagnostycznych i przedstawienie ostatecznej listy potencjalnych zmiennych diagnostycznych



metoda delficka

-

metoda grupowego rozwiązywania problemów drogą ankietowania ekspertów w danej dziedzinie

-

eksperci formułują swoje propozycje z zachowaniem anonimowości

-

procedurę ankietowania powtarza się wielokrotnie, stopniowo ustalając listę potencjalnych zmiennych diagnostycznych

10

ANALIZA ZDOLNOŚCI DYSKRYMINACYJNEJ 1.

Klasyczny współczynnik zmienności:

V k

   

x j

, gdzie: j=1,2,...,m,

x j



i n

  1

x ij n

,

S

 

- odchylenie standardowej j-tej zmiennej, przy czym:

S

   1

n i n

  1



x ij



x j



2    1 2

.

11

2. Pozycyjny współczynnik zmienności:

V p

 

j



MOB M j

   

j

, j=1,2,...,m, gdzie:

M

- mediana j-tej zmiennej, przy czym:

M

 

j

   1 2  

x

 

n

2  

j

  

x

 

n

2 1  

j



x

 

n

2 dla 1  

j

    dla

n

parzystego

n

jest nieparzyst ego

,

MOB

- medianowe odchylenie bezwzględne j-tej zmiennej, przy czym:

MOB



M i x ij



M

,

12

ANALIZA POTENCJAŁU INFORMACYJNEGO

METODA PARAMETRYCZNA

1.

Wyznaczamy macierz korelacji zmiennych.

2.

Ustalamy arbitralnie pewną progową wartość współczynnika korelacji, którą oznaczamy przy r* taką, że 0<r*<1. Najczęściej przyjmuje się r*=0,5 lub też w oparciu o formuły:

r

*  min

j

max

j

'

r jj

'

, j,j’=1,2,...,m,

r

*    

t

2  

t

2 

n

 2    1 2

, gdzie:

t

2 

- wartość odczytana z tablic dystrybuanty rozkładu t-Studenta dla n-2 stopni swobody oraz przyjętego poziomu istotności



.

3.

Wyznaczamy sumę wartości bezwzględnych elementów każdej kolumny (lub każdego wiersza) macierzy R:

R j

' 

j m

  1

r jj

'

j

'  1 , 2 ,...,

m

4.

Znajdujemy kolumnę (odpowiednio – wiersz), dla której powyższa suma jest największa:

R j

' 0  max

j

'

 

j

' 13

5.

W kolumnie (wierszu) r*, czyli takie

j

  1 , 2 ,...,

R m j

' 0 

wyróżniamy elementy przewyższające co do modułu wartość , że

r jj

' 0 

r

*

oraz odpowiadające tym elementom wiersze (kolumny). Zmienną, która odzwierciedla ta kolumna (ten wiersz) uważa się za pierwszą zmienną centralną, zaś zmienne reprezentowane przez wyróżnione wiersze (kolumny) – za jej zmienne satelitarne, czyli takie zmienne, że ich podobieństwo do cechy zmiennej jest nie mniejsze niż r*. W ten sposób uzyskujemy pierwszą grupę (skupienie) zmiennych.

6.

Z macierzy R wykreślamy wyróżnione kolumny i wiersze, otrzymując w ten sposób zredukowaną macierz korelacji.

7.

Kontynuujemy postępowanie opisane w punktach 1–4 aż do wyznaczenia zbioru zmiennych diagnostycznych. Do dalszej analizy pozostawiamy zmienne centralne oraz zmienne izolowane (tworzące tzw. bazowy układ cech), czyli zmienne nienależące do żadnej z otrzymanych grup.

14

METODA ODWRÓCONEJ MACIERZY KORELACJI

1.

Wyznaczanie macierzy odwrotnej do macierzy korelacji o postaci:

R

 1   

, j,j’=1,2,...,m, gdzie:

r jj

' 

j



j

'

R

jj

'

R

, przy czym:

R

jj

'

– macierz zredukowana po usunięciu z niej j-tego wiersza i j’-tej kolumny.

R

,

R

jj'

– wyznaczniki odpowiednio macierzy R i R

jj’

.

2.

Ustalamy wartość krytyczną poziomie

~ * *

elementów diagonalnych macierzy R -1 , najczęściej na

 10

(elementy diagonalne przyjmują wartości z przedziału

 1 ,  

).

15

3.

Wyszukujemy elementy diagonalne macierz R -1 , spełniające nierówność:

~

jj

' 

r

*

. Zmienne, które spełniają powyższy warunek powodują złe uwarunkowanie numeryczne macierzy R.

4.

Redukujemy zbiór dopuszczalnych zmiennych diagnostycznych usuwając z niego zmienne spełniające warunek sformułowany w kroku 3 uzyskując w ten sposób zbiór zmiennych diagnostycznych.

16

WAŻENIE ZMIENNYCH DIAGNOSTYCZNYCH

METODA PUNKTOWA

1.

Przyjmujemy założenia:

-

mamy p punktów do podziału między m zmiennych (przy czym p jest liczbą dodatnią),

-

przez p

h

oznaczamy nieujemną liczbę punktów przyznanych przez h-tego eksperta zmiennej X

j

, przy czym spełniona jest równość:

j m

  1

p hj



p

, h=1,2,...,k.

2.

Na podstawie wyników ocen wszystkich ekspertów budujemy macierz:

P

  

, h=1,2,...k; j=1,2,...,m

3.

Obliczamy średnią ocenę każdej zmiennej:

p j



h k

  1

k p hj

, j=1,2,...,m.

17

4.

Ponieważ

j m

  1

p j



p

wagi zmiennych określamy jako:

w j



p j

, j=1,2,...,m

p

przy czym spełniają one wymogi:

i



w j

 0

oraz



j w j

 1

(wymóg niekonieczny)

18

Metoda BVP

1.

Przyjmujemy założenia, że o wadze zmiennej decydują:

-

stopień zróżnicowania zmiennej w badanych obiektach (stopień dyskryminacji obiektów),

-

stopień skorelowania zmiennej z innymi zmiennymi (zasób informacji o obiektach).

2.

Stopień dyskryminacji obiektów oceniamy za pomocą następującej formuły:

w j a



V j m

  1

V

   

,

j

 1 ,...,

m

.

19

3.

Zasób informacji o obiektach szacujemy według wzoru:

w b j



j' j' m

   1

j r

2

j.j' m m

 

j j'

  1

j' j' j'

  1

j

2

r j.j'

, j=1,2,...m. gdzie:

2

r j, j'

– kwadrat współczynnika korelacji cząstkowej j-tej zmiennej z j’-tą zmienną.

4.

Ostateczna formuła wagi dla zmiennych przyjmuje postać:

w j



w a j



w b j

,

j

 1 ,...,

m

.

20