spełniony jest warunek Uwaga:

x

2  ( 1 

x

2 ) 2  1  0

y

 1 

x

2 nie jest jedyną funkcją uwikłaną, określoną równaniem takich jest nieskończenie wiele, np.

y

  1 

x

2

x

2 

y

2  1  0 . Funkcji Może się też zdarzyć, że równanie

F(x, y)

=0 nie określa żadnej funkcji, np.

x

2 

y

2  1  0 Inna definicja funkcji uwikłanej: Funkcję

y=f(x)

nazywamy uwikłaną, jeżeli zależność między wartościami zmiennych

x

i

y

wyrażona jest równaniem

F(x, y)

=0.

Nie zawsze da się rozwiązać to równanie względem

y

i wyrazić tę zależność wzorem

y=f(x)

czyli w postaci jawnej.

Tw. 57 – o pochodnej funkcji uwikłanej Jeżeli funkcja uwikłana istnieje i jest jednoznaczna, to istnieje pochodna

y

' 

df

(

x

)

dx

  

F

(

x

, 

F

( 

x x

, 

y y

)

y

)

Można zatem liczyć pochodną funkcji uwikłanej bez konieczności jej rozwikłania!!!

Dowód:

z



F

(

x

,

f

(

x

))  0

dz dx

 

F



x



dx dx

 

F



y



dy dx

 

F



x

 

F



y

Tw. 57 można zatem zapisać także jako 

F

(

x

,

y

) 

y

' 

d

0

dx



F

(

x

, 

x y

)  0  

y

'   

F

(

x

, 

y y

)  

F

( 

x x

, 

y y

)

y

'  0 Ponieważ

y=f(x)

, to licząc pochodną zupełną (jak w dowodzie) otrzymamy:  2

F

( 

x x

, 2

y

)  2  2

F

(

x

, 

y



x y

) 

y

'   2

F

( 

y x

, 2

y

) 

y

' 2  

F

( 

y x

,

y

) 

y

''  0 skąd można wyliczyć drugą pochodną

y ’’

Podobnie liczymy pochodne wyższych rzędów

Funkcja uwikłana dwóch zmiennych

Def. 69a (funkcji uwikłanej dwóch zmiennych) Niech będzie dana funkcja trzech zmiennych

F(x, y, z)

określona w pewnym obszarze. Jeżeli istnieje funkcja

z=f(x, y)

taka, że w pewnym zbiorze

F[x, y, f(x, y)]=0

, to nazywamy ją

funkcją uwikłaną

określoną w tym zbiorze równaniem

F(x, y, z)

=0.

Inna definicja funkcji uwikłanej dwóch zmiennych: Funkcję

z=f(x, y)

nazywamy uwikłaną, jeżeli zależność między wartościami zmiennych

z

,

x

i

y

wyrażona jest równaniem

F(x, y, z)

=0.

Tw. 57a – o pochodnej funkcji uwikłanej dwóch zmiennych wzorów 

z



x

 

z y



F

(

x

,

y

,

z

) 

x



F

(

x

,

y

,

z

) 

y

  

F

(

x



z



F

(

x

,  ,

z y

,

z

) 

y

,

z

)  

z



x



z



y

 0  0

Układ dwóch funkcji uwikłanych jednej zmiennej

Def. 69a (układu dwóch funkcji uwikłanych jednej zmiennej) Niech będą dane dwie funkcje trzech zmiennych

F 1 (x, y, z)

i

F 2 (x, y, z)

. Jeżeli istnieją funkcje

y=f 1 (x)

i

z=f 2 (x)

takie, że

F 1 [x, f 1 (x), f 2 (x)]=0

i

F 2 [x, f 1 (x), f 2 (x)]=0

funkcjami uwikłanymi

, to nazywamy je określonymi równaniami

F 1 (x, y, z)=0

i

F 2 (x, y, z)=0

.

Pochodne

y ’ =dy/dx

i

z ’ =dz/dx

można obliczyć w sposób analogiczny jak poprzednio z układu 

F

1 (

x

, 

x y

,

z

)  

F

1 (

x

, 

y y

,

z

) 

dy dx



F

2 (

x

, 

x y

,

z

)  

F

2 (

x

, 

y y

,

z

) 

dy dx

 

F

1 (

x

, 

z y

,

z

) 

dz dx

 

F

2 (

x

, 

z y

,

z

) 

dz dx

 0  0 Podobnie różniczkując

n

razy można policzyć pochodne

y (n)

i

z (n)

13. Ekstrema warunkowe

Gdy zmienne w funkcji wielu zmiennych są zmiennymi niezależnymi, mówimy o ekstremach

bezwarunkowych.

Jeżeli zmienne te są ze sobą powiązane, mówimy o ekstremach

warunkowych.

Najprostsza sytuacja

: dana funkcja dwóch zmiennych

z=f(x, y)

powiązanych równaniem

g(x, y)=0

zwanym równaniem więzów.

Jak znaleźć ekstremum funkcji

z=f(x, y)

przy warunku

g(x, y)=0

?

Gdyby można było rozwikłać równanie

g(x, y)=0

i wyznaczyć z niego

y=h(x)

, to po wstawieniu do

z=f(x, y)=f(x, h(x))

otrzymuje się funkcję jednej zmiennej.

Ale

rozwikłanie równania g(x, y)=0 bywa bardzo trudne, a czasem niemożliwe.

Dlatego do znalezienia ekstremum warunkowego stosuje się

metodę mnożników nieoznaczonych Lagrange’a

i rozpatruje tzw.

funkcję Lagrange’a (lagrangian) L(x, y, λ )=f(x, y) + λ g(x, y)

Tw. 58 – o istnieniu ekstremum warunkowego funkcji dwóch zmiennych Warunkiem koniecznym na to, by w punkcie (x

0 , y 0

) istniało ekstremum funkcji z=f(x, y) przy założeniu, że

g(x 0 , y 0

)=0 jest, aby istniała taka liczba

λ 0

,że punkt (x

0 , y 0 , λ 0

) stanowi rozwiązanie układu równań 

L

(

x

, 

x y

,  )  0 , 

L

(

x

, 

y y

,  )  0 , 

L

(

x

,  

y

,  )  0 Jeżeli ponadto wyróżnik

W

 

g



x

2    2 

y

2

f

   2

g



y

2    2 

g



x

 

g



y

   2

f



x



y

   2

g



x



y

     

g



y

  2    2 

x

2

f

jest dodatni, to mamy maksimum, a gdy ujemny – minimum.

   2

g



x

2   Uwaga: ponieważ war. konieczny można zapisać jako 

L

(

x

,

y

,   

L

(

x

,

y

,  )  ) 

x



g

(

x

,

y

)  0 , 

L

(

x

, 

y y

,  )  0 ,

g(x,y)

 0 Przykład: Znaleźć najmniejszą odległość punktu

(a, b)

na płaszczyźnie od prostej

Ax+By+C=0

Kwadrat odległości danego punktu

(a, b)

od dowolnego punktu

(x, y)

to

d 2 =(x-a) 2 +(y-b) 2

Najmniejsza odległość to minimum funkcji

f(x, y) =(x-a) 2 +(y-b) 2

z dodatkowym warunkiem, że punkt

(x, y)

leży na danej płaszczyźnie czyli przy warunku

g(x, y)= Ax+By+C=0 L(x, y, λ )=f(x, y) + λ g(x, y) =(x-a) 2 +(y-b) 2 + λ(Ax+By+C)



L

(

x

, 

x y

,  )  2 (

x



a

)  

A

 0 , 

L

(

x

, 

y y

,  )  2 (

y



a

)   0

d

min  2

(Aa A

2 

Bb



B

2   (

x

0 

a

) 2

C)

;

x

0  (

y

0 

a

) 2  

a Aa



A(Aa



Bb



A

2 

C



Bb B

2 

A

2 

B

2

C)

;

y

0 

B

 0 , 

L

(

x

,  

y

,  ) 

b



B(Aa A

2  

Bb B

2 

C)



g

(

x

,

y

) 

Ax



By



C

 0

Przypadek ogólny poszukiwanie ekstremów funkcji n zmiennych powiązanych m równaniami więzów

Znaleźć ekstrema funkcji

n

zmiennych

z=f(x 1 ,..., x n )

powiązanych

m

równaniami

g

k

(x 1 ,..., x n )=0, k=1, 2, ... , m.

Lagrangian

L(x 1 ,..., x n , λ 1 ,..., λ m )= f(x 1 ,..., x n )+λ 1 g 1 (x 1 ,..., x n )+λ 2 g 2 (x 1 ,..., x n )+ ... + λ m g m (x 1 ,..., x n )

Tw. 59 – o istnieniu ekstremum warunkowego funkcji Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum warunkowego jest zerowanie się wszystkich pochodnych cząstkowych lagrangianu 

L



x i

 0 ,

i

 1

,...,n n

zmiennych   

L k

 0 ,

k

 1

,...,m

Albo inaczej: 

L



x i

 0 ,

i g k

(

x

1 ,

x

2 ,...,

x n

)  0 ,

k

 1

,...,n

 1

,...,m

14. Zastosowania w ekonomii

14.1. Elastyczność cząstkowa

dla funkcji dwóch zmiennych

Elastyczność cząstkowa względem zmiennej

x E x f

(

x

,

y

)  

f

(

x

, 

x y

) 

x f

(

x

,

y

) Elastyczność cząstkowa względem zmiennej

y E y f

(

x

,

y

)  

f

(

x

, 

y y

) 

f y

(

x

,

y

) Elastyczność

E x f(x 0 , y 0 )

mówi, o ile procent w przybliżeniu wzrośnie lub zmaleje wartość funkcji

f(x, y)

, jeżeli zmienna

x

wzrośnie o 1% licząc od

x 0

Przykład: Popyt

q

na pewne dobro zależy od ceny tego dobra

p 1

i ceny innego dobra (substytucyjnego)

p 2

Elastyczność cząstkowa

E p1 (q) q=f(p 1 , p 2 )

popytu

q

względem ceny tego dobra oznacza w przybliżeniu procentowy wzrost (lub spadek) popytu na to dobro, gdy jego cena wzrasta a 1%, a cena

p 2

pozostaje bez zmiany.

Np. niech

E p

1

E p

2

f f

(

p

1 , (

p

1 ,

q=25-2p 1 + p 2 p

2 )  

f

(

p

1 

p

1 ,

p

2 )

p

2 )  

f

(

p

1 

p

2 ,

p

2 )  

p

1

f

(

p

1 ,

p

2 )   2 

p

1 25  2

p

1 

p

2

p

2

f

(

p

1 ,

p

2 )  1 

p

2 25  2

p

1 

p

2 Np. dla

p 1 =3

i

p 2 =1

mamy

E p1 (q)=-0,3

i

E p2 (q)=0,05

czyli gdy cena naszego dobra wzrasta o 1% przy niezmienionej cenie dobra substytucyjnego, to popyt na nasze dobro maleje o 0,3%, a gdy cena dobra substytucyjnego wzrasta o 1% przy niezmienionej cenie naszego dobra, to popyt na nasze dobro rośnie o 0,05%

dla funkcji n zmiennych

E x i f

(

x

1 ,

x

2 ,...,

x n

)  

f

(

x

1 ,

x

2 

x i

,...,

x n

) 

f x i

(

x

1 ,

x

2 ,...,

x n

) ,

i

 1

,...,n

14.2. Rachunek marginalny (analiza krańcowa) funkcji wielu zmiennych

Przypomnienie: Krańcowy wynik

z x k

procesu gospodarczego

z= f(x 1 ,..., x n )

(koszt, przychód, zysk itp.) to przybliżony dodatkowy wynik przy zwiększeniu pewnego czynnika

x k

(produkcja, cena) o jedną jednostkę od ustalonego poziomu.

Krańcowy wynik

x k -czynnikowy z x k

 

f

(

x

1 ,

x

2 

x k

,...,

x n

) ,

k

 1

,...,n

Przykład: firma produkuje cztery towary w ilości

x

,

y, u

i

v

sztuk. Koszt produkcji tych towarów wynosi

C(x, y, u, v)



C

(

x

,

y

,

u

,

v

) 

C

(

x

, 

x y

,

u

,

v

) itp.



y

Niech koszt wykonania jednej dodatkowej jednostki towaru pierwszego przy poziomie produkcji koszt wykonania jednej dodatkowej jednostki towaru drugiego przy poziomie produkcji

y x C(x, y, u, v)= 2,5x 2 +2y 2 +4u 2 +3v

i niech aktualna produkcja wynosi odpowiednio 100, 50, 75 i 40 sztuk 

C

( 100 , 50 , 75 , 40 ) 

x

 500 

C

( 100 , 50 , 75 , 40 ) 

y

 200 

C

( 100 , 50 , 75 , 40 ) 

u

 600 

C

( 100 , 50 , 75 , 40 ) 

u

 120 Oznacza to, że przy podanym poziomie produkcji koszt produkcji

dodatkowej

(sto pierwszej) jednostki towaru pierwszego wyniesie 500,

dodatkowej

(pięćdziesiątej pierwszej) jednostki towaru drugiego – 200,

dodatkowej

(siedemdziesiątej szóstej) jednostki towaru trzeciego – 600, a

dodatkowej

(czterdziestej pierwszej) jednostki towaru czwartego – 120.