11. Różniczkowanie funkcji złożonej Mówimy o funkcji złożonej, jeżeli argumenty tej funkcji zależą od innej zmiennej (zmiennych) czyli nie są zmiennymi niezależnymi,
Download ReportTranscript 11. Różniczkowanie funkcji złożonej Mówimy o funkcji złożonej, jeżeli argumenty tej funkcji zależą od innej zmiennej (zmiennych) czyli nie są zmiennymi niezależnymi,
11. Różniczkowanie funkcji złożonej
Mówimy o funkcji złożonej, jeżeli argumenty tej funkcji zależą od innej zmiennej (zmiennych) czyli nie są zmiennymi niezależnymi, lecz funkcjami innej zmiennej niezależnej (zmiennych niezależnych) Rozpatrzmy najpierw przypadki szczególne: 1.
2.
3.
Funkcja dwóch zmiennych
z=f(x,y)
, obie zmienne
x
Funkcja
n
zmiennych
z=f(x 1 ,..., x n )
, wszystkie zmienne
x 1 ,..., x n
Funkcja dwóch zmiennych
z=f(x,y)
, obie zmienne
x
i
y
zależą od jednej zmiennej zależą od dwóch zmiennych
u
i
v t
a potem przypadek ogólny funkcji
n
zależą od
m
innych zmiennych zmiennych
z=f(x 1 ,..., x n )
, której wszystkie zmienne
x 1 ,..., x n u 1 ,..., u m
i
y
zależą od jednej zmiennej
t
Ad 1. Funkcja dwóch zmiennych z=f(x,y), obie zmienne x i y zależą od jednej zmiennej t
czyli funkcja
z
w rzeczywistości zależy tylko od jednej zmiennej
t z=z(t)
Niech Pochodna
zupełna
z x
f
(
x
,
x
(
t
)
y
)
y
dz dt
y
(
t
)
f
(
x
,
x y
)
dx
dt
f
(
x
,
y y
)
dy dt
Ad 2. Funkcja n zmiennych z=f(x
1 ,..., x n
), wszystkie zmienne x
1 ,..., x n
zależą od jednej zmiennej t
czyli funkcja
z
w rzeczywistości zależy tylko od jednej zmiennej
t z=z(t)
Niech
z x k
f
(
x
1 ,
x
2 ,...,
x n
)
x k
(
t
),
k
1 ,...,
n
.
Pochodna
zupełna
dz dt
k n
1
f
x k
dx k dt
Ad 3. Funkcja dwóch zmiennych z=f(x,y), obie zmienne x i y zależą od dwóch zmiennych u i v
Niech Pochodne
cząstkowe
z x
f
(
x
,
y x
(
u
,
v
) )
y
y
(
u
,
v
)
f
(
x
,
u y
)
f
(
x
,
v y
)
f
(
x
,
x y
)
f
(
x
,
x y
)
x
u
x
v
f
(
x
,
y y
f
(
x
,
y y
) )
y
u
y
v
Przypadek ogólny: funkcja n zmiennych z=f(x
1 ,..., x n
), której wszystkie zmienne x
1 ,..., x n
zależą od m innych zmiennych u
1 ,..., u m
Niech
z x k
f
(
x
1 ,
x
2 ,...,
x n
)
x k
(
u
1 ,
u
2 ,...,
u n
),
k
1 ,...,
n
.
Pochodne
cząstkowe
f
u i
f
x
1
x
1
u i
f
x
2
x
2
u i
...
f
x n
x n
u i
k n
1
f
x k
x k
u i
,
i
1 ,...,
m
12. Różniczkowanie funkcji uwikłanej
Def. 69 (funkcji uwikłanej) Niech będzie dana funkcja dwóch zmiennych
F(x, y)
określona w pewnym obszarze. Jeżeli istnieje funkcja
y=f(x)
taka, że w pewnym zbiorze
F[x, f(x)]=0
, to nazywamy ją
funkcją uwikłaną
określoną w tym zbiorze równaniem
F(x, y)
=0.
Przykład: Funkcja jest funkcją uwikłaną, określoną w przedziale <-1; 1> równaniem,
x
2
y
2 1 0 bo dla każdego
–1
spełniony jest warunek Uwaga:
x
2 ( 1
x
2 ) 2 1 0
y
1
x
2 nie jest jedyną funkcją uwikłaną, określoną równaniem takich jest nieskończenie wiele, np.
y
1
x
2
x
2
y
2 1 0 . Funkcji Może się też zdarzyć, że równanie
F(x, y)
=0 nie określa żadnej funkcji, np.
x
2
y
2 1 0 Inna definicja funkcji uwikłanej: Funkcję
y=f(x)
nazywamy uwikłaną, jeżeli zależność między wartościami zmiennych
x
i
y
wyrażona jest równaniem
F(x, y)
=0.
Nie zawsze da się rozwiązać to równanie względem
y
i wyrazić tę zależność wzorem
y=f(x)
czyli w postaci jawnej.
Tw. 57 – o pochodnej funkcji uwikłanej Jeżeli funkcja uwikłana istnieje i jest jednoznaczna, to istnieje pochodna
y
'
df
(
x
)
dx
F
(
x
,
F
(
x x
,
y y
)
y
)
Można zatem liczyć pochodną funkcji uwikłanej bez konieczności jej rozwikłania!!!
Dowód:
z
F
(
x
,
f
(
x
)) 0
dz dx
F
x
dx dx
F
y
dy dx
F
x
F
y
Tw. 57 można zatem zapisać także jako
F
(
x
,
y
)
y
'
d
0
dx
F
(
x
,
x y
) 0
y
'
F
(
x
,
y y
)
F
(
x x
,
y y
)
y
' 0 Ponieważ
y=f(x)
, to licząc pochodną zupełną (jak w dowodzie) otrzymamy: 2
F
(
x x
, 2
y
) 2 2
F
(
x
,
y
x y
)
y
' 2
F
(
y x
, 2
y
)
y
' 2
F
(
y x
,
y
)
y
'' 0 skąd można wyliczyć drugą pochodną
y ’’
Podobnie liczymy pochodne wyższych rzędów
Funkcja uwikłana dwóch zmiennych
Def. 69a (funkcji uwikłanej dwóch zmiennych) Niech będzie dana funkcja trzech zmiennych
F(x, y, z)
określona w pewnym obszarze. Jeżeli istnieje funkcja
z=f(x, y)
taka, że w pewnym zbiorze
F[x, y, f(x, y)]=0
, to nazywamy ją
funkcją uwikłaną
określoną w tym zbiorze równaniem
F(x, y, z)
=0.
Inna definicja funkcji uwikłanej dwóch zmiennych: Funkcję
z=f(x, y)
nazywamy uwikłaną, jeżeli zależność między wartościami zmiennych
z
,
x
i
y
wyrażona jest równaniem
F(x, y, z)
=0.
Tw. 57a – o pochodnej funkcji uwikłanej dwóch zmiennych wzorów
z
x
z y
F
(
x
,
y
,
z
)
x
F
(
x
,
y
,
z
)
y
F
(
x
z
F
(
x
, ,
z y
,
z
)
y
,
z
)
z
x
z
y
0 0
Układ dwóch funkcji uwikłanych jednej zmiennej
Def. 69a (układu dwóch funkcji uwikłanych jednej zmiennej) Niech będą dane dwie funkcje trzech zmiennych
F 1 (x, y, z)
i
F 2 (x, y, z)
. Jeżeli istnieją funkcje
y=f 1 (x)
i
z=f 2 (x)
takie, że
F 1 [x, f 1 (x), f 2 (x)]=0
i
F 2 [x, f 1 (x), f 2 (x)]=0
funkcjami uwikłanymi
, to nazywamy je określonymi równaniami
F 1 (x, y, z)=0
i
F 2 (x, y, z)=0
.
Pochodne
y ’ =dy/dx
i
z ’ =dz/dx
można obliczyć w sposób analogiczny jak poprzednio z układu
F
1 (
x
,
x y
,
z
)
F
1 (
x
,
y y
,
z
)
dy dx
F
2 (
x
,
x y
,
z
)
F
2 (
x
,
y y
,
z
)
dy dx
F
1 (
x
,
z y
,
z
)
dz dx
F
2 (
x
,
z y
,
z
)
dz dx
0 0 Podobnie różniczkując
n
razy można policzyć pochodne
y (n)
i
z (n)
13. Ekstrema warunkowe
Gdy zmienne w funkcji wielu zmiennych są zmiennymi niezależnymi, mówimy o ekstremach
bezwarunkowych.
Jeżeli zmienne te są ze sobą powiązane, mówimy o ekstremach
warunkowych.
Najprostsza sytuacja
: dana funkcja dwóch zmiennych
z=f(x, y)
powiązanych równaniem
g(x, y)=0
zwanym równaniem więzów.
Jak znaleźć ekstremum funkcji
z=f(x, y)
przy warunku
g(x, y)=0
?
Gdyby można było rozwikłać równanie
g(x, y)=0
i wyznaczyć z niego
y=h(x)
, to po wstawieniu do
z=f(x, y)=f(x, h(x))
otrzymuje się funkcję jednej zmiennej.
Ale
rozwikłanie równania g(x, y)=0 bywa bardzo trudne, a czasem niemożliwe.
Dlatego do znalezienia ekstremum warunkowego stosuje się
metodę mnożników nieoznaczonych Lagrange’a
i rozpatruje tzw.
funkcję Lagrange’a (lagrangian) L(x, y, λ )=f(x, y) + λ g(x, y)
Tw. 58 – o istnieniu ekstremum warunkowego funkcji dwóch zmiennych Warunkiem koniecznym na to, by w punkcie (x
0 , y 0
) istniało ekstremum funkcji z=f(x, y) przy założeniu, że
g(x 0 , y 0
)=0 jest, aby istniała taka liczba
λ 0
,że punkt (x
0 , y 0 , λ 0
) stanowi rozwiązanie układu równań
L
(
x
,
x y
, ) 0 ,
L
(
x
,
y y
, ) 0 ,
L
(
x
,
y
, ) 0 Jeżeli ponadto wyróżnik
W
g
x
2 2
y
2
f
2
g
y
2 2
g
x
g
y
2
f
x
y
2
g
x
y
g
y
2 2
x
2
f
jest dodatni, to mamy maksimum, a gdy ujemny – minimum.
2
g
x
2 Uwaga: ponieważ war. konieczny można zapisać jako
L
(
x
,
y
,
L
(
x
,
y
, ) )
x
g
(
x
,
y
) 0 ,
L
(
x
,
y y
, ) 0 ,
g(x,y)
0 Przykład: Znaleźć najmniejszą odległość punktu
(a, b)
na płaszczyźnie od prostej
Ax+By+C=0
Kwadrat odległości danego punktu
(a, b)
od dowolnego punktu
(x, y)
to
d 2 =(x-a) 2 +(y-b) 2
Najmniejsza odległość to minimum funkcji
f(x, y) =(x-a) 2 +(y-b) 2
z dodatkowym warunkiem, że punkt
(x, y)
leży na danej płaszczyźnie czyli przy warunku
g(x, y)= Ax+By+C=0 L(x, y, λ )=f(x, y) + λ g(x, y) =(x-a) 2 +(y-b) 2 + λ(Ax+By+C)
L
(
x
,
x y
, ) 2 (
x
a
)
A
0 ,
L
(
x
,
y y
, ) 2 (
y
a
) 0
d
min 2
(Aa A
2
Bb
B
2 (
x
0
a
) 2
C)
;
x
0 (
y
0
a
) 2
a Aa
A(Aa
Bb
A
2
C
Bb B
2
A
2
B
2
C)
;
y
0
B
0 ,
L
(
x
,
y
, )
b
B(Aa A
2
Bb B
2
C)
g
(
x
,
y
)
Ax
By
C
0
Przypadek ogólny poszukiwanie ekstremów funkcji n zmiennych powiązanych m równaniami więzów
Znaleźć ekstrema funkcji
n
zmiennych
z=f(x 1 ,..., x n )
powiązanych
m
równaniami
g
k
(x 1 ,..., x n )=0, k=1, 2, ... , m.
Lagrangian
L(x 1 ,..., x n , λ 1 ,..., λ m )= f(x 1 ,..., x n )+λ 1 g 1 (x 1 ,..., x n )+λ 2 g 2 (x 1 ,..., x n )+ ... + λ m g m (x 1 ,..., x n )
Tw. 59 – o istnieniu ekstremum warunkowego funkcji Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum warunkowego jest zerowanie się wszystkich pochodnych cząstkowych lagrangianu
L
x i
0 ,
i
1
,...,n n
zmiennych
L k
0 ,
k
1
,...,m
Albo inaczej:
L
x i
0 ,
i g k
(
x
1 ,
x
2 ,...,
x n
) 0 ,
k
1
,...,n
1
,...,m
14. Zastosowania w ekonomii
14.1. Elastyczność cząstkowa
dla funkcji dwóch zmiennych
Elastyczność cząstkowa względem zmiennej
x E x f
(
x
,
y
)
f
(
x
,
x y
)
x f
(
x
,
y
) Elastyczność cząstkowa względem zmiennej
y E y f
(
x
,
y
)
f
(
x
,
y y
)
f y
(
x
,
y
) Elastyczność
E x f(x 0 , y 0 )
mówi, o ile procent w przybliżeniu wzrośnie lub zmaleje wartość funkcji
f(x, y)
, jeżeli zmienna
x
wzrośnie o 1% licząc od
x 0
Przykład: Popyt
q
na pewne dobro zależy od ceny tego dobra
p 1
i ceny innego dobra (substytucyjnego)
p 2
Elastyczność cząstkowa
E p1 (q) q=f(p 1 , p 2 )
popytu
q
względem ceny tego dobra oznacza w przybliżeniu procentowy wzrost (lub spadek) popytu na to dobro, gdy jego cena wzrasta a 1%, a cena
p 2
pozostaje bez zmiany.
Np. niech
E p
1
E p
2
f f
(
p
1 , (
p
1 ,
q=25-2p 1 + p 2 p
2 )
f
(
p
1
p
1 ,
p
2 )
p
2 )
f
(
p
1
p
2 ,
p
2 )
p
1
f
(
p
1 ,
p
2 ) 2
p
1 25 2
p
1
p
2
p
2
f
(
p
1 ,
p
2 ) 1
p
2 25 2
p
1
p
2 Np. dla
p 1 =3
i
p 2 =1
mamy
E p1 (q)=-0,3
i
E p2 (q)=0,05
czyli gdy cena naszego dobra wzrasta o 1% przy niezmienionej cenie dobra substytucyjnego, to popyt na nasze dobro maleje o 0,3%, a gdy cena dobra substytucyjnego wzrasta o 1% przy niezmienionej cenie naszego dobra, to popyt na nasze dobro rośnie o 0,05%
dla funkcji n zmiennych
E x i f
(
x
1 ,
x
2 ,...,
x n
)
f
(
x
1 ,
x
2
x i
,...,
x n
)
f x i
(
x
1 ,
x
2 ,...,
x n
) ,
i
1
,...,n
14.2. Rachunek marginalny (analiza krańcowa) funkcji wielu zmiennych
Przypomnienie: Krańcowy wynik
z x k
procesu gospodarczego
z= f(x 1 ,..., x n )
(koszt, przychód, zysk itp.) to przybliżony dodatkowy wynik przy zwiększeniu pewnego czynnika
x k
(produkcja, cena) o jedną jednostkę od ustalonego poziomu.
Krańcowy wynik
x k -czynnikowy z x k
f
(
x
1 ,
x
2
x k
,...,
x n
) ,
k
1
,...,n
Przykład: firma produkuje cztery towary w ilości
x
,
y, u
i
v
sztuk. Koszt produkcji tych towarów wynosi
C(x, y, u, v)
C
(
x
,
y
,
u
,
v
)
C
(
x
,
x y
,
u
,
v
) itp.
y
Niech koszt wykonania jednej dodatkowej jednostki towaru pierwszego przy poziomie produkcji koszt wykonania jednej dodatkowej jednostki towaru drugiego przy poziomie produkcji
y x C(x, y, u, v)= 2,5x 2 +2y 2 +4u 2 +3v
i niech aktualna produkcja wynosi odpowiednio 100, 50, 75 i 40 sztuk
C
( 100 , 50 , 75 , 40 )
x
500
C
( 100 , 50 , 75 , 40 )
y
200
C
( 100 , 50 , 75 , 40 )
u
600
C
( 100 , 50 , 75 , 40 )
u
120 Oznacza to, że przy podanym poziomie produkcji koszt produkcji
dodatkowej
(sto pierwszej) jednostki towaru pierwszego wyniesie 500,
dodatkowej
(pięćdziesiątej pierwszej) jednostki towaru drugiego – 200,
dodatkowej
(siedemdziesiątej szóstej) jednostki towaru trzeciego – 600, a
dodatkowej
(czterdziestej pierwszej) jednostki towaru czwartego – 120.