Transcript Analiza korespondencji

OGÓLNA CHARAKTERYSTYKA ANALIZY KORESPONDENCJI
 pozwala na znalezienie punktów - zmiennych względem nowego układu odniesienia
oraz punktów - obiektów względem tego samego układu odniesienia, co umożliwia
opisanie zależności między zmiennymi i obiektami, na których przeprowadzono
obserwację,
 analiza związków pomiędzy zmiennymi i obiektami odbywa się w sposób bezpośredni
w przeciwieństwie do analizy pośredniej poprzez związki zmiennych z czynnikami,
jak ma to miejsce w pozostałych metodach czynnikowych,
 na wykresy struktur czynnikowych już przeanalizowanych zmiennych i obiektów,
można nanosić nowe punkty – zmienne i punkty-obiekty,
 nie stawia żadnych wymagań co do liczebności obserwacji.
1
ALGORYTM ANALIZY KORESPONDENCJI
1. KONSTRUKCJA MACIERZY DANYCH WEJŚCIOWYCH:
 
X  x ji ,
x ji  0 ;
j=1,2,...,m; i=1,2,...,n.
gdzie:
xji – wartość j-tej zmiennej w i-tym obiekcie.
 wiersze macierzy X mogą być interpretowane w ujęciu geometrycznym jako
współrzędne punktów zmiennych w n-wymiarowej przestrzeni obiektów Rn
 kolumny macierzy X mogą być interpretowane jako współrzędne punktów obiektów w m-wymiarowej przestrzeni zmiennych Rm
 zmienne wejściowe poddawane są standaryzacji stosując najczęściej przekształcenie
ilorazowe lub unitaryzację
 w podejściu klasycznym macierzą danych wejściowych jest dwuwymiarowa tablica
 
kontyngencji N  n ji , której elementami są liczebności jednostek obserwacji
posiadające jednocześnie j-tą kategorię pierwszej z charakteryzujących je zmiennych
i i-tą kategorię drugiej ze zmiennych
2
2. PRZEKSZTAŁCENIE WYSTANDARYZOWANEJ MACIERZY OBSERWACJI Z W
MACIERZ CZĘSTOŚCI WZGLĘDNYCH
 
Z  P  p ji ,
j=1,2,...,m; i=1,2,...,n.
gdzie w ujęciu nieklasycznym:
p ji 
z ji
m
n
  z ji
,
j 1 i 1
oraz w ujęciu klasycznym:
p ji 
n ji
n
,
 następuje zmiana skali wartości zmiennych poprzez ich unormowanie w przedziale
[0;1]
3
3. PRZEKSZTAŁCENIE MACIERZY CZĘSTOŚCI P W MACIERZE
PROFILI
a) Konstrukcja macierzy profili wierszy o postaci:
 p ji 
R  r ji    ,
 p j. 
 
j=1,2,...,m; i=1,2,...,n.
n
gdzie:
p j.   p ji
i 1
 elementy profili wierszowych mogą być traktowane jako współrzędne wektorów
wierszowych (zmiennych w nieklasycznej analizie korespondencji) w n-wymiarowej
przestrzeni euklidesowej Rn.
 punkty te leżą w ściśle określonym obszarze przestrzeni Rn, gdyż elementy każdego
wiersza sumują się do jedności.
 obszarem tym jest n-1 wymiarowy sympleks o n wierzchołkach postaci: (1, 0,…,0),
…, (0, 1,…,1).
 każdy z wierzchołków jest wyznaczany przez n współrzędnych.
 wynika z tego, że zbiór wszystkich m punktów (reprezentujących zmienne w ujęciu
nieklasycznym) umieszczonych pierwotnie w przestrzeni n-wymiarowej można
przedstawić bez żadnych zniekształceń w przestrzeni Rn-1.
4
Przykład
Gdy analizujemy macierz składają się z trzech wierszy reprezentujących obiekty oraz z
czterech
kolumn
zawierających
charakterystyki
tych
obiektów
możemy
punkty
reprezentujące profile kolumnowe przedstawić na płaszczyźnie (czyli przestrzeni o jeden
wymiar mniejszej niż liczba obiektów) wewnątrz trójkąta o trzech wierzchołkach postaci (1,
0, 0), (0, 1, 0) i (0, 0, 1), czyli trójkąta rozpiętego na jednostkowych wektorach (rys. 8.1).
Rysunek 8.1. Punkty reprezentujące profile kolumnowe (zmienne) w trójkącie wyznaczonym
przez obiekty.
r3
c2
 c4
c1
r1


c2
r2
Źródło: Opracowanie własne.
5
Interpretacja wierzchołków sympleksów
 wierzchołki sympleksów mają duże znaczenie w interpretacji tzw. map percepcji czyli
wykresów, na których wiersze i kolumny przedstawione są w postaci punktów na
płaszczyźnie wyznaczanej przez dwie pierwsze osie czynnikowe
 punkty te są rzutami prostopadłymi n-wymiarowych wierszy i m-wymiarowych
kolumn na tą płaszczyznę
 w nieklasycznej analizie korespondencji wierzchołki sympleksów odpowiadają
hipotetycznym obiektom, dla których tylko jedna zmienna przyjmuje wartość różną
od zera, a pozostałe zmienne przyjmują wartość zero. Można tym samym przyjąć, że
im bliżej danego wierzchołka leży punkt reprezentujący obiekt, tym większy wpływ
na charakterystykę tego obiektu ma zmienna odpowiadająca wierzchołkowi
 przedstawiona
interpretacja
wynika
z
faktu,
że
współrzędne
punktów
reprezentujących profile można otrzymać jako średnią ważoną współrzędnych
wierzchołków sympleksów, w których leżą te profile, gdzie wagami są ich składowe
6
 w przypadku klasycznej analizy korespondencji wierzchołki sympleksu reprezentują
hipotetyczne wiersze (kolumny), dla których liczebności różne od zera odpowiadają
tylko jednej kategorii drugiej (pierwszej) ze zmiennych
 im bliższa jest odległość między punktem reprezentującym zmienną, a wierzchołkiem
tym silniejszy związek między kategorią reprezentowaną przez profil, a kategorią
związaną z wierzchołkiem
 analogiczne rozumowanie można przeprowadzić dla wierzchołków i punktów
reprezentujących zmienne
 przedstawiona
interpretacja
wynika
z
faktu,
że
współrzędne
punktów
reprezentujących profile można otrzymać jako średnią ważoną współrzędnych
wierzchołków sympleksów, w których leżą te profile, gdzie wagami są ich składowe
7
b) Konstrukcja macierzy profili kolumn o postaci
 p ji 
C  c ji    ,
 p.i 
 
j=1,2,...,m; i=1,2,....n.
m
gdzie: p.i   p ji
j 1
 elementy profili kolumnowych są współrzędnymi wektorów kolumnowych (obiektów w
nieklasycznej analizie korespondencji) w m-wymiarowej przestrzeni euklidesowej Rm.
 częstości brzegowe, odpowiednio wierszy (r) i kolumn (c), w macierzach profili R i C są
odpowiednio średnimi profilami kolumnowymi i wierszowymi (centrum kolumnowowym
albo wierszowym). Punkty reprezentowane przez przeciętne profile wierszowe i
kolumnowe nazywane są centroidami i leżą w środku układu współrzędnych.
 odległości pomiędzy profilami wierszowymi (punktami reprezentującymi kategorie
pierwszej ze zmiennych) w przestrzeni Rn wylicza się za pomocą ważonej metryki
euklidesowej, gdzie wagami są częstości brzegowe kolumn, o postaci:
2
1  p ji p j 'i 
,
d 2 r j , r j '    



p j '. 
i 1 p.i  p j .
n
j,j’=1,2,...,m; jj’.
8
 odległości pomiędzy profilami kolumnowymi (punktami reprezentującymi kategorie
drugiej ze zmiennych w przestrzeni Rm) określamy za pomocą metryki euklidesowej, gdzie
wagami są częstości brzegowe wierszy:
2
1  p ji p ji' 
2
 ,
d ci , ci '    

p.i ' 
j 1 p j .  p.i
m
i,i’=1,2,...,n; ii’.
 powyższe odległości są jednocześnie odległościami 2.
 analiza odległości pomiędzy profilami wierszowymi (kolumnowymi) jest tożsama z analizą
odległości profili wierszowych (kolumnowych) od średnich profili wierszowych
(kolumnowych)
9
INERCJA
 inercja jest miarą zróżnicowania elementów w macierzy danych wejściowych
 całkowita
inercja
macierzy
określa
stopień
dyspersji
profili
wierszowych
(kolumnowych) względem odpowiadających im centroid, czyli wskazuje jak bardzo
poszczególne profile wierszowe (kolumnowe) różnią się od odpowiadającego im
średniego profilu
 inercja dla wierszy obliczana jest według formuły średniej ważonej:
m
 j   d r2j  p j. ,
j 1
gdzie:
d r2j - odległość 2 między j-tym wierszem, a odpowiadającą jemu centroidą.
 inercję dla kolumn szacujemy w oparciu o wzór:
n
i   d c2i  p.i ,
i 1
gdzie:
d c2i - odległość 2 między i-tą kolumną, a odpowiadającą jej centroidą.
10
 inercja dla wierszy jest równa inercji dla kolumn i jednocześnie równa inercji
całkowitej:
 j  i   .
 inercja posiada też interpretację geometryczną jako miara rozproszenia punktów
reprezentujących profile w wielowymiarowej przestrzeni
- wartość inercji równa jest zero gdy punkty reprezentujące profile wierszowe
(kolumnowe) skupiają się w początku układu współrzędnych. Odpowiada to
sytuacji, że wszystkie profile wierszowe (kolumnowe) są takie same
- czym większa wartość inercji tym większe rozproszenie
reprezentujących profile w stosunku do środka układu współrzędnych
punktów
- maksymalna wartość całkowitej inercji jest równa s=min (m-1, n-1)
11
4.
SYMETRYCZNA STANDARYZACJA MACIERZY P
 
P  A  a ji ,
j=1,2,...,m; i=1,2,....n,
gdzie:
a ji 
p ji  p j. p.i
p j. p.i
.
 suma kwadratów elementów macierzy A jest jednocześnie równa inercji całkowitej
układu:
m
n
 aij   ,
j 1 i 1
 jest ona także proporcjonalna do wartości statystyki chi-kwadrat, którą to zależność
w ujęciu klasycznym można zapisać następująco:
m n
χ2
 aij  n ,
j 1 i 1
a w ujęciu nieklasycznym:
m n
 aij 
j 1 i 1
χ2
m n
 zij
j1 i 1
12
 oznacza to, że inercja całkowita stanowi miarę przeciętnego odchylenia profili
wierszowych
(kolumnowych)
od
średniego
profilu
(centrum)
wierszowego
(kolumnowego), czyli inercji macierzy obserwacji przypadającej na jedną obserwację
(wartość statystyki 2 jest dzielona przez sumę elementów macierzy obserwacji).
 przekształcenie
umożliwia
znalezienie
przestrzeni
czynnikowej
(wektorów
kierunkowych osi czynnikowych) na bazie n-punktów (obiektów w nieklasycznej
analizie korespondencji) w przestrzeni m-wymiarowej (analiza względem kolumn
macierzy A) lub też na podstawie m-punktów (zmiennych w nieklasycznej analizie
korespondencji) w przestrzeni n-wymiarowej (analiza względem wierszy macierzy A)
 symetryczna standaryzacja wejściowej macierzy danych pozwala nie tylko na
ustalenie struktury czynnikowej zmiennych oraz położenia obiektów w nowym
czynnikowym układzie odniesienia, podobnie jak ma to miejsce w pozostałych
metodach czynnikowych, ale także na ustalenie struktury czynnikowej obiektów oraz
położenia zmiennych w tym samym układzie odniesienia, co nie jest możliwe w
żadnej innej metodzie czynnikowej
13
5. UMIESZCZENIE W NOWYM ORTOGONALNYM UKŁADZIE ODNIESIENIA
(PRZESTRZENI CZYNNIKOWEJ) ROZPATRYWANEJ KONFIGURACJI PUNKTÓW –
OBIEKTÓW ORAZ KONFIGURACJI PUNKTÓW ZMIENNYCH
 szukamy wspólnego, ortogonalnego układu odniesienia (podprzestrzeni o wymiarze
min(m-1,n-1)) dla punktów reprezentujących profile wierszowe i profile kolumnowe.
 należy znaleźć wektory czynnikowe kolejnych osi czynnikowych przechodzących
przez początek układu współrzędnych (zawierających centroidy), które najlepiej, w
sensie maksymalizacji sumy kwadratów rzutów wektorów ai(aj) na te osie,
dopasowują konfigurację n-punktów (m-punktów) umieszczonych w przestrzeni
Rm(Rn)
 wektory osi czynnikowej są szukane analogicznie jak miało to miejsce w analizie
głównych składowych z tym, że odpowiednikiem macierzy korelacji R jest macierz
ATA(AAT)
 należy znaleźć wartości własne macierzy ATA(AAT) i odpowiadające im wektory
własne. Rząd macierzy ATA jest, przy tym równy rzędowi macierzy AAT, a także
macierzy A
 kolejne osie czynnikowe, podobnie jak w analizie głównych składowych, szukane są w
taki sposób aby odpowiadające im wymiary wyjaśniały jak największą część
całkowitej inercji
14
Metoda rozkładu macierzy A według wartości osobliwych
A  UΛV T ,
gdzie:
UTU=VTV=I
przy czym:
 
U  u jl
- macierz (m x s) składającą się z wektorów osobliwych odpowiadających
pierwiastkom kwadratowym wartości własnych macierzy ATA,
Λ =[diag(l)] – macierz diagonalną (s x s) utworzoną z niezerowych wartości własnych
macierzy AAT oraz ATA, uporządkowanych malejąco,
V= [Vuli] – macierz (s x n) składającą się z wektorów osobliwych odpowiadających
pierwiatkom kwadratowym wartości własnych macierzy AAT.
Wartości osobliwe macierzy A są pierwiastkami kwadratowymi wartości własnych
macierzy ATA oraz AAT.
Λ Γ2,
gdzie:
 - jest macierzą diagonalną (s x s) utworzoną z niezerowych wartości własnych
l(l=1,2,...,s) uporządkowanych malejąco.
15
 wektory u1,u2,...,us macierzy U nazywane są lewymi wektorami osobliwymi i tworzą
ortonormalną bazę dla kolumn macierzy A (stanowią tzw. osie główne podprzestrzeni
czynnikowej rzutowania kategorii zapisanych w kolumnach w ujęciu klasycznym, czy
też obiektów w ujęciu nieklasycznym)
 wektory v1,v2,...,vs macierzy V nazywane są prawymi wektorami osobliwymi i tworzą
ortonormalną bazę dla transponowanych wierszy macierzy A (stanowią tzw. osie
główne podprzestrzeni czynnikowej rzutowania kategorii zapisanych w wierszu w
ujęciu klasycznym, czy też zmiennych w ujęciu nieklasycznym).
 podprzestrzenie te nakładamy na siebie tak aby układy współrzędnych czynnikowych
pokryły się
 współrzędne czynnikowe pierwszej z kategorii zmiennych (zmiennych w
nieklasycznej analizie korespondencji), zapisanych w wierszach macierzy
kontyngencji, są uzyskiwane w oparciu o równanie:
u jl   l
,
j=1,2,...,m; l=1,2,....s,
f jlg 
p j.
gdzie:
l –
l-ta wartość osobliwa.
 współrzędne czynnikowe drugiej z kategorii zmiennych (obiektów w nieklasycznej
analizie korespondencji), podane w kolumnach macierzy kontyngencji obliczane są
one na podstawie równania:
v 
g ilg  li l ,
i=1,2,...,n; l=1,2,....s.
16
p.i
WYBÓR PRZESTRZENI CZYNNIKOWEJ
 gdy odtwarzamy odległości pomiędzy punktami reprezentującymi kategorie danej
zmiennej (punkty reprezentujące obiekty albo zmienne w nieklasycznej analizie
korespondencji) w przestrzeni o maksymalnym wymiarze s=min(m-1; n-1)
odtwarzamy pierwotne konfiguracje punktów bez żadnych zniekształceń, tzn. zostają
zachowane kąty między wektorami i odległości wektorów reprezentujące profile
wierszowe (kolumnowe), a co za tym idzie również odległości między punktami
 każde zmniejszenie maksymalnego wymiaru przestrzeni czynnikowej powoduje
zniekształcenie konfiguracji wyjściowej punktów co oznacza stratę informacji o
badanym zjawisku
 ostatecznie wybrany wymiar przestrzeni czynnikowej, w której przeprowadzono
analizę uzyskanych wyników, jest kompromisem między łatwością ich interpretacji,
przede wszystkim w ujęciu graficznym, a stopniem odtworzenia pierwotnej
informacji o badanym zjawisku w tym wymiarze
 przy podejmowaniu decyzji co do optymalnego wymiaru przestrzeni czynnikowej
możemy korzystać przede wszystkim z kryterium osypiska, kryterium istotności
czynników oraz stopnia wyjaśniania inercji
17
JAKOŚĆ ODWZOROWANIA
 jakość odwzorowania poszczególnych punktów (wierszy lub kolumn) w danym
wymiarze przestrzeni czynnikowej mierzona jest poprzez stosunek kwadratu odległości
danego punktu w tym wymiarze od środka układu osi czynnikowych maksymalnego
wymiaru do kwadratu odległości tego punktu w przestrzeni czynnikowej o
maksymalnym wymiarze od środka układu czynnikowego
 stosunek ten jest tożsamy ze stosunkiem udziału danego wymiaru w inercji punktu
(kwadrat korelacji wektorów wierszowych/ kolumnowych z daną osią czynnikową),
czyli określa jaka część inercji punktu jest wyjaśniana przez dany wymiar.
 jakość odwzorcowania dla punktów reprezentujących wiersze (zmienne) jest obliczana
na podstawie wzoru:
p j. f jl2
f jl2  jl
,
j=1,2,...,m; l=1,2,....s,
q jl 


p j. d r2j d r2j  j
gdzie:
qjl – jakość odwzorcowania j-tego punktu przez l-ty wymiar,
 jl - inercja j-tego punktu w l-tym wymiarze.
 jakość odwzorowania dla punktów reprezentujących kolumny (obiekty) wzór ten
przyjmuje postać:
p.i q 2jl q 2jl il
18
,
i=1,2,...,n; l=1,2,....s,
qil 
 2 
2
p.i d c j d c j l
gdzie:
qil – jakość odwzorcowania i-tego punktu przez l-ty wymiar,
il - inercja i-tego punktu w l-tym wymiarze.
 suma wartości jakości odwzorcowania danego punktu po wszystkich wymiarach
przestrzeni czynnikowej równa jest jeden
 jakość odwzorcowania danego punktu w wybranej podprzestrzeni czynnikowej o
wymiarze mniejszym od wymiaru maksymalnego jest sumą jakości odwzorcowania
tego punktu, w kolejnych wymiarach i oceniana dla punktów wybranej podprzestrzeni
reprezentujących wiersze na podstawie formuły:
s*
qj 
  jl
l 1
,
j
j=1,2,...,m; s*s
 jakości odwzorowania dla punktów reprezentujących kolumny obliczana jest w oparciu
o formułę:
s*
qi 
 il
l 1
i
,
i=1,2,...,n; s*s
19
ZNACZENIE PUNKTÓW W TWORZENIU
PRZESTRZENI CZYNNIKOWEJ
 znaczenie poszczególnych punktów (reprezentujących kategorie zmiennych w podejściu
klasycznym albo obiekty i zmienne w podejściu nieklasycznym) w tworzeniu
poszczególnych wymiarów przestrzeni czynnikowej jest mierzone udziałem punktów w
inercji (bezwładności) tych wymiarów
 suma tych udziałów dla wszystkich punktów łącznie jest dla każdego z wymiarów
przestrzeni czynnikowej równa jedności
 udział punktu reprezentującego wiersz w danym wymiarze obliczana jest w oparciu o
wzór:
p j. f jl2
,
j=1,2,...,m; l=1,2,...,s.
 jl 
l
 udział punktu reprezentującego kolumnę określa wzór:
p.i qil2
il 
,
i=1,2,...,n; l=1,2,...,s.
l
20
 znaczenie poszczególnych punktów w tworzeniu całej przestrzeni czynnikowej
(wielkość zasobów informacyjnych o badanym zjawisku poszczególnych kategorii
zmiennych w ujęciu klasycznym albo obiektów lub zmiennych w ujęciu nieklasycznym)
oceniane jest na podstawie formuł:
s
j 
  jl
l 1
s
,
j=1,2,...,m,
 l
l 1
oraz
s
i 
 il
l 1
s
,
i=1,2,...,n.
 l
l 1
21
PUNKTY DODATKOWE
 punkty te zawierają dodatkową informację o badanym zjawisku. Punkt dodatkowy
może:
- odzwierciedlać sumę kategorii jednej ze zmiennych (w ujęciu nieklasycznym może
to być przykładowo suma wystandaryzowanych wartości pewnej grupy
rozważanych zmiennych dla poszczególnych obiektów)
- stanowić dodatkową kategorię jednej z zmiennych (w ujęciu nieklasycznym na
przykład dodatkową własność badanych obiektów)
- reprezentować kategorię jednej z zmiennych tak znacznie odstającą od innych
kategorii, że włączenie jej do głównej analizy spowoduje zgrupowanie wszystkich
innych punktów reprezentujących pozostałe kategorie analizowanych zmiennych
wokół środka układu współrzędnych czynnikowych, co znacznie utrudni analizę
wyników
22
 współrzędne dodatkowego punktu opisywanego przez wiersze są wyznaczane w
oparciu o formułę:
f
g
j l

1
n
 p j i
n
p ji g ilg
i 1
l

,
j+=1,2,...,m+; l=1,2,....s.
i 1
 współrzędne dodatkowego punktu opisywanego przez kolumnę są szacowane w
oparciu o formułę:
g ig l


1
n
 p ji
m
p ji f jlg
i 1
l

,
i+=1,2,...,n+; l=1,2,....s.
j 1
23
INTERPRETACJA OSI CZYNNIKOWYCH
 nazwy nadawane są poszczególnym osiom czynnikowym na podstawie oceny siły ich
skorelowania z punktami reprezentującymi kategorie badanych zmiennych,
podobnie jak w innych metodach czynnikowych
 nazwa osi czynnikowej związana jest z tymi kategoriami zmiennych (zmiennym oraz
obiektami w ujęciu nieklasycznym), dla których korelacji z tą osią są najsilniejsze
 podejścia interpretacyjne
- zaleca się aby nazwa osi była ustalana w oparciu o analizę jej korelacji z
kategoriami tej samej zmiennej (w ujęciu nieklasycznym na bazie analizy
korelacji osi ze zmiennymi albo z obiektami)
- nazwę osi ustala przez badanie korelacji z kategoriami obu zmiennych. Ponadto
korelacje te są badane oddzielnie dla półosi dodatnich i półosi ujemnych.
24
INTERPRETACJA WYNIKÓW
- w formie tablic, w których zawarte są współrzędne poszczególnych zmiennych
(obiektów) względem kolejnych osi czynnikowych
- w formie graficznej w postaci wykresów sporządzonych na podstawie tych tablic,
będących dwumiarowymi przekrojami przestrzeni czynnikowych
25
TYPY KONFIGURACJI PUNKTÓW
PODLEGAJĄCYCH ANALIZIE
- położenie punktów
rzutowania)
względem
środka
układu
współrzędnych
(centrum
- położenie względem siebie punktów odpowiadającym kategoriom tej samej
zmiennej (obiektom albo zmiennym w podejściu nieklasycznym)
- położenie względem siebie punktów odpowiadającym kategoriom różnych
zmiennych (położenie punktów reprezentujących obiekty względem punktów
reprezentujących zmienne i vice versa)
26
ANALIZA PUNKTÓW
WZGLĘDEM ŚRODKA UKŁADU WSPÓŁRZĘDNYCH
 punkty położone, w porównaniu z innymi punktami, blisko początku czynnikowego
układu odniesienia (reprezentującego profil przeciętny) posiadają profile bliskie
profilowi przeciętnemu, a położenie relatywnie daleko mają profile znacznie różniące
się od profilu przeciętnego
 czym punkty są położone dalej od początku układu odniesienia tym mają większy
wkład w tworzenie przestrzeni czynnikowej (większe zasoby informacyjne o
badanym zjawisku).
 w ujęciu nieklasycznym analiza położenia punktów zmiennych względem początku
czynnikowego układu odniesienia wskazuje na stopień ich zróżnicowania w badanych
obiektach na tle pozostałych rozpatrywanych zmiennych
- małe oddalenie od początku układu punktu-zmiennej świadczy o niewielkim
zróżnicowaniu tej zmiennej w badanych obiektach w porównaniu ze
zróżnicowaniem innych zmiennych
- duża odległość punktu-zmiennej od początku układu czynnikowego wskazuje na
jej silne zróżnicowanie w badanych obiektach w porównaniu z innymi
zmiennymi.
 analiza odległości punktu obiektu, w ujęciu nieklasycznym, od początku układu
czynnikowego, będącą wypadkową odległości pomiędzy odpowiadającymi sobie
zmiennymi w danym obiekcie i w obiekcie przeciętnym (centroidzie), pozwala na
27
ocenę relatywnego (w stosunku do innych obiektów), stopnia nietypowości danego
obiektu ze względu na strukturę opisujących go zmiennych
POŁOŻENIE WZGLĘDEM SIEBIE PUNKTÓW ODPOWIADAJĄCYM
KATEGORIOM TEJ SAMEJ ZMIENNEJ
(OBIEKTOM ALBO ZMIENNYM W PODEJŚCIU NIEKLASYCZNYM)
 czym bliższe położenie punktów reprezentujących kategorie tej samej zmiennej, tym
ich profile są bardziej podobne
 w ujęciu nieklasycznym
- bliskie położenie punktów zmiennych w przestrzeni czynnikowej oznacza, że
zmienne te kształtują się podobnie w badanych obiektach
- bliskie położenie punktów reprezentujących obiekty wskazuje na podobieństwo
struktury opisujących je zmiennych
28
POŁOŻENIE WZGLĘDEM SIEBIE PUNKTÓW ODPOWIADAJĄCYM
KATEGORIOM RÓŻNYCH ZMIENNYCH
(POŁOŻENIE PUNKTÓW REPREZENTUJĄCYCH OBIEKTY WZGLĘDEM
PUNKTÓW REPREZENTUJĄCYCH ZMIENNE I VICE VERSA)
 można interpretować położenie punktu reprezentującego kategorię jednej ze
zmiennych w odniesieniu do konfiguracji punktów reprezentujących wszystkie
kategorie drugiej ze zmiennych (w ujęciu nieklasycznym położenie punktu zmiennej
względem konfiguracji punktów obiektów lub położenie punktu obiektu względem
konfiguracji punktów zmiennych)
 bliskie położenie punktów reprezentujących kategorie różnych zmiennych wskazuje
na ich współwystępowanie
 w ujęciu nieklasycznym, przykładowo bliskie położenie punktów zmiennych w
stosunku do danego punktu obiektu wskazuje, że właśnie ze względu na wartości
zmiennych reprezentowanych przez te punkty dany obiekt wyróżnia się od innych
badanych obiektów
29