Transcript pps

AUTOMATYKA
i
ROBOTYKA
(wykład 10)
Wykładowca : dr inż. Iwona Oprzędkiewicz
Nazwa wydziału: WIMiR
Nazwa katedry: Katedra Automatyzacji Procesów AGH
Układy nieliniowe
Układy nieliniowe wykazują cztery właściwości znacznie
różniące je od układów liniowych:
1) nie spełniają zasady superpozycji,
2) charakter odpowiedzi w stanie ustalonym w sposób
istotny zależy od amplitudy sygnału sterującego lub amplitudy zakłócenia,
3) odpowiedź w stanie ustalonym oprócz częstotliwości
pochodzącej od wymuszenia lub zakłócenia może dodatkowo zawierać inne harmoniczne,
Układy nieliniowe
4) stabilność układów w istotny sposób zależy od wartości
warunków początkowych, przykładowo:
a) dla małych wartości warunków początkowych układ
może być stabilny,
b) dla dużych wartości warunków początkowych układ
może być niestabilny.
Zasada superpozycji - przypomnienie
Zasada superpozycji stosowana jest w analizie i syntezie
liniowych układów regulacji. Brzmi ona następująco:
Reakcja układu liniowego na sumę sygnałów
jest równa sumie reakcji na każdy sygnał osobno.
Układy nieliniowe - przykład
Mamy trzy układy regulacji z jednostkowym sprzężeniem
zwrotnym:
1) układ liniowy opisany funkcją przejścia toru głównego
4
G(s)  2
s  s 1
2) układ nieliniowy zawierający człon
liniowy opisany poniższą funkcją przejścia
oraz człon o charakterystyce przekaźnika
dwupołożeniowego
2
G(s)  2
s  s 1
u
2
-0.5
0.5
-2
e
Układy nieliniowe - przyklad
3) układ nieliniowy zawierający człon liniowy opisany poniższą
funkcją przejścia oraz człon o charakterystyce przekaźnika
dwupołożeniowego
u
2
2
G(s)  2
s  s 1
-0.05
0.05
-2
e
Układy nieliniowe
+
e
4
s2 +s+1
y1
u
2
s2 +s+1
y2
u
2
s2 +s+1
y3
t
Układ 1
w
+
e
Przek_1
Układ 2
+
Układ 3
e
Przek_2
Schematy blokowe układów regulacji
Mux
y
Układy nieliniowe - przykład
Wszystkie układy poddano jednocześnie działaniu poniższych
sygnałów skokowych:
- sygnału w(t) = Aw·1(t), gdzie Aw = 1 i otrzymano wyniki jak na
rysunku 1.
- sygnału w(t) = Aw·1(t), gdzie Aw = 4 i otrzymano wyniki jak na
rysunku 2.
Układy nieliniowe przykład
2. 5
w(t)=1*1(t)
Układ 1
Układ 2
Układ 3
2. 0
y
1. 5
1. 0
0. 5
0. 0
-0. 5
0
2
4
6
8
10
Czas [s]
12
14
16
18
20
Rys. 1. Charakterystyki skokowe układów dla Aw = 1
Układy nieliniowe - przykład
5. 0
w(t)=4 *1 (t)
4.5
4. 0
3.5
y1, y2, y3
3. 0
2.5
Ukł ad 1
Układ 3
2. 0
Układ 2
1.5
1. 0
0.5
0. 0
0
2
4
6
8
10
Cz as [s]
12
14
16
18
20
Rys. 2. Charakterystyki skokowe układów dla Aw = 4
Układy nieliniowe - przykład
Wnioski :
- układ 1 zachowuje się tak, że na podstawie charakterystyki dla Aw = 1 można wyznaczyć charakterystykę dla
Aw = 4,
- w przypadku układu 2 i 3 na podstawie charakterystyk
dla Aw = 1 nie można wyznaczyć charakterystyk dla Aw =
4.
Układy nieliniowe – symbole graficzne
a)
b)
u
y
u
c)
y = f (u)
y
u
y
u
Symbole graficzne członów nieliniowych: a) symbol ogólny; b)
charakterystyka dana wzorem; c) charakterystyka dana
graficznie
y
Układy nieliniowe
Ogólnie odpowiedź y(t) członu nieliniowego jest związana z
wymuszeniem u(t) tego członu nieliniowym równaniem
różniczkowym n-tego rzędu
F(y(n) , y (n-1) ,..., y,u(m) ,u(m-1) ,...,u,t)  0
gdzie:
y (n)
d ny
n


D
y
n
dt
u (m)
d mu
n


D
u
m
dt
Układy nieliniowe
W przypadku szczególnym powyższe równanie może przyjąć
postać algebraiczną przedstawiającą model nieautonomiczny
F(y,u,t) = 0
Gdy czas nie występuje w postaci jawnej, to człon opisujemy
równaniem autonomicznym, nazywanym charakterystyką
statyczną
F(y,u) = 0
którą zwykle staramy się przedstawić w postaci
y = f(u)
Układy nieliniowe
Ze względu na opis matematyczny charakterystyki statyczne
członów nieliniowych dzielimy na dwie grupy:
1) nieliniowości analityczne, czyli opisane w postaci jednoznacznej
krzywej gładkiej lub rodziny krzywych.
2) nieliniowości nieanalityczne, czyli opisane za pomocą krzywych
nieciągłych lub niejednoznacznych.
Ponadto wszystkie nieliniowości ze względu
występowania w układzie dzielimy na:
1) nieliniowości strukturalne, czyli wynikające z
fizycznych członów,
na
sposób
właściwości
2) nieliniowości celowe, czyli specjalnie wprowadzone do układu dla
zapewnienia pożądanych właściwości statycznych i dynamicznych.
Układy nieliniowe – wybrane charakterystyki
statyczne
Do bardzo często spotykanych członów nieliniowych zaliczamy:
a) człon ze strefą nieczułości,
b) człon z nasyceniem,
c) człon ze strefą nieczułości i nasyceniem,
d) człon ze skokiem początkowym i nasyceniem,
e) przekaźnik dwupołożeniowy bez histerezy,
f) przekaźnik dwupołożeniowy z histerezą,
g) przekaźnik trójpołożeniowy bez histerezy,
h) przekaźnik trójpołożeniowy z histerezą.
Charakterystyki statyczne wybranych członów
nieliniowych
Nazwa członu
Charakterystyka członu y = f(u)
y
Człon ze strefą
nieczułości
k = tgα
α
-a
0
α
k = tgα
Człon z
nasyceniem
B
a
u
y
B
α
k
0
-B
B
k
u
Charakterystyki statyczne wybranych członów
nieliniowych
Nazwa członu
Charakterystyka członu y = f(u)
k = tgα
Człon ze strefą
nieczułości
i nasyceniem
B
 B a
y
α
-a
k
0 a
α
B a
+
k
-B
k = tgα
Człon ze
skokiem
początkowym
i nasyceniem
B
 Bb b
y
α
k
0
α
B b
-b k
-B
u
Charakterystyki statyczne wybranych członów
nieliniowych
Nazwa członu
Charakterystyka członu y = f(u)
y
Przekaźnik
dwupołożeniowy
bez histerezy
(idealny)
Przekaźnik
dwupołożeniowy
z histerezą
(rzeczywisty)
B
0
u
-B
B
y
-a
0
-B
a
u
Charakterystyki statyczne wybranych członów
nieliniowych
Nazwa członu
Charakterystyka członu y = f(u)
y
Przekaźnik
trójpołożeniowy
bez histerezy
(idealny)
B
-a
0
a
u
-B
y
Przekaźnik
trójpołożeniowy z
histerezą
(rzeczywisty)
B
-a2 -a1
0 a1 a2
-B
u
Wybrane schematy zastępcze członów
przekaźnikowych
Dla charakterystyki przekaźnika dwupołożeniowego z histerezą
konstruujemy schemat zastępczy zawierający charakterystykę
przekaźnika idealnego i obwód sprzężenia zwrotnego jak na
rysunku poniżej.
y
B
B
u
–
-a
a
-B
y
-B
u
a
B
Wybrane schematy zastępcze członów
przekaźnikowych
Dana jest charakterystyka przekaźnika trójpołożeniowego z
histerezą oraz charakterystyka przekaźnika idealnego
przechodząca przez środek pola histerezy.
y
y
B
B
–
-a2 -a1
a1 a2
-B
a1+ a2
2
u
a1+ a2
2
-B
u
Wybrane schematy zastępcze członów
przekaźnikowych
B
u
–
y
-B
a 2 -a1
2B
Schemat zastępczy przekaźnika trójpołożeniowego z
histerezą.
Przekształcanie schematów blokowych
Schematy blokowe układów z członami nieliniowymi można
przekształcać podobnie jak schematy układów liniowych.
Obowiązuje przy tym warunek konieczny i dostateczny przekształcenia:
Zastąpienie
części
schematu
układem
równoważnym nie może powodować zmian w
pozostałych częściach schematu nie podlegającym
przekształceniu.
Stąd wynika podstawowa zasada przekształcania:
Kolejność występowania członów nieliniowych
ma istotne znaczenie dla właściwości układu i
nie wolno jej zmieniać.
Przekształcanie schematów blokowych
Dopuszczalne przekształcenia schematów blokowych:
1) szeregowe połączenie członów,
2) równoległe połączenie członów,
3) przenoszenie węzła zaczepowego.
Przekształcanie schematów blokowych
Rozważamy fragment układu złożony z dwóch członów
nieliniowych o znanych charakterystykach statycznych
połączonych szeregowo:
u
f1 (u)
u1
f2 (u1)
y
Dwa człony nieliniowe połączone
szeregowo.
u
f (u)
y
Człon zastępczy równoważny
układowi z rysunku obok.
Po podstawieniu charakterystyki pierwszego członu do
charakterystyki drugiego członu otrzymujemy
y = f2(u1) = f2[f1(u)] = f(u)
Przekształcanie schematów blokowych
Równoległe połączenie członów
f1 (u)
y1
+
u
y
u
f (u)
y
+
f2 (u)
y2
Dwa człony nieliniowe połączone
równolegle
Człon zastępczy równoważny
układowi ze schematu obok
Z istoty połączenia równoległego wynika, że charakterystyka członu
zastępczego jest równa sumie charakterystyk członów składowych
y = y1 + y2 = f1(u) + f2(u) = f(u)
Przekształcanie schematów blokowych
y1 , y2 , y
y = f (u )
4
y2 = f2 (u)
3
y1 = f1(u)
2
1
u
Graficzne wyznaczanie charakterystyki członu zastępczego dla
członów nieliniowych połączonych równolegle
Przekształcanie schematów blokowych – przykład1
Wyznaczyć charakterystykę członu zastępczego dla podanego niżej
równoległego połączenia członów o znanych charakterystykach
statycznych.
4
y1
2
+
u
y
+
4
2 4
y2
Dwa człony nieliniowe połączone równolegle
Przekształcanie schematów blokowych – przykład1
Rozwiązaniem
jest
charakterystyka
pokazana na rysunku.
Charakterystyka
wypadkowa jest liniowa
lub zbliżona do liniowej.
y = f ( u)
y 1 , y 2, y
y2 =f 2( u)
6
y1 = f1( u )
4
2
0
2
4
6
u
Charakterystyki dla podanych układów
Przekształcanie schematów blokowych – przykład2
Wyznaczyć charakterystykę członu o zmiennym wzmocnieniu, utworzonego z:
1) członu liniowego opisanego wzmocnieniem K1 = 0.5,
2) członu nieliniowego ze strefą nieczułości o szerokości 2a = 1, poza
tą strefą opisanego wzmocnieniem K2 = 2.
u
+
y
+
Schemat członu o zmiennym wzmocnieniu
Przekształcanie schematów blokowych – przykład2
4
3
2
1
y
0
-1
-2
-3
-4
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
u
0.5
1.0
Charakterystyka statyczna członu
1.5
2.0
Przenoszenie węzła zaczepowego przed blok
Przeniesienie węzła zaczepowego przed blok nieliniowy
zgodnie z warunkiem koniecznym i dostatecznym wymaga
wprowadzenia dodatkowego członu nieliniowego takiego,
jak człon dany. Otrzymamy wtedy schemat pokazany
poniżej na rysunku.
u
f ( u)
y
y
Schemat blokowy z węzłem
zaczepowym za blokiem
u
f ( u)
y
f ( u)
y
Przekształcony schemat z
rysunku obok
Przenoszenie węzła zaczepowego za blok
Przeniesienie węzła zaczepowego za blok nieliniowy
zgodnie z warunkiem koniecznym i dostatecznym wymaga
wprowadzenia dodatkowego członu nieliniowego o charakterystyce odwrotnej do charakterystyki danej.
u
f ( u)
y
u
y
f ( u)
y
u
φ ( y) = f -1(u)
Schemat blokowy z węzłem
zaczepowym przed blokiem
u
Przekształcony schemat z
rysunku obok
Układy regulacji dwupołożeniowej
Ze statycznym obiektem regulacji
umax
r +
-
-h
u(t)
h
h
e
 s
ke
G( s) 
Ts  1
y(t)
Uwagi wstępne:
•Typowy przykład zastosowań to regulacja temperatury,
•Przebiegi wielkości regulowanej w układzie zależą nie tylko od
własności regulatora, lecz także od własności obiektu.
•Jako regulator można stosować przekaźnik o charakterystyce
asymetrycznej.
Układy regulacji dwupołożeniowej
Przebiegi odpowiedzi
umin oraz umax:
skokowej
obiektu
na
sterowanie
y(t)
ymax
ymin
UWAGA! W przypadku obiektów cieplnych stała czasowa i
czas martwy mają różne wartości dla grzania i chłodzenia! (
zob. wykres powyżej)
Układy regulacji dwupołożeniowej
Przebiegi czasowe wielkości regulowanej i sygnału sterowania w
układzie:
4
3.5
3
2h
r
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
50
100
150
200
250
300
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
50

100


150

200

250

300
Układy regulacji dwupołożeniowej
•
•
•
•
•
•
Uwagi do wykresów:
W układzie występują oscylacje wielkości
regulowanej i nie da się ich uniknąć.
Zwiększenie amplitudy oscylacji powoduje
zmniejszenie częstotliwości przełączeń,
Rozszerzenie szerokości histerezy h powoduje
zwiększenie amplitudy oscylacji,
Im większy wartość czasu martwego obiektu  , tym
większa amplituda oscylacji w układzie,
im większa wartość stałęj czasowej obiektu, tym
mniejsza częstotliwość przełączeń.
Przebiegi wielkości regulowanej w układzie
regulacji II położeniowej dla różnych poziomów
wartości zadanej ( obiekty statyczne)
1. Wysoki poziom wartości zadanej: r bliska wartości ymax :
6
5
yśr
4
3
2
1
0
0
50
100
150
yśr < r
200
250
300
Przebiegi wielkości regulowanej w układzie
regulacji II położeniowej dla różnych poziomów
wartości zadanej ( obiekty statyczne)
2. Wartość zadana na poziomie ok. 50% zakresu
6
5
4
yśr
3
2
1
0
0
50
100
150
yśr ≈ r
200
250
300
Przebiegi wielkości regulowanej w układzie
regulacji II położeniowej dla różnych poziomów
wartości zadanej ( obiekty statyczne)
3. Niski poziom wartości zadanej: r bliska wartości ymin :
6
5
4
3
2
yśr
1
0
0
50
100
150
yśr > r
200
250
300
Układ regulacji II położeniowej z astatycznym
obiektem regulacji:
umax
r +
-
-h
u(t)
h
h
e
 s
e
G ( s) 
Ts
y(t)
Uwagi wstępne:
•Przebiegi wielkości regulowanej w układzie zależą nie tylko od
własności regulatora, lecz także od własności obiektu.
•Jako regulator należy zastosować przekaźnik o charakterystyce
symetrycznej.
•Wartość średnia wielkości regulowanej nie zależy od poziomu
wartości zadanej.
Układ regulacji II położeniowej z astatycznym
obiektem regulacji:
6
4
2
0
-2
-4
-6
0
50
100
150
200
250
300
Metoda funkcji opisującej.
Uwagi wstępne:
• Metoda funkcji opisującej stanowi rozszerzenie
metod opisu systemów liniowych w dziedzinie
częstotliwości,
• Po podaniu sygnału sinusoidalnego na wejście
elementu nieliniowego na wyjściu elementu pojawia
się sygnał okresowy, ale nie sinusoidalny.
• Kształt sygnału wyjściowego zależy od rodzaju
nieliniowości
oraz
od
amplitudy
sygnału
wejściowego.
Idea metody funkcji opisującej polega na założeniu, że
kształt przebiegu wyjściowego można w przybliżeniu
opisać za pomocą jego pierwszej harmonicznej.
Przejście sygnału sinusoidalnego przez element III
położeniowy - przykład:
Φ(u)
ym
-n
n
u
-ym
•Charakterystyka symetryczna,
•Bez histerezy,
Metoda funkcji opisującej.
Na element podajemy sygnał sinusoidalny o amplitudzie A1
większej od strefy nieczułości elementu 2n:
u(t)
A1
y(t)= Φ(u(t))
ym
-n
n
-ym
u(t)=A1sin t
A1 > 2n
Metoda funkcji opisującej.
u(t)
2
ym
1.5
n
1
y(t)
0.5
-n
0
-ym
-0.5
-1
-1.5
-2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Metoda funkcji opisującej.
Definicja
Funkcją opisującą elementu nieliniowego nazywamy stosunek
wartości zespolonej amplitudy pierwszej harmonicznej sygnału
wyjściowego A(Y1h)
do amplitudy sinusoidalnego sygnału
wejściowego A1
Dla elementów nieliniowych bezinercyjnych
symetrycznych charakterystykach statycznych:
A( y1h )
J ( A1 ) 
A1
o
Metoda funkcji opisującej.
Definicja
Wykres krytyczny elementu nieliniowego:
1
K ( A1 )  
J ( A1 )
Wykres krytyczny wyznacza się przy A1 zmieniającej się w
zakresie od 0 do ∞.
Funkcje
opisujące
nieliniowych
typowych
elementów
Przekaźnik II położeniowy bez histerezy:
y
ym
u
-ym
4 ym
J ( A1 ) 
A1
Q
Wykres krytyczny:
A1 ->
A1 =0
P
Funkcje
opisujące
typowych
elementów
nieliniowych
y
Przekaźnik II położeniowy z histerezą:
ym
-h
h
-ym
A1>h:
u
A1<h
J(A1)= 0
2


 h
4 ym 
h
J ( A1 ) 
1     j
A1 
A1 
A1 



Funkcje
opisujące
nieliniowych
typowych
elementów
Wykres krytyczny:
Q
P
A1 ->
A1 =h
 h

4 ym
Funkcje
opisujące
nieliniowych
typowych
elementów
y
Przekaźnik III położeniowy bez ym
histerezy:
-n
u
n
A1>n:
ym
n
4 ym
J ( A1 ) 
1   
A1
A
 1
A1<n
J(A1)= 0
2
Funkcje
opisujące
nieliniowych
typowych
elementów
Wykres krytyczny:
Q
A1 =0
A1 ->
A1  2n
2n
P
Funkcje
opisujące
nieliniowych
typowych
elementów
y
Przekaźnik III położeniowy z histerezą:
-n
ym
-an
an
A1>n:
ym
n
u
A1<n
J(A1)= 0
J ( A1 ) 
2
2


 n 
 an 
2 ym 
n
  j
1     1  
(1  a)

A1 
A1 
A1 
A1




Funkcje
opisujące
nieliniowych
typowych
elementów
Wykres krytyczny:
Q
P
A1 ->
A1 =a
n
 n

4 ym
Funkcje
opisujące
nieliniowych
y
typowych
elementów
Element z nasyceniem:
ym
Arc tg = k
-n
n
-ym
u
A1<n
J(A1)=k
A1  n
2

 n 
2k 
n
n
J ( A1 ) 
arcsin 
1   
 
A1 A1
A1  



Funkcje
opisujące
nieliniowych
typowych
elementów
Wykres krytyczny:
Q
A1 ->
A1  n
-1/k
P
Funkcje
opisujące
nieliniowych
typowych
elementów
Element ze strefą nieczułości:
y
Arc tg = k
-n
n
A1  n
u
A1<n
J(A1)=0
2

 n 
2k  
n
n
J ( A1 ) 
 arcsin 
1   
 2
A1 A1
A1  



Funkcje
opisujące
nieliniowych
typowych
elementów
Wykres krytyczny:
Q
A1 =0
A1 ->
-1/k
P
Stabilność układu regulacji z regulatorem nieliniowym i liniowym obiektem
regulacji.
Kryterium Nyquista dla systemów nieliniowych.
r +
J(A1)
-
u(t)
G(jω)
y(t)
Go ( A1, j)  J ( A1 )G( j)
Uogólniona transmitancja widmowa układu otwartego
jest równa:
Go(A1, jω)=J(A1)G(jω)
Granica stabilności wg kryterium Nyquista:
1  Go ( A1 , j )  0 
1
G  j   
 K ( A1 )
J ( A1 )
Uwaga
Wykres krytyczny w przypadku układu nieliniowego
jest odpowiednikiem punktu (-1,j0) w przypadku układu
liniowego.
Przybliżony warunek stabilności (Kryterium
Nyquista dla systemu nieliniowego )
Jeżeli układ otwarty jest stabilny i charakterystyka
amplitudowo – fazowa liniowej części układu nie okrąża
wykresu krytycznego elementu nieliniowego ani nie ma z
nim punktów wspólnych, to układ zamknięty jest globalnie
stabilny.
Uwagi.
•Jeżeli pewna część wykresu krytycznego jest okrążana przez
charakterystykę G(jω), to punkt przecięcia obu wykresów określa
amplitudę i pulsację drgań ustalonych występujących w układzie (
cyklu granicznego )
•Część wykresu krytycznego okrążana przez G(j) opisuje
niestabilną część systemu, a część nie okrążana opisuje część
stabilną.
Przykład 1
r +
J(A1)
-
u(t)
G(jω)
Go ( A1, j)  J ( A1 )G( j)
Liniowy obiekt regulacji opisany jest następująco:
1
G (s)  3
2
s  3s  3s  1
y(t)
Obiekt jest sterowany nieliniowym regulatorem P
o następującej charakterystyce:
y
5
Arc tg = k
-n
n
u
-5
Problem:
Dla jakiej wartości k układ będzie stabilny globalnie?
Przykład 1 cd.

Pm()
Qm()
0
1
0
1/3
0
-3/8
3
-1/8
0

0
0
1
Q
0.8
0.6
0.4
0.2
K(A1)
0
-1/8
-0.2
-0.4
P
-1/k
-0.6
G(jω)
-0.8
-1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
Real Axis
0.2
0.4
0.6
Układ będzie stabilny globalnie dla k < 8
0.8
1
Przykład 2
r +
J(A1)
-
u(t)
G(jω)
y(t)
Go ( A1, j)  J ( A1 )G( j)
Rozważamy obiekt regulacji z poprzedniego przykładu:
1
G (s)  3
2
s  3s  3s  1
Jako regulator stosujemy przekaźnik II
położeniowy bez histerezy:
y
5
u
-5
Przykład 2 cd.
Uwagi:
•Układ nie będzie stabilny, gdyż dla każdej wartości ym
charakterystyka G(jω)
będzie przecinała wykres
krytyczny regulatora.
•Układ będzie na granicy stabilności i punkt przecięcia
wykresu krytycznego z wykresem G(jω) określa
amplitudę i pulsację drgań ustalonych.
•W rozważanym przypadku:

3
4u
J ( A1 ) 
A1
Przykład 2 cd.

Pm()
Qm()
0
1
0
1/3
0
-3/8
3
-1/8
0

0
0
1
Q
0.8
0.6
0.4
-1/8
K(A1)
0.2
P
0
-0.2
-3/8
-0.4
-0.6
G(jω)
-0.8
-1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
Real Axis
0.2
0.4
0.6
0.8
Przykład 3
r +
J(A1)
-
u(t)
G(jω)
y(t)
Go ( A1, j)  J ( A1 )G( j)
Rozważamy obiekt regulacji z poprzedniego przykładu:
1
G (s)  3
2
s  3s  3s  1
Jako regulator stosujemy przekaźnik II
położeniowy z histerezą o szerokości h:
u
5
-h
h
e
-5
Dla jakiej szerokości strefy histerezy h zamknięty
układ regulacji będzie globalnie stabilny?

Pm()
Qm()
0
1
0
1/3
0
-3/8
3
-1/8
0

0
0
Na podstawie poniższego wykresu
widać, ch-ka obiektu nie przetnie
wykresu krytycznego jeżeli:
h
3


4y m
8
Jeżeli ym= 5, to ostatecznie:
1
Q
0.8
h 
0.6
0.4
-1/8
0.2
P
0
-0.2
-3/8
-0.4
K(A1)
-0.6
G(jω)
-0.8
-1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
Real Axis
0.2
0.4
-h/4ym
0.6
0.8
5 3
2