Transcript PTS
PODSTAWY TEORII SYSTEMÓW
1.
2.
3.
4.
TWORZENIE MODELI I MODELOWANIE IDENTYFIKACJA I ROZPOZNAWANIE ANALIZA I PROJEKTOWANIE STEROWANIE I KIEROWANIE
POJĘCIE SYSTEMU
IDEA WYODRĘBNIENIA SYSTEMU Z OTOCZENIA IDEA BUDOWY SYSTEMU Z ELEMENTÓW ( PODSYSTEMÓW ) IDEA FUNKCJI SPEŁNIANEJ PRZEZ SYSTEM IDEA OGRANICZONEJ ZMIENNOŚCI SYSTEMU W CZASIE 1. SYSTEM JEST PEWNĄ CAŁOŚCIĄ, W KTÓREJ WSPÓŁDZIAŁAJĄ WYODRĘBNIONE CZĘŚCI SKŁADOWE. 2. FUNKCJONOWANIE SYSTEMU ZALEŻY OD FUNKCJI CZĘŚCI SKŁADOWYCH I ZWIĄZKÓW MIĘDZY NIMI. 3. POWIĄZANIA CZĘŚCI SKŁADOWYCH OKREŚLAJĄ STRUKTURĘ SYSTEMU.
2/56
CELE BUDOWY MODELU SYSTEMU
• • • •
OPIS I WYJAŚNIENIE DZIAŁANIA MECHANIZMU SYSTEMU
–
MODEL FENOMENOLOGICZNY PRZEWIDYWANIE ZACHOWANIA SIĘ SYSTEMU W PRZYSZŁOŚCI I PRZY RÓŻNYCH WARUNKACH ODDZIAŁYWANIA NA SYSTEM - MODEL PROGNOSTYCZNY WYBÓR WŁAŚCIWYCH ODDZIAŁYWAŃ WEJŚCIOWYCH SPEŁNIAJĄCYCH OKREŚLONE WARUNKI - MODEL DECYZYJNY ( W SZCZEGÓLNOŚCI WYBÓR OPTYMALNY) WYBÓR STRUKTURY LUB PARAMETRÓW SYSTEMU, SPEŁNIAJĄCEGO OKREŚLONE ZADANIA – MODEL NORMATYWNY
3/56
ETAPY MODELOWANIA MATEMATYCZNEGO
• • • • •
SFORMUŁOWANIE CELÓW MODELOWANIA WYBÓR KATEGORII MODELU I OKREŚLENIE JEGO STRUKTURY IDENTYFIKACJA ALGORYTMIZACJA OBLICZEŃ WERYFIKACJA
4/56
MODELEM MATEMATYCZNYM SYSTEMU (OBIEKTU, PROCESU) JEST ZESTAW WZORÓW MATEMATYCZNYCH (OGÓLNIE ZESTAW RELACJI MATEMATYCZNO-LOGICZNYCH) OKREŚLAJĄCYCH ZALEŻNOŚCI POMIĘDZY WYRÓŻNIONYMI WIELKOŚCIAMI.
SĄ TO WIELKOŚCI WEJŚCIOWE I WYJŚCIOWE SYSTEMU, A SYSTEM TAKI NAZYWAMY WZGLĘDNIE ODOSOBNIONYM.
W POJĘCIACH WEJŚCIE I WYJŚĆIE ZAWARTE JEST DOMNIEMANIE O ZWIĄZKU PRZYCZYNOWO-SKUTKOWYM MIĘDZY TYMI WIELKOŚCIAMI, W TYM SENSIE , ŻE ZNAJĄC (OBSERWUJĄC) WEJŚCIE MOŻNA OKREŚLIĆ JAKIE BĘDZIE WYJŚCIE
5/56
WERYFIKACJA MODELU
• JEST TO PORÓWNANIE WYNIKÓW MODELOWANIA • Z ZACHOWANIEM SIĘ SYSTEMU RZECZYWISTEGO • Z PUNKTU WIDZENIA ZGODNOŚCI Z WIEDZĄ • TEORETYCZNĄ ORAZ BADANIAMI EMPIRYCZNYMI
KRYTERIA
KRYTERIA WEWNĘTRZNE : -ZGODNOŚĆ FORMALNA -ZGODNOŚĆ ALGORYTMICZNA KRYTERIA ZEWNĘTRZNE : -ZGODNOŚĆ HEURYSTYCZNA -ZGODNOŚĆ PRAGMATYCZNA 1.ZGODNŚĆ REPLIKATYWNA 2.ZGODNOŚĆ PREDYKATYWNA 3.ZGODNŚĆ STRUKTURALNA
6/56
DYNAMIKA SYSTEMÓW
SYSTEMY STATYCZNE SYSTEMY DYNAMICZNE WŁASNOŚCI DYNAMICZNE SYSTEMÓW WYNIKAJĄ Z DZIAŁANIA NASTĘPUJĄCYCH OGÓLNYCH ZASAD F I Z Y C Z N Y C H :
• PRZY OGRANICZONYCH WYDAJNOŚCIACH ŹRÓDEŁ ,
KAŻDA NIE NIESKOŃCZENIE MAŁA ZMIANA STANU ENERGETYCZNEGO LUB MATERIAŁOWEGO WYMAGA PEWNEGO CZASU (BEZWŁADNOŚĆ=INERCJA)
• KAŻDE SKOŃCZONE PRZEMIESZCZENIE SIĘ W PRZESTRZENI
ZJAWISKA MATERIALNEGO WYMAGA PEWNEGO CZASU (OPÓŹNIENIE)
7/56
STAN SYSTEMU DYNAMICZNEGO
• JEST TO NAJMNIEJSZA LICZBA DANYCH (WEKTOR STANU) ,
KTÓRYCH ZNAJOMOŚĆ W DANEJ CHWILI, PRZY ZNAJOMOŚCI WIELKOŚCI WEJŚCIOWYCH , POCZĄWSZY OD TEJ CHWILI – POZWALA JEDNOZNACZNIE OKREŚLIĆ STAN I WIELKOŚCI WYJŚCIOWE SYSTEMU W PRZYSZŁOŚCI.
• WIELKOŚCI STANU SĄ WIĘC ZMIENNYMI WEWNĘTRZNYMI
SYSTEMU, KTÓRE REASUMUJĄ W SOBIE CAŁĄ PRZESZŁOŚĆ I DETERMINUJĄ JEGO PRZYSZŁOŚĆ.
ZDETERMINOWANIE SYSTEMU WYNIKA Z POSTULATÓW :
• PRZYCZYNOWOŚĆ • ZUPEŁNOŚĆ 8/56
UKŁADEM STEROWANIA NAZYWAMY ZESPÓŁ ZŁOŻONY Z OBIEKTU STEROWANIA I URZĄDZENIA STERUJĄCEGO – ODPOWIEDNIO POWIĄZANYCH FUKCJONALNIE ZE SOBĄ.
W OBIEKCIE STEROWANIA WYRÓŻNIAMY :
• SYGNAŁY WEJŚCIOWE (STERUJĄCE) • SYGNAŁY ZAKŁÓCAJĄCE • SYGNAŁAY WYJŚCIOWE
SYGNAŁY, NAWET WTEDY, KIEDY SĄ WIELKOŚCIAMI FIZYKALNYMI LUB FIZYKALNIE WYOBRAŻALNYMI, NIE ZAWSZE MOŻNA W DANYM OBIEKCIE WYZNACZYĆ I NIE ZAWSZE MOŻNA ODDZIAŁYWAĆ NA NIE ZA POMOCĄ ROZPORZĄDZALNYCH SYGNAŁÓW STERUJĄCYCH.
SYGNAŁY MOGĄ BYĆ:
• MIERZALNE I STEROWALNE • MIERZALNE I NIESTEROWALNE • STEROWALNE I NIEMIERZALNE • NIEMIERZALNE I NIESTEROWALNE. 9/56
MODEL MATEMATYCZNY TWORZYMY
•
NA PODSTAWIE PEŁNEJ ZNAJOMOŚCI ZJAWISK W POSZCZEGÓLNYCH OBIEKTACH ORAZ ICH POWIĄZAŃ MIĘDZY SOBĄ I Z URZĄDZENIAMI STERUJĄCYMI USTALA SIĘ ZALEŻNOŚCI MIĘDZY SYGNAŁAMI WYSTĘPUJĄCYMI W UKŁADZIE.
•
NA PODSTAWIE CZĘŚCIOWEJ ZNAJOMOŚCI ZJAWISK W SKŁADOWYCH OBIEKTACH I STRUKTURY UKŁADU FORMUŁUJE SIĘ WSTĘPNIE ZWIĄZKI MIĘDZY SYGNAŁAMI. NASTĘPNIE KORYGUJE SIĘ TE ZALEŻNOŚCI NA PODSTAWIE WYNIKÓW UZYSKANYCH EKSPERYMENTALNIE.
•
W PRZYPADKU NIEPEŁNEJ INFORMACJI A PRIORI O UKŁADZIE LUB BRAKU TEJ INFORMACJI OTRZYMUJE SIĘ DOŚWIADCZALNIE OKREŚLONE DANE I PO ODPOWIEDNIM ICH PRZETWORZENIU TWORZY MODEL MATEMATYCZNY
10/56
I D E N T Y F I K A C J A
OZNACZA WYZNACZENIE MODELU SYSTEMU NA PODSTAWIE BADAŃ EKSPERYMENTALNYCH.
JEST TO OBSZERNY DZIAŁ TEORII I TECHNIKI SYSTEMÓW OBEJMUJĄCY RÓŻNE PROBLEMY, METODY I TECHNIKI DLA RÓŻNYCH PRZYPADKÓW SYSTEMÓW I ICH MODELI.
EFEKTEM KOŃCOWYM JEST A L G O R Y T M I D E N T Y F I K A C J I.
A NA L I Z A
•
ANALIZA ILOŚCIOWA
•
ANALIZA JAKOŚCIOWA P R O J E K T O W A N I E (SYNTEZA) MOŻE TO BYĆ PODEJMOWANIE DECYZJI PRZY ZMIENNYCH ZAKŁÓCENIACH MAMY DO CZYNIENIA ZE S T E R O W A N I E M.
11/56
BIEŻĄCE ZMIANY PROJEKTU SPOWODOWANE ZMIANAMI ZAKŁÓCEŃ I POLEGAJĄCE NA WYZNACZANIU ORAZ REALIZACJI UAKTUALNIANYCH DECYZJI NAZYWAMY STEROWANIEM.
W TEN SPOSÓB SYSTEM STERUJĄCY ODDZIAŁYWUJE NA OBIEKT STEROWANIA W OKREŚLONYM CELU, KTÓRYM JEST DOPROWADZENIE WYJŚCIA DO WARTOŚCI ZADANEJ LUB EKSTREMALNEJ ORAZ UTRZYMYWANIE OBIEKTU MOŻLIWIE BLISKO TYCH WARTOŚCI MIMO DZIAŁAJĄCYCH ZAKŁÓCEŃ.
PRZEPIS FORMALNY TO A L G O R Y T M S T E R O W A N I A.
12/56
KLASYFIKACJA UKŁADÓW STEROWANIA:
NA PODSTAWIE WŁASNOŚCI
• UKŁADY CIĄGŁE I DYSKRETNE • UKŁADY LINIOWE I NIELINIOWE • UKŁADY STACJONARNE I NIESTACJONARNE • UKŁADY JEDNO I WIELOWYMIAROWE • UKŁADY O STAŁYCH SKUPIONYCH I O PARAMETRACH
ROZŁOŻONYCH ZE WZGLĘDU NA ZADANIA
• UKŁADY AUTOMATYCZNEJ STABILIZAJI (REGULACJI
STAŁOWARTOŚCIOWEJ)
• UKŁADY REGULACJI PROGRAMOWEJ • UKŁADY NADĄŻNE (ŚLEDZĄCE) 13/56
ZE WZGLĘDU NA RODZAJ PROCESÓW PODLEGAJĄCYCH STEROWANIU
• UKŁADY STEROWANIA PROCESÓW JEDNOSTKOWYCH • UKŁADY STEROWANIA KOMPLEKSOWEGO
ZE WZGLĘDU NA SPOSÓB REALIZACJI STEROWANIA I MOŻLIWOŚCI DOSTOSOWANIA SIĘ UKŁADÓW DO ZMIENIAJĄCYCH SIĘ WARUNKÓW PRACY
• UKŁADY ZWYKŁE (NIEADAPTACYJNE) • UKŁADY ADAPTACYJNE • UKŁADY OPTYMALNE • UKŁADY NIEOPTYMALNE 14/56
METODY OPISU CIĄGŁYCH LINIOWYCH JEDNOWYMIAROWYCH OBIEKTÓW STEROWANIA
• RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE OPISUJĄCE
JEDNOWYMIAROWE OBIEKTY STEROWANIA ( W SZCZEGÓLNOŚCI RÓWNANIE WE-WY)
• ODPOWIEDŹ JEDNOSTKOWA (SKOKOWA) • ODPOWIEDŹ IMPULSOWA • TRANSMITANCJA OPERATOROWA • TRANSMITANCJA WIDMOWA • METODA PRZESTRZENI FAZOWEJ I PŁASZCZYZNY
FAZOWEJ
• METODA ZMIENNYCH STANU • CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE 15/56
CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE:
• • • • • • •
CHARAKTERYSTYKA AMPLITUDOWO-FAZOWA CHARAKTERYSTYKA AMPLITUDOWA CHARAKTERYSTYKA FAZOWA CHARAKTERYSTYKA SKŁADOWEJ RZECZYWISTEJ TRANSMITANCJI CHARAKTERYSTYKA SKŁADOWEJ UROJONEJ TRANSMITANCJI CHRAKTERYSTYKA LOGARYTMICZNA AMPLITUDOWA CHARAKTERYSTYKA LOGARYTMICZNA FAZOWA
16/56
TYPOWE CZŁONY LINIOWE
• CZŁON PROPORCJONALNY • CZŁON INERCYJNY PIERWSZEGO RZĘDU • CZŁON CAŁKUJĄCY IDELNY • CZŁON CAŁKUJĄCY Z INERCJĄ • CZŁON RÓŻNICZKUJĄCY • CZŁON RÓŻNICZKUJĄCY Z INERCJĄ • CZŁON OSCYLACYJNY • CZŁON INERCYJNY DRUGIEGO RZĘDU • CZŁON OPÓŹNIAJĄCY 17/56
MODEL SYSTEMU PRODUKCYJNEGO
y
1
y
2
a
11
x
1
a
12
x
2
a
21
x
1
a
22
x
2
x
1 ,
x
2
(STATYCZNY)
ilości surowców przerabianych w dwóch agregatach
y
1 ,
y
2 ilość produktu i koszt produkcji IDENTYFIKACJA wyznaczenie
a
11 ,
a
12 ANALIZA ILOŚCIOWA ,
a
21 ,
a
22 na podstawie układu czterech równań: jeżeli znamy wartości liczbowe parametrów
a
11 ,
a
12 ,
a
21 ,
a
22
y
11
y
12
y
21
y
22
a
11
x
11
a
12
x
21
a
11
a
21
a
21
x
12
x x
11 12
a
12
a
22
a
22
x
22
x x
21 22 to wstawiamy dane
x
1 ,
x
2 do modelu i wyliczamy
y
1 ,
y
2 PROJEKTOWANIE – PODEJMOWANIE DECYZJI
y
1
y
1 można wyliczyć decyzje
x
1 ,
x
2
x
1
a y
1 * 11
a
22
a
22
y
* 2
a
12
a
21
a
12
x
2
a y
2 * 11
a
11
a
22
y
* 1
a
21
a
21
a
12
y
2
y
* 2 18/56
• C h a r a k t e r y s t k ą ( o d p o w i e d z i ą ) s k o k o w ą h(t) jednowymiarowego układu ( obiektu ) liniowego stacjonarnego nazywać będziemy odpowiedź tego układu na wymuszenie w postaci jednostkowej funkcji skokowej 1( t ) , przy zerowych warunkach początkowych.
2. C h a r a k t e r y s t k ą ( o d p o w i e d z i ą ) impulsową g(t) jednowymiarowego układu ( obiektu ) liniowego stacjonarnego nazywać będziemy odpowiedź tego układu na wymuszenie w postaci funkcji Diraca , przy zerowych warunkach początkowych.
3. T r a n s m i t a n c j ą o p e r a t o r o w ą G( s ) jednowymiarowego układu ( obiektu ) liniowego stacjonarnego nazywać będziemy wielkość określoną jako stosunek transformaty odpowiedzi Y( s ) do transformaty wymuszenia U( s ) tego układu przy zerowych warunkach początkowych G ( s ) = Y ( s ) / U ( s ) 19/56
CZŁON INERCYJNY
Równanie różniczkowe wejście-wyjście:
T
y
k u
k- współczynnik wzmocnienia określony jako stosunek odpowiedzi y do wymuszenia u w stanie ustalonym, T- stała czasowa.
Charakterystyka skokowa:
t h
k
( 1 exp ) 1
T
Odpowiedź impulsowa:
g
k T
exp
t T
1
Transmitancja:
G
1
k sT
20/56
CZŁON BEZINERCYJNY (proporcjonalny, wzmacniający)
Równanie różniczkowe wejście-wyjście:
y
k u
k- współczynnik wzmocnienia określony jako stosunek odpowiedzi y do wymuszenia u w stanie ustalonym, T- stała czasowa = 0.
Charakterystyka skokowa:
h
k
1
Odpowiedź impulsowa:
g
k
Transmitancja:
G
k
21/56
CZŁON CAŁKUJĄCY Z INERCJĄ
Równanie różniczkowe wejście-wyjście:
T
y
k u
k- współczynnik wzmocnienia prędkościowego określony jako stosunek pochodnej odpowiedzi y do wymuszenia u w stanie ustalonym, T- stała czasowa.
Charakterystyka skokowa:
h
k t
k T
( 1 exp
t
) 1
T
Odpowiedź impulsowa:
g
k
1 exp
t T
1
Transmitancja:
G
1
k sT
22/56
CZŁON CAŁKUJĄCY IDEALNY
Równanie różniczkowe wejście-wyjście:
k u
k- współczynnik wzmocnienia prędkościowego określony jako stosunek pochodnej odpowiedzi y do wymuszenia u w stanie ustalonym, T- stała czasowa = 0.
Charakterystyka skokowa:
h
k T
1
Odpowiedź impulsowa:
g
k
1
Transmitancja:
G
k s
23/56
CZŁON RÓŻNICZKUJĄCY Z INERCJĄ (rzeczywisty człon różniczkujący)
Równanie różniczkowe wejście-wyjście:
T
y
k u
k- współczynnik wzmocnienia określony jako stosunek odpowiedzi y do pochodnej wymuszenia u w stanie ustalonym, T- stała czasowa.
Charakterystyka skokowa:
h
k T
exp
t T
1
Odpowiedź impulsowa:
g
k
T
T k
2 exp
Transmitancja:
G
1
k s sT T t
1 24/56
CZŁON RÓŻNICZKUJĄCY
Równanie różniczkowe wejście-wyjście:
y
k u
k- współczynnik wzmocnienia określony jako stosunek odpowiedzi y do pochodnej wymuszenia u w stanie ustalonym, T- stała czasowa = 0.
Charakterystyka skokowa:
h
k
Odpowiedź impulsowa:
g
k d
dt
Transmitancja:
G
k s
25/56
CZŁON OSCYLACYJNY
Równanie różniczkowe wejście-wyjście:
y
2
n
n
2
y
k
n
2
u
lub
T n
2
y
2
T n
y
k u
k- współczynnik wzmocnienia określony jako stosunek odpowiedzi y do wymuszenia u w stanie ustalonym,
T n
- okres drgań własnych nie tłumionych,
n
1
T n
- pulsacja drgań własnych nie tłumionych,
- względny współczynnik tłumienia (
0 1
) Charakterystyka skokowa:
h
k
1 exp
przy czym
1
n
2
t
w t
w
1 2
pulsacja drgań własnych tłumionych
arc tg
1 2 26/56
g
Odpowiedź impulsowa:
d h
dt dla h
Transmitancja:
G
s
2 2
k
n n
2
s
n
2 0
lub
G
T n
2
s
2
k
2
T n s
1 27/56
CZŁON INERCYJNY DRUGIEGO RZĘDU
Równanie różniczkowe wejście-wyjście:
T
1
T
2
y
T
1
y
y
k u
lub
T A T B y
(
T A
T B
)
y
y
k u
k współczynnik wzmocnienia określony jako stosunek odpowiedzi y do wymuszenia u w stanie ustalonym,
T
1
T
2 ,
T A T B
stałe czasowe obiektu, Transmitancja:
G
T
1
T
2
s
2
k
T
1
s
1
lub
G
T A T B s
2
k
(
T A
T B
)
s
1
T
1 4
T
2 0
T
0
T
1
T
2
,
1 2
k
k A k B G
1 (
s
) 1
k A s T A T
1
T
2
,
T
0
T A T B
,
2
T A
T B T A T B G
2 (
s
) 1
k B s T B
,
28/56
CZŁON OPÓŹNIAJĄCY
Równanie różniczkowe wejście-wyjście:
y
k u
t
T
0
k T
0 -
współczynnik wzmocnienia określony jako stosunek
t
T
0
, odpowiedzi y do wymuszenia u dla czas opóźnienia Charakterystyka skokowa:
h
k
1
t
T
0
Odpowiedź impulsowa:
g
k
t
T
0
Transmitancja:
G
k
exp
s T
0 29/56
CZŁON INERCYJNY
1. założenia: nie obciążony, we – napięcie, wy – napięcie, 2. czwórnik L,R założenia: nie obciążony, we – napięcie, wy – napięcie, 3. prądnica obcowzbudna prądu stałego założenia: stała prędkość kątowa, praca na prostoliniowej części charakterystyki magnesowania (bez histerezy), prądnica nie obciążona, we – napięcie wzbudzenia, wy – napięcie = SEM 4. proces grzania ciała zanurzonego w cieczy założenia: szybkość narastania temperatury jest proporcjonalna do ilości pobranego ciepła i odwrotnie proporcjonalna do jego pojemności cieplnej we – temperatura cieczy wy – temperatura ciała 5. mechanizm z tarciem proporcjonalnym do prędkości założenia: moment oporowy jest proporcjonalny do prędkości obrotowej, we – moment napędowy, wy – prędkość kątowa wału napędzanego.
30/56
CZŁON PROPORCJONALNY
1. czwórnik rezystancyjny założenia: nie obciążony we – napięcie, wy – napięcie, 2. dźwignia dwuramienna we – siła, wy – siła, 3. dynamometr sprężynowy założenia: sprężyna idealna, pomijamy wpływ jej masy we – siła, wy – przesunięcie, 4. prądniczka tachometryczna prądu stałego założenia: stały strumień wzbudzenia, prądnica nie obciążona, we – prędkość kątowa, wy – napięcie na zaciskach.
31/56
CZŁON CAŁKUJĄCY Z INERCJĄ
1. obcowzbudny silnik prądu stałego założenia : silnik nieobciążony, uwzględniamy tylko bezwładność, we – napięcie twornika, wy – kąt położenia wału silnika, 2. czwórnik C,R,C założenia: nie obciążony, we – napięcie, wy – napięcie, 3. siłownik hydrauliczny 4. przekładnia mechaniczna
32/56
CZŁON CAŁKUJĄCY IDEALNY
1. kondensator idealny założenia : pomijamy rezystancję i indukcyjność przewodów we – prąd dopływający do kondensatora wy – napięcie na jego okładkach 2. układ napędowy pozycyjny założenia : nie uwzględniamy elektromagnetycznych stanów przejściowych w silniku, pomijamy bezwładność mechaniczną we – napięcie zasilające silnik wy – położenie kątowe wału wyjściowego 3. zbiornik cieczy we – objętość cieczy dopływająca w jednostce czasu wy – poziom cieczy
33/56
CZŁON RÓŻNICZKUJĄCY Z INERCJĄ
1. czwórnik C, R założenia : czwórnik nieobciążony we – napięcie wy – napięcie na rezystorze 2. czwórnik R, L założenia : czwórnik nieobciążony we – napięcie wy – napięcie na cewce 3. transformator stabilizujący założenia :indukcyjności własne oraz indukcyjność wzajemna są stałe, transformator nie jest obciążony we – napięcie na wejściu wy – napięcie na wyjściu 4. silnik prądu stałego obcowzbudny pracujący w charakterze pojemności dynamicznej 5. tłumik olejowy
34/56
CZŁON RÓŻNICZKUJĄCY IDEALNY
1. kondensator idealny we – napięcie na zaciskach wy – prąd płynący przez kondensator 2. sprężyna idealna we – moment obrotowy wy – prędkość kątowa wału 3. prądniczka tachometryczna we – kąt obrotu wału wy – napięcie na zaciskach 4. idealny tłumik olejowy we – droga jaką przebywa tłok wy – siła tłumienia
35/56
CZŁON OSCYLACYJNY
1. czwórnik R, L, C założenia : nieobciążony, zerowe warunki początkowe
R
2
L C
we – napięcie wy – napięcie na kondensatorze 2. silnik obcowzbudny prądu stałego założenia :stały strumień magnetyczny, silnik nieobciążony
R t c E c M J
2
L
4
R t t
we – napięcie na tworniku wy – prędkość obrotowa 3. zawór membranowy we – siła działająca na przeponę wy – przesunięcie grzybka zaworu
36/56
CZŁON INERCYJNY DRUGIEGO RZĘDU
1. czwórnik R, L, C
R
2
L C
2. silnik obcowzbudny prądu stałego
c E R t c M J
2
L
4
R t t
3. czwórnik R, C, R, C CZŁON OPÓŹNIAJĄCY 1.Przenośnik 2. Rurociąg 3. linia długa bez strat
37/56
TRANSMITANCJA OPERATOROWA
Transformata Laplace’a
F
(
s
) 0
f
(
t
)
e
s t dt
L
f
Przekształcenie odwrotne
f
(
t
) 1 2
j c c
j
j
F
(
s
)
e s t ds
L
1
F
(
s
)
Opis obiektu w postaci równania różniczkowego wejście – wyjście
a n d n y d t n
(
t
)
a n
1
d n
1
d y
(
t
)
t n
1
a
1
d y d t
(
t
)
a
0
y
(
t
)
n
m b m d m u
(
t
)
d t m
b m
1
d m
1
d u
(
t
)
t m
1
b
1
d u
(
t
)
d t
b
0
u
(
t
)
zerowe warunki początkowe
0 ,
i
0 , 1 , ...,
n
1
y
(
i
) 38/56
u
(
j
) ( 0 ) 0 ,
j
0 , 1 , ...,
m
1
TRANSMITANCJA OPERATOROWA
U
transformata Laplace’a sygnału wejściowego
(
s
) 0
u
(
t
)
e
s t dt
transformata Laplace’a sygnału wyjściowego
Y
(
s
) 0
y
(
t
)
e
s t dt
dla równania we- wy przy zerowych warunkach początkowych otrzymujemy :
i n
0
a i s i Y
(
s
)
j m
0
b j s j U
(
s
)
czyli
Y
(
s
)
j m
0
i n
0
b j a i s j s i U
(
s
)
G
(
s
)
U
(
s
)
L
(
s
)
=
M
(
s
)
Wyznaczenie odpowiedzi obiektu na podstawie twierdzenia o rozkładzie:
Y
(
s
)
b k s n s k
a b k
1
n
1
s s n
1
k
1
a
1
b
1
s s
a
0
b
0
n
k
39/56
TRANSMITANCJA OPERATOROWA
równanie charakterystyczne M ( s ) = 0
s n
a n
1
s n
1
a
1
s
a
0
s
1 ,
s
2 , ,
s n
0
pierwiastki równania charakterystycznego ( liczby rzeczywiste, albo zespolone parami sprzężone)
Y
(
s
) (
s
s
1 ) (
s L
(
s
)
s
2 ) (
s
s n
)
po rozkładzie na ułamki proste
Y
(
s
)
i n
1
s C i
s i
gdzie
C i
s L
(
s
)
res
s i M
(
s
) lim
s
s i L
(
s
) (
M
(
s
) (
s
s i
) )
czyli residum w punkcie po sprowadzeniu do wspólnego mianownika
Y
(
s
)
C
1 (
s
s
2 ) (
s
s n
)
C i
(
s
s
1 ) (
s
s i
1 )(
s
s i
1 )
C n
(
s
s
1 ) (
s
s n
1 ) /
M
(
s
) 40/56
s i
TRANSMITANCJA OPERATOROWA
i po pomnożeniu
Y
(
s
)
przez
s
s i
oraz po przejściu do granicy
s
s i
otrzymujemy
C i
Ponieważ oraz
s
lim
s i L
(
s
)
L
(
s i
)
,
s
s i
lim
M
(
s
) 0
M
(
s i
) lim
s
s i M
(
s
)
M s
s i
(
s i
)
M
(
s i
)
możemy napisać
C i
lim
s
s i
L
(
s
)
M s
s i
(
s
)
M
(
s i
)
L
(
M
(
s i s i
) ) 41/56
TRANSMITANCJA OPERATOROWA
Ostatecznie odpowiedź obiektu w dziedzinie czasu:
y
(
t
)
n
i
1
s C i
s i
przy czym
n
i
1
C i
exp (
s i t
)
i n
1
L
(
M
(
s i s i
) ) exp (
s i t
)
M
(
s i
) (
s i
s
1 ) (
s i
s
2 ) (
s i
s i
1 ) (
s i
s i
1 ) (
s i
s n
)
Często w mianowniku jeden biegun równa się 0, np.
s
1 0
wówczas
M
(
s
)
s N
(
s
)
ponieważ
M M
( (
s
0 )
M
(
s i
) )
N N
(
s
) ( 0 )
N
(
s i
)
s
0
N N
( (
s
) 0 )
s i N
(
s i
)
N
( 0 )
s i N
(
s i
) ,
s i
0 42/56
TRANSMITANCJA OPERATOROWA
zatem
Y
(
s
)
n
i
1
L
( 0 )
s N
( 0 )
s C i
s i i n
2
s C
1
s
1
s i L N
(
s i
( )
s i
)
n
i
s
1
s i
2
s C i
s i
czyli
L
( 0 )
M
( 0 ) 1
s
0
i n
2
L M
( (
s i s i
) ) 1
s
s i
y
(
t
)
L
( 0 )
N
( 0 )
i n
2
s i L N
(
s i
( )
s i
) exp (
s i t
) 1 (
t
)
W przypadku, gdy pierwiastki są zespolone wówczas również współczynniki rozkładu są zespolone.
Niech
j
,
j
będzie parą pierwiastków zespolonych sprzężonych,
43/56
TRANSMITANCJA OPERATOROWA
wtedy współczynniki rozkładu odpowiadające tym pierwiastkom będą również tworzyć parę liczb zespolonych sprzężonych
C
C
1
j C
2 ,
C
C
1
j C
2
czyli
C
exp 2 Re (
C
t
) exp
C
(
t
exp ) (
t
) (
C
1
j C
2 ) exp (
j
)
t
(
C
1
j C
2 ) exp (
j
)
t
Jeżeli w przypadku ogólnym wielomian M(s) ma l pierwiastków rzeczywistych oraz 2 p pierwiastków zespolonych ( tzn. p par pierwiastków zespolonych sprzężonych ) :
y
(
t
)
i l
1
C i
exp (
s i t
) 2 Re
k p
1
C
k
exp (
k t
) 1 (
t
) 44/56
WYZNACZANIE TRANSMITANCJI WYPADKOWYCH LINIOWYCH UKŁADÓW JEDNOWYMIAROWYCH
1. Transmitancja wypadkowa zespołu członów połączonych szeregowo ( łańcuchowo ) 2. Transmitancja wypadkowa zespołu członów połączonych równolegle 3. Transmitancja wypadkowa układu ze sprzężeniem zwrotnym 4. Zmiana położenia węzłów sumacyjnych i rozgałęźnych 4.1.przeniesienie węzła sumacyjnego z wejścia elementu na jego wyjście 4.2.przeniesienie węzła sumacyjnego z wyjścia elementu na jego wejście 4.3.przeniesienie węzła rozgałęźnego z wejścia elementu na jego wyjście 4.4.przeniesienie węzła rozgałęźnego z wyjścia elementu na jego wejście 4.5.zamiana miejsc węzłów sąsiadujących ze sobą
45/56
Połączenie szeregowe
G wyp
(
s
)
n
G i
(
s
)
i
1
Połączenie równoległe
G wyp
(
s
)
i n
1
G i
(
s
)
Sprzężenie zwrotne ujemne poprzez człon o transmitancji H(s)
G wyp
(
s
)
G
(
s
) 1
G
(
s
)
H
(
s
)
Sprzężenie zwrotne dodatnie poprzez człon o transmitancji H(s)
G wyp
(
s
)
G
(
s
) 1
G
(
s
)
H
(
s
)
Sprzężenie zwrotne ujemne bezpośrednie
G wyp
(
s
)
G
(
s
) 1
G
(
s
)
Sprzężenie zwrotne dodatnie bezpośrednie
G wyp
(
s
) 1
G G
(
s
(
s
) ) 46/56
REGULATORY LINIOWE O WYJŚCIU CIĄGŁYM
1.Regulator P ( proporcjonalny )
u
(
t
)
k P v r
(
t
)
, -
P
współczynnik proporcjonalności
G P
(
s
)
k P
2.
Regulator I ( całkowy )
u
(
t
)
k I T I
0
t v r
( )
d
G I
(
s
)
k I s T I k I
-wzmocnienie,
T I
lub z uwzględnieniem inercji
-
czas zdwojenia
G Ir
(
s
)
s k I
( 1
s T I
)
3.
Regulator PI ( proporcjonalno całkowy )
u
(
t
)
k P
v r
(
t
) 1
T I
0
t
v r
( )
d
G I
(
s
)
k P
1 1
s T I
47/56
4.
Regulator PD ( proporcjonalno – różniczkujący )
u
(
t
)
k P
v r
(
t
)
T D d v r dt
(
t
)
5.
k P
- wzmocnienie,
T D G PD
(
s
)
k P
1
T D s
- czas wyprzedzenia lub z uwzględnieniem inercji
G PDr
(
s
)
k P
1 1
T D
s s T r
Regulator PID ( proporcjonalno – całkowo –różniczkujący)
u
(
t
)
G PID
(
s
)
k P
v r
(
t
) 1
T I k P
1
T D s
0
t v r
( )
d
1
s T I
T D d v r dt
(
t
) 48/56
REALIZACJA REGULATORA ZA POMOCĄ WZMACNIACZA OPERACYJNEGO OBJĘTEGO UJEMNYM SPRZĘŻENIEM ZWROTNYM
A k W
, gdzie wzmocnienie
k W
inercja
A
, transmitancja wypadkowa
G wyp
1
W W s
1
A k W k W
A s H s
A k W
1
H
gdy wzmocnienie jest b. duże wówczas
G wyp
H
1 49/56
Regulator P ( proporcjonalny )
H
1
k P
Regulator PI ( proporcjonalno całkowy )
H
k P
1 1
T I
1
s
k P
T I
1
s T I s
Regulator PD ( proporcjonalno – różniczkujący )
1
H
1
k P T D s
Regulator PID ( proporcjonalno – całkowo –różniczkujący)
H
k P
1 1 1
T I s
T D s
50/56
Regulacja statyczna i astatyczna
Transmitancja wypadkowa
G wyp
(
s
)
s h L wyp N
(
wyp s
) (
s
)
, gdzie h – rząd astatyzmu, tzn. ilość biegunów transmitancji wypadkowej
-
h = 0 układ jest statyczny względem sygnału zadającego
-
h = k układ jest astatyczny k-tego rzędu względem sygnału zadającego Transmitancja uchybowa
0 (
s
)
G
0 (
s
)
G
0 (
s
)
y zd
(
s
) 1 1
G wyp
(
s
)
s h N s h wyp
(
N wyp s
) (
s
)
L wyp
(
s
)
y zd
(
s
)
czyli
0 (
s
)
s h N s h wyp
(
N wyp s
) (
s
)
L wyp
(
s
)
y zd
(
s
) 51/56
Na podstawie twierdzenia o wartości
lim 0 (
t
) lim
s h N s h
1 (
s N wyp
)
wyp
(
s
)
L wyp
(
s
)
granicznej
y zd
(
s
)
t
s
0
wnioskujemy, że gdy sygnał zadający jest stały, to w układzie stabilnym statycznym uchyb dąży do wartości ustalonej
0
ust
0
natomiast w układzie astatycznym h > 0 stabilnym uchyb ustalony odpowiadający stałemu sygnałowi zadającemu jest równy 0.
Gdy sygnał zadający jest funkcją czasu wielomianową
y zd
(
t
)
A
0
A
1
t
A r t r
wtedy
0 (
s
)
s h N wyp
(
s
)
s h N wyp
(
s
)
i r
1
A i L wyp i
!
s i
1 (
s
)
a zatem na podstawie tw. o wartości granicznej wnioskujemy, że w układzie statycznym ( h = 0 ) uchyb
t
0 (
t
)
jeżeli r >= 1
52/56
W układzie astatycznym ( h >= 1 ) mogą wystąpić następujące przypadki :
t
lim 0 (
t
) 0
gdy h > r
t
lim 0 (
t
)
t
0 (
t
) 0
ust
const
gdy h = r gdy h < r Należy zwrócić uwagę na to, że jeżeli w transmitancji występuje h biegunów równych zeru, to w transmitancji uchybowej
G
0 (
s
)
sama ilość miejsc zerowych równych zeru, czyli
G wyp
(
s
)
występuje w liczniku taka układ jest statyczny , jeżeli h = 0 - astatyczny k tego rzędu , jeżeli h = k Podobnie można badać czy układ jest statyczny czy astatyczny względem zakłóceń badając odpowiednie transmitancje uchybowe.
53/56
ETAPY PROJEKTOWANIA SYSTEMU STEROWANIA
•
ANALIZA SYSTEMOWA O.S. (MODELOWANIE)
•
IDENTYFIKACJA O.S.
•
OPRACOWANIE ALGORYTMU STEROWANIA
•
OPRACOWANIE KOMPUTEROWEGO PROGRAMU STERUJĄCEGO
•
OPRACOWANIE SYSTEMU REALIZUJĄCEGO PROGRAM STERUJĄCY
54/56
WŁASNOŚCI TRANSFORMATY
L
1
L
f
f
,
L
L
1
LAPLACE’A
F
F L
1
s L
e
t
1
,
s
1
,
liniowość
L
a
1
f
1
L
1
a
1
F
1
a
2
f
2
a
2
F
2
L
1 1
s
1
L
1
s
1
e
t
1
a
1
L
f
1
a
2
L
f
2
a
1
L
1
F
1
a
2
L
1
F
2
holomorficzność
dF ds
t f
oraz
L e
st dt
czyli
n
!
s n
1
,
L
t L
t n f
dF ds e
t
s
n
!
n
1 55/56
-transformata pochodnej
L
f
s F s f
0
L
f L
f
s
2
s n F
k n
1
s n
k
s f f
0
L
transformata całki
t
0
f d
F s
tw. o podobieństwie
f
0
L
f
1
a F s a
0
,
L
1
F
1
c f t c c
0 56/56
-
tw. o granicy oryginału w nieskończoności jeżeli
t
lim
f
k
to
lim
s F s
0
k
-
tw. o granicy oryginału w zerze jeżeli
t
lim
f
0
k
to
lim
s F s
-
tw. o splocie
k L
f
1
f
1
f
2
f
1
L
f
1
L
f
2 -
tw. podstawieniu liniowym w argumentach
L
f
a t
t
0 1
a e
t
0
a s F s a L
1
F
c s
1
e
c t c f t c
57/56