Transcript Teoria chaosu a filozofia

Teoria chaosu a filozofia
• „[…] Tam, gdzie zaczyna się chaos, kończy się klasyczna nauka” (Gleick,
Chaos, s. 11)
• „Teoria chaosu nie tylko wywarła ogromny wpływ na nauki szczegółowe,
lecz także w zasadniczy sposób zmieniła nasze filozoficzne poglądy
dotyczące możliwości poznawczych nauki, stosowanych w niej metod i
wypływającego z niej obrazu świata” (Tempczyk, Teoria chaosu a filozofia,
s. 7)
• Problem uporządkowania i poznawalności świata
• Trzecia wielka rewolucja naukowa w XX w.?
• Teoria chaosu nie dotyczy jednej dyscypliny, lecz ma charakter uniwersalny
• Nowe narzędzia matematyczne do badania zjawisk nieregularnych
Chaos z porządku
• Liniowa mechanika klasyczna – deterministyczny (różniczkowy) opis
dynamiki układu umożliwia przewidywanie zjawisk (por. demon Laplace’a)
• Układy nieliniowe – ich zachowanie może być nieprzewidywalne pomimo
deterministycznego charakteru równań opisujących dynamikę układu
• "Chaos deterministyczny" – „Stochastyczne zachowanie się w układzie
deterministycznym" [Stewart, 1995, s. 23]
• Proste układy równań różniczkowych nieliniowych mogą prowadzić do
niesłychanie bogatej i skomplikowanej dynamiki układu. Równania
różniczkowe są deterministyczne - jednoznacznie określają zachowanie się
układu w chwili dowolnie mało odległej od chwili początkowej.
Nieliniowość powoduje jednak, że trajektorie punktów odległych w chwili
początkowej o dowolnie małą wartość po odpowiednio długim czasie
rozbiegają się. Błąd w określeniu warunków początkowych ulega
wykładniczemu wzmocnieniu i przewidywanie staje się niemożliwe. Z
porządku rodzi się chaos.
Porządek z chaosu
• Chaos deterministyczny ma drugi aspekt - z chaosu powstaje porządek. Dla
wielu procesów fizycznych istnieją atraktory - pewne obszary przestrzeni
fazowej, do których "przyciągane są" trajektorie punktów niezależnie od
tego, jakie były ich warunki początkowe. Porządek ten jest bardzo
specyficzny: nie jest to ani stan śmierci cieplnej wszechświata, do którego zgodnie z drugą zasadą termodynamiki zmierza każdy proces, nie jest to
również ruch periodyczny - powtarzająca się co jakiś czas konfiguracja
układu. Ruch aperiodyczny, uporządkowany i nieprzewidywalny. Lokalny
nieporządek prowadzi, niejako na wyższym poziomie, do całościowego
samo-organizowania się materii:
• w porządku ukryty jest nieporządek, a z nieporządku może się zrodzić
porządek i harmonia [...] nie ma ścisłej granicy między porządkiem i
chaosem [Tempczyk, 1995, s. 37].
• Nowa matematyka i nowe spojrzenie na zjawiska - wydawać by się mogło
dobrze znane i nie mogące kryć już w sobie nic nowego i zaskakującego,
jak ruch wahadła, czy też proste matematycznie odwzorowanie
logistyczne.
• Prostota i liniowość równań różniczkowych opisujących rozmaite procesy
przyrody nie jest, ja sądziła nauka klasyczna, faktem o fundamentalnym
znaczeniu, ale jest czymś bardzo rzadkim i wyjątkowym.
• W 1887 r. król Szwecji Oskar II wyznaczył nagrodę 2 500 koron za
rozwiązanie problemu, czy Układ Słoneczny jest stabilny, tzn. czy planety
będą się zawsze poruszać po określonych torach, czy też np. Ziemia
spadnie kiedyś na Słońce albo ucieknie w nieskończoność [Stewart, 1995,
s. 72].
• Ruch dwóch ciał oddziałujących grawitacyjnie jest dobrze znany: Ziemia i
Słońce poruszają się wokół wspólnego środka masy i ruch ten jest
okresowy. Zatem Ziemia nie może spaść na Słońce albo uciec do
nieskończoności, bo nie są to rozwiązania, które mogą się powtarzać.
Wiadomo, że problem trzech ciał w mechanice klasycznej jest
niecałkowalny.
Problem trzech ciał
• Zagadnienie stabilności Układu
Słonecznego)
• Zredukowany problem Hilla –
ruch ciała o znikomo małej masie
m w polu grawitacyjnym dwóch
ciał
• Henri Poincare, Problem trzech
ciał i równania dynamiki (1890)
• Plątanina homokliniczna
• Skomplikowana dynamika w
prostym układzie – pierwsze
odkrycie chaosu
Efekt motyla
• Eduard Lorenz (meteorolog pracujący w Massachussets Institute of
Technology) – prognozowanie pogody przy użyciu komputera (Royal
McBee LGP-300)
• Układ trzech nieliniowych równań różniczkowych modelujących zjawisko
konwekcji termicznej w atmosferze:
dx/dt = 10(y – x), dy/dt = – xz + 28x – y, dz/dt = xy – 8/3z
x – proporcjonalne do prędkości kołowego ruchu komórek konwekcyjnych
z – opisuje zmianę temperatury cieczy w przekroju poziomym
y – podaje różnicę temperatur między komórkami wznoszącymi się i
opadajacymi
1961 – odkrycie wrażliwości układów nieliniowych na warunki początkowe:
małe różnice w danych początkowych szybko prowadzą do bardzo dużych
różnic w trajektoriach układów
• Deterministic Nonperiodic Flow, "Journal of the Atmospheric Sesies", 20
(1963) – początek nowej nauki o chaosie
Komórki Benarda
• Układy nieliniowe (równania różniczkowe opisujące dynamikę układów
mają charakter nieliniowy) wykazują silną wrażliwość na warunki
początkowe – bardzo drobne różnice trajektorii początkowych w krótkim
czasie prowadzą do bardzo dużych różnic trajektorii końcowych –
następuje wykładnicze rozbieganie się trajektorii.
• Zachowanie takiego układu szybko staje się nieprzewidywalne pomimo
deterministycznego (różniczkowego) opisu dynamiki układu (np. zjawiska
pogodowe).
Dziwny atraktor Lorenza
• Przestrzeń fazowa (p, q)
• W klasycznej dynamice liniowej atraktorem
może być cykl graniczny lub punkt (stan
śmieci cieplnej)
• W dziwnym atraktorze trajektorie
„przyciągane” są do niewielkiego obszaru
przestrzeni fazowej niezależnie od warunków
początkowych (trajektorie nie przecinają się)
• Dziwny atraktor ma strukturę fraktalną
• W dłuższych okresach z chaosu rodzi się
porządek
• Pojawienie się atraktora jest
nieprzewidywalne
Odwzorowanie logistyczne
xn+1 = k xn (1 - xn)
• 0 < k < 4, odwzorowanie przekształca odcinek [0, 1] w siebie
• 1845 r. P.I. Verhulst - symulacja wzrostu populacji w ograniczonym
środowisku.
• W postaci dyskretnej: liczba osobników xn+1 w kolejnym roku n+1 jest
proporcjonalna do ich liczby w roku poprzednim xn, człon (1-xn) reprezentuje ograniczający wpływ środowiska
• np. cykl drapieżca-ofiara, konta bankowe z samoograniczającym się
oprocentowaniem itp.).
• Odwzorowanie logistyczne zależy od r i przy dużych wartościach r (ale r<4)
staje się chaotyczne.
• "Scenariusz Feigenbauma dochodzenia do chaosu" jest uniwersalny dla
wszystkich odwzorowań nieliniowych mających pojedyncze maksimum na
odcinku [0,1].
• Odkryto bardzo bogatą strukturę w prostym układzie: chaos
wygenerowany przez determinizm i jednoznaczność.
• Biolog Robert May stosował funkcję logistyczną dla symulacji rozrodczości
- długookresowej dynamiki gatunków. Dla (współczynnika rozrodczości)
k>3 dynamika staje się bardzo skomplikowana i nie ustala się prosty stan
równowagi - mogą pojawiać się cykle dwu-, cztero- ośmioletnie,
szczególnie, jeżeli gatunek wpływa na ilość dostępnego mu pożywienia
(np. drapieżniki): pojawia się sprzężenie zwrotne.
• Diagram bifurkacyjny cechuje samopodobieństwo: dowolny jego fragment
wygląda jak cały diagram, ma zatem charakter fraktalny.
Prosty świat nauki klasycznej
• „Filozofia zapisana jest w tej ogromnej księdze, którą stale mamy otwartą
przed naszymi oczami; myślę o wszechświecie; lecz nie można jej
zrozumieć, jeśli się wpierw rozumieć języka i pojmować znaki, jakimi
została zapisana. Zapisana została zaś w języku matematyki, a jej literami
są trójkąty, koła i inne figury geometryczne, bez których niepodobna pojąć
z niej ludzkim umysłem ani słowa; bez nich jest to błądzenie po mrocznym
labiryncie” (Galileo Galilei, Il saggiatore)
Fraktale
• „Ani chmury nie są kulami, linia brzegowa kołem, kora nie jest płaska, ani też światło
nie porusza się po liniach prostych„ (Benoit
Mandelbrot, The Fractal Geometry of
Nature, 1982)
• http://www.youtube.com/watch?v=gEw8x
pb1aRA
• Teoria fraktali – nowe narzędzie matematyczne umożliwia matematyczny
opis zjawisk nieregularnych i chaotycznych
• Rachunek różniczkowy i całkowy nadaje się jedynie do krzywych gładkich,
ale są one wyjątkiem bardzo rzadko spotykanym w przyrodzie
• Dla fraktali nie istnieje kres komplikacji i złożoności
• Samopodobieństwo - dowolny fragment fraktala wygląda jak cału fraktal symetria względem skali
• Mandelbrot: fraktal = przepis na jego konstrukcję
F={1/n, b}
n - współczynnik zmiejszania, b - ile zmiejszonych części bierzemy do dalszej
konstrukcji
Konsekwencje filozoficzne
• Teoria chaosu jako nowy paradygmat nauki, uzupełniający
podejście redukcjonistyczne
• Zagadnienie stosunku obiektów prostych do złożonych
- Redukcjonizm: istnienie i własności obiektów złożonych
wynikają z istnienia i własności ich części; sukcesy takiego
podejścia - teoria atomowej budowy materii
- Redukcjonizm jest uprawnioną metodą w badaniu układów
liniowych, w odniesieniu do układów nieliniowych ma
ograniczone zastosowanie, ponieważ:
1. Części w izolacji mogą działać inaczej niż w całości
2. Nieliniowe powiązania prowadzą do nowego sposobu
działania całości (nadrzędność całości nad częścią
Redukcjonizm - antyredukcjonizm
• „[…] najbardziej spektakularnym osiągnięciem redukcjonizmu była teoria
atomowej budowy materii, która uporządkowała fizykę i chemię, stając się
niekwestionowaną bazą nowoczesnego przyrodoznawstwa. Najpierw
zredukowano do atomów wszystkie związki chemiczne, potem wyjaśniono
ich własności i strukturę, a następnie […] własności coraz bardziej
skomplikowanych obiektów i zjawisk: kryształów, cieczy, struktur
komórkowych, procesów fizjologicznych. Jednocześnie fizyka atomów i
cząstek schodziła coraz głębiej w strukturę materii, odkrywając jądra
atomowe, cząstki elementarne i kwarki. Cała materia układała się w
jednolity schemat redukcjonistycznej hierarchii bytów” (M. Tempczyk,
Teoria chaosu a filozofia, s. 199)
• „Nie ma już mowy o redukcji wszystkich rodzajów obiektów, procesów i
własności materii do pewnej podstawowej wiedzy o jej najmniejszych
fundamentalnych składnikach, ich własnościach i oddziaływaniach. […]
Wszechświat jawi się jako całość rozwijająca się zgodnie z autonomicznymi
prawami, a w wielu przypadkach ważniejsza od nich” (M. Tempczyk, Teoria
chaosu a filozofia, s. 251).
• Układy złożona mają nowe nieredukowalne własności, wynikające z
całościowego działania
• Samoorganizacja materii
• Według wielu biologów życie nie jest niesłychanie mało prawdopodobnym
przypadkiem, lecz pojawia się wszędzie tam, gdzie istnieją sprzyjające
warunki [?]