Transcript Prędkość w ruchu złożonym

MECHANIKA 2
KINEMATYKA
Wykład Nr 4
Ruch złożony i ruch względny
Ruch złożony punktu M
względem układu OXYZ jest to
ruch, w skład którego wchodzą
 ruch układu ruchomego O’xyz
względem nieruchomego
układu OXYZ;
 ruch punktu M względem
układu O’xyz.
Ruch punktu M względem
nieruchomego układu
OXYZ nazywamy ruchem
bezwzględnym.
Ruch punktu M względem
ruchomego układu O’xyz
nazywamy ruchem
względnym.
Ruch układu ruchomego
O’xyz względem układu
OXYZ nazywamy ruchem
unoszenia.
Równania ruchu złożonego
•Wektor położenia punktu M w ruchu bezwzględnym:
•Wektor położenia punktu M w ruchu względnym:
•Wektor położenia układu O’xyz w ruchu unoszenia:
Mamy
gdzie:
przy czym:
(1)
Prędkość w ruchu złożonym
Po zróżniczkowaniu równania (1):
gdzie:
oraz
Prędkość w ruchu złożonym
Oznaczenia:
Prędkość unoszenia w ruchu
postępowym układu O’xyz:
Prędkość względna:
Pochodne wersorów:

ω
– prędkość kątowa układu
ruchomego O’xyz
Prędkość w ruchu złożonym
W konsekwencji:
Ostatecznie:
Wprowadźmy oznaczenie:
– całkowita prędkość unoszenia układu
O’xyz
Prędkość w ruchu złożonym
Prędkość bezwzględna punktu M w ruchu
złożonym jest wypadkową prędkości unoszenia i
prędkości względnej.
Przyspieszenie w ruchu złożonym
Po zróżniczkowaniu równania
:
(2)
gdzie:
– przyspieszenie unoszenia w ruchu
postępowym układu ruchomego O’xyz
oraz
– składowa styczna
przyspieszenia unoszenia w
ruchu obrotowym układu O’xyz
Przyspieszenie w ruchu złożonym
gdzie:
– składowa normalna
przyspieszenia unoszenia w ruchu
obrotowym układu O’xyz:
A zatem:

aw
– przyspieszenie
względne punktu M
 
  vw
Przyspieszenie w ruchu złożonym
Podstawiając do (2) otrzymujemy:
– przyspieszenie unoszenia

ac
– przyspieszenie Coriolisa
Przyspieszenie w ruchu złożonym
Przyspieszenie bezwzględne punktu M w ruchu
złożonym jest równe sumie wektorowej
przyspieszenia unoszenia, przyspieszenia
względnego oraz przyspieszenia Coriolisa.
Przyspieszenie w ruchu złożonym
Przyspieszenie Coriolisa nie występuje gdy:
1) ruch unoszenia jest ruchem postępowym
(ω=0);
2) wektor prędkości obrotowej jest
równoległy do wektora prędkości
względnej (ω || vw);
3) szybkość względna jest równa zeru
(vw=0).
Przykład 1.
Punkt M porusza się
względem punktu A ze stałą
prędkością v, wzdłuż pręta o
długości l. Pręt obraca się
wokół punktu O ze stałą
prędkością
kątową
.
Wyznaczyć
prędkość
bezwzględną, przyśpieszenie
bezwzględne,
szybkość
bezwzględną
i
przyspieszenie
Coriolisa
punktu M.
ROZWIĄZANIE
y

ej
• Układ OXY – układ nieruchomy.
• Układ Axy – układ ruchomy

ru
M

rM
φ
0
A

rw
Y

j

i
X

ei
x

ru 

rw 

rM 

vM 
vM 
ROZWIĄZANIE

aM 

vw 

ω

ac 
ROZWIĄZANIE
Przykład 2.
Wagon miał 3 m szerokości. W czasie t = 2 s od jednej
krawędzi do drugiej, prostopadle do osi toru,
przebiegła myszka, poruszając się ruchem
jednostajnym. W tym czasie wagon przesunął się
ruchem jednostajnym prostoliniowym na odległość 4
m. Znaleźć wektor przemieszczenia i prędkości myszki
względem torów.
0
ROZWIĄZANIE
vw 
vu 

ru 

rM 

vM 

, rw 
vM 
W chwili t = 2 s:
sM 

rM
0

rw

ru
Przyspieszenie Coriolisa na powierzchni Ziemi
Wiele zjawisk
zachodzących na
powierzchni Ziemi
jest związanych z jej
obrotem wokół
własnej osi, a co za
tym idzie, z
występowaniem
przyspieszenia
Coriolisa.
Przyspieszenie Coriolisa na powierzchni Ziemi
Przykłady:
• Na półkuli północnej kierunek ruchu prądów
morskich i wiatrów jest odchylony w prawo
(przeciwnie niż na półkuli południowej).
• Przy prawym brzegu Wisły i Odry poziom wody jest
wyższy.
• Gdy pociąg porusza się z południa na północ po
południku, to bardziej zużywają się prawe szyny niż
lewe.