Kinematyka

download report

Transcript Kinematyka

Zjawiska ruchu

Ruch – jedno w najczęściej obserwowanych zjawisk fizycznych Często ruch zachodzi z tak dużą lub tak małą prędkością i w tak krótkim lub tak długim czasie, że nie można obserwować bezpośrednio jego przebiegu. Wówczas zarejestrujemy trajektorię poruszającego się obiektu

Ten ruch cząstek emitowanych w zderzeniach jąder atomowych trwał ułamki milionowych części sekundy. (CERN, Rap.Ann. 1986) Teleskop ''Gemini'' na Hawajach. Widoczne ślady ruchu samochodów i ... gwiazd.

(Cern Courier, 39/7, 1999)

1

Opis ruchu

- podstawowe pojęcia (1) • Układ odniesienia – nieruchome w czasie obserwacji ciało lub zbiór ciał, względem którego opisujemy ruch innych ciał • Układ współrzędnych – związany z danym układem odniesienia zespól wzajemnie prostopadłych osi umożliwiający jednoznaczne określenie położenia punktu w przestrzeni • Punkt materialny ciało, którego rozmiary w badanym ruchu można uznać za pomijalnie małe • Układ punktów materialnych konfiguracji przestrzennej zbiór skończonej liczby punktów materialnych o zadanej • Ciało sztywne – ciało, które nie ulega odkształceniu w czasie rozpatrywanego ruchu • Stan spoczynku względem danego układu odniesienia – kiedy ciało nie zmienia swego położenia względem tego układu odniesienia.

Z Y X

2

Układ odniesienia związany z przejazdem kolejowym i umiejscowiony na nim

układ współrzędnych

prostokątnych

Opis ruchu

- podstawowe pojęcia (2) • Ruch postępowy wszystkie punkty danego ciała przemieszczają się tak samo co do wartości i kierunku względem zadanego układu odniesienia • Ruch prostoliniowy przemieszczenie odbywa się wzdłuż linii prostej • Ruch obrotowy - wszystkie punkty danego ciała poruszają się po okręgach, których środki znajdują się na jednej prostej - osi obrotu • Ruch płaski – ruch zachodzący w jednej płaszczyźnie.Kinematyka – dział fizyki zajmujący się opisem ruchu, bez wnikania w jego przyczyny •

Dynamika

własnościami - dział fizyki zajmujący się opisem związków pomiędzy przyczynami ruchu, a jego

Pociąg TGV na dworcu w Nantes; prędkość przejazdowa: 300 km/godz.

3

Układy współrzędnych (1)

Układ współrzędnych prostokątnych

P – punkt w przestrzeni trójwymiarowej Promień wodzący punktu P - osie układu współrzędnych - współrzędne początku układu - wektor położenia punktu w przestrzeni (promień wodzący) -współrzędne prostokątne punktu w przestrzeni -wersory osi układu współrzędnych długość promienia wodzącego 4

Układy współrzędnych (2)

Układ współrzędnych sferycznych

Wektor położenia w układzie współrzędnych sferycznych: Współrzędne w układzie prostokątnym wyrażone przez współrzędne sferyczne: Współrzędne sferyczne wyrażone przez współrzędne prostokątne: 5

Układy współrzędnych (3)

Układ współrzędnych cylindrycznych

Wektor położenia w układzie współrzędnych cylindrycznych: Współrzędne w układzie prostokątnym wyrażone przez współrzędne cylindryczne: Współrzędne w układzie cylindrycznym wyrażone przez współrzędne prostokątne: 6

Układy współrzędnych (4)

Układ współrzędnych biegunowych

Wektor położenia w układzie współrzędnych biegunowych: Współrzędne w układzie prostokątnym wyrażone przez współrzędne biegunowe: Współrzędne w układzie biegunowym wyrażone przez współrzędne prostokątne: 7

Część I. Kinematyka

Prędkość

t

0 .

0125 s

x

   

t

Wektor położenia w funkcji czasu.

Zmiana wektora położenia w przedziale czasu .   

x /

t

 

12 m / s

43 km / godz .

x

0 .

15 m Fot. Ruch samochodu w czasie fotografowania Wielkość „rozmycia” proporcjonalna jest do prędkości samochodu i czasu naświetlana.

Zmiana położenia w jednostce czasu: 

d r dt

 - prędkość chwilowa Kiedy przyrost czasu dąży do zera, to

lim

t

0

 

t r

 

d r dt

   

x dx dt

 

i

 

dy dt

 

y

  

j

  

z dz dt

  

k

   9

Prędkość (2)

Kierunek, zwrot i wartość wektora prędkości Kierunek wektora prędkości chwilowej pokrywa się ze styczną do toru w danym punkcie, a jego zwrot wyznaczony jest przez znak przyrostu wektora położenia.

Wartość wektora prędkości:   

2 x

 

2 y

 

z 2

To wskazuje prędkościomierz w samochodzie.

10

Prędkość (3)

Wektor prędkości w układzie współrzędnych biegunowych

|

r

 (

t

) |  |

r

 (

t

dt

) |  1  Czym jest ?

prędkość radialna prędkość transwersalna

Prędkość (4)

Wektor prędkości w układzie współrzędnych biegunowych

prędkość radialna:  

r

dr

r

dt

prędkość transwersalna (azymutalna):    

r

d

dt

   12 Wartość bezwzględna wektora prędkości:   

r 2

 

2

Przemieszczenie i droga

Zmiana położenia w czasie

d r

   

( t ) dt

Przemieszczenie w skończonym odcinku czasu: s

r

1 , 2

r

( t 2 )

r

( t 1 )

t 1 t

2

 

( t ) dt

Przebyta droga:

s

t 1

t 2

( t ) dt

Jeśli prędkość nie zmienia się, to: 13

s

  

t

Przyspieszenie (1)

Przyspieszenie

a

(ang:

a

cceleration), to zmiana prędkości w funkcji czasu.

Definicja wektora przyspieszenia: 

a

 lim 

t

 0    

t

d

 

dt

d

(

d r

 /

dt

)

dt

d

2

r

dt

2 Przyspieszenie jest pochodną wektora prędkości względem czasu, czyli drugą pochodną wektora położenia względem czasu. Składowe wektora przyspieszenia w układzie współrzędnych prostokątnych: 

a

  

a x d

  

dt x

i

     

d

dt y

 

j

    

d

dt z

k

 14

Przyspieszenie (2)

       

a

d

 

d

dt dt

        - wersor styczny do toru w danym punkcie.

d

dt

     

d

 

dt

n

n d

  

d

  

n

Zauważmy, że:

ds

  

dt d

 

dt

ds

- element drogi przebyty w czasie

dt

ds

  

d

 

ds R

 

d

R

 

d

 

d

d

    

R d

  

n

 

n

więc:

a

d

dt

    

2 R

 

n

Przyspieszenie (3)

a s

- przyspieszenie styczne

a s

d

dt a n

- przyspieszenie normalne (dośrodkowe)

a n

 

2 R Zapamiętaj dobrze tę zależność.

Jeszcze do niej powrócimy.

Kiedy naciskasz pedał gazu lub hamulca – zmieniasz

a s

.

Kiedy kręcisz kierownicą zmieniasz

a n

.

a s

0 a s

0

Przyspieszenie, to nie tylko zmiana prędkości, to także zmiana kierunku 16

Przykład

– ruch ze stałym przyspieszeniem (1) Warunki początkowe Składowe:

[x,y,z]

przyspieszenia, prędkości i położenia ciała dla czasu

t=0

.

a 0

  

0 r 0

  

[ [ 0 , 0 0 ,

, a z 0 y 0 ,

] z 0 [ 0 , y 0 , z 0 ] ]

Zakładamy, że

a z0 =const

.

Zadanie:

Zbadać ruch odpowiadając na pytania: 1. Jak zmienią się te wartości po czasie t ?

2. Jaki będzie kształt toru?

17

Przykład

– ruch ze stałym przyspieszeniem (2) wartości stałe Przyspieszenie: 

a ( t )

[ 0 , 0 , a z 0 ]

w kierunku osi X: nie ma ruchu Prędkość:

d

x

a x

dt d

y

a y

dt d

z

a z

dt

0

dt

0

dt

a z 0

dt

   

x

y

   

0 0

 

dt dt

 

0 0

C

x

C

y

0

 

y 0

z

 

a z 0

dt

a z 0

t

C

z

w kierunku osi Y: ruch ze stałą prędkością 

a z 0

t

 

z 0

w kierunku osi Z: ruch ze stałym przyspieszeniem 18

Przykład

– ruch ze stałym przyspieszeniem (3) w kierunku osi X: położenie bez zmian Położenie:

dx

 

x

dt dy

 

y

dt dz

 

z

dt

0

dt

x

 

0

dt

0

C x

 

0

 

y 0

dt

 

( a z 0

t

 

z 0 y

)

dt

  

y 0

dt

  

y

 

0

t

y 0

w kierunku osi Y: liniowa zależność położenia od czasu 

z

 

( a z 0

t

 

z 0 )

dt

a z 0

  

t 2

2

 

z 0

  

t

  

z 0

 w kierunku osi Z: kwadratowa zależność położenia od czasu 19

Przykład

– ruch ze stałym przyspieszeniem (4) Równanie toru,

z=f(y):

Eliminujemy czas:

t

  

y y 0 gdzie

y

y

y 0

Równanie toru:

z

a z 0

t 2 2

 

z 0

t

z 0

     

2 a

 

z 0

2 y 0

     

y 2

        

z y 0 0

      

y

z 0

   

y 2

 

B

 

y

 20 równanie paraboli

Przykład

– ruch ze stałym przyspieszeniem (5) Ilustracja graficzna rozwiązania 21

Przykład

– ruch ze stałym przyspieszeniem (6) Strumień wody w łazience kreśli parabolę Kliknij w polu fotografii.

Symbol Genewy – fontanna o wysokości 130 m wyrzuca 500 litrów wody w każdej sekundzie.

Odpowiedz: ile wody utrzymuje ta fontanna w powietrzu?

22