Transcript Kinematyka
Zjawiska ruchu
Ruch – jedno w najczęściej obserwowanych zjawisk fizycznych Często ruch zachodzi z tak dużą lub tak małą prędkością i w tak krótkim lub tak długim czasie, że nie można obserwować bezpośrednio jego przebiegu. Wówczas zarejestrujemy trajektorię poruszającego się obiektu
Ten ruch cząstek emitowanych w zderzeniach jąder atomowych trwał ułamki milionowych części sekundy. (CERN, Rap.Ann. 1986) Teleskop ''Gemini'' na Hawajach. Widoczne ślady ruchu samochodów i ... gwiazd.
(Cern Courier, 39/7, 1999)
1
Opis ruchu
- podstawowe pojęcia (1) • Układ odniesienia – nieruchome w czasie obserwacji ciało lub zbiór ciał, względem którego opisujemy ruch innych ciał • Układ współrzędnych – związany z danym układem odniesienia zespól wzajemnie prostopadłych osi umożliwiający jednoznaczne określenie położenia punktu w przestrzeni • Punkt materialny ciało, którego rozmiary w badanym ruchu można uznać za pomijalnie małe • Układ punktów materialnych konfiguracji przestrzennej zbiór skończonej liczby punktów materialnych o zadanej • Ciało sztywne – ciało, które nie ulega odkształceniu w czasie rozpatrywanego ruchu • Stan spoczynku względem danego układu odniesienia – kiedy ciało nie zmienia swego położenia względem tego układu odniesienia.
Z Y X
2
Układ odniesienia związany z przejazdem kolejowym i umiejscowiony na nim
układ współrzędnych
prostokątnych
Opis ruchu
- podstawowe pojęcia (2) • Ruch postępowy wszystkie punkty danego ciała przemieszczają się tak samo co do wartości i kierunku względem zadanego układu odniesienia • Ruch prostoliniowy przemieszczenie odbywa się wzdłuż linii prostej • Ruch obrotowy - wszystkie punkty danego ciała poruszają się po okręgach, których środki znajdują się na jednej prostej - osi obrotu • Ruch płaski – ruch zachodzący w jednej płaszczyźnie. • Kinematyka – dział fizyki zajmujący się opisem ruchu, bez wnikania w jego przyczyny •
Dynamika
własnościami - dział fizyki zajmujący się opisem związków pomiędzy przyczynami ruchu, a jego
Pociąg TGV na dworcu w Nantes; prędkość przejazdowa: 300 km/godz.
3
Układy współrzędnych (1)
Układ współrzędnych prostokątnych
P – punkt w przestrzeni trójwymiarowej Promień wodzący punktu P - osie układu współrzędnych - współrzędne początku układu - wektor położenia punktu w przestrzeni (promień wodzący) -współrzędne prostokątne punktu w przestrzeni -wersory osi układu współrzędnych długość promienia wodzącego 4
Układy współrzędnych (2)
Układ współrzędnych sferycznych
Wektor położenia w układzie współrzędnych sferycznych: Współrzędne w układzie prostokątnym wyrażone przez współrzędne sferyczne: Współrzędne sferyczne wyrażone przez współrzędne prostokątne: 5
Układy współrzędnych (3)
Układ współrzędnych cylindrycznych
Wektor położenia w układzie współrzędnych cylindrycznych: Współrzędne w układzie prostokątnym wyrażone przez współrzędne cylindryczne: Współrzędne w układzie cylindrycznym wyrażone przez współrzędne prostokątne: 6
Układy współrzędnych (4)
Układ współrzędnych biegunowych
Wektor położenia w układzie współrzędnych biegunowych: Współrzędne w układzie prostokątnym wyrażone przez współrzędne biegunowe: Współrzędne w układzie biegunowym wyrażone przez współrzędne prostokątne: 7
Część I. Kinematyka
Prędkość
t
0 .
0125 s
x
t
Wektor położenia w funkcji czasu.
Zmiana wektora położenia w przedziale czasu .
x /
t
12 m / s
43 km / godz .
x
0 .
15 m Fot. Ruch samochodu w czasie fotografowania Wielkość „rozmycia” proporcjonalna jest do prędkości samochodu i czasu naświetlana.
Zmiana położenia w jednostce czasu:
d r dt
- prędkość chwilowa Kiedy przyrost czasu dąży do zera, to
lim
t
0
t r
d r dt
x dx dt
i
dy dt
y
j
z dz dt
k
9
Prędkość (2)
Kierunek, zwrot i wartość wektora prędkości Kierunek wektora prędkości chwilowej pokrywa się ze styczną do toru w danym punkcie, a jego zwrot wyznaczony jest przez znak przyrostu wektora położenia.
Wartość wektora prędkości:
2 x
2 y
z 2
To wskazuje prędkościomierz w samochodzie.
10
Prędkość (3)
Wektor prędkości w układzie współrzędnych biegunowych
|
r
(
t
) | |
r
(
t
dt
) | 1 Czym jest ?
prędkość radialna prędkość transwersalna
Prędkość (4)
Wektor prędkości w układzie współrzędnych biegunowych
prędkość radialna:
r
dr
r
dt
prędkość transwersalna (azymutalna):
r
d
dt
12 Wartość bezwzględna wektora prędkości:
r 2
2
Przemieszczenie i droga
Zmiana położenia w czasie
d r
( t ) dt
Przemieszczenie w skończonym odcinku czasu: s
r
1 , 2
r
( t 2 )
r
( t 1 )
t 1 t
2
( t ) dt
Przebyta droga:
s
t 1
t 2
( t ) dt
Jeśli prędkość nie zmienia się, to: 13
s
t
Przyspieszenie (1)
Przyspieszenie
a
(ang:
a
cceleration), to zmiana prędkości w funkcji czasu.
Definicja wektora przyspieszenia:
a
lim
t
0
t
d
dt
d
(
d r
/
dt
)
dt
d
2
r
dt
2 Przyspieszenie jest pochodną wektora prędkości względem czasu, czyli drugą pochodną wektora położenia względem czasu. Składowe wektora przyspieszenia w układzie współrzędnych prostokątnych:
a
a x d
dt x
i
d
dt y
j
d
dt z
k
14
Przyspieszenie (2)
a
d
d
dt dt
- wersor styczny do toru w danym punkcie.
d
dt
d
dt
n
n d
d
n
Zauważmy, że:
ds
dt d
dt
ds
- element drogi przebyty w czasie
dt
ds
d
ds R
d
R
d
d
d
R d
n
n
więc:
a
d
dt
2 R
n
Przyspieszenie (3)
a s
- przyspieszenie styczne
a s
d
dt a n
- przyspieszenie normalne (dośrodkowe)
a n
2 R Zapamiętaj dobrze tę zależność.
Jeszcze do niej powrócimy.
Kiedy naciskasz pedał gazu lub hamulca – zmieniasz
a s
.
Kiedy kręcisz kierownicą zmieniasz
a n
.
a s
0 a s
0
Przyspieszenie, to nie tylko zmiana prędkości, to także zmiana kierunku 16
Przykład
– ruch ze stałym przyspieszeniem (1) Warunki początkowe Składowe:
[x,y,z]
przyspieszenia, prędkości i położenia ciała dla czasu
t=0
.
a 0
0 r 0
[ [ 0 , 0 0 ,
, a z 0 y 0 ,
] z 0 [ 0 , y 0 , z 0 ] ]
Zakładamy, że
a z0 =const
.
Zadanie:
Zbadać ruch odpowiadając na pytania: 1. Jak zmienią się te wartości po czasie t ?
2. Jaki będzie kształt toru?
17
Przykład
– ruch ze stałym przyspieszeniem (2) wartości stałe Przyspieszenie:
a ( t )
[ 0 , 0 , a z 0 ]
w kierunku osi X: nie ma ruchu Prędkość:
d
x
a x
dt d
y
a y
dt d
z
a z
dt
0
dt
0
dt
a z 0
dt
x
y
0 0
dt dt
0 0
C
x
C
y
0
y 0
z
a z 0
dt
a z 0
t
C
z
w kierunku osi Y: ruch ze stałą prędkością
a z 0
t
z 0
w kierunku osi Z: ruch ze stałym przyspieszeniem 18
Przykład
– ruch ze stałym przyspieszeniem (3) w kierunku osi X: położenie bez zmian Położenie:
dx
x
dt dy
y
dt dz
z
dt
0
dt
x
0
dt
0
C x
0
y 0
dt
( a z 0
t
z 0 y
)
dt
y 0
dt
y
0
t
y 0
w kierunku osi Y: liniowa zależność położenia od czasu
z
( a z 0
t
z 0 )
dt
a z 0
t 2
2
z 0
t
z 0
w kierunku osi Z: kwadratowa zależność położenia od czasu 19
Przykład
– ruch ze stałym przyspieszeniem (4) Równanie toru,
z=f(y):
Eliminujemy czas:
t
y y 0 gdzie
y
y
y 0
Równanie toru:
z
a z 0
t 2 2
z 0
t
z 0
2 a
z 0
2 y 0
y 2
z y 0 0
y
z 0
y 2
B
y
20 równanie paraboli
Przykład
– ruch ze stałym przyspieszeniem (5) Ilustracja graficzna rozwiązania 21
Przykład
– ruch ze stałym przyspieszeniem (6) Strumień wody w łazience kreśli parabolę Kliknij w polu fotografii.
Symbol Genewy – fontanna o wysokości 130 m wyrzuca 500 litrów wody w każdej sekundzie.
Odpowiedz: ile wody utrzymuje ta fontanna w powietrzu?
22