Transcript Fizyka_MSOS_2

Wektory i skalary
-Skalar – wielkość fizyczna, którą można przedstawić za pomocą liczby
(np. objętość, temperatura)
- Wektor – wielkość fizyczna, która ma długość („wielkość”), kierunek i
zwrot (np. siła, przemieszczenie)
zwrot
długość (moduł, wartość
kierunek bezwzględna)
Geometryczne dodawanie
wektorów
Graficzne dodawanie wektorów a i b:
1.Narysuj wektor a
2.Narysuj wektor b zaczynający się na końcu
wektora a.
3.Sumę wektorową lub wektor wypadkowy
s=a+b jest wektorem zaczynającym się w
początku a i kończącym się na końcu b.
Uwagi:
-Wektor wypadkowy a+b możemy traktować
jako łączny efekt dwóch przemieszczeń a i b.
-Metoda graficzna ‘działa’ dla dowolnej liczby
wektorów!
Dodawanie wektorów vs.
dodawanie skalarów
Dodawanie ma inne znaczenie w działaniach na wektorach, niż w działaniach na
skalarach ponieważ wynik operacji zależy zarówno od wartości bezwzględnych,
jak i od kierunków składników.
Przykład: obrabowano bank w centrum Bostonu.
Uciekając przed pościgiem policyjnym, rabusie
użyli śmigłowca, pokonując kolejno w powietrzu,
trzy odcinki o następujących przemieszczeniach:
23 km, 45o na południe od kierunku wschodniego;
53 km, 26o na północ od kierunku zachodniego;
26 km, 18o na wschód od kierunku południowego.
Po zakończeniu trzeciego lotu zostali schwytani.
W jakim mieście byli wówczas?
Przemieszczenie: ~ 25 km
Przebyta droga: 102 km
Wektory jednostkowe
Wektorem jednostkowym nazywamy wektor o długości 1, skierowany w
określonym kierunku.
W kartezjańskim układzie współrzędnych, wektory jednostkowe dodatnich
kierunków osi x, y, z oznaczamy i, j, k.
Wektory jednostkowe
Wektorów jednostkowych możemy używać do zapisu innych wektorów.
y
F
Fyj
Fxi
x
F = Fxi + Fyj
F = Fxi + Fyj + Fzk
Fxi, Fyj, Fzk – wektory składowe wektora F
Dodawanie wektorów na
składowych
Inna metodą dodawania wektorów jest dodawanie ich składowych dla każdej
osi.
r=a+b
r x = a x + bx
r y = a y + by
r z = a z + bz
1. Rozkładamy wektory na składowe
2. Dodajemy do siebie składowe wektorów dla każdej osi
3. Wyznaczamy wektorową sumę na podstawie sumy
składowych
Rozkładanie wektorów na
składowe
y
F
Fyj
q
Fxi
x
Fx = Fcosq oraz Fy = Fsinq
Obrót układu
współrzędnych
Mamy swobodę wyboru
układu współrzędnych –
związki między
wektorami (np.
dodawanie) nie zależą
od położenia początku
układu współrzędnych i
kierunku jego osi.
Również związki
między wielkościami
fizycznymi nie zależą
od wyboru układu
współrzędnych.
Wektory a prawa fizyki
Prawa fizyki w układzie przesuniętym (translacja) i
obróconym są takie same.
Nazywa się to symetrią praw fizyki względem
translacji i obrotów.
A odbicie lustrzane?
Lustrzane łamanie
symetrii
- Odbicie przestrzenne, odbicie P, odbicie lustrzane –
zmiana znaku wszystkich współrzędnych przestrzennych.
- Odbicie czasowe, odbicie T – zmiana znaku wszystkich
współrzędnych czasowych.
- Odbicie ładunkowe, odbicie C, zmiana znaku wszystkich
ładunków elektrycznych.
Istnieją przykłady łamania symetrii P, T i C – w
lustrzanym odbiciu Wszechświata obowiązują inne prawa
fizyki.
Mnożenie wektorów
Mnożenie wektora przez skalar
b = s*a
- b = s*a – długość b wynosi s razy długość a
- kierunek a i b jest taki sam
- zwrot b jest zgodny ze zwrotem a, jeśli s jest dodatnie, a
przeciwny, gdy s jest ujemne.
Mnożenie wektora przez wektor
Istnieją dwa sposoby mnożenia wektora przez wektor:
-iloczyn skalarny
-iloczyn wektorowy
Iloczyn skalarny
Iloczyn skalarny wektorów a i b:
a*b = ab cosf
a - długość a
b - długość b
a
f
f– kąt pomiędzy kierunkami a i b
b
-Wynikiem mnożenia jest skalar
-a cosf jest składową (rzutem) wektora a w kierunku b.
-Jeśli kąt f jest równy 0o, iloczyn jest największy i wynosi ab
-Jeśli kąt f jest równy 90o, to składowa jednego wektora w kierunku drugiego
jest równa zeru, iloczyn skalarny jest więc również równy zero.
Iloczyn wektorowy
Iloczyn wektorowy wektorów a i b:
c = axb
c = ab sinf – długość wektora c
a
f
b
f – mniejszy z kątów pomiędzy kierunkami a i b
-Wynikiem mnożenia jest wektor
-Jeśli kąt f jest równy 0o, iloczyn wynosi zero
-Jeśli kąt f jest równy 90o, to iloczyn jest największy i wynosi ab
Iloczyn wektorowy
c = axb
-kierunek wektora c jest prostopadły do
płaszczyzny, w której leżą wektory a i b.
-zwrot określa tzw. reguła prawej dłoni: gdy
ustawimy palce prawej dłoni wzdłuż łuku
mniejszego kąta pomiędzy a i b, kciuk wskazuje
kierunek wektora c.
Wektory - powtórzenie
Ruch
Ruch – zmiana położenia obiektu w czasie
Świat jest w ciągłym ruchu
Dział fizyki zajmujący się opisem ruchu – kinematyka
(z greckiego kinēma - ruch)
Dzisiaj:
-ruch wzdłuż linii prostej
-poruszające ciało jest obiektem punktowym
Położenie i
przemieszczenie
Położenie ciała wyznaczamy względem pewnego punktu
odniesienia np. początku osi x. Np. x = 5 m
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
x [m]
Zmianę położenie ciała od punktu x1 do punktu x2 nazywamy
przemieszczeniem Dx:
Dx = x2 - x1
Prędkość średnia i chwilowa
Jedną z możliwości opisu ruchu jest podanie średniej
prędkości:
vsr = Dx/ Dt
vsr jest stosunkiem przemieszczenia cząstki Dx w pewnym
przedziale czasu, do wielkości tego przedziału czasu Dt.
Gdy chcemy znać prędkości cząstki w danej chwili,
musimy podać prędkość chwilową:
v  lim
Dt 0
Dx dx

Dt dt
Wyrażenie lim
oznacza, że zmniejszamy przedział czasu do zera
Dt  0
Wyrażenie
dx
dt
oznacza pochodną x względem t
Przyśpieszenie
Gdy prędkość cząstki się zmienia, doznaje ona przyśpieszenia.
Przyśpieszenie średnie:
asr = Dv/ Dt
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_fastest_cars_by_acceleration
Przyśpieszenie
Przyśpieszenie chwilowe:
a
dv
dt
Słowami: przyśpieszenie cząstki w danej chwili jest równe
szybkości zmiany prędkości cząstki w danej chwili.
Możemy zapisać:
dv d  dx  d 2 x
a
   2
dt dt  dt  dt
Przyśpieszenie cząstki w danej chwili jest równe drugiej
pochodnej jej położenia x względem czasu t.
Ruch ze stałym przyśpieszeniem
Gdy przyśpieszenie jest stałe, przyśpieszenie średnie jest
równe przyśpieszeniu chwilowemu:
a  asr 
Dv v  v0

Dt
t 0
v0 – prędkość cząstki w chwili t = 0. Przekształcając:
v = v0+at
Oznacza to, że prędkość zmienia się liniowo w czasie.
W podobny sposób przekształcamy równanie na vsr:
vsr 
Dx x  x0

Dt
t 0
x = x0+vsrt
Ruch ze stałym przyśpieszeniem
Gdy prędkość zmienia się liniowo w czasie
v
v(t)
vsr
v0
t
to prędkość średnia w pewnym przedziale czasu jest średnią
arytmetyczną prędkości na początku i na końcu przedziału
vsr 
1
(v0  v)
2
Ruch ze stałym przyśpieszeniem
Podstawiając
v = v0+at
Dostajemy:
1
vsr  v0  at
2
Wstawiając do
x = x0+vsrt
Dostajemy:
albo:
1
x  x0  v0t  at 2
2
1
x  x0  v0t  at 2
2
Ruch ze stałym przyśpieszeniem
położenie
prędkość
x
przyśpieszenie
v
x(t)
a
v(t)
x0
a(t)
v0
t
1
x  x0  v0t  at 2
2
t
v = v0+at
t
a = const
Spadek swobodny
Ciało umieszczone w ziemskim polu grawitacyjnym doznaje
przyśpieszenia o stałej wartości, skierowanego w dół.
Przyśpieszenie to nazywa się przyśpieszeniem ziemskim i
oznacza g.
Przyjmujemy wartość g = 9.8 m/s2
Spadek swobodny opisują równania ruchu ze stałym
przyśpieszeniem (o ile wpływ powietrza na ruch można
pominąć).
Spadek swobodny - przykład
W 1989, Peter Debernardi (42) i Jeffrey (Clyde)
Petkovich (25) zostali pierwszą drużyną, która
spłynęła wodospadem Niagara o wysokości 48
m, w stalowej kapsule.
Jak długo spadali i z jaką prędkością uderzyli w
spienione wody na dole?
1
x  x0  v0t  at 2
2
-48 = 0 + 0 – 0.5*9.8*t2
t2 = 48/4.9 [m/m/s2]
t = 3.1 s
v = v0+at
v = -9.8*3.1[(m/s2)*s] = -31 m/s ~ 110 km/h