Przepływ pomiędzy dwoma zbiornikami

Transcript Przepływ pomiędzy dwoma zbiornikami

WYKŁAD 3

METODY OBLICZANIA PRZEPŁYWU POMIĘDZY DWOMA ZBIORNIKAMI, OPORNOŚĆ HYDRAULICZNA, CHARAKTERYSTYKA PRZEPŁYWU

1. Równanie Bernoulliego dla zagadnienia przepływu pomiędzy dwoma zbiornikami

e 1 p 1 r g

p 1 z 1

z 11 z 12 l 1 , d 1 , l 1 , v 1 , z 1 = z 11 + z 12 + z 13 + z 14 z 13 l 2 , d 2 , l 2 , v 2 , z 2 = z 21 z 14 z 21 z 31 l 3 , d 3 , l 3 , v 3 , z 3a = z 31 + z 32 + z 33 + z 34 z 3b = z 31 + z 32 + z 33 + z 34 + z 35 z 33 z 34 z 32

v 3 p 2 z

∆z p 2 r g

z 2 e 2

• • Zagadnienie przepływu pomiędzy dwoma zbiornikami dla płynu rzeczywistego można rozwiązać pisząc równanie Bernoulliego dla przekroju na powierzchni cieczy zbiornika zasilającego oraz przekroju na końcu ostatniego przewodu albo, przekrojów położonych na powierzchniach cieczy zbiorników.

1.1. Równanie Bernoulliego dla przekrojów 1-3 ma postać

....

    z 1  l 1

1        z 2  l 2

2        z 3

 l 3

3   

po przekształceniu

...

    z 1  l 1

1     1 2

2

    z 2  l 2

2     2 2

2

    z 3

 l 3

3     3 2

2

po oznaczeniu oraz podstawieniu równania ciągłości przepływu otrzymamy     3

3 4  z 1

1 4  l 1

1 5  z 2

2 4  l 2

2 5  z 3

a d

3 4  l 3

3 5    

8

g q v

Po wprowadzeniu pojęcia oporności hydraulicznej w R* w postaci:

*     3

3 4  z 1

1 4  l 1

1 5  z 2

2 4  l 2

2 5  z 3

a d

3 4  l 3

3 5   8  2

równanie przybiera postać Strumień objętości wynosi Od jakich wielkości zależy oporność hydrauliczna R* ?

Widać, że wyznaczenie strumienia objętości wymaga znajomości oporności hydraulicznej, która to z kolei wielkość zależy od współczynników strat zależnych od strumienia objętości.

Jeżeli znamy wartości współczynników strat to znamy oporność hydrauliczną i możemy obliczyć strumień objętości jako Przy braku znajomości współczynników strat do wyznaczenia oporności hydraulicznej i strumienia objętości konieczne jest zastosowanie metody kolejnych przybliżeń (opis w dalszej części).

1.2. Równanie Bernoulliego dla przekrojów 1-2

Alternatywne równanie Bernoulliego dla przekrojów 1-2 leżących na powierzchniach cieczy w zbiornikach ma postać

....

    z 1  l 1

1     1 2

2

    z 2  l 2

2     2 2

2

     l 3

3     3 2

2

Po analogicznych przekształceniach i podstawieniach zdefiniowanych wielkości otrzymujemy    z

1 4 1  l 1

1 5  z 2

2 4  l 2

2 5 

3 4  l 3

3 5    

8

g q v

Gdzie oporność hydrauliczna układu wynosi

*    z 1

1 4  l 1

1 5  z 2

2 4  l 2

2 5  z 3

b d

3 4  l 3

3 5    8 2

równanie przybiera postać Strumień masy jest zatem wynosi Równania Bernoulliego dla przekrojów 1-2 oraz 1-3 sprowadzają się do tej samej postaci, gdy

2. Charakterystyka przewodu 2.1. Charakterystyka prostego odcinka przewodu o wymiarach l, d

gdzie





8

5 jest

opornością hydrauliczną liniową

przewodu o wymiarach l, d.

ruchu laminarnym

, więc Czyli w ruchu laminarnym straty liniowe zależą wprost proporcjonalnie od strumienia objętości.

ruchu

liniowych l

turbulentnym

zależy , tylko dla od Re>Re gr , współczynnik strat chropowatości przewodu, natomiast nie zależy od Re, a więc nie zależy też od q v .

Równanie przybiera więc postać: Czyli w rozwiniętym ruchu turbulentnym straty liniowe zależą od kwadratu strumienia objętości.

c 1 q v n 1

2.2. Charakterystyka oporu miejscowego

_ Wysokości straty energii na oporze miejscowym obliczamy ze wzoru: gdzie z jest współczynnikiem strat miejscowych, a prędkością przepływu za przeszkodą.

 średnią

W ogólnym przypadku współczynnik strat miejscowych zależy od geometrii oporu miejscowego i liczby Reynoldsa, ale powyżej granicznej liczby Re, zwykle dla Re>10 4 z , nie ma ona już wpływu na z , zatem w tym przypadku współczynnik z konkretnego oporu miejscowego jest stały.

Po podstawieniu równania ciągłości przepływu otrzymamy gdzie:

  8 z 2

g d

4 jest opornością hydrauliczną oporu miejscowego.

2.3. Ekwiwalentny współczynnik oporu liniowego

W jaki sposób zastąpić przewód o znanych parametrach

d, l,

l przeszkodą lokalną o równoważnym współczynniku oporu miejscowego z e ?

d l

 2 2

 z

 2 2

stąd z e - jest ekwiwalentnym (równoważnym) współczynnikiem oporu liniowego.

2.4. Charakterystyka przepływowa szeregowego systemu hydraulicznego

Na podstawie uogólnionego równania Bernoulliego, zapisanego dla przekrojów 1-2, otrzymamy:   

n d n

4 8 

2   1

1 4 8 

2  

q v

2  gdzie

* 

i n

  1  8 2

  l

i l i d i

5  z

d i

4  

natomiast

*'    

n d n

4   1

1 4    8 2



i n

  1   l

i l i d i

5  z

d i

4    8 2

jest opornością hydrauliczną zastępczą szeregowego systemu hydraulicznego.

Charakterystyka przepływu przybiera więc postać: Oporność hydrauliczna zastępcza dla k-tego przewodu wynosi

*   8 2   

k k

4  

 1

d k

4  1    8  2

  l

k l k d k

5  z

d k

4   gdzie : k = 1, 2, 3, …, n jest numerem elementu systemu, a

R k

opornością hydrauliczną k-tego odcinka tworzącego system hydrauliczny.

Charakterystyka przepływu k-tego odcinka systemu ma postać , (

k = 1, 2, …, n

) Ponieważ

i n

  1     l



d n

n l i d i

5   

I I

  1

d i

4    1 

*  8  2

g i n

  1   l

i l i d i

5  z

d i

4   Oporność hydrauliczną można zapisać w prostszej postaci: oraz 1

2 ...

lub graficznie (na przykładzie dwóch przewodów): 



* 2

q v



2 

* 2

R q

q v

2.5. Charakterystyki przepływowe, oporność hydrauliczna i jej jednostki



R I

*  

h q v

2 ,

R I

* 

 

2 

5 

 

h q m

2 , 

III

 

p q v

2 ,



  2



2 2

III



m m

kg m

3 

Pa m

   

2 2 

kg m

7 

 

p q m

2 ,



Pa kg

   



2  1

3. Energia rozporządzalna na początku lub końcu systemu Oznaczając gdzie Δ e jest różnicą wysokości energii na początku e 1 systemu e 2 i końcu „+” dla wlotu do zbiornika „-” dla wylotu ze zbiornika

e 1 e 1 =e 2 +R *q v 2 Wlot do zbiornika R* p b p b r g e 2 z 2

e 1 e 2 p b Wylot ze zbiornika

2 

1 

q v

2 p b r g R* z 2

4. Metoda graficzna rozwiązywania zagadnienia przepływu pomiędzy dwoma zbiornikami

e 1 p 1 r g

p 1 z 1

z 11 z 12 l 1 , d 1 , l 1 , v 1 , z 1 = z 11 + z 12 + z 13 + z 14 z 13 l 2 , d 2 , l 2 , v 2 , z 2 = z 21 z 14 z 31 z 21 l 3 , d 3 , l 3 , v 3 , z 3a = z 31 + z 32 + z 33 + z 34 z 3b = z 31 + z 32 + z 33 + z 34 + z 35 z 33 z 34 z 32

v 3 p 2 z

∆z p 2 r g

z 2 e 2 Przekrój 0-0 dzieli układ hydrauliczny na dwie części

Energia rozporządzalna w przekroju 0 wynosi: - od strony przekroju 1 - od strony przekroju 2 Gdzie R A – oporność hydrauliczna układu pomiędzy przekrojami 1-0 R B – oporność hydrauliczna układu pomiędzy przekrojami 0-2 Rozwiązując powyższy układ równań otrzymujemy

Przedstawiając powyższy układ równań w formie graficznej otrzymujemy e e 1

0 

1 

R A

q v

2 e 0 e 2

0 

2  *

R q

q v0 q v

5. Metoda iteracyjna rozwiązywania zagadnienia przepływu pomiędzy dwoma zbiornikami

Metoda iteracyjna stosowana jest przy braku znajomości współczynników strat (liniowych lub miejscowych).

1   2

i n

  1  

z

i d i

q v

 

l

i l i d i

5  



8 2

g q v

i n

  1  

z

i d i

1 

2 

l

i l i d i

5  



8 2

Krok 1.

Wybór wartości początkowej l dla każdego przewodu - poprzez przyjęcie dowolnej wartości z przedziału zmienności współczynnika strat liniowych, - poprzez rozwiązanie zagadnienia przepływu pomiędzy dwoma zbiornikami dla płynu idealnego.

Krok 2.

Obliczenia strumienia objętości (masy) dla l z

kroku 1.

Krok 3.

Obliczenia na podstawie wybranej formuły współczynników l dla strumienia z

kroku 2

Krok 4. Obliczenia strumienia objętości (masy) dla l z

kroku 3.

Krok 5.

Sprawdzenie zbieżności strumienia objętości (masy).

- brak zbieżności - powtórzenie

kroków 3-4,

- zbieżność wartości oznacza

wynik.

- założenie wartości l - rozwiązanie zagadnienia dla płynu idealnego

START

Wybór l początkowej Obliczenie q v Wyznaczenie z formuł l Obliczenie q v Zbieżność q vi = q v(i-1) NIE TAK

KONIEC

• • Ilość potrzebnych iteracji zależy: dokładności rozwiązania wyboru punktu, startowego (w małym stopniu).

Wszystkie wielkości należy zawsze zapisywać z tą samą dokładnością (ilością miejsc po przecinku)!

Przykład 1. Metoda iteracyjna

Inne dane: r =1000 kg/m 3 ,  =1,128 10 -3 Pa·s (w 15 ° C) 3 x 2 =1 l 1 =20m 3 x z =0,5 l 2 =10m x k =0,25 l 3 =10m 1 p n =200kPa 1 x p =0,5 D=50mm x 1 =0,5 x k =0,25 • Określenie kierunku przepływu

1 

p b

r 

g p n



1   r

p n g



3 

3  r

p b g

  1

3    1

2 

• 1-2 Uogólnione równania Bernoulliego

p b



g p n

 

...



z l 1

D l

   ...

 1 2

2    2



d l

 

 

 2 2

2

lub dla 1-3

p b



g p n

 

3 r

...

  

z l 1



D l

 

 1 2

2    2



 

d l

 

 

 2 2

2

Po podstawieniu do równania ciągłości przepływu i obliczeniu strumienia objętości otrzymujemy

q v

  

z 1



D l

 2

p n g



z 2



d l

 

 



8

Jeśli współczynniki l są znane obliczamy strumień objętości. W przeciwnym wypadku należy zastosować metodę iteracyjną.

• Określimy l początkową na podstawie rozwiązania przykładu dla płynu idealnego. Równanie Bernoulliego dla ma wówczas postać

p b



g p n

 

3 r

 

Stąd po podstawieniu równania ciągłości przepływu oraz obliczeniu strumienia objętości otrzymujemy

p b



g p n

 

p b



r r

 

2  2 2

2

g q v



q v

    

p n g

200000

 

 2

8  

 2



• Wyznaczenie liczb Reynoldsa

8 



 

r   4

q v D

r    4

q v

r    3  1000  3   3  1000  3 

Iteracja 1 • Wyznaczenie l dla Re<10 5 (w zakresie rur hydraulicznie gładkich) zastosowana zostanie formuła Blasiusa, dla Re<10 6 zastosowana zostanie formuła Schillera.

  (100 Re)  0,25   0,3  0, 054 0,396 154 075  0,3   0,25  • Wyznaczenie strumienia objętości 200000

q v

   0, 5 0, 05 4  0, 0239 10 0, 01 5 

q v

 0, 01 4  0, 0650 0, 01 5    8 2

Iteracja 2 0.0533

0.06

• • • Obliczenie liczb Re Re

 4

q v d

r   4

q v D

r     3  1000  3   3  1000  3  Obliczenie l l

 (100 Re)  0,25  l

 64 Re  64 2030  Wyznaczenie strumienia objętości 0.05

λ .1 Re.1

λ   .2 Re.2

  0.04

0.03

0.0278

 0,25 0.02

0 0  1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 12000 12000 przypadek?

q v



Iteracja 3 • • Obliczenie liczb Re Re

 4

q v d

r Re

  4

q v D

r     Obliczenie l  3  1000  3   3  1000  3  l

 (100 Re )

 0,25  (100 Re )

 0,25   0,25  (100 2 900)  0,25   • Wyznaczenie strumienia objętości

q v



Iteracja 4 • Obliczenie liczb Re Re

  4

q v d

r    4

q v D

r   • Obliczenie l  3  1000  3   3  1000  3  l

 (100 Re )

 0,25  (100 Re )

 0,25    0,25   0,25  • Wyznaczenie strumienia objętości

q v



Iteracja 5 • • Obliczenie liczb Re Re

 4

q v d

r Re

  4

q v D

r     Obliczenie l l

 (100 Re )

 0,25  (100 Re )

 0,25    3  1000  3   3  1000  3   0,25   0,25  • Wyznaczenie strumienia objętości

q v

 Dochodzimy do … l takie jak …

Przykład 2. Obliczenie strumienia objętości na podstawie oporności hydraulicznych

Dla danych z poprzedniego przykładu obliczono oporności hydrauliczne przewodów

R D

*   z 1  l

D l

8   2 4

D g

  

R d

*  2 z

 z

 z 2  l

d l

1   

d h

2 10 0, 05    8 2 0, 05 4

 8  2 4

d g

 0, 01    8 2 0, 01 4



q v

0   1 *

R q D v

2 0   2 *

R q d v

2 0 

R d

* 

2 

   8 

Przykład 3. Metoda graficzna

0   1

v e

0 

2 

d q

v R



R B

* 





2

0 

1 

A v

0 

2  *

R q