Wykład 21 Mechanika płynów 9.1 9.2 9.3 9.3.1 9.3.2 9.3.3 Prawo Archimedesa Zależność pomiędzy ciśnieniem a głębokością Dynamika cieczy Równanie ciągłości Prawo Bernoulie’ego Zastosowanie równania ciągłości i prawo Bernoulie’ego Reinhard Kulessa.
Download ReportTranscript Wykład 21 Mechanika płynów 9.1 9.2 9.3 9.3.1 9.3.2 9.3.3 Prawo Archimedesa Zależność pomiędzy ciśnieniem a głębokością Dynamika cieczy Równanie ciągłości Prawo Bernoulie’ego Zastosowanie równania ciągłości i prawo Bernoulie’ego Reinhard Kulessa.
Wykład 21 9 Mechanika płynów
9.1 Prawo Archimedesa 9.2 Zależność pomiędzy ciśnieniem a głębokością 9.3 Dynamika cieczy 9.3.1 Równanie ciągłości 9.3.2 Prawo Bernoulie’ego 9.3.3 Zastosowanie równania ciągłości i prawo Bernoulie’ego
Reinhard Kulessa 1
9 Mechanika płynów
9.1 Prawo Archimedesa Ciecze są substancjami, które nie podlegają odkształceniu postaci. Jeśli chcemy ciecz odkształcić, to warstwy cieczy ślizgają się jedna po drugiej. Ta właściwość pozwala cieczy płynąc i zmieniać kształt.
Mechanika cieczy zajmuje się właściwościami cieczy na poziomie makroskopowym. Wielkościami mierzonymi są ciśnienie,temperatura i objętość. Element objętości cieczy jest wielkością makroskopową i nie ma nic wspólnego z pojedyncza cząsteczką.
Statyka cieczy zajmuje się przypadkami, kiedy środek masy każdego elementu objętości cieczy posiada zerową prędkość i przyśpieszenie. Taka ciecz znajduje się w spoczynku lub inaczej mówiąc w równowadze hydrostatycznej.
Reinhard Kulessa 2
Jedną z najważniejszych właściwości cieczy znajdujących się w równowadze hydrostatycznej formułuje Prawo Archimedesa .
Ciało zanurzone w cieczy doznaje wyporu, który jest równy ciężarowi cieczy wypartej przez to ciało.
C
– gęstość cieczy - gęstość ciała V – objętość ciała F C =
Vg F W =
C V S g W związku z istnieniem prawa Archimedesa możliwe jest pływanie ciał.
Dla równowagi mamy; W=
C V S g
C V S g=
Vg , czyli V { } V S
V S V
C
.
mg =
Vg
3
9.2 Zależność pomiędzy ciśnieniem a głębokością Na każdy metr kwadratowy powierzchni Ziemi działa siła dzielony przez powierzchnię na którą powietrze działa nazywamy ciśnieniem atmosferycznym.
ciśnienia.
10 Również zanurzając się w cieczy doznaje się coraz większego 5 N (11 ton). Jest to ciężar powietrza nad Ziemią. Ciężar powietrza pS dz z dz S (p+dp)S dF C
(
p
Reinhard Kulessa
pS
dF
C
4
Z drugiej strony
dF C
gdm
gSdz
.
Dla równowagi hydrostatycznej; Otrzymujemy więc,
Sdp dp
dF C gdz p
0
p
dp
z
0
gdz
.
p
p
0
gz
.
(9.1) Z równania tego możemy odczytać, że jeśli zmieni się ciśnienie na powierzchni cieczy, to zmieni się ono o tyle samo na każdej głębokości.
Reinhard Kulessa 5
9.3 Dynamika cieczy Aby omówić dynamikę cieczy możemy oprzeć się na tym co powiedzieliśmy o ruchu środka masy. Każdy makroskopowy element objętości cieczy możemy traktować jako cząstkę o danym środku ciężkości. Prędkość u tej cieczy jest opisany przez prędkość środka masy „cząstek” cieczy. Prędkość cieczy może zmieniać się zarówno ze zmianą położenia, jak i z upływem czasu, co w ogólności możemy napisać jako;
v
Musimy również zaznaczyć, że siły wewnętrzne na wskutek III zasady dynamiki Newtona znoszą się.
Przy omawianiu cieczy ograniczymy się do specjalnego przypadku tzw. cieczy bezwirowych
Reinhard Kulessa 6
Są to ciecze, które zachowują się tak jak ciecz w lewej części rysunku.
rotacja Brak rotacji przepływ przepływ Ograniczymy się również do cieczy nielepkich.
Rozróżnimy gazy i ciecze pod względem zdolności do ich kompresji. Ograniczymy się do cieczy nieściśliwych.
Reinhard Kulessa 7
Następnym warunkiem, który rozważana ciecz musi spełniać będzie jej laminarny przepływ . Oznacza to, że pojedyncze warstwy cieczy przesuwają się po sobie nie mieszając się .
Definiujemy sobie również linie prądu , które w każdym miejscu są równoległe do prędkości cieczy.
A v A v B B C v C D v B Prędkość będziemy ogólnie zapisywać tak jak zrobiliśmy to na stronie 6.
Reinhard Kulessa 8
Linie prądu nigdy się nie przecinają, gdyż w przeciwnym przypadku prędkości z nimi związane miałyby w punkcie przecięcia różne kierunki. Oznaczałoby to, że prędkość w jednym punkcie ma dwie różne wartości. v 1 v 2 Matematycznie ciecz bezwirową definiujemy jako ciecz dla której rot v = 0.
Reinhard Kulessa 9
9.3.1 Równanie ciągłości Rozważmy następującą sytuację.
v 1 S 1 1 v 2 S 2 v 2 t v 1 t W czasie t przez przekroje S 1 odpowiednio masy;
m
1
m
2
i S 2 przepływają przepływają
S v t
1 1
S v t
2 2
.
Reinhard Kulessa 10
Ze względu na to, że w zamkniętej przekrojami S 1 i S 2 objętości masa musi być dla nieściśliwej cieczy stała.
Tyle samo samo masy musi wpływać co wypływać przez każdy z przekrojów, czyli m 1 = m 2 . Wynika stąd, że
S v
1 1
S v
2 2
.
(9.2) Możemy również podejść równania ciągłości rozważając procesy transportu, w naszym przypadku masy. Wprowadźmy pojęcie strumienia gęstości masy j jako stosunek ilości masy przepływającej na jednostkę czasu przez powierzchnię S;
j
m t S
v
.
(9.3) W przypadku przez nas omawianym istnieje potencjał prędkości
. Prędkość cieczy definiujemy jako;
Reinhard Kulessa 11
v
grad
.
(9.4) masa m
2
1 v grad
1 >
2
Równanie ciągłości możemy podać rozważając strumień gęstości masy przepływający przez zamkniętą powierzchnię.
m
dm
dt S
S
, Gdzie dS jest wektorem reprezentującym element powierzchni prostopadłym do tej powierzchni. Jeżeli wewnątrz powierzchni nie mamy dodatkowego źródła masy,
Reinhard Kulessa 12
wtedy dm/dt =0 .
W oparciu o twierdzenie Gaussa możemy napisać,
S
V
div
(
, gdzie dV jest elementem objętości.
Otrzymujemy więc bezpośrednio, ze względu na to że
=const ,
div v
v
x
x
v
y
y
v
z
z
0
.
(9.5)
Reinhard Kulessa 13
9.3.2 Prawo Bernoulie’ego Z równania ciągłości wynika, że każdy element objętości przesuwając się z lewa na prawo doznaje pewnego przyśpieszenia. Zgodnie z II prawem Newtona źródłem tego przyśpieszenia musi być pewna siła. Co to jest za siła?
Rozważmy sytuację na rysunku.
p(x) p(x+dx) p(x) oznacza ciśnienie hydrostatyczne . F(x)=p(x)·S F(x+dx)=p(x+dx)·S dV S x x+dx Wypadkowa siła w kierunku x (w prawo) wynosi;
Reinhard Kulessa 14
F x
dx
)
dp dx S dx
dp dV dx
.
Znak minus oznacza, że siła jest skierowana w stronę malejącego ciśnienia.
Ze względów symetrii wszystkie inne siły się równoważą.
Siłę uzyskaliśmy więc przez zróżniczkowanie ciśnienia, analogicznie jak wyliczyliśmy ją poprzednio z energii potencjalnej. Ciśnienie ma wymiar energii na jednostkę objętości. Możemy dla elementu masy m napisać równanie ruchu Newtona;
m dv dt
F x
dV dv dt
dp dx
Reinhard Kulessa
dV
.
15
Poprzednie równanie możemy zapisać jako;
dv
dt dp dx
0
.
(9.6) Równanie (9.6) przedstawia Prawo Pascala .
W\czasie przesuwania się elementu masy dm =
dV odległości x 1 do x 2 siła F x z wykonuje na tym elemencie prace
x
1
x
2
dV x
1
x
2
dp dx dx
(
p
1 )
.
Zgodnie z zasadą zachowania energii praca ta zwiększa energię kinetyczną z wartości do wartości , czyli
1 2 (
v
2 2
v
1 2 )
p
1
p
2 1 2
v
1 2
p
1 1 2
v
2 2
p
2 Reinhard Kulessa
.
16
W oparciu o równanie (9.1) możemy napisać;
p
1
gx
1 1 2
v
1 2
p
2
gx
2 1 2
v
2 2
.
Oznacza to, że;
p
gx
1 2
v
2
const
.
(9.7) Równanie (9.7) określa prawo Bernoulie’ego .
9.3.3 Zastosowanie równania ciągłości i prawa Bernoulie’ego A). Przykładem może być działanie skrzydła samolotu .
p 1 ,v 1 p 2 ,v 2
Reinhard Kulessa 17
Ze względu na różnicę ciśnień pomiędzy górną a dolną powierzchnią skrzydła powstaje siła nośna skierowana ku górze.
1
F
( 2
p
1 )
S
(
v
1 2
v
2 2 ) 2
.
F
S
1 2 (
v
1
v
2 )(
v
1
v
2 )
Średnią wartość prędkości nad skrzydłem i pod skrzydłem możemy przyjąć jako prędkość samolotu v . Wtedy siła F jest dana prawem Kutta-Joukowskiego :
F
( 1
v
2 )
.
Reinhard Kulessa 18
B).Rurka Pitot’a – pomiar prędkości dynamicznej
p
p atm
v
2 2
p atm + p dyn Rurka pitot’a mierzy różnicę pomiędzy ciśnieniem całkowitym a statycznym.
C). Rurka Prandtla – pomiar prędkości dynamicznej p dyn
p dyn
v
2 2
v
2
p dyn
Reinhard Kulessa 19
D). Działanie spryskiwacza E).Efekt Magnusa F v pow.
p 0 p 0
Wielkość siły F na jednostkę długości cylindra o promieniu R jest równa
F
v
(2
R
2 )
.
Poprzednio badaliśmy również opór stawiany przez ciecz formułując Prawo Stokesa.
Pamiętamy również definicję liczby Reynoldsa.
Reinhard Kulessa 20