Wykład 21 9 Mechanika płynów

9.1 Prawo Archimedesa 9.2 Zależność pomiędzy ciśnieniem a głębokością 9.3 Dynamika cieczy 9.3.1 Równanie ciągłości 9.3.2 Prawo Bernoulie’ego 9.3.3 Zastosowanie równania ciągłości i prawo Bernoulie’ego

Reinhard Kulessa 1

9 Mechanika płynów

9.1 Prawo Archimedesa Ciecze są substancjami, które nie podlegają odkształceniu postaci. Jeśli chcemy ciecz odkształcić, to warstwy cieczy ślizgają się jedna po drugiej. Ta właściwość pozwala cieczy płynąc i zmieniać kształt.

Mechanika cieczy zajmuje się właściwościami cieczy na poziomie makroskopowym. Wielkościami mierzonymi są ciśnienie,temperatura i objętość. Element objętości cieczy jest wielkością makroskopową i nie ma nic wspólnego z pojedyncza cząsteczką.

Statyka cieczy zajmuje się przypadkami, kiedy środek masy każdego elementu objętości cieczy posiada zerową prędkość i przyśpieszenie. Taka ciecz znajduje się w spoczynku lub inaczej mówiąc w równowadze hydrostatycznej.

Reinhard Kulessa 2

Jedną z najważniejszych właściwości cieczy znajdujących się w równowadze hydrostatycznej formułuje Prawo Archimedesa .

Ciało zanurzone w cieczy doznaje wyporu, który jest równy ciężarowi cieczy wypartej przez to ciało.



C



– gęstość cieczy - gęstość ciała V – objętość ciała F C =



Vg F W =



C V S g W związku z istnieniem prawa Archimedesa możliwe jest pływanie ciał.

Dla równowagi mamy; W=



C V S g



C V S g=



Vg , czyli V { } V S

V S V

  

C

.

mg =



Vg

3

9.2 Zależność pomiędzy ciśnieniem a głębokością Na każdy metr kwadratowy powierzchni Ziemi działa siła dzielony przez powierzchnię na którą powietrze działa nazywamy ciśnieniem atmosferycznym.

ciśnienia.

10 Również zanurzając się w cieczy doznaje się coraz większego 5 N (11 ton). Jest to ciężar powietrza nad Ziemią. Ciężar powietrza pS dz z dz S (p+dp)S dF C

(

p

 Reinhard Kulessa 

pS



dF

C

4

Z drugiej strony

dF C



gdm

 

gSdz

.

Dla równowagi hydrostatycznej; Otrzymujemy więc,

Sdp dp

  

dF C gdz p

0

p



dp



z

0  

gdz

.

p



p

0  

gz

.

(9.1) Z równania tego możemy odczytać, że jeśli zmieni się ciśnienie na powierzchni cieczy, to zmieni się ono o tyle samo na każdej głębokości.

Reinhard Kulessa 5

9.3 Dynamika cieczy Aby omówić dynamikę cieczy możemy oprzeć się na tym co powiedzieliśmy o ruchu środka masy. Każdy makroskopowy element objętości cieczy możemy traktować jako cząstkę o danym środku ciężkości. Prędkość u tej cieczy jest opisany przez prędkość środka masy „cząstek” cieczy. Prędkość cieczy może zmieniać się zarówno ze zmianą położenia, jak i z upływem czasu, co w ogólności możemy napisać jako;

v



Musimy również zaznaczyć, że siły wewnętrzne na wskutek III zasady dynamiki Newtona znoszą się.

Przy omawianiu cieczy ograniczymy się do specjalnego przypadku tzw. cieczy bezwirowych

Reinhard Kulessa 6

Są to ciecze, które zachowują się tak jak ciecz w lewej części rysunku.

rotacja Brak rotacji przepływ przepływ Ograniczymy się również do cieczy nielepkich.

Rozróżnimy gazy i ciecze pod względem zdolności do ich kompresji. Ograniczymy się do cieczy nieściśliwych.

Reinhard Kulessa 7

Następnym warunkiem, który rozważana ciecz musi spełniać będzie jej laminarny przepływ . Oznacza to, że pojedyncze warstwy cieczy przesuwają się po sobie nie mieszając się .

Definiujemy sobie również linie prądu , które w każdym miejscu są równoległe do prędkości cieczy.

A v A v B B C v C D v B Prędkość będziemy ogólnie zapisywać tak jak zrobiliśmy to na stronie 6.

Reinhard Kulessa 8

Linie prądu nigdy się nie przecinają, gdyż w przeciwnym przypadku prędkości z nimi związane miałyby w punkcie przecięcia różne kierunki. Oznaczałoby to, że prędkość w jednym punkcie ma dwie różne wartości. v 1 v 2 Matematycznie ciecz bezwirową definiujemy jako ciecz dla której rot v = 0.

Reinhard Kulessa 9

9.3.1 Równanie ciągłości Rozważmy następującą sytuację.

v 1 S 1 1 v 2 S 2 v 2 t v 1 t W czasie t przez przekroje S 1 odpowiednio masy;

m

1 

m

2 

i S 2 przepływają przepływają

 

S v t

1 1

S v t

2 2

.

Reinhard Kulessa 10

Ze względu na to, że w zamkniętej przekrojami S 1 i S 2 objętości masa musi być dla nieściśliwej cieczy stała.

Tyle samo samo masy musi wpływać co wypływać przez każdy z przekrojów, czyli m 1 = m 2 . Wynika stąd, że

S v

1 1 

S v

2 2

.

(9.2) Możemy również podejść równania ciągłości rozważając procesy transportu, w naszym przypadku masy. Wprowadźmy pojęcie strumienia gęstości masy j jako stosunek ilości masy przepływającej na jednostkę czasu przez powierzchnię S;

j



m t S

 

v

.

(9.3) W przypadku przez nas omawianym istnieje potencjał prędkości



. Prędkość cieczy definiujemy jako;

Reinhard Kulessa 11

v

 

grad



.

(9.4) masa m



2



1 v grad



1 >



2



Równanie ciągłości możemy podać rozważając strumień gęstości masy przepływający przez zamkniętą powierzchnię.

m



dm



dt S

 

S

 

, Gdzie dS jest wektorem reprezentującym element powierzchni prostopadłym do tej powierzchni. Jeżeli wewnątrz powierzchni nie mamy dodatkowego źródła masy,

Reinhard Kulessa 12

wtedy dm/dt =0 .

W oparciu o twierdzenie Gaussa możemy napisać,

S

  

V



div

( 

, gdzie dV jest elementem objętości.

Otrzymujemy więc bezpośrednio, ze względu na to że



=const ,

div v

 

v

x



x

 

v

y



y

 

v

z



z

 0

.

(9.5)

Reinhard Kulessa 13

9.3.2 Prawo Bernoulie’ego Z równania ciągłości wynika, że każdy element objętości przesuwając się z lewa na prawo doznaje pewnego przyśpieszenia. Zgodnie z II prawem Newtona źródłem tego przyśpieszenia musi być pewna siła. Co to jest za siła?

Rozważmy sytuację na rysunku.

p(x) p(x+dx) p(x) oznacza ciśnienie hydrostatyczne . F(x)=p(x)·S F(x+dx)=p(x+dx)·S dV S x x+dx Wypadkowa siła w kierunku x (w prawo) wynosi;

Reinhard Kulessa 14

F x

 

dx

)   

dp dx S dx

 

dp dV dx

.

Znak minus oznacza, że siła jest skierowana w stronę malejącego ciśnienia.

Ze względów symetrii wszystkie inne siły się równoważą.

Siłę uzyskaliśmy więc przez zróżniczkowanie ciśnienia, analogicznie jak wyliczyliśmy ją poprzednio z energii potencjalnej. Ciśnienie ma wymiar energii na jednostkę objętości. Możemy dla elementu masy m napisać równanie ruchu Newtona;

m dv dt



F x



dV dv dt

 

dp dx

Reinhard Kulessa 

dV

.

15

Poprzednie równanie możemy zapisać jako;



dv



dt dp dx

 0

.

(9.6) Równanie (9.6) przedstawia Prawo Pascala .

W\czasie przesuwania się elementu masy dm =



dV odległości x 1 do x 2 siła F x z wykonuje na tym elemencie prace

x

1 

x

2  

dV x

1 

x

2

dp dx dx

 (

p

1  )

.

Zgodnie z zasadą zachowania energii praca ta zwiększa energię kinetyczną z wartości do wartości , czyli

1 2  (

v

2 2 

v

1 2 ) 

p

1 

p

2 1 2 

v

1 2 

p

1  1 2 

v

2 2 

p

2 Reinhard Kulessa

.

16

W oparciu o równanie (9.1) możemy napisać;

p

1  

gx

1  1 2 

v

1 2 

p

2  

gx

2  1 2 

v

2 2

.

Oznacza to, że;

p

 

gx

 1 2 

v

2 

const

.

(9.7) Równanie (9.7) określa prawo Bernoulie’ego .

9.3.3 Zastosowanie równania ciągłości i prawa Bernoulie’ego A). Przykładem może być działanie skrzydła samolotu .

p 1 ,v 1 p 2 ,v 2

Reinhard Kulessa 17

Ze względu na różnicę ciśnień pomiędzy górną a dolną powierzchnią skrzydła powstaje siła nośna skierowana ku górze.

1

F

 ( 2 

p

1 ) 

S

 (

v

1 2 

v

2 2 ) 2

.

F



S

 1 2 (

v

1 

v

2 )(

v

1 

v

2 )

Średnią wartość prędkości nad skrzydłem i pod skrzydłem możemy przyjąć jako prędkość samolotu v . Wtedy siła F jest dana prawem Kutta-Joukowskiego :

F

  ( 1 

v

2 )

.

Reinhard Kulessa 18

B).Rurka Pitot’a – pomiar prędkości dynamicznej

p



p atm

 

v

2 2

p atm + p dyn Rurka pitot’a mierzy różnicę pomiędzy ciśnieniem całkowitym a statycznym.

C). Rurka Prandtla – pomiar prędkości dynamicznej p dyn

p dyn

 

v

2 2

v

 2

p dyn

 Reinhard Kulessa 19

D). Działanie spryskiwacza E).Efekt Magnusa F v pow.

p 0 p 0



Wielkość siły F na jednostkę długości cylindra o promieniu R jest równa

F

 

v

(2 

R

2 )

.

Poprzednio badaliśmy również opór stawiany przez ciecz formułując Prawo Stokesa.

Pamiętamy również definicję liczby Reynoldsa.

Reinhard Kulessa 20