Transcript Wykład 18 7.2 Stałość prędkości światła- Doświadczenie Michelsona-Morley’a 7.3 Transformacja Lorentza 7.3.1 7.3.2 7.3.3 7.3.4 7.3.5 Względność równoczesności Transformacja Lorentza Dodawanie prędkości Kontrakcja długości Lorentza - Fizgeralda Dylatacja czasu 05-12-2008 Reinhard Kulessa.

Wykład 18
7.2
Stałość prędkości światła- Doświadczenie
Michelsona-Morley’a
7.3 Transformacja Lorentza
7.3.1
7.3.2
7.3.3
7.3.4
7.3.5
Względność równoczesności
Transformacja Lorentza
Dodawanie prędkości
Kontrakcja długości Lorentza - Fizgeralda
Dylatacja czasu
05-12-2008
Reinhard Kulessa
1
7.2
Stałość prędkości światła- Doświadczenie
Michelsona-Morley’a
W IX wieku teorie tłumaczące rozchodzenie się światła
zakładały istnienie tzw. eteru - czyli ośrodka mającego bardzo
szczególne właściwości, dużą sprężystość, przeźroczystość i
przenikliwość, przenikającego wszystko i będącego również w
próżni.
Przy pomiarach prędkości światła trzeba by więc uwzględnić
fakt, że Ziemia porusza się względem eteru. Ta prędkość
względna powinna mieć wpływ na pomiary prędkości światła,
o ile słuszna jest transformacja Galileusza.
Jeśli mierzylibyśmy prędkość światła w układzie poruszającym
się z prędkością v względem eteru, to dla dwóch różnych
kierunków tej prędkości uzyskalibyśmy dwa różne rezultaty
na prędkość światła v + c, i -v+c.
05-12-2008
Reinhard Kulessa
2
Z różnicy tych dwóch wartości możemy wyznaczyć prędkość v.
Szereg przeprowadzonych eksperymentów dało jako wynik
wartość v = 0.
Ten fakt spowodował, że Einstein w 1905 r. sformułował swoje
postulaty dotyczące tzw. szczególnej teorii względności.
1. Prawa natury mają tą sama postać we wszystkich układach
inercjalnych,
2. Prędkość światła jest stała i taka sama we wszystkich
inercjalnych układach odniesienia, niezależnie od ruchu
źródła i obserwatora.
W roku 1881 Michelson chciał zbadać ruch Ziemi względem
eteru przy pomocy doświadczenia, które tu
przedyskutujemy. Użył on do tego bardzo czułego
instrumentu optycznego – interferometru.
05-12-2008
Reinhard Kulessa
3
O
l0
Q
P
l0
S
S
Światło ze źródła Q zostaje po soczewce posłane równoległą wiązką na
półprzezroczystą płytkę P. Na płytce tej dzieli się i biegnie do luster S i S.
Po odbiciu od luster obydwa promienie docierają do lunetki F. Tam
obserwuje się obraz interferencyjny w postaci równoległych prążków.
05-12-2008
Reinhard Kulessa
4
Obraz interferencyjny zależy od różnicy faz, a tym samym od różnicy t
czasu przelotu obydwu promieni cząstkowych na drodze PSP i PSP.
Przy czym PS = PS = l0 .
1. Przypuśćmy, że interferometr spoczywa w eterze. Wtedy
prędkość światła jest wszędzie równa c i t = 0.
2. Jeżeli interferometr porusza się z prędkością v np. w
kierunku PS, wtedy powinna wystąpić różnica czasu t .
Można to zaobserwować w następujący sposób; Rozważmy
układ U, w którym spoczywa eter i układ U’ poruszający się
względem eteru w którym spoczywa interferometr.
v
O U
l0
Q
05-12-2008
l0
P S
S
W układzie U prędkość światła jest c, a w
układzie U’ c-v () i c+v () zgodnie z
transformacją Galileusza. W układzie U’
na czas przelotu odcinka PSP
otrzymujemy wartość;
Reinhard Kulessa
5
l0
l0
2l0 c
t 

 2
c  v c  v c  v2 .
Wyznaczenie prędkości po drodze PSP jest trochę
trudniejsze. Rozpatrzmy ten problem w układzie U, w którym
jak pamiętamy prędkość światła jest c.
P
vt
P
t
l0
v
S
05-12-2008
Widzimy, że;
l
2
l
2
c
vt
 l  (  )2
2
2
0
,
lub
Reinhard Kulessa
6
ct 2
vt 2
2
(
)  l0  (
)
2
2
2l0

t 
c2  v2
.
Całkowita różnica czasu jest równa;
t  t  t
 c

1
t  2l0  2 2 

2
2
c

v
c v 





2l0  1
1 
t 

2
2 
c  v
v
1 2 
 1  c2
c 

05-12-2008
.
Wiadomo, że v<<c, możemy
więc obydwa składniki
ostatniego równania
rozwinąć w szereg.
Skorzystamy z szeregów:
1
 1  x  x2 
1 x
1
1
3
 1  x  x2 
2
8
1 x
Reinhard Kulessa
7
Zaniedbując człony począwszy od kwadratowego,
otrzymujemy;

v2
1 v2 
(1  c 2 )  (1  2 c 2 ) 


.
2l0 1 v 2
t 
c 2 c2
2l
t  0
c
Wniosek jest taki, że światło biegnące po drodze PSP
potrzebuje czas dłuższy o t, niż światło biegnące po drodze
PSP.
Jeżeli obrócimy interferometr o 900, obydwa lustra S i S 
zamienią się rolami, i jeśli tak jak założyliśmy ramiona z
lustrami miały jednakową długość, różnica czasów powinna
wynosić -t.
05-12-2008
Reinhard Kulessa
8
Czyli oczekiwana różnica różnic czasowych dla dwóch
położeń ramion powinna wynosić;
2l0 v 2
(t )  2t 
 2 .
c c
Jeżeli jako v przyjmiemy prędkość orbitalną Ziemi w ruchu
dookoła Słońca i założymy średnią wartość tej prędkości jako
30 km/s, to możemy znaleźć wartość (t);
v
 104
c

v2
8

10
c2
2 108
16
(t )( s) 
l
[
m
]

0.67

10
l0 [m]
8 0
3 10
.
dla l0  10m
(t )( s)  0.67 1015 s
05-12-2008
Reinhard Kulessa
9
Tak małą różnicę czasów przelotu można zmierzyć przy
pomocy interferometru. Dla porównania okres drgań fali
świetlnej wynosi;
 5 107
T 
 1.67 1015 s .
c
3 108
Różnice czasu rzędu 1/100 tej wielkości powodują jeszcze mierzalne
przesunięcie prążków interferencyjnych.
Linia przerywana przedstawia
przewidywaną zmianę położenia,
a czerwona otrzymaną w
doświadczeniu. Różnice były 40
razy mniejsze niż przewidywane.
x
N
S
05-12-2008
O
W
N
S
Reinhard Kulessa
Wniosek jest taki, że
nie ma względnego
Ruchu Ziemi względem
eteru. Czyli, że nie ma
wyróżnionego układu
współrzędnych. 10
Michelson-Morley Data
Over a period of about 50 years, the Michelson-Morley experiment was
repeated with growing levels of sophistication. The overall result is a high level
of confidence that the wavelength shift is consistent with zero.
L (cm)
Michelson, 1881
120
Michelson & M. 1887
1100
Morley &Miller,1902-04 3220
Illingworth, 1927
200
Joos,1930
2100
Calcul.
.04
.40
1.13
.07
.75
Observ.
.02
.01
.015
.0004
.002
Ratio
2
40
80
175
375
Shankland, et al., Rev. Mod. Phys. 27, 167 (1955)
05-12-2008
Reinhard Kulessa
11
7.3 Transformacja Lorentza
7.3.1 Względność równoczesności
Przypomnijmy sobie postulaty Einsteina
1. Prawa natury mają ta sama postać we wszystkich układach
inercjalnych,
2. Prędkość światła jest stała i taka sama we wszystkich
inercjalnych układach odniesienia, niezależnie od ruchu
źródła i obserwatora.
Wynik doświadczenia Michelsona, że nie ma wyróżnionego
układu współrzędnych, jest zgodna z drugim postulatem
Einsteina.
Rozważmy następujące doświadczenie;
W chwili t = 0 dwa układy U i U’ pokrywają się swoimi
’ zachodzi błysk światła.
początkami
O
=
O
05-12-2008
Reinhard Kulessa
12
Układy te poruszają się z pewną prędkością w kierunku x
v  vix .
y ’y
W obydwu układach
prędkość światła wynosi c.
Światło rozchodzi się
kuliście, tak , że po czasie t
pokonuje drogę ct.
Mamy więc w układzie U;
v
O’
O
z’z
x ’x
x2  y 2  z 2  c2t 2 .
(7.1)
Równocześnie w układzie U’ mamy;
x2  y2  z2  c2t2 .
05-12-2008
Reinhard Kulessa
(7.2)
13
y
y’
v
P(x,y,z)
P(x’,y’,z’)
O’ x
O
z
x’
z’
Wynika więc z tego, że
dla chwili t=t’ czoło fali
promienia świetlnego
znajdowałoby się na
dwóch różnych kulach
o różnych środkach
przesuniętych o
odcinek OO’ = vt.
Jest to pewnego rodzaju sprzeczność, którą możemy tylko
wtedy wyjaśnić, gdy zaniechamy stosowania pojęcia czasu
uniwersalnego i zamiast tego przyjmiemy, że przy przejściu
pomiędzy dwoma poruszającymi się prostoliniowo układami
współrzędnych następuje nie tylko zależna od czasu zmiana
współrzędnych, ale również zależna od położenia zmiana czasu.
05-12-2008
Reinhard Kulessa
14
Rozważmy jako przykład tzw. pociąg Einsteina
B’
B
N
B’
B
05-12-2008
N
Światło z A’ osiąga
ruchomego obserwatora R.
3.
Światło z A i B osiąga
nieruchomego obserwatora
w punkcie N.
4.
Światło z B’ osiąga
ruchomego obserwatora R
A’
R
N
2.
A’
A
N
B’
B
A
R
B
Błyskawica uderza w pociąg
w punkach A’ i B’ oraz w
szyny w punktach A i B.
A’
R
B’
1.
A
R
A’
A
Reinhard Kulessa
15
Widzimy więc, że równoczesność jest względna a nie absolutna.
Zależy ona od ruchu obserwatora.
Dla obserwatora N punkty A i A’ pokrywają się w tym
samym czasie co punkty B i B’. Dla niego więc długość
odcinka torów AB jest równa długości pociągu A’B’.
Obserwator ruchomy R widzi jednak rzeczy inaczej.
Ponieważ widzi on błyskawicę z przodu pociągu wcześniej
niż z tyłu, wydaje mu się, że A i A’ koincydują wcześniej niż
B i B’. Przyjmuje on więc, że długość toru AB jest krótsza od
długości pociągu A’B’.
Obydwaj obserwatorzy nie zgadzają się więc co do oceny
długości jak i czasu.
05-12-2008
Reinhard Kulessa
16
7.3.2 Transformacja Lorentza
Opierając się na postulatach Einsteina postaramy się znaleźć
zależność pomiędzy wartościami położenia i czasu mierzonymi
przez jednego obserwatora, z odpowiednimi wartościami
mierzonymi przez drugiego obserwatora znajdującego się w
ruchu względem pierwszego obserwatora.
Jeśli wybierzemy sobie dwa układy współrzędnych U i U’ z
dwoma obserwatorami, to z transformacji Galileusza
otrzymamy;
y
U
y’
x  x  vt
x  x  vt 
U’
v
x’
x
05-12-2008
.
(7.3)
t’ bierze pod uwagę możliwość różnych
skali czasowych.
Reinhard Kulessa
17
Ponieważ może również zmieniać się długość(odległość)
wprowadzamy czynnik skalujący  ( niezależny od pozycji i
czasu), ale mogący zależeć od prędkości v.
x   ( x  vt )
.
x   ( x  vt )
(7.4)
Zgodnie z I postulatem Einsteina w obydwu równaniach
powinno występować to samo , aby nie wyróżniać żadnego z
układów.
Wprowadziliśmy współczynnik  jako matematyczną
możliwość, gdy v  0,   1.
Chcemy znaleźć  opierając się na II postulacie Einsteina. Jeśli
w czasie pokrywania się początków układów U i U’ włączymy
zegary, to pokażą one czas t i t’.
05-12-2008
Reinhard Kulessa
18
Jeśli w chwili pokrywania się układów dla (x = 0, t = 0, oraz
x’ = 0, t’ = 0) w początku układów zajdzie błysk światła, to ze
względu na to, że światło rozchodzi się w każdym z tych
układów z prędkością c, mamy;
x  ct
.
x   ct 
Wstawiając to do równania (7.4) mamy;
ct    (c  v)t
.
ct   (c  v)t 
Mnożąc ostatnie dwa równania przez siebie
otrzymujemy;
c2   2 (c2  v2 ) .
(7.5)
Na współczynnik  otrzymujemy wyrażenie;
05-12-2008
Reinhard Kulessa
19
 
1
v2
1 2
c
.
(7.6)
Ze względu na to, że dla v = 0, x’ = x, przyjmujemy we wzorze
1
(7.6) znak +1.
 
v2
1 2
c
Transformacja położenia i czasu przyjmie postać;
x  vt
vx
x 
t 2
2
c
(7.8)
v

t

1 2
v2
c
1 2
,
Wzory
x  vt 
c
.
x
przedstawiają
v  x
v2
t  2
1 2
transformacje
c
c
t
Lorentza.
v2
y  y
1
05-12-2008
Reinhard Kulessa 2
20
c
z  z
7.3.3 Dodawanie prędkości
Chcąc wyrazić prędkość ciała poruszającego się w układzie
ruchomym przez przez prędkość w układzie nieruchomym,
nie możemy już stosować transformacji Galileusza, gdyż
byłoby to sprzeczne z II postulatem Einsteina. Nowe
wyrażenie na dodawanie prędkości wyprowadzimy w oparciu
o transformację Lorentza (7.8).
Wyprowadźmy wyrażenia dla różniczek położenia i czasu.
dx 
dx  v dt 
2
dt 
v
1 2
c
v dx
c2
v2
1 2
c
dt  
(7.9)
Dzieląc te równania stronami otrzymamy szukane zależności.
05-12-2008
Reinhard Kulessa
21
Niech cząstka ma prędkość u w układzie U i u’ w układzie U’ tak
jak na rysunku.
v  v  ix ,
Gdy
y
y’
’
U
U
ux
v
u  (u x , u y , u.z )
u’x’
u   (u x , u y , u z ) .
x’
x
dx
 ux
dt
Wtedy
dx
 ux
dt 
, i mamy;
dx
v
dx
dx  v dt 
dt 


dt dt   v / c 2 dx 1  dx v
dt  c 2
.
Czyli ostatecznie,
05-12-2008
Reinhard Kulessa
22
ux  v
ux 
v .
1  ux 2
c
Równocześnie ze względu na zależność
możemy napisać, że;
(7.10)
y  y
z  z
uy
dy
dy
uy 


2
dt  (dt   v / c dx)  (1  v / c 2u x )
uz
dz
dz 
uz 


2
dt  (dt   v / c dx)  (1  v / c 2u x )
.
Po zebraniu wzorów na dodawanie prędkości razem,
otrzymujemy;
05-12-2008
Reinhard Kulessa
23
ux  v
ux 
v
1  ux 2
c
uy
uy 
v
(7.11)
 (1  ux 2 )
c
uz
uz 
v
 (1  ux 2 )
c
(gdzie maksymalna wartość u=c,
oraz v=c), otrzymujemy;
u/c
2
Galileusz
u
v
2
c
c
1
Porównując dodawanie
dwóch jednakowych
prędkości u’ = v według
Galileusza i Einsteina
Einstein
u
2

c 1  v2 / c2
0
05-12-2008
Reinhard Kulessa
1 v/c
24
7.3.4
Kontrakcja długości Lorentza - Fizgeralda
Rozważmy znów układ nieruchomy U i ruchomy U’, i
zmierzmy w obydwu tych układach długość odcinka.
W układzie U mamy x2 – x1 wykonujemy pomiar w chwili
t1 = t2, aby móc przyjąć, że x2 – x1 oznacza długość.
W układzie U’ mamy odpowiednio x’2-x’1.
Korzystając z transformacji Lorentza, otrzymujemy;
x2  x1 
x2  x1
v2
1
c
.
(7.12)
v2
L  L 1  2
c
05-12-2008
Reinhard Kulessa
25
7.3.5 Dylatacja czasu
Umieśćmy w stałym punkcie x’0 układu ruchomego U’ zegar.
Układ ten porusza się z prędkością v w kierunku osi x’.
W układzie nieruchomym U umieszczamy dwa
zsynchronizowane zegary umieszczone w punktach x1 i x2.
’ mija zegar x w U,
Gdy
zegar
x’
w
U
o
1
y
y’
rejestrujemy czasy t’1 w układzie U’ i
U’
U
v
t1 w układzie U.
’ mija zegar x w U,
Gdy
zegar
w
U
2
x’
rejestrujemy czasy t’2 w układzie U’ i
x ’0
t2 w układzie U.
x1
x2
x
Odpowiednie przedziały czasowe
Wynoszą w układzie U’ t’ = t’2 – t’1 , a w układzie U
t = t2 – t1. W oparciu o równanie (7.9) mamy;
05-12-2008
Reinhard Kulessa
26
t 
Ponieważ w układzie U’
zegar spoczywa, więc
x’ = 0, mamy więc
t 
t   v / c 2 x
v2
1 2
c
t 
.
(7.13)
v2
1 2
c
Przykład: Mion jest cząstką nietrwałą, rozpadającą się w czasie 2 s, mierzonym
na zegarze będącym w spoczynku względem mionu. Licząc klasycznie- mion w
poruszający się z prędkością c przebywa czasie swego życia drogę
ct=3·108 m/s 2·10-6 s = 600 m zanim się rozpadnie. Wiele mionów dociera jednak
do Ziemi.
Odpowiedzmy na pytanie, czy mion o prędkości v = 0.9999c znajdujący się na
wysokości 30 km dotrze do powierzchni Ziemi.
t 
2 106 s
1  (0.9999) 2
 141106 s
Dla nas odległość pokonana przez mion będzie równa
czyli doleci.
05-12-2008
Reinhard Kulessa
x  3 108 m / s 141106 s  42 km
27