Transcript ppsx

Wstęp
do analizy matematycznej
Andrzej Marciniak
Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na
Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich
zastosowań w przemyśle" POKL.04.01.02-00-189/10
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Przebieg zmienności funkcji
 Badanie przebiegu zmienności funkcji polega na
wyznaczeniu pewnych własności funkcji rzeczywistej
zmiennej rzeczywistej określonej za pomocą pewnego
wzoru.
 Własności te można wywnioskować z wzoru funkcji oraz
z jej pochodnych rzędu pierwszego i drugiego.
Pozwalają one skonstruować przybliżony wykres
funkcji.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
2
Przebieg zmienności funkcji
 Schemat rozwiązywania jest następujący:
 własności wynikające wprost z wzoru funkcji
• dziedzina funkcji i punkty nieciągłości,
• punkty przecięcia z osiami (z osią 0X – miejsca zerowe, z osią
0Y – wartości w zerze),
• własności szczególne (parzystość, nieparzystość, okresowość,
ciągłość),
• granice na końcach przedziałów określoności,
 asymptoty,
 własności wynikające z pochodnej rzędu pierwszego
• przedziały monotoniczności,
• ekstrema lokalne funkcji,
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
3
Przebieg zmienności funkcji
 Schemat rozwiązywania (ciąg dalszy):
 własności wynikające z pochodnej rzędu drugiego
• przedziały wypukłości i wklęsłości,
• punkty przegięcia,
 zestawienie przebiegu zmienności funkcji w postaci tabelki
(na podstawie poprzednich punktów) i określenie zbioru
wartości funkcji,
 szkic wykresu funkcji.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
4
Przebieg zmienności funkcji
Przykład. Zbadać przebieg zmienności funkcji
y  (2x  3)/(x  1).
Funkcja jest określona, gdy x  1. Obliczamy pochodną:
y ’  5/(x  1)2.
Dla x  1 pochodna y ’  f ’(x) jest dodatnia, a więc funkcja
y  f (x) jest stale rosnąca.
Zbadajmy zachowanie się funkcji w otoczeniu punktu x  1. Gdy
x  1 z lewej strony, to y  , a gdy x  1 z prawej strony,
to y  . Prosta x  1 jest więc asymptotą pionową krzywej
y  f (x).
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
5
Przebieg zmienności funkcji
Badamy granice funkcji, gdy x wzrasta nieograniczenie:
lim (2x  3)/(x  1)  2
i
lim
(2x  3)/(x  1)  2,
x  
x  
a więc prosta y  2 jest asymptotą poziomą krzywej.
Chcąc znaleźć ewentualne punkty przegięcia, szukamy miejsc
zerowych pochodnej rzędu drugiego
y ”  10/(x  1)3.
Funkcja ta nie ma miejsc zerowych, a więc krzywa nie ma punktów
przegięcia.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
6
Przebieg zmienności funkcji
Układamy tabelkę przebiegu zmienności danej funkcji:
x

…
1
…

y’
0

 

0
y
2

 

2
Wykres funkcji
przedstawiono
na rysunku.
Zadania – zob.
plik WDA-1.PDF
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
7
Równania i nierówności
Wśród równań i nierówności wyróżniamy m. in.:
• równania stopnia zero,
• równania liniowe z jedną niewiadomą,
• nierówności liniowe z jedną niewiadomą,
• równania liniowe z dwiema i trzema niewiadomymi,
• nierówności liniowe z dwiema i trzema niewiadomymi,
• układy równań liniowych,
• układy nierówności liniowych,
• równania kwadratowe z jedną niewiadomą,
• równania sześcienne z jedną niewiadomą,
• równania wielomianowe wyższych stopni,
• równania i nierówności z wartością bezwzględną,
• równania i nierówności trygonometryczne.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
8
Równania i nierówności
Równaniami stopnia zero nazywamy takie równania, w których
wszystkie niewiadome występują w potęgach zerowych (w zapisie
równania praktycznie nie ma niewiadomych, bo np. x 0 = 1). Jeśli z zapisu
równania nie wynika, z iloma niewiadomymi jest to równania, to
informacja taka musi znaleźć się w treści zadania (inaczej równanie może
nie dać się rozwiązać).
Równanie stopnia zero może być albo sprzeczne, albo tożsamościowe, czyli
rozwiązaniem jest albo zbiór pusty, albo zbiór liczb rzeczywistych R (dla
równań z jedną niewiadomą), albo zbiór wszystkich par rzeczywistych R2
(dla równań z dwiema niewiadomymi), albo zbiór wszystkich trójek liczb
rzeczywistych R3 (dla równań z trzema niewiadomymi) itd.
Przykłady
2  2 = 5 (równanie sprzeczne)
2x 0 + 3y 0 = 5 (równanie tożsamościowe z dwiema niewiadomymi)
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
9
Równania i nierówności
Równanie z jedną niewiadomą, inaczej: równanie liniowe, to
równanie, w którym niewiadoma występuje tylko w pierwszej potędze, np.
ax + b = 0,
gdzie a i b oznaczają dane współczynniki liczbowe, przy czym a  0.
Typy równań liniowych:
• równanie tożsamościowe, np. 2x + 1 = 2x + 1 (rozwiązaniem jest zbiór
wszystkich liczb rzeczywistych),
• równanie sprzeczne, np. 3x + 1 = 3x +5 (rozwiązaniem jest zbiór
pusty),
• równanie oznaczone, np. 2x + 3 = 0 (to równanie ma jeden
pierwiastek x = 3/2.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
10
Równania i nierówności
Nierówności liniowe z jedną niewiadomą wyglądają podobnie do
równań liniowych, ale zamiast znaku równości zawierają jeden ze znaków
nierówności: ostrej (<, >), nieostrej (, ) lub znak różności ().
Wyróżniamy trzy typy nierówności:
• nierówność tożsamościowa  jest spełniona przez wszystkie liczby
rzeczywiste, np. 6x + 3  6x + 3,
• nierówność sprzeczna  nie jest spełniona przez żadną liczbę
rzeczywistą, np. 3x  5 > 3x + 4,
• nierówność nieoznaczona  ma nieskończenie wiele pierwiastków, ale
nie są nimi wszystkie liczby rzeczywiste, np. 3x + 6 < 0  rozwiązaniem
jest przedział (, 2).
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
11
Równania i nierówności
Równania liniowe z dwiema niewiadomymi zawierają dwie zmienne,
obie (co najwyżej) w pierwszej potędze:
ax + by + c = 0,
gdzie a, b i c oznaczają dane współczynniki liczbowe, przy czym
przynajmniej jedna z liczb a i b jest różna od zera.
W zależności od tego, które ze współczynników a i b są różne od zera,
rozwiązaniem jest
• prosta y = c/b, równoległa do osi x, gdy a = 0 i b  0,
• prosta x = c/a, prostopadła do osi x, gdy a  0 i b = 0,
• prosta y = ax/b  c/b.
Równanie liniowe z trzema niewiadomymi:
ax + by + cz = 0,
gdzie przynajmniej jedna z liczb a, b i c jest różna od zera.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
12
Równania i nierówności
W nierównościach liniowych z dwiema niewiadomymi występują
dwie niewiadome i jeden ze znaków <, >, ,  lub .
Równanie kwadratowe
ax 2 + bx + c = 0
posiada pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik
 = b2  4ac
jest dodatni lub równy zeru. Gdy  > 0, pierwiastkami są
x1 = (b  )/2a, x2 = (b + )/2a,
a gdy  = 0, to równanie posiada jeden pierwiastek podwójny x = b/2a.
Gdy  < 0, to równanie posiada dwa pierwiastki zespolone.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
13
Równania i nierówności
Przy rozwiązywaniu nierówności kwadratowej
(1)
ax2 + bx + c > 0
lub nierówności
(2)
ax2 + bx + c < 0,
a  0, możemy założyć, że a > 0.
Rozwiązanie nierówności (1):
a) gdy  > 0, to x < x1 lub x > x2, gdzie x1 i x2 oznaczają pierwiastki
trójmianu kwadratowego,
b) gdy  = 0, to x  R  {b/2a},
c) gdy  < 0, to x  R.
Rozwiązanie nierówności (2):
a) gdy  > 0, to x1 < x < x2,
b) gdy   0, to nie ma rozwiązań.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
14
Równania i nierówności
Przy rozwiązywaniu równości wykładniczych, w których niewiadoma
występuje w wykładnikach potęgi, często korzystamy z następującej
własności funkcji wykładniczej: jeśli podstawa a spełnia warunek a > 0
oraz a  1 i a x = a y, to x = y.
Przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych, w których niewiadoma
występuje pod znakiem logarytmu korzystamy z własności, że jeśli a > 0
oraz a  1 i loga x = loga y, to x = y.
Równaniem trygonometrycznym nazywamy równanie, w którym
występują funkcje trygonometryczne. Rozwiązanie takiego równania
powinno uwzględniać okresowość tych funkcji.
W równaniach z wartościami bezwzględnymi należy uwzględnić
przypadki, gdy wartości występujące w symbolach wartości bezwzględnej
są ujemne i nieujemne.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
15
Równania i nierówności
Równanie stopnia trzeciego to równanie postaci
ax 3 + bx 2 + cx + d = 0,
gdzie a  0. Dzieląc to równanie przez a i podstawiając x = y  b/3a
otrzymujemy równanie
(1)
y 3 + 3py + 2q = 0,
gdzie 3p = (3ac  b 2)/(3a 2) oraz 2q = (2b 3)/(27a 3)  (bc)/(3a 2) + d/a.
Liczba rozwiązań rzeczywistych równania (1) zależy od znaku wyróżnika
D = q 2 + p 3.
Jeżeli D > 0, to równanie ma jeden pierwiastek rzeczywisty i dwa
zespolone. Jeśli D = 0, to w przypadku, gdy p = q = 0, równanie ma jeden
pierwiastek trzykrotny równy 0, a gdy p 3 = q 2  0, to równanie ma dwa
pierwiastki rzeczywiste, z których jeden jest dwukrotny. Gdy D < 0, to
równanie ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
16
Równania i nierówności
Gdy D  0, korzystamy ze wzorów Cardana:
y 1 = u + v , y 2 = 1 u + 2 v , y 3 = 2 u + 1 v ,
gdzie u = (q + D 1/2)1/3, v = (q  D 1/2)1/3, a 1 i 2 oznaczają pierwiastki
równania x 2 + x + 1 = 0, tzn. 1 = (1 + i3)/2, 2 = (1  i3)/2.
Jeśli D < 0, to wprowadzamy pomocniczą niewiadomą , taką że cos =
=q/r 3, gdzie r = |p|, przy czym  oznacza +1 lub 1, zgodnie ze
znakiem q i pierwiastki obliczamy ze wzorów:
y1 = 2r cos(/3), y2 = 2r cos(60  /3), y1 = 2r cos(60 + /3).
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
17
Równania i nierówności
Równanie n-tego stopnia to równanie postaci
(1)
W(x) = x n + a1x n1 + … + an = 0.
Przy znajdowaniu pierwiastków korzystamy m. in. z następujących reguł:
(twierdzenie Bezouta) Równanie (1) ma pierwiastek x = a wtedy i tylko
wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny bez reszty przez (jednomian)
x  a.
Pierwiastki będące liczbami całkowitymi równania otrzymanego przez
przyrównanie do zera wielomianu o współczynnikach całkowitych
muszą być dzielnikami wyrazu wolnego.
Specjalnym przypadkiem równania n-tego stopnia jest równanie
dwukwadratowe ax 4 + bx 2 + c = 0, gdzie a  0.
Rozwiązujemy je przez podstawienie x 2 = z.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
18
Równania i nierówności
Układ równań liniowych niejednorodnych
a11 + a12 + … + a1nxn = b1,
a21 + a22 + … + a2nxn = b2,
………………………………………..
am1 + am2 + … + amnxn = bm
jest niesprzeczny, gdy istnieje przynajmniej jeden zespół wartości
{ 1 ,  2 , … ,  n }
spełniających wszystkie dane równania. Układ ten jest sprzeczny, jeżeli nie
ma ani jednego takiego rozwiązania.
Układ jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy A tego
układu jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej o kolumnę wyrazów
wolnych.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
19
Równania i nierówności
Rzędem macierzy A o wymiarze mn nazywamy największy stopień jej
minorów różnych od zera.
Minorem stopnia k macierzy (k  m i k  n) nazywamy wyznacznik
składający się (z zachowaniem kolejności) z k 2 elementów macierzy
leżących na przecięciu wybranych jej k kolumn i k wierszy.
Aby wyznaczyć rząd macierzy, należy rozpatrzyć wszystkie jej minory
stopnia l, gdzie l oznacza mniejszą z liczb m i n (lub l = m = n).
Jeżeli znajdziemy jakiś minor stopnia k różny od zera, to dalej wystarczy
zbadać wyznaczniki stopnia k + 1 zawierające te wiersze i te kolumny
danej macierzy, na przecięciu których znajdują się liczby tworzące
wyznacznik stopnia k. Jeśli wszystkie takie minory rzędu k + 1 są równe
zeru, to rząd macierzy jest równy k.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
20
Równania i nierówności
Niesprzeczny układ równań liniowych rozwiązuje się w następujący
sposób:
• obliczamy rząd r macierzy układu,
• zmieniamy porządek równań układu, a w równaniach przestawiamy
niewiadome x1, x2, … , xn w taki sposób, żeby w lewym górnym
narożniku macierzy znalazł się minor stopnia r, różny od zera.
Mogą zajść dwa przypadki:
1 r = n, r  m. Rozwiązując układ pierwszych n równań z n niewiadomymi
otrzymujemy jedynie rozwiązanie {1, 2, … , n}, ponieważ
wyznacznik tego układu nie równa się zeru. Jeżeli n < m, wtedy to
samo rozwiązanie spełnia również m  n pozostałych równań, które
wynikają z pierwszych. Układ jest oznaczony.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
21
Równania i nierówności
2 r < n, r  m. Rozwiązujemy układ pierwszych r równań względem
pierwszych r niewiadomych x1, x2, … , xr, wyrażając te niewiadome
przez n  r pozostałych niewiadomych xr+1, xr+2, … , xn. Otrzymujemy
rozwiązanie w postaci układu funkcji liniowych:
x1 = x1(xr+1, xr+2, … , xn),
X2 = x2(xr+1, xr+2, … , xn),
…………………………………
xr = xr(xr+1, xr+2, … , xn),
ponieważ wyznacznik układu równań nie równa się zeru. Niewiadomym
xr+1, xr+2, … , xn można nadać dowolne wartości. Te same rozwiązania
spełnia również m  r pozostałych równań (jeśli r < m), które wynikają
z pierwszych. Układ równań jest nieoznaczony.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
22
Równania i nierówności
Jeżeli liczba niewiadomych jest równa liczbie równań, to do rozwiązania
układu równań liniowych stosujemy twierdzenie Cramera.
Jeśli macierz układu n równań liniowych o n niewiadomych jest
nieosobliwa, to jedyne rozwiązanie x1, x2, … , xn tego układu dane jest
wzorami
x1 = |A1|/|A|, x2 = |A2|/|A|, … , xn = |An|/|A|,
w których Ai oznacza macierz powstającą z macierzy A układu przez
zastąpienie jej i-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych.
Zadania – zob. plik WDA-2.PDF
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
23