II. Równania, nierówności, układy równań Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem równości (=), w których występuje jedna lub więcej niewiadomych, nazywamy równaniem. Równania mogą zawierać: -Jedną.
Download ReportTranscript II. Równania, nierówności, układy równań Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem równości (=), w których występuje jedna lub więcej niewiadomych, nazywamy równaniem. Równania mogą zawierać: -Jedną.
Slide 1
II. Równania, nierówności, układy równań
Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem
równości (=), w których występuje jedna lub więcej
niewiadomych, nazywamy równaniem.
Równania mogą zawierać:
-Jedną niewiadomą, np.
3x 2 1 x
x x 0
2
-Dwie niewiadome, np.
2
x y 10
3x y 6
- Większą liczbę niewiadomych, np.
x y z t 7 x 5 z 10
Jeśli w równaniu występuje tylko jedna niewiadoma i jest ona w pierwszej
potędze, to takie równanie nazywamy równaniem liniowym z jedną niewiadomą
lub równaniem stopnia pierwszego z jedną niewiadomą, np.
4 z 3 15
x
1
4
x
1
x 38
3
Można je zawsze doprowadzić do postaci: ax+c=0 ( a 0 ).
Rozwiązaniem równania pierwszego stopnia z jedna niewiadomą jest liczba,
która postawiona w miejsce niewiadomej zmienia równanie w równość
prawdziwą.
Jeśli jakaś liczba jest rozwiązaniem równania, to często mówimy, że liczba ta
spełnia to równanie.
Równania, które mają ten sam zbiór rozwiązań, nazywamy równaniami
równoważnymi, np. -3x+2=8 i 4x+8=0. Oba równania spełnia tylko liczba -2.
Równania równoważne do danego otrzymamy:
- Dodając lub odejmując taką samą liczbę (lub wyrażenie algebraiczne) do obu stron
równania,
-mnożąc lub dzieląc obie strony równania przez te samą liczbę różna od zera
Równanie, które nie ma rozwiązanie, nazywamy równaniem sprzecznym.
Takim równaniem jest na przykład x+5=x. Jakąkolwiek liczbę podstawimy w miejsce
niewiadomej, to zawsze lewa strona powstałej równości nie będzie równa stronie prawej.
Równanie, które jest spełnione dla każdej liczby, nazywamy równaniem
tożsamościowym.
Przykładem takiego równanie jest równanie 2(x-2)=2x-4.
Przekształcając je, otrzymujemy: 2x-4=2x-4. Jakąkolwiek liczbę wstawimy w miejsce
niewiadomej, zawsze po lewej stronie równania otrzymamy taka samą wartość jak po
prawej.
RÓWNANIE PIERWSZEGO STOPNIA Z JEDNA
NIEWIADOMĄ
NAZWA
LICZBA
PRZYKŁAD
ROZWIĄZANIE
ROZWIĄZAŃ
Oznaczone
Jedno
3x-2=2x-4
Sprzeczne
Zero
3(x+1)=3x+5
Tożsamość
Nieskończenie
wiele
4(x-1)+2(x-2)+2x
x=-2
Brak rozwiązań
Każda liczba
rzeczywista
Nierównością liniową z jedną niewiadomą nazywamy wyrażenia,
które można przedstawić w postaci:
ax b 0 ax b 0 - nierówności ostre
ax b 0 ax b 0 - nierówności nieostre
Gdzie a i b są dowolnymi liczbami, przy czym a 0 .
Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba, która ją spełnia, to
znaczy taka liczba, która po podstawieniu w miejsce niewiadomej
daje nierówność prawdziwą. Na przykład zbiorem rozwiązań
nierówności 2x>6 jest zbiór liczb większych od.3
Rozwiązaniem nierówności 3x-2<3(x-1)+1 jest zbiór wszystkich
liczb, gdyż wstawiając w miejsce niewiadomej, po lewej i prawej
stronie nierówności, dowolną liczbę zawsze otrzymujemy
nierówność prawdziwą. Jest to nierówność tożsamościowa.
Żadna liczba nie spełnia nierówności x-3>x+5, bo wstawiając w
miejsce niewiadomej do lewej i prawej stronie dowolną liczbę
zawsze otrzymamy nierówność sprzeczną.
Mówimy, że dwie nierówności są równoważne, jeśli maja taki
sam zbiór rozwiązań.
Nierówność możemy przekształcić w nierówność
równoważną, jeśli:
- do obu stron nierówności dodamy (odejmiemy) tę samą
liczbę lub to samo wyrażenie algebraiczne, np.
x>9 | -2
x>9 | +3x-6
x-2>7
4x-6>3x+3
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę dodatnią, np.. Nierówności x>9 jest równoważna
nierówność 3x<27.
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę ujemną i zmienimy znak nierówności na przeciwny,
np. nierówności x>9 jest równoważna nierówność -3x<-27
Rozwiązując nierówność, postępujemy podobnie
jak podczas rozwiązywania równań.
Przekształcamy ją w nierówność równoważną,
tak aby po jednej stronie nierówności zostały
tylko niewiadome, a po drugiej stronie - liczba.
Chcąc opisać zbiór liczb większych lub równych od pewnej
liczby, a jednocześnie mniejszej od innej, np.
x 8
x 5
Możemy go zapisać za pomocą nierówności podwójnej:
5 x 8
Tę podwójną nierówność przedstawia na osi odcinek.
Równaniami liniowymi z dwiema niewiadomymi
są na przykład równania:
2x y 1
Chcąc znaleźć parę
liczb spełniających
dane równanie,
przyjmujemy za x
dowolną wartość i
obliczamy
odpowiadająca mu
wartość y.
2x 3 y 1
2 5 x 3 y 1 4 x 2 y 3
Można je doprowadzić do postaci: ax+by=c, gdzie
x i y są niewiadomymi, a, b, c są współczynnikami
liczbowymi, przy czym a 0 lub b 0 .
Równania: ax+by=c możemy przedstawić w
postaci równania: y a x c
.
b
b
Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi można
przedstawić graficznie w układzie współrzędnych.
Prosta o równaniu ax+by=c otrzymujemy, wybierając dwa
różne punkty, które spełniają to równanie, w więc leżą a tej
prostej. Punkty staramy się wybrać tak, aby można je było łatwo
zaznaczyć (najlepiej, gdy współrzędne punktów są liczbami
całkowitymi).
Nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi mogą
mieć postać:
ax by c ax by c
(nierówności ostre)
ax by c ax by c (nierówności nieostre)
Gdzie a, b, c są ustalonymi liczbami rzeczywistymi
a 0 , b 0 .
Każda nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
opisuje półpłaszczyznę wyznaczoną przez prostą
ax+by=c (bez tej prostej, gdy nierówność jest ostra, wraz
z tą prostą, gdy nierówność jest nieostra).
Dwa równania liniowe z dwiema niewiadomymi tworzą układ dwóch równań
liniowych z dwiema niewiadomymi.
Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest
każda para liczb spełniająca jednocześnie oba równania układu.
Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi może mieć:
-Dokładnie jedno rozwiązanie, gdy tylko jedna para liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ oznaczony.
-Nieskończenie wiele, wtedy nieskończenie wiele par liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ nieoznaczony.
- żadna para nie spełnia obu równań jednocześnie – wtedy jest to układ sprzeczny.
Mówimy, że dwa układy równań są równoważne, jeśli mają ten sam zbiór rozwiązań.
Układy równoważne możemy otrzymać:
-Dodając do obu stron (lub odejmując od obu stron) któregokolwiek równania tę samą
liczbę lub wyrażenie algebraiczne,
-Mnożąc (lub dzieląc) obie strony któregokolwiek równania przez tę sama liczbę lub
wyrażenie algebraiczne różne od zera,
-Dodając (lub odejmując stronami) oba równania.
Układ równań liniowych z dwoma niewiadomymi możemy rozwiązać metodą graficzną i
metodami algebraicznymi.
METODA GRAFICZNA
-Rysujemy wykres obu równań w jednym układnie współrzędnych,
- Odczytujemy współrzędne punktów należących do obu wykresów jednocześnie.
POŁOŻENIE
PROSTYCH W
UKŁADZIE
WSPÓŁRZĘDNYCH
Proste przecinają się
Proste pokrywają się
Proste są równoległe
PARY LICZB
SPEŁNIAJĄCYCH
UKŁAD RÓWNAŃ
Jedna para
Nieskończenie
wiele par
Zero par
NAZWA UKŁADU
oznaczony
nieoznaczony sprzeczny
METODA PODSTAWIANIA
-Z jednego równania układu wyznaczamy jedną ze zmiennych (x lub y)
-Wyznaczoną zmienną podstawiamy do drugiego równania. Zmienia się wtedy ono w równanie z jedną
niewiadomą.
- Z tego równania znajdujemy wartość niewiadomej. Obliczoną wartość wstawiamy do poprzedniego
równania i znajdujemy wartość drugiej zmiennej.
METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW
Rozwiązując układ równań ta metodą, budujemy dwa równoważne układy równań takie, że w jednym są
przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, a w drugim przy niewidomej y.
W każdym układzie, po dodaniu równań stronami, eliminujemy jedną zmienną.
Otrzymujemy dwa równania, każde z jedną niewiadomą, zamiast dwóch układów równań.
Rozwiązując każde z nich, otrzymujemy rozwiązanie danego układy równań.
METODA MIESZANA
Polega na wyznaczeniu jednej zmiennej za pomocą metody przeciwnych współczynników, a drugiej za
pomocą metody podstawiania.
-W układzie równań przekształcamy oba równania, mnożąc je przez takie liczby, aby przy tej samej
zmiennej w obu równaniach otrzymać przeciwne współczynniki.
-Dodajemy równania stronami, eliminując niewiadomą, przy której są przeciwne współczynniki.
Otrzymujemy równanie z jedna niewiadoma.
-Wyliczamy wartość tej niewiadomej.
-Obliczona wartość podstawiamy w miejsce niewiadomej do dowolnego równania w układzie, po czym
znajdujemy wartość drugiej niewiadomej.
Koniec części II
Slide 2
II. Równania, nierówności, układy równań
Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem
równości (=), w których występuje jedna lub więcej
niewiadomych, nazywamy równaniem.
Równania mogą zawierać:
-Jedną niewiadomą, np.
3x 2 1 x
x x 0
2
-Dwie niewiadome, np.
2
x y 10
3x y 6
- Większą liczbę niewiadomych, np.
x y z t 7 x 5 z 10
Jeśli w równaniu występuje tylko jedna niewiadoma i jest ona w pierwszej
potędze, to takie równanie nazywamy równaniem liniowym z jedną niewiadomą
lub równaniem stopnia pierwszego z jedną niewiadomą, np.
4 z 3 15
x
1
4
x
1
x 38
3
Można je zawsze doprowadzić do postaci: ax+c=0 ( a 0 ).
Rozwiązaniem równania pierwszego stopnia z jedna niewiadomą jest liczba,
która postawiona w miejsce niewiadomej zmienia równanie w równość
prawdziwą.
Jeśli jakaś liczba jest rozwiązaniem równania, to często mówimy, że liczba ta
spełnia to równanie.
Równania, które mają ten sam zbiór rozwiązań, nazywamy równaniami
równoważnymi, np. -3x+2=8 i 4x+8=0. Oba równania spełnia tylko liczba -2.
Równania równoważne do danego otrzymamy:
- Dodając lub odejmując taką samą liczbę (lub wyrażenie algebraiczne) do obu stron
równania,
-mnożąc lub dzieląc obie strony równania przez te samą liczbę różna od zera
Równanie, które nie ma rozwiązanie, nazywamy równaniem sprzecznym.
Takim równaniem jest na przykład x+5=x. Jakąkolwiek liczbę podstawimy w miejsce
niewiadomej, to zawsze lewa strona powstałej równości nie będzie równa stronie prawej.
Równanie, które jest spełnione dla każdej liczby, nazywamy równaniem
tożsamościowym.
Przykładem takiego równanie jest równanie 2(x-2)=2x-4.
Przekształcając je, otrzymujemy: 2x-4=2x-4. Jakąkolwiek liczbę wstawimy w miejsce
niewiadomej, zawsze po lewej stronie równania otrzymamy taka samą wartość jak po
prawej.
RÓWNANIE PIERWSZEGO STOPNIA Z JEDNA
NIEWIADOMĄ
NAZWA
LICZBA
PRZYKŁAD
ROZWIĄZANIE
ROZWIĄZAŃ
Oznaczone
Jedno
3x-2=2x-4
Sprzeczne
Zero
3(x+1)=3x+5
Tożsamość
Nieskończenie
wiele
4(x-1)+2(x-2)+2x
x=-2
Brak rozwiązań
Każda liczba
rzeczywista
Nierównością liniową z jedną niewiadomą nazywamy wyrażenia,
które można przedstawić w postaci:
ax b 0 ax b 0 - nierówności ostre
ax b 0 ax b 0 - nierówności nieostre
Gdzie a i b są dowolnymi liczbami, przy czym a 0 .
Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba, która ją spełnia, to
znaczy taka liczba, która po podstawieniu w miejsce niewiadomej
daje nierówność prawdziwą. Na przykład zbiorem rozwiązań
nierówności 2x>6 jest zbiór liczb większych od.3
Rozwiązaniem nierówności 3x-2<3(x-1)+1 jest zbiór wszystkich
liczb, gdyż wstawiając w miejsce niewiadomej, po lewej i prawej
stronie nierówności, dowolną liczbę zawsze otrzymujemy
nierówność prawdziwą. Jest to nierówność tożsamościowa.
Żadna liczba nie spełnia nierówności x-3>x+5, bo wstawiając w
miejsce niewiadomej do lewej i prawej stronie dowolną liczbę
zawsze otrzymamy nierówność sprzeczną.
Mówimy, że dwie nierówności są równoważne, jeśli maja taki
sam zbiór rozwiązań.
Nierówność możemy przekształcić w nierówność
równoważną, jeśli:
- do obu stron nierówności dodamy (odejmiemy) tę samą
liczbę lub to samo wyrażenie algebraiczne, np.
x>9 | -2
x>9 | +3x-6
x-2>7
4x-6>3x+3
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę dodatnią, np.. Nierówności x>9 jest równoważna
nierówność 3x<27.
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę ujemną i zmienimy znak nierówności na przeciwny,
np. nierówności x>9 jest równoważna nierówność -3x<-27
Rozwiązując nierówność, postępujemy podobnie
jak podczas rozwiązywania równań.
Przekształcamy ją w nierówność równoważną,
tak aby po jednej stronie nierówności zostały
tylko niewiadome, a po drugiej stronie - liczba.
Chcąc opisać zbiór liczb większych lub równych od pewnej
liczby, a jednocześnie mniejszej od innej, np.
x 8
x 5
Możemy go zapisać za pomocą nierówności podwójnej:
5 x 8
Tę podwójną nierówność przedstawia na osi odcinek.
Równaniami liniowymi z dwiema niewiadomymi
są na przykład równania:
2x y 1
Chcąc znaleźć parę
liczb spełniających
dane równanie,
przyjmujemy za x
dowolną wartość i
obliczamy
odpowiadająca mu
wartość y.
2x 3 y 1
2 5 x 3 y 1 4 x 2 y 3
Można je doprowadzić do postaci: ax+by=c, gdzie
x i y są niewiadomymi, a, b, c są współczynnikami
liczbowymi, przy czym a 0 lub b 0 .
Równania: ax+by=c możemy przedstawić w
postaci równania: y a x c
.
b
b
Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi można
przedstawić graficznie w układzie współrzędnych.
Prosta o równaniu ax+by=c otrzymujemy, wybierając dwa
różne punkty, które spełniają to równanie, w więc leżą a tej
prostej. Punkty staramy się wybrać tak, aby można je było łatwo
zaznaczyć (najlepiej, gdy współrzędne punktów są liczbami
całkowitymi).
Nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi mogą
mieć postać:
ax by c ax by c
(nierówności ostre)
ax by c ax by c (nierówności nieostre)
Gdzie a, b, c są ustalonymi liczbami rzeczywistymi
a 0 , b 0 .
Każda nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
opisuje półpłaszczyznę wyznaczoną przez prostą
ax+by=c (bez tej prostej, gdy nierówność jest ostra, wraz
z tą prostą, gdy nierówność jest nieostra).
Dwa równania liniowe z dwiema niewiadomymi tworzą układ dwóch równań
liniowych z dwiema niewiadomymi.
Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest
każda para liczb spełniająca jednocześnie oba równania układu.
Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi może mieć:
-Dokładnie jedno rozwiązanie, gdy tylko jedna para liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ oznaczony.
-Nieskończenie wiele, wtedy nieskończenie wiele par liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ nieoznaczony.
- żadna para nie spełnia obu równań jednocześnie – wtedy jest to układ sprzeczny.
Mówimy, że dwa układy równań są równoważne, jeśli mają ten sam zbiór rozwiązań.
Układy równoważne możemy otrzymać:
-Dodając do obu stron (lub odejmując od obu stron) któregokolwiek równania tę samą
liczbę lub wyrażenie algebraiczne,
-Mnożąc (lub dzieląc) obie strony któregokolwiek równania przez tę sama liczbę lub
wyrażenie algebraiczne różne od zera,
-Dodając (lub odejmując stronami) oba równania.
Układ równań liniowych z dwoma niewiadomymi możemy rozwiązać metodą graficzną i
metodami algebraicznymi.
METODA GRAFICZNA
-Rysujemy wykres obu równań w jednym układnie współrzędnych,
- Odczytujemy współrzędne punktów należących do obu wykresów jednocześnie.
POŁOŻENIE
PROSTYCH W
UKŁADZIE
WSPÓŁRZĘDNYCH
Proste przecinają się
Proste pokrywają się
Proste są równoległe
PARY LICZB
SPEŁNIAJĄCYCH
UKŁAD RÓWNAŃ
Jedna para
Nieskończenie
wiele par
Zero par
NAZWA UKŁADU
oznaczony
nieoznaczony sprzeczny
METODA PODSTAWIANIA
-Z jednego równania układu wyznaczamy jedną ze zmiennych (x lub y)
-Wyznaczoną zmienną podstawiamy do drugiego równania. Zmienia się wtedy ono w równanie z jedną
niewiadomą.
- Z tego równania znajdujemy wartość niewiadomej. Obliczoną wartość wstawiamy do poprzedniego
równania i znajdujemy wartość drugiej zmiennej.
METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW
Rozwiązując układ równań ta metodą, budujemy dwa równoważne układy równań takie, że w jednym są
przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, a w drugim przy niewidomej y.
W każdym układzie, po dodaniu równań stronami, eliminujemy jedną zmienną.
Otrzymujemy dwa równania, każde z jedną niewiadomą, zamiast dwóch układów równań.
Rozwiązując każde z nich, otrzymujemy rozwiązanie danego układy równań.
METODA MIESZANA
Polega na wyznaczeniu jednej zmiennej za pomocą metody przeciwnych współczynników, a drugiej za
pomocą metody podstawiania.
-W układzie równań przekształcamy oba równania, mnożąc je przez takie liczby, aby przy tej samej
zmiennej w obu równaniach otrzymać przeciwne współczynniki.
-Dodajemy równania stronami, eliminując niewiadomą, przy której są przeciwne współczynniki.
Otrzymujemy równanie z jedna niewiadoma.
-Wyliczamy wartość tej niewiadomej.
-Obliczona wartość podstawiamy w miejsce niewiadomej do dowolnego równania w układzie, po czym
znajdujemy wartość drugiej niewiadomej.
Koniec części II
Slide 3
II. Równania, nierówności, układy równań
Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem
równości (=), w których występuje jedna lub więcej
niewiadomych, nazywamy równaniem.
Równania mogą zawierać:
-Jedną niewiadomą, np.
3x 2 1 x
x x 0
2
-Dwie niewiadome, np.
2
x y 10
3x y 6
- Większą liczbę niewiadomych, np.
x y z t 7 x 5 z 10
Jeśli w równaniu występuje tylko jedna niewiadoma i jest ona w pierwszej
potędze, to takie równanie nazywamy równaniem liniowym z jedną niewiadomą
lub równaniem stopnia pierwszego z jedną niewiadomą, np.
4 z 3 15
x
1
4
x
1
x 38
3
Można je zawsze doprowadzić do postaci: ax+c=0 ( a 0 ).
Rozwiązaniem równania pierwszego stopnia z jedna niewiadomą jest liczba,
która postawiona w miejsce niewiadomej zmienia równanie w równość
prawdziwą.
Jeśli jakaś liczba jest rozwiązaniem równania, to często mówimy, że liczba ta
spełnia to równanie.
Równania, które mają ten sam zbiór rozwiązań, nazywamy równaniami
równoważnymi, np. -3x+2=8 i 4x+8=0. Oba równania spełnia tylko liczba -2.
Równania równoważne do danego otrzymamy:
- Dodając lub odejmując taką samą liczbę (lub wyrażenie algebraiczne) do obu stron
równania,
-mnożąc lub dzieląc obie strony równania przez te samą liczbę różna od zera
Równanie, które nie ma rozwiązanie, nazywamy równaniem sprzecznym.
Takim równaniem jest na przykład x+5=x. Jakąkolwiek liczbę podstawimy w miejsce
niewiadomej, to zawsze lewa strona powstałej równości nie będzie równa stronie prawej.
Równanie, które jest spełnione dla każdej liczby, nazywamy równaniem
tożsamościowym.
Przykładem takiego równanie jest równanie 2(x-2)=2x-4.
Przekształcając je, otrzymujemy: 2x-4=2x-4. Jakąkolwiek liczbę wstawimy w miejsce
niewiadomej, zawsze po lewej stronie równania otrzymamy taka samą wartość jak po
prawej.
RÓWNANIE PIERWSZEGO STOPNIA Z JEDNA
NIEWIADOMĄ
NAZWA
LICZBA
PRZYKŁAD
ROZWIĄZANIE
ROZWIĄZAŃ
Oznaczone
Jedno
3x-2=2x-4
Sprzeczne
Zero
3(x+1)=3x+5
Tożsamość
Nieskończenie
wiele
4(x-1)+2(x-2)+2x
x=-2
Brak rozwiązań
Każda liczba
rzeczywista
Nierównością liniową z jedną niewiadomą nazywamy wyrażenia,
które można przedstawić w postaci:
ax b 0 ax b 0 - nierówności ostre
ax b 0 ax b 0 - nierówności nieostre
Gdzie a i b są dowolnymi liczbami, przy czym a 0 .
Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba, która ją spełnia, to
znaczy taka liczba, która po podstawieniu w miejsce niewiadomej
daje nierówność prawdziwą. Na przykład zbiorem rozwiązań
nierówności 2x>6 jest zbiór liczb większych od.3
Rozwiązaniem nierówności 3x-2<3(x-1)+1 jest zbiór wszystkich
liczb, gdyż wstawiając w miejsce niewiadomej, po lewej i prawej
stronie nierówności, dowolną liczbę zawsze otrzymujemy
nierówność prawdziwą. Jest to nierówność tożsamościowa.
Żadna liczba nie spełnia nierówności x-3>x+5, bo wstawiając w
miejsce niewiadomej do lewej i prawej stronie dowolną liczbę
zawsze otrzymamy nierówność sprzeczną.
Mówimy, że dwie nierówności są równoważne, jeśli maja taki
sam zbiór rozwiązań.
Nierówność możemy przekształcić w nierówność
równoważną, jeśli:
- do obu stron nierówności dodamy (odejmiemy) tę samą
liczbę lub to samo wyrażenie algebraiczne, np.
x>9 | -2
x>9 | +3x-6
x-2>7
4x-6>3x+3
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę dodatnią, np.. Nierówności x>9 jest równoważna
nierówność 3x<27.
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę ujemną i zmienimy znak nierówności na przeciwny,
np. nierówności x>9 jest równoważna nierówność -3x<-27
Rozwiązując nierówność, postępujemy podobnie
jak podczas rozwiązywania równań.
Przekształcamy ją w nierówność równoważną,
tak aby po jednej stronie nierówności zostały
tylko niewiadome, a po drugiej stronie - liczba.
Chcąc opisać zbiór liczb większych lub równych od pewnej
liczby, a jednocześnie mniejszej od innej, np.
x 8
x 5
Możemy go zapisać za pomocą nierówności podwójnej:
5 x 8
Tę podwójną nierówność przedstawia na osi odcinek.
Równaniami liniowymi z dwiema niewiadomymi
są na przykład równania:
2x y 1
Chcąc znaleźć parę
liczb spełniających
dane równanie,
przyjmujemy za x
dowolną wartość i
obliczamy
odpowiadająca mu
wartość y.
2x 3 y 1
2 5 x 3 y 1 4 x 2 y 3
Można je doprowadzić do postaci: ax+by=c, gdzie
x i y są niewiadomymi, a, b, c są współczynnikami
liczbowymi, przy czym a 0 lub b 0 .
Równania: ax+by=c możemy przedstawić w
postaci równania: y a x c
.
b
b
Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi można
przedstawić graficznie w układzie współrzędnych.
Prosta o równaniu ax+by=c otrzymujemy, wybierając dwa
różne punkty, które spełniają to równanie, w więc leżą a tej
prostej. Punkty staramy się wybrać tak, aby można je było łatwo
zaznaczyć (najlepiej, gdy współrzędne punktów są liczbami
całkowitymi).
Nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi mogą
mieć postać:
ax by c ax by c
(nierówności ostre)
ax by c ax by c (nierówności nieostre)
Gdzie a, b, c są ustalonymi liczbami rzeczywistymi
a 0 , b 0 .
Każda nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
opisuje półpłaszczyznę wyznaczoną przez prostą
ax+by=c (bez tej prostej, gdy nierówność jest ostra, wraz
z tą prostą, gdy nierówność jest nieostra).
Dwa równania liniowe z dwiema niewiadomymi tworzą układ dwóch równań
liniowych z dwiema niewiadomymi.
Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest
każda para liczb spełniająca jednocześnie oba równania układu.
Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi może mieć:
-Dokładnie jedno rozwiązanie, gdy tylko jedna para liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ oznaczony.
-Nieskończenie wiele, wtedy nieskończenie wiele par liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ nieoznaczony.
- żadna para nie spełnia obu równań jednocześnie – wtedy jest to układ sprzeczny.
Mówimy, że dwa układy równań są równoważne, jeśli mają ten sam zbiór rozwiązań.
Układy równoważne możemy otrzymać:
-Dodając do obu stron (lub odejmując od obu stron) któregokolwiek równania tę samą
liczbę lub wyrażenie algebraiczne,
-Mnożąc (lub dzieląc) obie strony któregokolwiek równania przez tę sama liczbę lub
wyrażenie algebraiczne różne od zera,
-Dodając (lub odejmując stronami) oba równania.
Układ równań liniowych z dwoma niewiadomymi możemy rozwiązać metodą graficzną i
metodami algebraicznymi.
METODA GRAFICZNA
-Rysujemy wykres obu równań w jednym układnie współrzędnych,
- Odczytujemy współrzędne punktów należących do obu wykresów jednocześnie.
POŁOŻENIE
PROSTYCH W
UKŁADZIE
WSPÓŁRZĘDNYCH
Proste przecinają się
Proste pokrywają się
Proste są równoległe
PARY LICZB
SPEŁNIAJĄCYCH
UKŁAD RÓWNAŃ
Jedna para
Nieskończenie
wiele par
Zero par
NAZWA UKŁADU
oznaczony
nieoznaczony sprzeczny
METODA PODSTAWIANIA
-Z jednego równania układu wyznaczamy jedną ze zmiennych (x lub y)
-Wyznaczoną zmienną podstawiamy do drugiego równania. Zmienia się wtedy ono w równanie z jedną
niewiadomą.
- Z tego równania znajdujemy wartość niewiadomej. Obliczoną wartość wstawiamy do poprzedniego
równania i znajdujemy wartość drugiej zmiennej.
METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW
Rozwiązując układ równań ta metodą, budujemy dwa równoważne układy równań takie, że w jednym są
przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, a w drugim przy niewidomej y.
W każdym układzie, po dodaniu równań stronami, eliminujemy jedną zmienną.
Otrzymujemy dwa równania, każde z jedną niewiadomą, zamiast dwóch układów równań.
Rozwiązując każde z nich, otrzymujemy rozwiązanie danego układy równań.
METODA MIESZANA
Polega na wyznaczeniu jednej zmiennej za pomocą metody przeciwnych współczynników, a drugiej za
pomocą metody podstawiania.
-W układzie równań przekształcamy oba równania, mnożąc je przez takie liczby, aby przy tej samej
zmiennej w obu równaniach otrzymać przeciwne współczynniki.
-Dodajemy równania stronami, eliminując niewiadomą, przy której są przeciwne współczynniki.
Otrzymujemy równanie z jedna niewiadoma.
-Wyliczamy wartość tej niewiadomej.
-Obliczona wartość podstawiamy w miejsce niewiadomej do dowolnego równania w układzie, po czym
znajdujemy wartość drugiej niewiadomej.
Koniec części II
Slide 4
II. Równania, nierówności, układy równań
Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem
równości (=), w których występuje jedna lub więcej
niewiadomych, nazywamy równaniem.
Równania mogą zawierać:
-Jedną niewiadomą, np.
3x 2 1 x
x x 0
2
-Dwie niewiadome, np.
2
x y 10
3x y 6
- Większą liczbę niewiadomych, np.
x y z t 7 x 5 z 10
Jeśli w równaniu występuje tylko jedna niewiadoma i jest ona w pierwszej
potędze, to takie równanie nazywamy równaniem liniowym z jedną niewiadomą
lub równaniem stopnia pierwszego z jedną niewiadomą, np.
4 z 3 15
x
1
4
x
1
x 38
3
Można je zawsze doprowadzić do postaci: ax+c=0 ( a 0 ).
Rozwiązaniem równania pierwszego stopnia z jedna niewiadomą jest liczba,
która postawiona w miejsce niewiadomej zmienia równanie w równość
prawdziwą.
Jeśli jakaś liczba jest rozwiązaniem równania, to często mówimy, że liczba ta
spełnia to równanie.
Równania, które mają ten sam zbiór rozwiązań, nazywamy równaniami
równoważnymi, np. -3x+2=8 i 4x+8=0. Oba równania spełnia tylko liczba -2.
Równania równoważne do danego otrzymamy:
- Dodając lub odejmując taką samą liczbę (lub wyrażenie algebraiczne) do obu stron
równania,
-mnożąc lub dzieląc obie strony równania przez te samą liczbę różna od zera
Równanie, które nie ma rozwiązanie, nazywamy równaniem sprzecznym.
Takim równaniem jest na przykład x+5=x. Jakąkolwiek liczbę podstawimy w miejsce
niewiadomej, to zawsze lewa strona powstałej równości nie będzie równa stronie prawej.
Równanie, które jest spełnione dla każdej liczby, nazywamy równaniem
tożsamościowym.
Przykładem takiego równanie jest równanie 2(x-2)=2x-4.
Przekształcając je, otrzymujemy: 2x-4=2x-4. Jakąkolwiek liczbę wstawimy w miejsce
niewiadomej, zawsze po lewej stronie równania otrzymamy taka samą wartość jak po
prawej.
RÓWNANIE PIERWSZEGO STOPNIA Z JEDNA
NIEWIADOMĄ
NAZWA
LICZBA
PRZYKŁAD
ROZWIĄZANIE
ROZWIĄZAŃ
Oznaczone
Jedno
3x-2=2x-4
Sprzeczne
Zero
3(x+1)=3x+5
Tożsamość
Nieskończenie
wiele
4(x-1)+2(x-2)+2x
x=-2
Brak rozwiązań
Każda liczba
rzeczywista
Nierównością liniową z jedną niewiadomą nazywamy wyrażenia,
które można przedstawić w postaci:
ax b 0 ax b 0 - nierówności ostre
ax b 0 ax b 0 - nierówności nieostre
Gdzie a i b są dowolnymi liczbami, przy czym a 0 .
Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba, która ją spełnia, to
znaczy taka liczba, która po podstawieniu w miejsce niewiadomej
daje nierówność prawdziwą. Na przykład zbiorem rozwiązań
nierówności 2x>6 jest zbiór liczb większych od.3
Rozwiązaniem nierówności 3x-2<3(x-1)+1 jest zbiór wszystkich
liczb, gdyż wstawiając w miejsce niewiadomej, po lewej i prawej
stronie nierówności, dowolną liczbę zawsze otrzymujemy
nierówność prawdziwą. Jest to nierówność tożsamościowa.
Żadna liczba nie spełnia nierówności x-3>x+5, bo wstawiając w
miejsce niewiadomej do lewej i prawej stronie dowolną liczbę
zawsze otrzymamy nierówność sprzeczną.
Mówimy, że dwie nierówności są równoważne, jeśli maja taki
sam zbiór rozwiązań.
Nierówność możemy przekształcić w nierówność
równoważną, jeśli:
- do obu stron nierówności dodamy (odejmiemy) tę samą
liczbę lub to samo wyrażenie algebraiczne, np.
x>9 | -2
x>9 | +3x-6
x-2>7
4x-6>3x+3
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę dodatnią, np.. Nierówności x>9 jest równoważna
nierówność 3x<27.
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę ujemną i zmienimy znak nierówności na przeciwny,
np. nierówności x>9 jest równoważna nierówność -3x<-27
Rozwiązując nierówność, postępujemy podobnie
jak podczas rozwiązywania równań.
Przekształcamy ją w nierówność równoważną,
tak aby po jednej stronie nierówności zostały
tylko niewiadome, a po drugiej stronie - liczba.
Chcąc opisać zbiór liczb większych lub równych od pewnej
liczby, a jednocześnie mniejszej od innej, np.
x 8
x 5
Możemy go zapisać za pomocą nierówności podwójnej:
5 x 8
Tę podwójną nierówność przedstawia na osi odcinek.
Równaniami liniowymi z dwiema niewiadomymi
są na przykład równania:
2x y 1
Chcąc znaleźć parę
liczb spełniających
dane równanie,
przyjmujemy za x
dowolną wartość i
obliczamy
odpowiadająca mu
wartość y.
2x 3 y 1
2 5 x 3 y 1 4 x 2 y 3
Można je doprowadzić do postaci: ax+by=c, gdzie
x i y są niewiadomymi, a, b, c są współczynnikami
liczbowymi, przy czym a 0 lub b 0 .
Równania: ax+by=c możemy przedstawić w
postaci równania: y a x c
.
b
b
Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi można
przedstawić graficznie w układzie współrzędnych.
Prosta o równaniu ax+by=c otrzymujemy, wybierając dwa
różne punkty, które spełniają to równanie, w więc leżą a tej
prostej. Punkty staramy się wybrać tak, aby można je było łatwo
zaznaczyć (najlepiej, gdy współrzędne punktów są liczbami
całkowitymi).
Nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi mogą
mieć postać:
ax by c ax by c
(nierówności ostre)
ax by c ax by c (nierówności nieostre)
Gdzie a, b, c są ustalonymi liczbami rzeczywistymi
a 0 , b 0 .
Każda nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
opisuje półpłaszczyznę wyznaczoną przez prostą
ax+by=c (bez tej prostej, gdy nierówność jest ostra, wraz
z tą prostą, gdy nierówność jest nieostra).
Dwa równania liniowe z dwiema niewiadomymi tworzą układ dwóch równań
liniowych z dwiema niewiadomymi.
Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest
każda para liczb spełniająca jednocześnie oba równania układu.
Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi może mieć:
-Dokładnie jedno rozwiązanie, gdy tylko jedna para liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ oznaczony.
-Nieskończenie wiele, wtedy nieskończenie wiele par liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ nieoznaczony.
- żadna para nie spełnia obu równań jednocześnie – wtedy jest to układ sprzeczny.
Mówimy, że dwa układy równań są równoważne, jeśli mają ten sam zbiór rozwiązań.
Układy równoważne możemy otrzymać:
-Dodając do obu stron (lub odejmując od obu stron) któregokolwiek równania tę samą
liczbę lub wyrażenie algebraiczne,
-Mnożąc (lub dzieląc) obie strony któregokolwiek równania przez tę sama liczbę lub
wyrażenie algebraiczne różne od zera,
-Dodając (lub odejmując stronami) oba równania.
Układ równań liniowych z dwoma niewiadomymi możemy rozwiązać metodą graficzną i
metodami algebraicznymi.
METODA GRAFICZNA
-Rysujemy wykres obu równań w jednym układnie współrzędnych,
- Odczytujemy współrzędne punktów należących do obu wykresów jednocześnie.
POŁOŻENIE
PROSTYCH W
UKŁADZIE
WSPÓŁRZĘDNYCH
Proste przecinają się
Proste pokrywają się
Proste są równoległe
PARY LICZB
SPEŁNIAJĄCYCH
UKŁAD RÓWNAŃ
Jedna para
Nieskończenie
wiele par
Zero par
NAZWA UKŁADU
oznaczony
nieoznaczony sprzeczny
METODA PODSTAWIANIA
-Z jednego równania układu wyznaczamy jedną ze zmiennych (x lub y)
-Wyznaczoną zmienną podstawiamy do drugiego równania. Zmienia się wtedy ono w równanie z jedną
niewiadomą.
- Z tego równania znajdujemy wartość niewiadomej. Obliczoną wartość wstawiamy do poprzedniego
równania i znajdujemy wartość drugiej zmiennej.
METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW
Rozwiązując układ równań ta metodą, budujemy dwa równoważne układy równań takie, że w jednym są
przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, a w drugim przy niewidomej y.
W każdym układzie, po dodaniu równań stronami, eliminujemy jedną zmienną.
Otrzymujemy dwa równania, każde z jedną niewiadomą, zamiast dwóch układów równań.
Rozwiązując każde z nich, otrzymujemy rozwiązanie danego układy równań.
METODA MIESZANA
Polega na wyznaczeniu jednej zmiennej za pomocą metody przeciwnych współczynników, a drugiej za
pomocą metody podstawiania.
-W układzie równań przekształcamy oba równania, mnożąc je przez takie liczby, aby przy tej samej
zmiennej w obu równaniach otrzymać przeciwne współczynniki.
-Dodajemy równania stronami, eliminując niewiadomą, przy której są przeciwne współczynniki.
Otrzymujemy równanie z jedna niewiadoma.
-Wyliczamy wartość tej niewiadomej.
-Obliczona wartość podstawiamy w miejsce niewiadomej do dowolnego równania w układzie, po czym
znajdujemy wartość drugiej niewiadomej.
Koniec części II
Slide 5
II. Równania, nierówności, układy równań
Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem
równości (=), w których występuje jedna lub więcej
niewiadomych, nazywamy równaniem.
Równania mogą zawierać:
-Jedną niewiadomą, np.
3x 2 1 x
x x 0
2
-Dwie niewiadome, np.
2
x y 10
3x y 6
- Większą liczbę niewiadomych, np.
x y z t 7 x 5 z 10
Jeśli w równaniu występuje tylko jedna niewiadoma i jest ona w pierwszej
potędze, to takie równanie nazywamy równaniem liniowym z jedną niewiadomą
lub równaniem stopnia pierwszego z jedną niewiadomą, np.
4 z 3 15
x
1
4
x
1
x 38
3
Można je zawsze doprowadzić do postaci: ax+c=0 ( a 0 ).
Rozwiązaniem równania pierwszego stopnia z jedna niewiadomą jest liczba,
która postawiona w miejsce niewiadomej zmienia równanie w równość
prawdziwą.
Jeśli jakaś liczba jest rozwiązaniem równania, to często mówimy, że liczba ta
spełnia to równanie.
Równania, które mają ten sam zbiór rozwiązań, nazywamy równaniami
równoważnymi, np. -3x+2=8 i 4x+8=0. Oba równania spełnia tylko liczba -2.
Równania równoważne do danego otrzymamy:
- Dodając lub odejmując taką samą liczbę (lub wyrażenie algebraiczne) do obu stron
równania,
-mnożąc lub dzieląc obie strony równania przez te samą liczbę różna od zera
Równanie, które nie ma rozwiązanie, nazywamy równaniem sprzecznym.
Takim równaniem jest na przykład x+5=x. Jakąkolwiek liczbę podstawimy w miejsce
niewiadomej, to zawsze lewa strona powstałej równości nie będzie równa stronie prawej.
Równanie, które jest spełnione dla każdej liczby, nazywamy równaniem
tożsamościowym.
Przykładem takiego równanie jest równanie 2(x-2)=2x-4.
Przekształcając je, otrzymujemy: 2x-4=2x-4. Jakąkolwiek liczbę wstawimy w miejsce
niewiadomej, zawsze po lewej stronie równania otrzymamy taka samą wartość jak po
prawej.
RÓWNANIE PIERWSZEGO STOPNIA Z JEDNA
NIEWIADOMĄ
NAZWA
LICZBA
PRZYKŁAD
ROZWIĄZANIE
ROZWIĄZAŃ
Oznaczone
Jedno
3x-2=2x-4
Sprzeczne
Zero
3(x+1)=3x+5
Tożsamość
Nieskończenie
wiele
4(x-1)+2(x-2)+2x
x=-2
Brak rozwiązań
Każda liczba
rzeczywista
Nierównością liniową z jedną niewiadomą nazywamy wyrażenia,
które można przedstawić w postaci:
ax b 0 ax b 0 - nierówności ostre
ax b 0 ax b 0 - nierówności nieostre
Gdzie a i b są dowolnymi liczbami, przy czym a 0 .
Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba, która ją spełnia, to
znaczy taka liczba, która po podstawieniu w miejsce niewiadomej
daje nierówność prawdziwą. Na przykład zbiorem rozwiązań
nierówności 2x>6 jest zbiór liczb większych od.3
Rozwiązaniem nierówności 3x-2<3(x-1)+1 jest zbiór wszystkich
liczb, gdyż wstawiając w miejsce niewiadomej, po lewej i prawej
stronie nierówności, dowolną liczbę zawsze otrzymujemy
nierówność prawdziwą. Jest to nierówność tożsamościowa.
Żadna liczba nie spełnia nierówności x-3>x+5, bo wstawiając w
miejsce niewiadomej do lewej i prawej stronie dowolną liczbę
zawsze otrzymamy nierówność sprzeczną.
Mówimy, że dwie nierówności są równoważne, jeśli maja taki
sam zbiór rozwiązań.
Nierówność możemy przekształcić w nierówność
równoważną, jeśli:
- do obu stron nierówności dodamy (odejmiemy) tę samą
liczbę lub to samo wyrażenie algebraiczne, np.
x>9 | -2
x>9 | +3x-6
x-2>7
4x-6>3x+3
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę dodatnią, np.. Nierówności x>9 jest równoważna
nierówność 3x<27.
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę ujemną i zmienimy znak nierówności na przeciwny,
np. nierówności x>9 jest równoważna nierówność -3x<-27
Rozwiązując nierówność, postępujemy podobnie
jak podczas rozwiązywania równań.
Przekształcamy ją w nierówność równoważną,
tak aby po jednej stronie nierówności zostały
tylko niewiadome, a po drugiej stronie - liczba.
Chcąc opisać zbiór liczb większych lub równych od pewnej
liczby, a jednocześnie mniejszej od innej, np.
x 8
x 5
Możemy go zapisać za pomocą nierówności podwójnej:
5 x 8
Tę podwójną nierówność przedstawia na osi odcinek.
Równaniami liniowymi z dwiema niewiadomymi
są na przykład równania:
2x y 1
Chcąc znaleźć parę
liczb spełniających
dane równanie,
przyjmujemy za x
dowolną wartość i
obliczamy
odpowiadająca mu
wartość y.
2x 3 y 1
2 5 x 3 y 1 4 x 2 y 3
Można je doprowadzić do postaci: ax+by=c, gdzie
x i y są niewiadomymi, a, b, c są współczynnikami
liczbowymi, przy czym a 0 lub b 0 .
Równania: ax+by=c możemy przedstawić w
postaci równania: y a x c
.
b
b
Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi można
przedstawić graficznie w układzie współrzędnych.
Prosta o równaniu ax+by=c otrzymujemy, wybierając dwa
różne punkty, które spełniają to równanie, w więc leżą a tej
prostej. Punkty staramy się wybrać tak, aby można je było łatwo
zaznaczyć (najlepiej, gdy współrzędne punktów są liczbami
całkowitymi).
Nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi mogą
mieć postać:
ax by c ax by c
(nierówności ostre)
ax by c ax by c (nierówności nieostre)
Gdzie a, b, c są ustalonymi liczbami rzeczywistymi
a 0 , b 0 .
Każda nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
opisuje półpłaszczyznę wyznaczoną przez prostą
ax+by=c (bez tej prostej, gdy nierówność jest ostra, wraz
z tą prostą, gdy nierówność jest nieostra).
Dwa równania liniowe z dwiema niewiadomymi tworzą układ dwóch równań
liniowych z dwiema niewiadomymi.
Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest
każda para liczb spełniająca jednocześnie oba równania układu.
Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi może mieć:
-Dokładnie jedno rozwiązanie, gdy tylko jedna para liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ oznaczony.
-Nieskończenie wiele, wtedy nieskończenie wiele par liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ nieoznaczony.
- żadna para nie spełnia obu równań jednocześnie – wtedy jest to układ sprzeczny.
Mówimy, że dwa układy równań są równoważne, jeśli mają ten sam zbiór rozwiązań.
Układy równoważne możemy otrzymać:
-Dodając do obu stron (lub odejmując od obu stron) któregokolwiek równania tę samą
liczbę lub wyrażenie algebraiczne,
-Mnożąc (lub dzieląc) obie strony któregokolwiek równania przez tę sama liczbę lub
wyrażenie algebraiczne różne od zera,
-Dodając (lub odejmując stronami) oba równania.
Układ równań liniowych z dwoma niewiadomymi możemy rozwiązać metodą graficzną i
metodami algebraicznymi.
METODA GRAFICZNA
-Rysujemy wykres obu równań w jednym układnie współrzędnych,
- Odczytujemy współrzędne punktów należących do obu wykresów jednocześnie.
POŁOŻENIE
PROSTYCH W
UKŁADZIE
WSPÓŁRZĘDNYCH
Proste przecinają się
Proste pokrywają się
Proste są równoległe
PARY LICZB
SPEŁNIAJĄCYCH
UKŁAD RÓWNAŃ
Jedna para
Nieskończenie
wiele par
Zero par
NAZWA UKŁADU
oznaczony
nieoznaczony sprzeczny
METODA PODSTAWIANIA
-Z jednego równania układu wyznaczamy jedną ze zmiennych (x lub y)
-Wyznaczoną zmienną podstawiamy do drugiego równania. Zmienia się wtedy ono w równanie z jedną
niewiadomą.
- Z tego równania znajdujemy wartość niewiadomej. Obliczoną wartość wstawiamy do poprzedniego
równania i znajdujemy wartość drugiej zmiennej.
METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW
Rozwiązując układ równań ta metodą, budujemy dwa równoważne układy równań takie, że w jednym są
przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, a w drugim przy niewidomej y.
W każdym układzie, po dodaniu równań stronami, eliminujemy jedną zmienną.
Otrzymujemy dwa równania, każde z jedną niewiadomą, zamiast dwóch układów równań.
Rozwiązując każde z nich, otrzymujemy rozwiązanie danego układy równań.
METODA MIESZANA
Polega na wyznaczeniu jednej zmiennej za pomocą metody przeciwnych współczynników, a drugiej za
pomocą metody podstawiania.
-W układzie równań przekształcamy oba równania, mnożąc je przez takie liczby, aby przy tej samej
zmiennej w obu równaniach otrzymać przeciwne współczynniki.
-Dodajemy równania stronami, eliminując niewiadomą, przy której są przeciwne współczynniki.
Otrzymujemy równanie z jedna niewiadoma.
-Wyliczamy wartość tej niewiadomej.
-Obliczona wartość podstawiamy w miejsce niewiadomej do dowolnego równania w układzie, po czym
znajdujemy wartość drugiej niewiadomej.
Koniec części II
Slide 6
II. Równania, nierówności, układy równań
Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem
równości (=), w których występuje jedna lub więcej
niewiadomych, nazywamy równaniem.
Równania mogą zawierać:
-Jedną niewiadomą, np.
3x 2 1 x
x x 0
2
-Dwie niewiadome, np.
2
x y 10
3x y 6
- Większą liczbę niewiadomych, np.
x y z t 7 x 5 z 10
Jeśli w równaniu występuje tylko jedna niewiadoma i jest ona w pierwszej
potędze, to takie równanie nazywamy równaniem liniowym z jedną niewiadomą
lub równaniem stopnia pierwszego z jedną niewiadomą, np.
4 z 3 15
x
1
4
x
1
x 38
3
Można je zawsze doprowadzić do postaci: ax+c=0 ( a 0 ).
Rozwiązaniem równania pierwszego stopnia z jedna niewiadomą jest liczba,
która postawiona w miejsce niewiadomej zmienia równanie w równość
prawdziwą.
Jeśli jakaś liczba jest rozwiązaniem równania, to często mówimy, że liczba ta
spełnia to równanie.
Równania, które mają ten sam zbiór rozwiązań, nazywamy równaniami
równoważnymi, np. -3x+2=8 i 4x+8=0. Oba równania spełnia tylko liczba -2.
Równania równoważne do danego otrzymamy:
- Dodając lub odejmując taką samą liczbę (lub wyrażenie algebraiczne) do obu stron
równania,
-mnożąc lub dzieląc obie strony równania przez te samą liczbę różna od zera
Równanie, które nie ma rozwiązanie, nazywamy równaniem sprzecznym.
Takim równaniem jest na przykład x+5=x. Jakąkolwiek liczbę podstawimy w miejsce
niewiadomej, to zawsze lewa strona powstałej równości nie będzie równa stronie prawej.
Równanie, które jest spełnione dla każdej liczby, nazywamy równaniem
tożsamościowym.
Przykładem takiego równanie jest równanie 2(x-2)=2x-4.
Przekształcając je, otrzymujemy: 2x-4=2x-4. Jakąkolwiek liczbę wstawimy w miejsce
niewiadomej, zawsze po lewej stronie równania otrzymamy taka samą wartość jak po
prawej.
RÓWNANIE PIERWSZEGO STOPNIA Z JEDNA
NIEWIADOMĄ
NAZWA
LICZBA
PRZYKŁAD
ROZWIĄZANIE
ROZWIĄZAŃ
Oznaczone
Jedno
3x-2=2x-4
Sprzeczne
Zero
3(x+1)=3x+5
Tożsamość
Nieskończenie
wiele
4(x-1)+2(x-2)+2x
x=-2
Brak rozwiązań
Każda liczba
rzeczywista
Nierównością liniową z jedną niewiadomą nazywamy wyrażenia,
które można przedstawić w postaci:
ax b 0 ax b 0 - nierówności ostre
ax b 0 ax b 0 - nierówności nieostre
Gdzie a i b są dowolnymi liczbami, przy czym a 0 .
Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba, która ją spełnia, to
znaczy taka liczba, która po podstawieniu w miejsce niewiadomej
daje nierówność prawdziwą. Na przykład zbiorem rozwiązań
nierówności 2x>6 jest zbiór liczb większych od.3
Rozwiązaniem nierówności 3x-2<3(x-1)+1 jest zbiór wszystkich
liczb, gdyż wstawiając w miejsce niewiadomej, po lewej i prawej
stronie nierówności, dowolną liczbę zawsze otrzymujemy
nierówność prawdziwą. Jest to nierówność tożsamościowa.
Żadna liczba nie spełnia nierówności x-3>x+5, bo wstawiając w
miejsce niewiadomej do lewej i prawej stronie dowolną liczbę
zawsze otrzymamy nierówność sprzeczną.
Mówimy, że dwie nierówności są równoważne, jeśli maja taki
sam zbiór rozwiązań.
Nierówność możemy przekształcić w nierówność
równoważną, jeśli:
- do obu stron nierówności dodamy (odejmiemy) tę samą
liczbę lub to samo wyrażenie algebraiczne, np.
x>9 | -2
x>9 | +3x-6
x-2>7
4x-6>3x+3
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę dodatnią, np.. Nierówności x>9 jest równoważna
nierówność 3x<27.
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę ujemną i zmienimy znak nierówności na przeciwny,
np. nierówności x>9 jest równoważna nierówność -3x<-27
Rozwiązując nierówność, postępujemy podobnie
jak podczas rozwiązywania równań.
Przekształcamy ją w nierówność równoważną,
tak aby po jednej stronie nierówności zostały
tylko niewiadome, a po drugiej stronie - liczba.
Chcąc opisać zbiór liczb większych lub równych od pewnej
liczby, a jednocześnie mniejszej od innej, np.
x 8
x 5
Możemy go zapisać za pomocą nierówności podwójnej:
5 x 8
Tę podwójną nierówność przedstawia na osi odcinek.
Równaniami liniowymi z dwiema niewiadomymi
są na przykład równania:
2x y 1
Chcąc znaleźć parę
liczb spełniających
dane równanie,
przyjmujemy za x
dowolną wartość i
obliczamy
odpowiadająca mu
wartość y.
2x 3 y 1
2 5 x 3 y 1 4 x 2 y 3
Można je doprowadzić do postaci: ax+by=c, gdzie
x i y są niewiadomymi, a, b, c są współczynnikami
liczbowymi, przy czym a 0 lub b 0 .
Równania: ax+by=c możemy przedstawić w
postaci równania: y a x c
.
b
b
Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi można
przedstawić graficznie w układzie współrzędnych.
Prosta o równaniu ax+by=c otrzymujemy, wybierając dwa
różne punkty, które spełniają to równanie, w więc leżą a tej
prostej. Punkty staramy się wybrać tak, aby można je było łatwo
zaznaczyć (najlepiej, gdy współrzędne punktów są liczbami
całkowitymi).
Nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi mogą
mieć postać:
ax by c ax by c
(nierówności ostre)
ax by c ax by c (nierówności nieostre)
Gdzie a, b, c są ustalonymi liczbami rzeczywistymi
a 0 , b 0 .
Każda nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
opisuje półpłaszczyznę wyznaczoną przez prostą
ax+by=c (bez tej prostej, gdy nierówność jest ostra, wraz
z tą prostą, gdy nierówność jest nieostra).
Dwa równania liniowe z dwiema niewiadomymi tworzą układ dwóch równań
liniowych z dwiema niewiadomymi.
Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest
każda para liczb spełniająca jednocześnie oba równania układu.
Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi może mieć:
-Dokładnie jedno rozwiązanie, gdy tylko jedna para liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ oznaczony.
-Nieskończenie wiele, wtedy nieskończenie wiele par liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ nieoznaczony.
- żadna para nie spełnia obu równań jednocześnie – wtedy jest to układ sprzeczny.
Mówimy, że dwa układy równań są równoważne, jeśli mają ten sam zbiór rozwiązań.
Układy równoważne możemy otrzymać:
-Dodając do obu stron (lub odejmując od obu stron) któregokolwiek równania tę samą
liczbę lub wyrażenie algebraiczne,
-Mnożąc (lub dzieląc) obie strony któregokolwiek równania przez tę sama liczbę lub
wyrażenie algebraiczne różne od zera,
-Dodając (lub odejmując stronami) oba równania.
Układ równań liniowych z dwoma niewiadomymi możemy rozwiązać metodą graficzną i
metodami algebraicznymi.
METODA GRAFICZNA
-Rysujemy wykres obu równań w jednym układnie współrzędnych,
- Odczytujemy współrzędne punktów należących do obu wykresów jednocześnie.
POŁOŻENIE
PROSTYCH W
UKŁADZIE
WSPÓŁRZĘDNYCH
Proste przecinają się
Proste pokrywają się
Proste są równoległe
PARY LICZB
SPEŁNIAJĄCYCH
UKŁAD RÓWNAŃ
Jedna para
Nieskończenie
wiele par
Zero par
NAZWA UKŁADU
oznaczony
nieoznaczony sprzeczny
METODA PODSTAWIANIA
-Z jednego równania układu wyznaczamy jedną ze zmiennych (x lub y)
-Wyznaczoną zmienną podstawiamy do drugiego równania. Zmienia się wtedy ono w równanie z jedną
niewiadomą.
- Z tego równania znajdujemy wartość niewiadomej. Obliczoną wartość wstawiamy do poprzedniego
równania i znajdujemy wartość drugiej zmiennej.
METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW
Rozwiązując układ równań ta metodą, budujemy dwa równoważne układy równań takie, że w jednym są
przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, a w drugim przy niewidomej y.
W każdym układzie, po dodaniu równań stronami, eliminujemy jedną zmienną.
Otrzymujemy dwa równania, każde z jedną niewiadomą, zamiast dwóch układów równań.
Rozwiązując każde z nich, otrzymujemy rozwiązanie danego układy równań.
METODA MIESZANA
Polega na wyznaczeniu jednej zmiennej za pomocą metody przeciwnych współczynników, a drugiej za
pomocą metody podstawiania.
-W układzie równań przekształcamy oba równania, mnożąc je przez takie liczby, aby przy tej samej
zmiennej w obu równaniach otrzymać przeciwne współczynniki.
-Dodajemy równania stronami, eliminując niewiadomą, przy której są przeciwne współczynniki.
Otrzymujemy równanie z jedna niewiadoma.
-Wyliczamy wartość tej niewiadomej.
-Obliczona wartość podstawiamy w miejsce niewiadomej do dowolnego równania w układzie, po czym
znajdujemy wartość drugiej niewiadomej.
Koniec części II
Slide 7
II. Równania, nierówności, układy równań
Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem
równości (=), w których występuje jedna lub więcej
niewiadomych, nazywamy równaniem.
Równania mogą zawierać:
-Jedną niewiadomą, np.
3x 2 1 x
x x 0
2
-Dwie niewiadome, np.
2
x y 10
3x y 6
- Większą liczbę niewiadomych, np.
x y z t 7 x 5 z 10
Jeśli w równaniu występuje tylko jedna niewiadoma i jest ona w pierwszej
potędze, to takie równanie nazywamy równaniem liniowym z jedną niewiadomą
lub równaniem stopnia pierwszego z jedną niewiadomą, np.
4 z 3 15
x
1
4
x
1
x 38
3
Można je zawsze doprowadzić do postaci: ax+c=0 ( a 0 ).
Rozwiązaniem równania pierwszego stopnia z jedna niewiadomą jest liczba,
która postawiona w miejsce niewiadomej zmienia równanie w równość
prawdziwą.
Jeśli jakaś liczba jest rozwiązaniem równania, to często mówimy, że liczba ta
spełnia to równanie.
Równania, które mają ten sam zbiór rozwiązań, nazywamy równaniami
równoważnymi, np. -3x+2=8 i 4x+8=0. Oba równania spełnia tylko liczba -2.
Równania równoważne do danego otrzymamy:
- Dodając lub odejmując taką samą liczbę (lub wyrażenie algebraiczne) do obu stron
równania,
-mnożąc lub dzieląc obie strony równania przez te samą liczbę różna od zera
Równanie, które nie ma rozwiązanie, nazywamy równaniem sprzecznym.
Takim równaniem jest na przykład x+5=x. Jakąkolwiek liczbę podstawimy w miejsce
niewiadomej, to zawsze lewa strona powstałej równości nie będzie równa stronie prawej.
Równanie, które jest spełnione dla każdej liczby, nazywamy równaniem
tożsamościowym.
Przykładem takiego równanie jest równanie 2(x-2)=2x-4.
Przekształcając je, otrzymujemy: 2x-4=2x-4. Jakąkolwiek liczbę wstawimy w miejsce
niewiadomej, zawsze po lewej stronie równania otrzymamy taka samą wartość jak po
prawej.
RÓWNANIE PIERWSZEGO STOPNIA Z JEDNA
NIEWIADOMĄ
NAZWA
LICZBA
PRZYKŁAD
ROZWIĄZANIE
ROZWIĄZAŃ
Oznaczone
Jedno
3x-2=2x-4
Sprzeczne
Zero
3(x+1)=3x+5
Tożsamość
Nieskończenie
wiele
4(x-1)+2(x-2)+2x
x=-2
Brak rozwiązań
Każda liczba
rzeczywista
Nierównością liniową z jedną niewiadomą nazywamy wyrażenia,
które można przedstawić w postaci:
ax b 0 ax b 0 - nierówności ostre
ax b 0 ax b 0 - nierówności nieostre
Gdzie a i b są dowolnymi liczbami, przy czym a 0 .
Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba, która ją spełnia, to
znaczy taka liczba, która po podstawieniu w miejsce niewiadomej
daje nierówność prawdziwą. Na przykład zbiorem rozwiązań
nierówności 2x>6 jest zbiór liczb większych od.3
Rozwiązaniem nierówności 3x-2<3(x-1)+1 jest zbiór wszystkich
liczb, gdyż wstawiając w miejsce niewiadomej, po lewej i prawej
stronie nierówności, dowolną liczbę zawsze otrzymujemy
nierówność prawdziwą. Jest to nierówność tożsamościowa.
Żadna liczba nie spełnia nierówności x-3>x+5, bo wstawiając w
miejsce niewiadomej do lewej i prawej stronie dowolną liczbę
zawsze otrzymamy nierówność sprzeczną.
Mówimy, że dwie nierówności są równoważne, jeśli maja taki
sam zbiór rozwiązań.
Nierówność możemy przekształcić w nierówność
równoważną, jeśli:
- do obu stron nierówności dodamy (odejmiemy) tę samą
liczbę lub to samo wyrażenie algebraiczne, np.
x>9 | -2
x>9 | +3x-6
x-2>7
4x-6>3x+3
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę dodatnią, np.. Nierówności x>9 jest równoważna
nierówność 3x<27.
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę ujemną i zmienimy znak nierówności na przeciwny,
np. nierówności x>9 jest równoważna nierówność -3x<-27
Rozwiązując nierówność, postępujemy podobnie
jak podczas rozwiązywania równań.
Przekształcamy ją w nierówność równoważną,
tak aby po jednej stronie nierówności zostały
tylko niewiadome, a po drugiej stronie - liczba.
Chcąc opisać zbiór liczb większych lub równych od pewnej
liczby, a jednocześnie mniejszej od innej, np.
x 8
x 5
Możemy go zapisać za pomocą nierówności podwójnej:
5 x 8
Tę podwójną nierówność przedstawia na osi odcinek.
Równaniami liniowymi z dwiema niewiadomymi
są na przykład równania:
2x y 1
Chcąc znaleźć parę
liczb spełniających
dane równanie,
przyjmujemy za x
dowolną wartość i
obliczamy
odpowiadająca mu
wartość y.
2x 3 y 1
2 5 x 3 y 1 4 x 2 y 3
Można je doprowadzić do postaci: ax+by=c, gdzie
x i y są niewiadomymi, a, b, c są współczynnikami
liczbowymi, przy czym a 0 lub b 0 .
Równania: ax+by=c możemy przedstawić w
postaci równania: y a x c
.
b
b
Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi można
przedstawić graficznie w układzie współrzędnych.
Prosta o równaniu ax+by=c otrzymujemy, wybierając dwa
różne punkty, które spełniają to równanie, w więc leżą a tej
prostej. Punkty staramy się wybrać tak, aby można je było łatwo
zaznaczyć (najlepiej, gdy współrzędne punktów są liczbami
całkowitymi).
Nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi mogą
mieć postać:
ax by c ax by c
(nierówności ostre)
ax by c ax by c (nierówności nieostre)
Gdzie a, b, c są ustalonymi liczbami rzeczywistymi
a 0 , b 0 .
Każda nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
opisuje półpłaszczyznę wyznaczoną przez prostą
ax+by=c (bez tej prostej, gdy nierówność jest ostra, wraz
z tą prostą, gdy nierówność jest nieostra).
Dwa równania liniowe z dwiema niewiadomymi tworzą układ dwóch równań
liniowych z dwiema niewiadomymi.
Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest
każda para liczb spełniająca jednocześnie oba równania układu.
Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi może mieć:
-Dokładnie jedno rozwiązanie, gdy tylko jedna para liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ oznaczony.
-Nieskończenie wiele, wtedy nieskończenie wiele par liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ nieoznaczony.
- żadna para nie spełnia obu równań jednocześnie – wtedy jest to układ sprzeczny.
Mówimy, że dwa układy równań są równoważne, jeśli mają ten sam zbiór rozwiązań.
Układy równoważne możemy otrzymać:
-Dodając do obu stron (lub odejmując od obu stron) któregokolwiek równania tę samą
liczbę lub wyrażenie algebraiczne,
-Mnożąc (lub dzieląc) obie strony któregokolwiek równania przez tę sama liczbę lub
wyrażenie algebraiczne różne od zera,
-Dodając (lub odejmując stronami) oba równania.
Układ równań liniowych z dwoma niewiadomymi możemy rozwiązać metodą graficzną i
metodami algebraicznymi.
METODA GRAFICZNA
-Rysujemy wykres obu równań w jednym układnie współrzędnych,
- Odczytujemy współrzędne punktów należących do obu wykresów jednocześnie.
POŁOŻENIE
PROSTYCH W
UKŁADZIE
WSPÓŁRZĘDNYCH
Proste przecinają się
Proste pokrywają się
Proste są równoległe
PARY LICZB
SPEŁNIAJĄCYCH
UKŁAD RÓWNAŃ
Jedna para
Nieskończenie
wiele par
Zero par
NAZWA UKŁADU
oznaczony
nieoznaczony sprzeczny
METODA PODSTAWIANIA
-Z jednego równania układu wyznaczamy jedną ze zmiennych (x lub y)
-Wyznaczoną zmienną podstawiamy do drugiego równania. Zmienia się wtedy ono w równanie z jedną
niewiadomą.
- Z tego równania znajdujemy wartość niewiadomej. Obliczoną wartość wstawiamy do poprzedniego
równania i znajdujemy wartość drugiej zmiennej.
METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW
Rozwiązując układ równań ta metodą, budujemy dwa równoważne układy równań takie, że w jednym są
przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, a w drugim przy niewidomej y.
W każdym układzie, po dodaniu równań stronami, eliminujemy jedną zmienną.
Otrzymujemy dwa równania, każde z jedną niewiadomą, zamiast dwóch układów równań.
Rozwiązując każde z nich, otrzymujemy rozwiązanie danego układy równań.
METODA MIESZANA
Polega na wyznaczeniu jednej zmiennej za pomocą metody przeciwnych współczynników, a drugiej za
pomocą metody podstawiania.
-W układzie równań przekształcamy oba równania, mnożąc je przez takie liczby, aby przy tej samej
zmiennej w obu równaniach otrzymać przeciwne współczynniki.
-Dodajemy równania stronami, eliminując niewiadomą, przy której są przeciwne współczynniki.
Otrzymujemy równanie z jedna niewiadoma.
-Wyliczamy wartość tej niewiadomej.
-Obliczona wartość podstawiamy w miejsce niewiadomej do dowolnego równania w układzie, po czym
znajdujemy wartość drugiej niewiadomej.
Koniec części II
Slide 8
II. Równania, nierówności, układy równań
Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem
równości (=), w których występuje jedna lub więcej
niewiadomych, nazywamy równaniem.
Równania mogą zawierać:
-Jedną niewiadomą, np.
3x 2 1 x
x x 0
2
-Dwie niewiadome, np.
2
x y 10
3x y 6
- Większą liczbę niewiadomych, np.
x y z t 7 x 5 z 10
Jeśli w równaniu występuje tylko jedna niewiadoma i jest ona w pierwszej
potędze, to takie równanie nazywamy równaniem liniowym z jedną niewiadomą
lub równaniem stopnia pierwszego z jedną niewiadomą, np.
4 z 3 15
x
1
4
x
1
x 38
3
Można je zawsze doprowadzić do postaci: ax+c=0 ( a 0 ).
Rozwiązaniem równania pierwszego stopnia z jedna niewiadomą jest liczba,
która postawiona w miejsce niewiadomej zmienia równanie w równość
prawdziwą.
Jeśli jakaś liczba jest rozwiązaniem równania, to często mówimy, że liczba ta
spełnia to równanie.
Równania, które mają ten sam zbiór rozwiązań, nazywamy równaniami
równoważnymi, np. -3x+2=8 i 4x+8=0. Oba równania spełnia tylko liczba -2.
Równania równoważne do danego otrzymamy:
- Dodając lub odejmując taką samą liczbę (lub wyrażenie algebraiczne) do obu stron
równania,
-mnożąc lub dzieląc obie strony równania przez te samą liczbę różna od zera
Równanie, które nie ma rozwiązanie, nazywamy równaniem sprzecznym.
Takim równaniem jest na przykład x+5=x. Jakąkolwiek liczbę podstawimy w miejsce
niewiadomej, to zawsze lewa strona powstałej równości nie będzie równa stronie prawej.
Równanie, które jest spełnione dla każdej liczby, nazywamy równaniem
tożsamościowym.
Przykładem takiego równanie jest równanie 2(x-2)=2x-4.
Przekształcając je, otrzymujemy: 2x-4=2x-4. Jakąkolwiek liczbę wstawimy w miejsce
niewiadomej, zawsze po lewej stronie równania otrzymamy taka samą wartość jak po
prawej.
RÓWNANIE PIERWSZEGO STOPNIA Z JEDNA
NIEWIADOMĄ
NAZWA
LICZBA
PRZYKŁAD
ROZWIĄZANIE
ROZWIĄZAŃ
Oznaczone
Jedno
3x-2=2x-4
Sprzeczne
Zero
3(x+1)=3x+5
Tożsamość
Nieskończenie
wiele
4(x-1)+2(x-2)+2x
x=-2
Brak rozwiązań
Każda liczba
rzeczywista
Nierównością liniową z jedną niewiadomą nazywamy wyrażenia,
które można przedstawić w postaci:
ax b 0 ax b 0 - nierówności ostre
ax b 0 ax b 0 - nierówności nieostre
Gdzie a i b są dowolnymi liczbami, przy czym a 0 .
Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba, która ją spełnia, to
znaczy taka liczba, która po podstawieniu w miejsce niewiadomej
daje nierówność prawdziwą. Na przykład zbiorem rozwiązań
nierówności 2x>6 jest zbiór liczb większych od.3
Rozwiązaniem nierówności 3x-2<3(x-1)+1 jest zbiór wszystkich
liczb, gdyż wstawiając w miejsce niewiadomej, po lewej i prawej
stronie nierówności, dowolną liczbę zawsze otrzymujemy
nierówność prawdziwą. Jest to nierówność tożsamościowa.
Żadna liczba nie spełnia nierówności x-3>x+5, bo wstawiając w
miejsce niewiadomej do lewej i prawej stronie dowolną liczbę
zawsze otrzymamy nierówność sprzeczną.
Mówimy, że dwie nierówności są równoważne, jeśli maja taki
sam zbiór rozwiązań.
Nierówność możemy przekształcić w nierówność
równoważną, jeśli:
- do obu stron nierówności dodamy (odejmiemy) tę samą
liczbę lub to samo wyrażenie algebraiczne, np.
x>9 | -2
x>9 | +3x-6
x-2>7
4x-6>3x+3
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę dodatnią, np.. Nierówności x>9 jest równoważna
nierówność 3x<27.
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę ujemną i zmienimy znak nierówności na przeciwny,
np. nierówności x>9 jest równoważna nierówność -3x<-27
Rozwiązując nierówność, postępujemy podobnie
jak podczas rozwiązywania równań.
Przekształcamy ją w nierówność równoważną,
tak aby po jednej stronie nierówności zostały
tylko niewiadome, a po drugiej stronie - liczba.
Chcąc opisać zbiór liczb większych lub równych od pewnej
liczby, a jednocześnie mniejszej od innej, np.
x 8
x 5
Możemy go zapisać za pomocą nierówności podwójnej:
5 x 8
Tę podwójną nierówność przedstawia na osi odcinek.
Równaniami liniowymi z dwiema niewiadomymi
są na przykład równania:
2x y 1
Chcąc znaleźć parę
liczb spełniających
dane równanie,
przyjmujemy za x
dowolną wartość i
obliczamy
odpowiadająca mu
wartość y.
2x 3 y 1
2 5 x 3 y 1 4 x 2 y 3
Można je doprowadzić do postaci: ax+by=c, gdzie
x i y są niewiadomymi, a, b, c są współczynnikami
liczbowymi, przy czym a 0 lub b 0 .
Równania: ax+by=c możemy przedstawić w
postaci równania: y a x c
.
b
b
Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi można
przedstawić graficznie w układzie współrzędnych.
Prosta o równaniu ax+by=c otrzymujemy, wybierając dwa
różne punkty, które spełniają to równanie, w więc leżą a tej
prostej. Punkty staramy się wybrać tak, aby można je było łatwo
zaznaczyć (najlepiej, gdy współrzędne punktów są liczbami
całkowitymi).
Nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi mogą
mieć postać:
ax by c ax by c
(nierówności ostre)
ax by c ax by c (nierówności nieostre)
Gdzie a, b, c są ustalonymi liczbami rzeczywistymi
a 0 , b 0 .
Każda nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
opisuje półpłaszczyznę wyznaczoną przez prostą
ax+by=c (bez tej prostej, gdy nierówność jest ostra, wraz
z tą prostą, gdy nierówność jest nieostra).
Dwa równania liniowe z dwiema niewiadomymi tworzą układ dwóch równań
liniowych z dwiema niewiadomymi.
Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest
każda para liczb spełniająca jednocześnie oba równania układu.
Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi może mieć:
-Dokładnie jedno rozwiązanie, gdy tylko jedna para liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ oznaczony.
-Nieskończenie wiele, wtedy nieskończenie wiele par liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ nieoznaczony.
- żadna para nie spełnia obu równań jednocześnie – wtedy jest to układ sprzeczny.
Mówimy, że dwa układy równań są równoważne, jeśli mają ten sam zbiór rozwiązań.
Układy równoważne możemy otrzymać:
-Dodając do obu stron (lub odejmując od obu stron) któregokolwiek równania tę samą
liczbę lub wyrażenie algebraiczne,
-Mnożąc (lub dzieląc) obie strony któregokolwiek równania przez tę sama liczbę lub
wyrażenie algebraiczne różne od zera,
-Dodając (lub odejmując stronami) oba równania.
Układ równań liniowych z dwoma niewiadomymi możemy rozwiązać metodą graficzną i
metodami algebraicznymi.
METODA GRAFICZNA
-Rysujemy wykres obu równań w jednym układnie współrzędnych,
- Odczytujemy współrzędne punktów należących do obu wykresów jednocześnie.
POŁOŻENIE
PROSTYCH W
UKŁADZIE
WSPÓŁRZĘDNYCH
Proste przecinają się
Proste pokrywają się
Proste są równoległe
PARY LICZB
SPEŁNIAJĄCYCH
UKŁAD RÓWNAŃ
Jedna para
Nieskończenie
wiele par
Zero par
NAZWA UKŁADU
oznaczony
nieoznaczony sprzeczny
METODA PODSTAWIANIA
-Z jednego równania układu wyznaczamy jedną ze zmiennych (x lub y)
-Wyznaczoną zmienną podstawiamy do drugiego równania. Zmienia się wtedy ono w równanie z jedną
niewiadomą.
- Z tego równania znajdujemy wartość niewiadomej. Obliczoną wartość wstawiamy do poprzedniego
równania i znajdujemy wartość drugiej zmiennej.
METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW
Rozwiązując układ równań ta metodą, budujemy dwa równoważne układy równań takie, że w jednym są
przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, a w drugim przy niewidomej y.
W każdym układzie, po dodaniu równań stronami, eliminujemy jedną zmienną.
Otrzymujemy dwa równania, każde z jedną niewiadomą, zamiast dwóch układów równań.
Rozwiązując każde z nich, otrzymujemy rozwiązanie danego układy równań.
METODA MIESZANA
Polega na wyznaczeniu jednej zmiennej za pomocą metody przeciwnych współczynników, a drugiej za
pomocą metody podstawiania.
-W układzie równań przekształcamy oba równania, mnożąc je przez takie liczby, aby przy tej samej
zmiennej w obu równaniach otrzymać przeciwne współczynniki.
-Dodajemy równania stronami, eliminując niewiadomą, przy której są przeciwne współczynniki.
Otrzymujemy równanie z jedna niewiadoma.
-Wyliczamy wartość tej niewiadomej.
-Obliczona wartość podstawiamy w miejsce niewiadomej do dowolnego równania w układzie, po czym
znajdujemy wartość drugiej niewiadomej.
Koniec części II
Slide 9
II. Równania, nierówności, układy równań
Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem
równości (=), w których występuje jedna lub więcej
niewiadomych, nazywamy równaniem.
Równania mogą zawierać:
-Jedną niewiadomą, np.
3x 2 1 x
x x 0
2
-Dwie niewiadome, np.
2
x y 10
3x y 6
- Większą liczbę niewiadomych, np.
x y z t 7 x 5 z 10
Jeśli w równaniu występuje tylko jedna niewiadoma i jest ona w pierwszej
potędze, to takie równanie nazywamy równaniem liniowym z jedną niewiadomą
lub równaniem stopnia pierwszego z jedną niewiadomą, np.
4 z 3 15
x
1
4
x
1
x 38
3
Można je zawsze doprowadzić do postaci: ax+c=0 ( a 0 ).
Rozwiązaniem równania pierwszego stopnia z jedna niewiadomą jest liczba,
która postawiona w miejsce niewiadomej zmienia równanie w równość
prawdziwą.
Jeśli jakaś liczba jest rozwiązaniem równania, to często mówimy, że liczba ta
spełnia to równanie.
Równania, które mają ten sam zbiór rozwiązań, nazywamy równaniami
równoważnymi, np. -3x+2=8 i 4x+8=0. Oba równania spełnia tylko liczba -2.
Równania równoważne do danego otrzymamy:
- Dodając lub odejmując taką samą liczbę (lub wyrażenie algebraiczne) do obu stron
równania,
-mnożąc lub dzieląc obie strony równania przez te samą liczbę różna od zera
Równanie, które nie ma rozwiązanie, nazywamy równaniem sprzecznym.
Takim równaniem jest na przykład x+5=x. Jakąkolwiek liczbę podstawimy w miejsce
niewiadomej, to zawsze lewa strona powstałej równości nie będzie równa stronie prawej.
Równanie, które jest spełnione dla każdej liczby, nazywamy równaniem
tożsamościowym.
Przykładem takiego równanie jest równanie 2(x-2)=2x-4.
Przekształcając je, otrzymujemy: 2x-4=2x-4. Jakąkolwiek liczbę wstawimy w miejsce
niewiadomej, zawsze po lewej stronie równania otrzymamy taka samą wartość jak po
prawej.
RÓWNANIE PIERWSZEGO STOPNIA Z JEDNA
NIEWIADOMĄ
NAZWA
LICZBA
PRZYKŁAD
ROZWIĄZANIE
ROZWIĄZAŃ
Oznaczone
Jedno
3x-2=2x-4
Sprzeczne
Zero
3(x+1)=3x+5
Tożsamość
Nieskończenie
wiele
4(x-1)+2(x-2)+2x
x=-2
Brak rozwiązań
Każda liczba
rzeczywista
Nierównością liniową z jedną niewiadomą nazywamy wyrażenia,
które można przedstawić w postaci:
ax b 0 ax b 0 - nierówności ostre
ax b 0 ax b 0 - nierówności nieostre
Gdzie a i b są dowolnymi liczbami, przy czym a 0 .
Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba, która ją spełnia, to
znaczy taka liczba, która po podstawieniu w miejsce niewiadomej
daje nierówność prawdziwą. Na przykład zbiorem rozwiązań
nierówności 2x>6 jest zbiór liczb większych od.3
Rozwiązaniem nierówności 3x-2<3(x-1)+1 jest zbiór wszystkich
liczb, gdyż wstawiając w miejsce niewiadomej, po lewej i prawej
stronie nierówności, dowolną liczbę zawsze otrzymujemy
nierówność prawdziwą. Jest to nierówność tożsamościowa.
Żadna liczba nie spełnia nierówności x-3>x+5, bo wstawiając w
miejsce niewiadomej do lewej i prawej stronie dowolną liczbę
zawsze otrzymamy nierówność sprzeczną.
Mówimy, że dwie nierówności są równoważne, jeśli maja taki
sam zbiór rozwiązań.
Nierówność możemy przekształcić w nierówność
równoważną, jeśli:
- do obu stron nierówności dodamy (odejmiemy) tę samą
liczbę lub to samo wyrażenie algebraiczne, np.
x>9 | -2
x>9 | +3x-6
x-2>7
4x-6>3x+3
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę dodatnią, np.. Nierówności x>9 jest równoważna
nierówność 3x<27.
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę ujemną i zmienimy znak nierówności na przeciwny,
np. nierówności x>9 jest równoważna nierówność -3x<-27
Rozwiązując nierówność, postępujemy podobnie
jak podczas rozwiązywania równań.
Przekształcamy ją w nierówność równoważną,
tak aby po jednej stronie nierówności zostały
tylko niewiadome, a po drugiej stronie - liczba.
Chcąc opisać zbiór liczb większych lub równych od pewnej
liczby, a jednocześnie mniejszej od innej, np.
x 8
x 5
Możemy go zapisać za pomocą nierówności podwójnej:
5 x 8
Tę podwójną nierówność przedstawia na osi odcinek.
Równaniami liniowymi z dwiema niewiadomymi
są na przykład równania:
2x y 1
Chcąc znaleźć parę
liczb spełniających
dane równanie,
przyjmujemy za x
dowolną wartość i
obliczamy
odpowiadająca mu
wartość y.
2x 3 y 1
2 5 x 3 y 1 4 x 2 y 3
Można je doprowadzić do postaci: ax+by=c, gdzie
x i y są niewiadomymi, a, b, c są współczynnikami
liczbowymi, przy czym a 0 lub b 0 .
Równania: ax+by=c możemy przedstawić w
postaci równania: y a x c
.
b
b
Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi można
przedstawić graficznie w układzie współrzędnych.
Prosta o równaniu ax+by=c otrzymujemy, wybierając dwa
różne punkty, które spełniają to równanie, w więc leżą a tej
prostej. Punkty staramy się wybrać tak, aby można je było łatwo
zaznaczyć (najlepiej, gdy współrzędne punktów są liczbami
całkowitymi).
Nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi mogą
mieć postać:
ax by c ax by c
(nierówności ostre)
ax by c ax by c (nierówności nieostre)
Gdzie a, b, c są ustalonymi liczbami rzeczywistymi
a 0 , b 0 .
Każda nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
opisuje półpłaszczyznę wyznaczoną przez prostą
ax+by=c (bez tej prostej, gdy nierówność jest ostra, wraz
z tą prostą, gdy nierówność jest nieostra).
Dwa równania liniowe z dwiema niewiadomymi tworzą układ dwóch równań
liniowych z dwiema niewiadomymi.
Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest
każda para liczb spełniająca jednocześnie oba równania układu.
Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi może mieć:
-Dokładnie jedno rozwiązanie, gdy tylko jedna para liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ oznaczony.
-Nieskończenie wiele, wtedy nieskończenie wiele par liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ nieoznaczony.
- żadna para nie spełnia obu równań jednocześnie – wtedy jest to układ sprzeczny.
Mówimy, że dwa układy równań są równoważne, jeśli mają ten sam zbiór rozwiązań.
Układy równoważne możemy otrzymać:
-Dodając do obu stron (lub odejmując od obu stron) któregokolwiek równania tę samą
liczbę lub wyrażenie algebraiczne,
-Mnożąc (lub dzieląc) obie strony któregokolwiek równania przez tę sama liczbę lub
wyrażenie algebraiczne różne od zera,
-Dodając (lub odejmując stronami) oba równania.
Układ równań liniowych z dwoma niewiadomymi możemy rozwiązać metodą graficzną i
metodami algebraicznymi.
METODA GRAFICZNA
-Rysujemy wykres obu równań w jednym układnie współrzędnych,
- Odczytujemy współrzędne punktów należących do obu wykresów jednocześnie.
POŁOŻENIE
PROSTYCH W
UKŁADZIE
WSPÓŁRZĘDNYCH
Proste przecinają się
Proste pokrywają się
Proste są równoległe
PARY LICZB
SPEŁNIAJĄCYCH
UKŁAD RÓWNAŃ
Jedna para
Nieskończenie
wiele par
Zero par
NAZWA UKŁADU
oznaczony
nieoznaczony sprzeczny
METODA PODSTAWIANIA
-Z jednego równania układu wyznaczamy jedną ze zmiennych (x lub y)
-Wyznaczoną zmienną podstawiamy do drugiego równania. Zmienia się wtedy ono w równanie z jedną
niewiadomą.
- Z tego równania znajdujemy wartość niewiadomej. Obliczoną wartość wstawiamy do poprzedniego
równania i znajdujemy wartość drugiej zmiennej.
METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW
Rozwiązując układ równań ta metodą, budujemy dwa równoważne układy równań takie, że w jednym są
przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, a w drugim przy niewidomej y.
W każdym układzie, po dodaniu równań stronami, eliminujemy jedną zmienną.
Otrzymujemy dwa równania, każde z jedną niewiadomą, zamiast dwóch układów równań.
Rozwiązując każde z nich, otrzymujemy rozwiązanie danego układy równań.
METODA MIESZANA
Polega na wyznaczeniu jednej zmiennej za pomocą metody przeciwnych współczynników, a drugiej za
pomocą metody podstawiania.
-W układzie równań przekształcamy oba równania, mnożąc je przez takie liczby, aby przy tej samej
zmiennej w obu równaniach otrzymać przeciwne współczynniki.
-Dodajemy równania stronami, eliminując niewiadomą, przy której są przeciwne współczynniki.
Otrzymujemy równanie z jedna niewiadoma.
-Wyliczamy wartość tej niewiadomej.
-Obliczona wartość podstawiamy w miejsce niewiadomej do dowolnego równania w układzie, po czym
znajdujemy wartość drugiej niewiadomej.
Koniec części II
Slide 10
II. Równania, nierówności, układy równań
Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem
równości (=), w których występuje jedna lub więcej
niewiadomych, nazywamy równaniem.
Równania mogą zawierać:
-Jedną niewiadomą, np.
3x 2 1 x
x x 0
2
-Dwie niewiadome, np.
2
x y 10
3x y 6
- Większą liczbę niewiadomych, np.
x y z t 7 x 5 z 10
Jeśli w równaniu występuje tylko jedna niewiadoma i jest ona w pierwszej
potędze, to takie równanie nazywamy równaniem liniowym z jedną niewiadomą
lub równaniem stopnia pierwszego z jedną niewiadomą, np.
4 z 3 15
x
1
4
x
1
x 38
3
Można je zawsze doprowadzić do postaci: ax+c=0 ( a 0 ).
Rozwiązaniem równania pierwszego stopnia z jedna niewiadomą jest liczba,
która postawiona w miejsce niewiadomej zmienia równanie w równość
prawdziwą.
Jeśli jakaś liczba jest rozwiązaniem równania, to często mówimy, że liczba ta
spełnia to równanie.
Równania, które mają ten sam zbiór rozwiązań, nazywamy równaniami
równoważnymi, np. -3x+2=8 i 4x+8=0. Oba równania spełnia tylko liczba -2.
Równania równoważne do danego otrzymamy:
- Dodając lub odejmując taką samą liczbę (lub wyrażenie algebraiczne) do obu stron
równania,
-mnożąc lub dzieląc obie strony równania przez te samą liczbę różna od zera
Równanie, które nie ma rozwiązanie, nazywamy równaniem sprzecznym.
Takim równaniem jest na przykład x+5=x. Jakąkolwiek liczbę podstawimy w miejsce
niewiadomej, to zawsze lewa strona powstałej równości nie będzie równa stronie prawej.
Równanie, które jest spełnione dla każdej liczby, nazywamy równaniem
tożsamościowym.
Przykładem takiego równanie jest równanie 2(x-2)=2x-4.
Przekształcając je, otrzymujemy: 2x-4=2x-4. Jakąkolwiek liczbę wstawimy w miejsce
niewiadomej, zawsze po lewej stronie równania otrzymamy taka samą wartość jak po
prawej.
RÓWNANIE PIERWSZEGO STOPNIA Z JEDNA
NIEWIADOMĄ
NAZWA
LICZBA
PRZYKŁAD
ROZWIĄZANIE
ROZWIĄZAŃ
Oznaczone
Jedno
3x-2=2x-4
Sprzeczne
Zero
3(x+1)=3x+5
Tożsamość
Nieskończenie
wiele
4(x-1)+2(x-2)+2x
x=-2
Brak rozwiązań
Każda liczba
rzeczywista
Nierównością liniową z jedną niewiadomą nazywamy wyrażenia,
które można przedstawić w postaci:
ax b 0 ax b 0 - nierówności ostre
ax b 0 ax b 0 - nierówności nieostre
Gdzie a i b są dowolnymi liczbami, przy czym a 0 .
Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba, która ją spełnia, to
znaczy taka liczba, która po podstawieniu w miejsce niewiadomej
daje nierówność prawdziwą. Na przykład zbiorem rozwiązań
nierówności 2x>6 jest zbiór liczb większych od.3
Rozwiązaniem nierówności 3x-2<3(x-1)+1 jest zbiór wszystkich
liczb, gdyż wstawiając w miejsce niewiadomej, po lewej i prawej
stronie nierówności, dowolną liczbę zawsze otrzymujemy
nierówność prawdziwą. Jest to nierówność tożsamościowa.
Żadna liczba nie spełnia nierówności x-3>x+5, bo wstawiając w
miejsce niewiadomej do lewej i prawej stronie dowolną liczbę
zawsze otrzymamy nierówność sprzeczną.
Mówimy, że dwie nierówności są równoważne, jeśli maja taki
sam zbiór rozwiązań.
Nierówność możemy przekształcić w nierówność
równoważną, jeśli:
- do obu stron nierówności dodamy (odejmiemy) tę samą
liczbę lub to samo wyrażenie algebraiczne, np.
x>9 | -2
x>9 | +3x-6
x-2>7
4x-6>3x+3
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę dodatnią, np.. Nierówności x>9 jest równoważna
nierówność 3x<27.
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę ujemną i zmienimy znak nierówności na przeciwny,
np. nierówności x>9 jest równoważna nierówność -3x<-27
Rozwiązując nierówność, postępujemy podobnie
jak podczas rozwiązywania równań.
Przekształcamy ją w nierówność równoważną,
tak aby po jednej stronie nierówności zostały
tylko niewiadome, a po drugiej stronie - liczba.
Chcąc opisać zbiór liczb większych lub równych od pewnej
liczby, a jednocześnie mniejszej od innej, np.
x 8
x 5
Możemy go zapisać za pomocą nierówności podwójnej:
5 x 8
Tę podwójną nierówność przedstawia na osi odcinek.
Równaniami liniowymi z dwiema niewiadomymi
są na przykład równania:
2x y 1
Chcąc znaleźć parę
liczb spełniających
dane równanie,
przyjmujemy za x
dowolną wartość i
obliczamy
odpowiadająca mu
wartość y.
2x 3 y 1
2 5 x 3 y 1 4 x 2 y 3
Można je doprowadzić do postaci: ax+by=c, gdzie
x i y są niewiadomymi, a, b, c są współczynnikami
liczbowymi, przy czym a 0 lub b 0 .
Równania: ax+by=c możemy przedstawić w
postaci równania: y a x c
.
b
b
Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi można
przedstawić graficznie w układzie współrzędnych.
Prosta o równaniu ax+by=c otrzymujemy, wybierając dwa
różne punkty, które spełniają to równanie, w więc leżą a tej
prostej. Punkty staramy się wybrać tak, aby można je było łatwo
zaznaczyć (najlepiej, gdy współrzędne punktów są liczbami
całkowitymi).
Nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi mogą
mieć postać:
ax by c ax by c
(nierówności ostre)
ax by c ax by c (nierówności nieostre)
Gdzie a, b, c są ustalonymi liczbami rzeczywistymi
a 0 , b 0 .
Każda nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
opisuje półpłaszczyznę wyznaczoną przez prostą
ax+by=c (bez tej prostej, gdy nierówność jest ostra, wraz
z tą prostą, gdy nierówność jest nieostra).
Dwa równania liniowe z dwiema niewiadomymi tworzą układ dwóch równań
liniowych z dwiema niewiadomymi.
Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest
każda para liczb spełniająca jednocześnie oba równania układu.
Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi może mieć:
-Dokładnie jedno rozwiązanie, gdy tylko jedna para liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ oznaczony.
-Nieskończenie wiele, wtedy nieskończenie wiele par liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ nieoznaczony.
- żadna para nie spełnia obu równań jednocześnie – wtedy jest to układ sprzeczny.
Mówimy, że dwa układy równań są równoważne, jeśli mają ten sam zbiór rozwiązań.
Układy równoważne możemy otrzymać:
-Dodając do obu stron (lub odejmując od obu stron) któregokolwiek równania tę samą
liczbę lub wyrażenie algebraiczne,
-Mnożąc (lub dzieląc) obie strony któregokolwiek równania przez tę sama liczbę lub
wyrażenie algebraiczne różne od zera,
-Dodając (lub odejmując stronami) oba równania.
Układ równań liniowych z dwoma niewiadomymi możemy rozwiązać metodą graficzną i
metodami algebraicznymi.
METODA GRAFICZNA
-Rysujemy wykres obu równań w jednym układnie współrzędnych,
- Odczytujemy współrzędne punktów należących do obu wykresów jednocześnie.
POŁOŻENIE
PROSTYCH W
UKŁADZIE
WSPÓŁRZĘDNYCH
Proste przecinają się
Proste pokrywają się
Proste są równoległe
PARY LICZB
SPEŁNIAJĄCYCH
UKŁAD RÓWNAŃ
Jedna para
Nieskończenie
wiele par
Zero par
NAZWA UKŁADU
oznaczony
nieoznaczony sprzeczny
METODA PODSTAWIANIA
-Z jednego równania układu wyznaczamy jedną ze zmiennych (x lub y)
-Wyznaczoną zmienną podstawiamy do drugiego równania. Zmienia się wtedy ono w równanie z jedną
niewiadomą.
- Z tego równania znajdujemy wartość niewiadomej. Obliczoną wartość wstawiamy do poprzedniego
równania i znajdujemy wartość drugiej zmiennej.
METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW
Rozwiązując układ równań ta metodą, budujemy dwa równoważne układy równań takie, że w jednym są
przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, a w drugim przy niewidomej y.
W każdym układzie, po dodaniu równań stronami, eliminujemy jedną zmienną.
Otrzymujemy dwa równania, każde z jedną niewiadomą, zamiast dwóch układów równań.
Rozwiązując każde z nich, otrzymujemy rozwiązanie danego układy równań.
METODA MIESZANA
Polega na wyznaczeniu jednej zmiennej za pomocą metody przeciwnych współczynników, a drugiej za
pomocą metody podstawiania.
-W układzie równań przekształcamy oba równania, mnożąc je przez takie liczby, aby przy tej samej
zmiennej w obu równaniach otrzymać przeciwne współczynniki.
-Dodajemy równania stronami, eliminując niewiadomą, przy której są przeciwne współczynniki.
Otrzymujemy równanie z jedna niewiadoma.
-Wyliczamy wartość tej niewiadomej.
-Obliczona wartość podstawiamy w miejsce niewiadomej do dowolnego równania w układzie, po czym
znajdujemy wartość drugiej niewiadomej.
Koniec części II
Slide 11
II. Równania, nierówności, układy równań
Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem
równości (=), w których występuje jedna lub więcej
niewiadomych, nazywamy równaniem.
Równania mogą zawierać:
-Jedną niewiadomą, np.
3x 2 1 x
x x 0
2
-Dwie niewiadome, np.
2
x y 10
3x y 6
- Większą liczbę niewiadomych, np.
x y z t 7 x 5 z 10
Jeśli w równaniu występuje tylko jedna niewiadoma i jest ona w pierwszej
potędze, to takie równanie nazywamy równaniem liniowym z jedną niewiadomą
lub równaniem stopnia pierwszego z jedną niewiadomą, np.
4 z 3 15
x
1
4
x
1
x 38
3
Można je zawsze doprowadzić do postaci: ax+c=0 ( a 0 ).
Rozwiązaniem równania pierwszego stopnia z jedna niewiadomą jest liczba,
która postawiona w miejsce niewiadomej zmienia równanie w równość
prawdziwą.
Jeśli jakaś liczba jest rozwiązaniem równania, to często mówimy, że liczba ta
spełnia to równanie.
Równania, które mają ten sam zbiór rozwiązań, nazywamy równaniami
równoważnymi, np. -3x+2=8 i 4x+8=0. Oba równania spełnia tylko liczba -2.
Równania równoważne do danego otrzymamy:
- Dodając lub odejmując taką samą liczbę (lub wyrażenie algebraiczne) do obu stron
równania,
-mnożąc lub dzieląc obie strony równania przez te samą liczbę różna od zera
Równanie, które nie ma rozwiązanie, nazywamy równaniem sprzecznym.
Takim równaniem jest na przykład x+5=x. Jakąkolwiek liczbę podstawimy w miejsce
niewiadomej, to zawsze lewa strona powstałej równości nie będzie równa stronie prawej.
Równanie, które jest spełnione dla każdej liczby, nazywamy równaniem
tożsamościowym.
Przykładem takiego równanie jest równanie 2(x-2)=2x-4.
Przekształcając je, otrzymujemy: 2x-4=2x-4. Jakąkolwiek liczbę wstawimy w miejsce
niewiadomej, zawsze po lewej stronie równania otrzymamy taka samą wartość jak po
prawej.
RÓWNANIE PIERWSZEGO STOPNIA Z JEDNA
NIEWIADOMĄ
NAZWA
LICZBA
PRZYKŁAD
ROZWIĄZANIE
ROZWIĄZAŃ
Oznaczone
Jedno
3x-2=2x-4
Sprzeczne
Zero
3(x+1)=3x+5
Tożsamość
Nieskończenie
wiele
4(x-1)+2(x-2)+2x
x=-2
Brak rozwiązań
Każda liczba
rzeczywista
Nierównością liniową z jedną niewiadomą nazywamy wyrażenia,
które można przedstawić w postaci:
ax b 0 ax b 0 - nierówności ostre
ax b 0 ax b 0 - nierówności nieostre
Gdzie a i b są dowolnymi liczbami, przy czym a 0 .
Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba, która ją spełnia, to
znaczy taka liczba, która po podstawieniu w miejsce niewiadomej
daje nierówność prawdziwą. Na przykład zbiorem rozwiązań
nierówności 2x>6 jest zbiór liczb większych od.3
Rozwiązaniem nierówności 3x-2<3(x-1)+1 jest zbiór wszystkich
liczb, gdyż wstawiając w miejsce niewiadomej, po lewej i prawej
stronie nierówności, dowolną liczbę zawsze otrzymujemy
nierówność prawdziwą. Jest to nierówność tożsamościowa.
Żadna liczba nie spełnia nierówności x-3>x+5, bo wstawiając w
miejsce niewiadomej do lewej i prawej stronie dowolną liczbę
zawsze otrzymamy nierówność sprzeczną.
Mówimy, że dwie nierówności są równoważne, jeśli maja taki
sam zbiór rozwiązań.
Nierówność możemy przekształcić w nierówność
równoważną, jeśli:
- do obu stron nierówności dodamy (odejmiemy) tę samą
liczbę lub to samo wyrażenie algebraiczne, np.
x>9 | -2
x>9 | +3x-6
x-2>7
4x-6>3x+3
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę dodatnią, np.. Nierówności x>9 jest równoważna
nierówność 3x<27.
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę ujemną i zmienimy znak nierówności na przeciwny,
np. nierówności x>9 jest równoważna nierówność -3x<-27
Rozwiązując nierówność, postępujemy podobnie
jak podczas rozwiązywania równań.
Przekształcamy ją w nierówność równoważną,
tak aby po jednej stronie nierówności zostały
tylko niewiadome, a po drugiej stronie - liczba.
Chcąc opisać zbiór liczb większych lub równych od pewnej
liczby, a jednocześnie mniejszej od innej, np.
x 8
x 5
Możemy go zapisać za pomocą nierówności podwójnej:
5 x 8
Tę podwójną nierówność przedstawia na osi odcinek.
Równaniami liniowymi z dwiema niewiadomymi
są na przykład równania:
2x y 1
Chcąc znaleźć parę
liczb spełniających
dane równanie,
przyjmujemy za x
dowolną wartość i
obliczamy
odpowiadająca mu
wartość y.
2x 3 y 1
2 5 x 3 y 1 4 x 2 y 3
Można je doprowadzić do postaci: ax+by=c, gdzie
x i y są niewiadomymi, a, b, c są współczynnikami
liczbowymi, przy czym a 0 lub b 0 .
Równania: ax+by=c możemy przedstawić w
postaci równania: y a x c
.
b
b
Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi można
przedstawić graficznie w układzie współrzędnych.
Prosta o równaniu ax+by=c otrzymujemy, wybierając dwa
różne punkty, które spełniają to równanie, w więc leżą a tej
prostej. Punkty staramy się wybrać tak, aby można je było łatwo
zaznaczyć (najlepiej, gdy współrzędne punktów są liczbami
całkowitymi).
Nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi mogą
mieć postać:
ax by c ax by c
(nierówności ostre)
ax by c ax by c (nierówności nieostre)
Gdzie a, b, c są ustalonymi liczbami rzeczywistymi
a 0 , b 0 .
Każda nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
opisuje półpłaszczyznę wyznaczoną przez prostą
ax+by=c (bez tej prostej, gdy nierówność jest ostra, wraz
z tą prostą, gdy nierówność jest nieostra).
Dwa równania liniowe z dwiema niewiadomymi tworzą układ dwóch równań
liniowych z dwiema niewiadomymi.
Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest
każda para liczb spełniająca jednocześnie oba równania układu.
Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi może mieć:
-Dokładnie jedno rozwiązanie, gdy tylko jedna para liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ oznaczony.
-Nieskończenie wiele, wtedy nieskończenie wiele par liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ nieoznaczony.
- żadna para nie spełnia obu równań jednocześnie – wtedy jest to układ sprzeczny.
Mówimy, że dwa układy równań są równoważne, jeśli mają ten sam zbiór rozwiązań.
Układy równoważne możemy otrzymać:
-Dodając do obu stron (lub odejmując od obu stron) któregokolwiek równania tę samą
liczbę lub wyrażenie algebraiczne,
-Mnożąc (lub dzieląc) obie strony któregokolwiek równania przez tę sama liczbę lub
wyrażenie algebraiczne różne od zera,
-Dodając (lub odejmując stronami) oba równania.
Układ równań liniowych z dwoma niewiadomymi możemy rozwiązać metodą graficzną i
metodami algebraicznymi.
METODA GRAFICZNA
-Rysujemy wykres obu równań w jednym układnie współrzędnych,
- Odczytujemy współrzędne punktów należących do obu wykresów jednocześnie.
POŁOŻENIE
PROSTYCH W
UKŁADZIE
WSPÓŁRZĘDNYCH
Proste przecinają się
Proste pokrywają się
Proste są równoległe
PARY LICZB
SPEŁNIAJĄCYCH
UKŁAD RÓWNAŃ
Jedna para
Nieskończenie
wiele par
Zero par
NAZWA UKŁADU
oznaczony
nieoznaczony sprzeczny
METODA PODSTAWIANIA
-Z jednego równania układu wyznaczamy jedną ze zmiennych (x lub y)
-Wyznaczoną zmienną podstawiamy do drugiego równania. Zmienia się wtedy ono w równanie z jedną
niewiadomą.
- Z tego równania znajdujemy wartość niewiadomej. Obliczoną wartość wstawiamy do poprzedniego
równania i znajdujemy wartość drugiej zmiennej.
METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW
Rozwiązując układ równań ta metodą, budujemy dwa równoważne układy równań takie, że w jednym są
przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, a w drugim przy niewidomej y.
W każdym układzie, po dodaniu równań stronami, eliminujemy jedną zmienną.
Otrzymujemy dwa równania, każde z jedną niewiadomą, zamiast dwóch układów równań.
Rozwiązując każde z nich, otrzymujemy rozwiązanie danego układy równań.
METODA MIESZANA
Polega na wyznaczeniu jednej zmiennej za pomocą metody przeciwnych współczynników, a drugiej za
pomocą metody podstawiania.
-W układzie równań przekształcamy oba równania, mnożąc je przez takie liczby, aby przy tej samej
zmiennej w obu równaniach otrzymać przeciwne współczynniki.
-Dodajemy równania stronami, eliminując niewiadomą, przy której są przeciwne współczynniki.
Otrzymujemy równanie z jedna niewiadoma.
-Wyliczamy wartość tej niewiadomej.
-Obliczona wartość podstawiamy w miejsce niewiadomej do dowolnego równania w układzie, po czym
znajdujemy wartość drugiej niewiadomej.
Koniec części II
Slide 12
II. Równania, nierówności, układy równań
Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem
równości (=), w których występuje jedna lub więcej
niewiadomych, nazywamy równaniem.
Równania mogą zawierać:
-Jedną niewiadomą, np.
3x 2 1 x
x x 0
2
-Dwie niewiadome, np.
2
x y 10
3x y 6
- Większą liczbę niewiadomych, np.
x y z t 7 x 5 z 10
Jeśli w równaniu występuje tylko jedna niewiadoma i jest ona w pierwszej
potędze, to takie równanie nazywamy równaniem liniowym z jedną niewiadomą
lub równaniem stopnia pierwszego z jedną niewiadomą, np.
4 z 3 15
x
1
4
x
1
x 38
3
Można je zawsze doprowadzić do postaci: ax+c=0 ( a 0 ).
Rozwiązaniem równania pierwszego stopnia z jedna niewiadomą jest liczba,
która postawiona w miejsce niewiadomej zmienia równanie w równość
prawdziwą.
Jeśli jakaś liczba jest rozwiązaniem równania, to często mówimy, że liczba ta
spełnia to równanie.
Równania, które mają ten sam zbiór rozwiązań, nazywamy równaniami
równoważnymi, np. -3x+2=8 i 4x+8=0. Oba równania spełnia tylko liczba -2.
Równania równoważne do danego otrzymamy:
- Dodając lub odejmując taką samą liczbę (lub wyrażenie algebraiczne) do obu stron
równania,
-mnożąc lub dzieląc obie strony równania przez te samą liczbę różna od zera
Równanie, które nie ma rozwiązanie, nazywamy równaniem sprzecznym.
Takim równaniem jest na przykład x+5=x. Jakąkolwiek liczbę podstawimy w miejsce
niewiadomej, to zawsze lewa strona powstałej równości nie będzie równa stronie prawej.
Równanie, które jest spełnione dla każdej liczby, nazywamy równaniem
tożsamościowym.
Przykładem takiego równanie jest równanie 2(x-2)=2x-4.
Przekształcając je, otrzymujemy: 2x-4=2x-4. Jakąkolwiek liczbę wstawimy w miejsce
niewiadomej, zawsze po lewej stronie równania otrzymamy taka samą wartość jak po
prawej.
RÓWNANIE PIERWSZEGO STOPNIA Z JEDNA
NIEWIADOMĄ
NAZWA
LICZBA
PRZYKŁAD
ROZWIĄZANIE
ROZWIĄZAŃ
Oznaczone
Jedno
3x-2=2x-4
Sprzeczne
Zero
3(x+1)=3x+5
Tożsamość
Nieskończenie
wiele
4(x-1)+2(x-2)+2x
x=-2
Brak rozwiązań
Każda liczba
rzeczywista
Nierównością liniową z jedną niewiadomą nazywamy wyrażenia,
które można przedstawić w postaci:
ax b 0 ax b 0 - nierówności ostre
ax b 0 ax b 0 - nierówności nieostre
Gdzie a i b są dowolnymi liczbami, przy czym a 0 .
Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba, która ją spełnia, to
znaczy taka liczba, która po podstawieniu w miejsce niewiadomej
daje nierówność prawdziwą. Na przykład zbiorem rozwiązań
nierówności 2x>6 jest zbiór liczb większych od.3
Rozwiązaniem nierówności 3x-2<3(x-1)+1 jest zbiór wszystkich
liczb, gdyż wstawiając w miejsce niewiadomej, po lewej i prawej
stronie nierówności, dowolną liczbę zawsze otrzymujemy
nierówność prawdziwą. Jest to nierówność tożsamościowa.
Żadna liczba nie spełnia nierówności x-3>x+5, bo wstawiając w
miejsce niewiadomej do lewej i prawej stronie dowolną liczbę
zawsze otrzymamy nierówność sprzeczną.
Mówimy, że dwie nierówności są równoważne, jeśli maja taki
sam zbiór rozwiązań.
Nierówność możemy przekształcić w nierówność
równoważną, jeśli:
- do obu stron nierówności dodamy (odejmiemy) tę samą
liczbę lub to samo wyrażenie algebraiczne, np.
x>9 | -2
x>9 | +3x-6
x-2>7
4x-6>3x+3
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę dodatnią, np.. Nierówności x>9 jest równoważna
nierówność 3x<27.
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę ujemną i zmienimy znak nierówności na przeciwny,
np. nierówności x>9 jest równoważna nierówność -3x<-27
Rozwiązując nierówność, postępujemy podobnie
jak podczas rozwiązywania równań.
Przekształcamy ją w nierówność równoważną,
tak aby po jednej stronie nierówności zostały
tylko niewiadome, a po drugiej stronie - liczba.
Chcąc opisać zbiór liczb większych lub równych od pewnej
liczby, a jednocześnie mniejszej od innej, np.
x 8
x 5
Możemy go zapisać za pomocą nierówności podwójnej:
5 x 8
Tę podwójną nierówność przedstawia na osi odcinek.
Równaniami liniowymi z dwiema niewiadomymi
są na przykład równania:
2x y 1
Chcąc znaleźć parę
liczb spełniających
dane równanie,
przyjmujemy za x
dowolną wartość i
obliczamy
odpowiadająca mu
wartość y.
2x 3 y 1
2 5 x 3 y 1 4 x 2 y 3
Można je doprowadzić do postaci: ax+by=c, gdzie
x i y są niewiadomymi, a, b, c są współczynnikami
liczbowymi, przy czym a 0 lub b 0 .
Równania: ax+by=c możemy przedstawić w
postaci równania: y a x c
.
b
b
Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi można
przedstawić graficznie w układzie współrzędnych.
Prosta o równaniu ax+by=c otrzymujemy, wybierając dwa
różne punkty, które spełniają to równanie, w więc leżą a tej
prostej. Punkty staramy się wybrać tak, aby można je było łatwo
zaznaczyć (najlepiej, gdy współrzędne punktów są liczbami
całkowitymi).
Nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi mogą
mieć postać:
ax by c ax by c
(nierówności ostre)
ax by c ax by c (nierówności nieostre)
Gdzie a, b, c są ustalonymi liczbami rzeczywistymi
a 0 , b 0 .
Każda nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
opisuje półpłaszczyznę wyznaczoną przez prostą
ax+by=c (bez tej prostej, gdy nierówność jest ostra, wraz
z tą prostą, gdy nierówność jest nieostra).
Dwa równania liniowe z dwiema niewiadomymi tworzą układ dwóch równań
liniowych z dwiema niewiadomymi.
Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest
każda para liczb spełniająca jednocześnie oba równania układu.
Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi może mieć:
-Dokładnie jedno rozwiązanie, gdy tylko jedna para liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ oznaczony.
-Nieskończenie wiele, wtedy nieskończenie wiele par liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ nieoznaczony.
- żadna para nie spełnia obu równań jednocześnie – wtedy jest to układ sprzeczny.
Mówimy, że dwa układy równań są równoważne, jeśli mają ten sam zbiór rozwiązań.
Układy równoważne możemy otrzymać:
-Dodając do obu stron (lub odejmując od obu stron) któregokolwiek równania tę samą
liczbę lub wyrażenie algebraiczne,
-Mnożąc (lub dzieląc) obie strony któregokolwiek równania przez tę sama liczbę lub
wyrażenie algebraiczne różne od zera,
-Dodając (lub odejmując stronami) oba równania.
Układ równań liniowych z dwoma niewiadomymi możemy rozwiązać metodą graficzną i
metodami algebraicznymi.
METODA GRAFICZNA
-Rysujemy wykres obu równań w jednym układnie współrzędnych,
- Odczytujemy współrzędne punktów należących do obu wykresów jednocześnie.
POŁOŻENIE
PROSTYCH W
UKŁADZIE
WSPÓŁRZĘDNYCH
Proste przecinają się
Proste pokrywają się
Proste są równoległe
PARY LICZB
SPEŁNIAJĄCYCH
UKŁAD RÓWNAŃ
Jedna para
Nieskończenie
wiele par
Zero par
NAZWA UKŁADU
oznaczony
nieoznaczony sprzeczny
METODA PODSTAWIANIA
-Z jednego równania układu wyznaczamy jedną ze zmiennych (x lub y)
-Wyznaczoną zmienną podstawiamy do drugiego równania. Zmienia się wtedy ono w równanie z jedną
niewiadomą.
- Z tego równania znajdujemy wartość niewiadomej. Obliczoną wartość wstawiamy do poprzedniego
równania i znajdujemy wartość drugiej zmiennej.
METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW
Rozwiązując układ równań ta metodą, budujemy dwa równoważne układy równań takie, że w jednym są
przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, a w drugim przy niewidomej y.
W każdym układzie, po dodaniu równań stronami, eliminujemy jedną zmienną.
Otrzymujemy dwa równania, każde z jedną niewiadomą, zamiast dwóch układów równań.
Rozwiązując każde z nich, otrzymujemy rozwiązanie danego układy równań.
METODA MIESZANA
Polega na wyznaczeniu jednej zmiennej za pomocą metody przeciwnych współczynników, a drugiej za
pomocą metody podstawiania.
-W układzie równań przekształcamy oba równania, mnożąc je przez takie liczby, aby przy tej samej
zmiennej w obu równaniach otrzymać przeciwne współczynniki.
-Dodajemy równania stronami, eliminując niewiadomą, przy której są przeciwne współczynniki.
Otrzymujemy równanie z jedna niewiadoma.
-Wyliczamy wartość tej niewiadomej.
-Obliczona wartość podstawiamy w miejsce niewiadomej do dowolnego równania w układzie, po czym
znajdujemy wartość drugiej niewiadomej.
Koniec części II
Slide 13
II. Równania, nierówności, układy równań
Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem
równości (=), w których występuje jedna lub więcej
niewiadomych, nazywamy równaniem.
Równania mogą zawierać:
-Jedną niewiadomą, np.
3x 2 1 x
x x 0
2
-Dwie niewiadome, np.
2
x y 10
3x y 6
- Większą liczbę niewiadomych, np.
x y z t 7 x 5 z 10
Jeśli w równaniu występuje tylko jedna niewiadoma i jest ona w pierwszej
potędze, to takie równanie nazywamy równaniem liniowym z jedną niewiadomą
lub równaniem stopnia pierwszego z jedną niewiadomą, np.
4 z 3 15
x
1
4
x
1
x 38
3
Można je zawsze doprowadzić do postaci: ax+c=0 ( a 0 ).
Rozwiązaniem równania pierwszego stopnia z jedna niewiadomą jest liczba,
która postawiona w miejsce niewiadomej zmienia równanie w równość
prawdziwą.
Jeśli jakaś liczba jest rozwiązaniem równania, to często mówimy, że liczba ta
spełnia to równanie.
Równania, które mają ten sam zbiór rozwiązań, nazywamy równaniami
równoważnymi, np. -3x+2=8 i 4x+8=0. Oba równania spełnia tylko liczba -2.
Równania równoważne do danego otrzymamy:
- Dodając lub odejmując taką samą liczbę (lub wyrażenie algebraiczne) do obu stron
równania,
-mnożąc lub dzieląc obie strony równania przez te samą liczbę różna od zera
Równanie, które nie ma rozwiązanie, nazywamy równaniem sprzecznym.
Takim równaniem jest na przykład x+5=x. Jakąkolwiek liczbę podstawimy w miejsce
niewiadomej, to zawsze lewa strona powstałej równości nie będzie równa stronie prawej.
Równanie, które jest spełnione dla każdej liczby, nazywamy równaniem
tożsamościowym.
Przykładem takiego równanie jest równanie 2(x-2)=2x-4.
Przekształcając je, otrzymujemy: 2x-4=2x-4. Jakąkolwiek liczbę wstawimy w miejsce
niewiadomej, zawsze po lewej stronie równania otrzymamy taka samą wartość jak po
prawej.
RÓWNANIE PIERWSZEGO STOPNIA Z JEDNA
NIEWIADOMĄ
NAZWA
LICZBA
PRZYKŁAD
ROZWIĄZANIE
ROZWIĄZAŃ
Oznaczone
Jedno
3x-2=2x-4
Sprzeczne
Zero
3(x+1)=3x+5
Tożsamość
Nieskończenie
wiele
4(x-1)+2(x-2)+2x
x=-2
Brak rozwiązań
Każda liczba
rzeczywista
Nierównością liniową z jedną niewiadomą nazywamy wyrażenia,
które można przedstawić w postaci:
ax b 0 ax b 0 - nierówności ostre
ax b 0 ax b 0 - nierówności nieostre
Gdzie a i b są dowolnymi liczbami, przy czym a 0 .
Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba, która ją spełnia, to
znaczy taka liczba, która po podstawieniu w miejsce niewiadomej
daje nierówność prawdziwą. Na przykład zbiorem rozwiązań
nierówności 2x>6 jest zbiór liczb większych od.3
Rozwiązaniem nierówności 3x-2<3(x-1)+1 jest zbiór wszystkich
liczb, gdyż wstawiając w miejsce niewiadomej, po lewej i prawej
stronie nierówności, dowolną liczbę zawsze otrzymujemy
nierówność prawdziwą. Jest to nierówność tożsamościowa.
Żadna liczba nie spełnia nierówności x-3>x+5, bo wstawiając w
miejsce niewiadomej do lewej i prawej stronie dowolną liczbę
zawsze otrzymamy nierówność sprzeczną.
Mówimy, że dwie nierówności są równoważne, jeśli maja taki
sam zbiór rozwiązań.
Nierówność możemy przekształcić w nierówność
równoważną, jeśli:
- do obu stron nierówności dodamy (odejmiemy) tę samą
liczbę lub to samo wyrażenie algebraiczne, np.
x>9 | -2
x>9 | +3x-6
x-2>7
4x-6>3x+3
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę dodatnią, np.. Nierówności x>9 jest równoważna
nierówność 3x<27.
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę ujemną i zmienimy znak nierówności na przeciwny,
np. nierówności x>9 jest równoważna nierówność -3x<-27
Rozwiązując nierówność, postępujemy podobnie
jak podczas rozwiązywania równań.
Przekształcamy ją w nierówność równoważną,
tak aby po jednej stronie nierówności zostały
tylko niewiadome, a po drugiej stronie - liczba.
Chcąc opisać zbiór liczb większych lub równych od pewnej
liczby, a jednocześnie mniejszej od innej, np.
x 8
x 5
Możemy go zapisać za pomocą nierówności podwójnej:
5 x 8
Tę podwójną nierówność przedstawia na osi odcinek.
Równaniami liniowymi z dwiema niewiadomymi
są na przykład równania:
2x y 1
Chcąc znaleźć parę
liczb spełniających
dane równanie,
przyjmujemy za x
dowolną wartość i
obliczamy
odpowiadająca mu
wartość y.
2x 3 y 1
2 5 x 3 y 1 4 x 2 y 3
Można je doprowadzić do postaci: ax+by=c, gdzie
x i y są niewiadomymi, a, b, c są współczynnikami
liczbowymi, przy czym a 0 lub b 0 .
Równania: ax+by=c możemy przedstawić w
postaci równania: y a x c
.
b
b
Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi można
przedstawić graficznie w układzie współrzędnych.
Prosta o równaniu ax+by=c otrzymujemy, wybierając dwa
różne punkty, które spełniają to równanie, w więc leżą a tej
prostej. Punkty staramy się wybrać tak, aby można je było łatwo
zaznaczyć (najlepiej, gdy współrzędne punktów są liczbami
całkowitymi).
Nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi mogą
mieć postać:
ax by c ax by c
(nierówności ostre)
ax by c ax by c (nierówności nieostre)
Gdzie a, b, c są ustalonymi liczbami rzeczywistymi
a 0 , b 0 .
Każda nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
opisuje półpłaszczyznę wyznaczoną przez prostą
ax+by=c (bez tej prostej, gdy nierówność jest ostra, wraz
z tą prostą, gdy nierówność jest nieostra).
Dwa równania liniowe z dwiema niewiadomymi tworzą układ dwóch równań
liniowych z dwiema niewiadomymi.
Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest
każda para liczb spełniająca jednocześnie oba równania układu.
Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi może mieć:
-Dokładnie jedno rozwiązanie, gdy tylko jedna para liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ oznaczony.
-Nieskończenie wiele, wtedy nieskończenie wiele par liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ nieoznaczony.
- żadna para nie spełnia obu równań jednocześnie – wtedy jest to układ sprzeczny.
Mówimy, że dwa układy równań są równoważne, jeśli mają ten sam zbiór rozwiązań.
Układy równoważne możemy otrzymać:
-Dodając do obu stron (lub odejmując od obu stron) któregokolwiek równania tę samą
liczbę lub wyrażenie algebraiczne,
-Mnożąc (lub dzieląc) obie strony któregokolwiek równania przez tę sama liczbę lub
wyrażenie algebraiczne różne od zera,
-Dodając (lub odejmując stronami) oba równania.
Układ równań liniowych z dwoma niewiadomymi możemy rozwiązać metodą graficzną i
metodami algebraicznymi.
METODA GRAFICZNA
-Rysujemy wykres obu równań w jednym układnie współrzędnych,
- Odczytujemy współrzędne punktów należących do obu wykresów jednocześnie.
POŁOŻENIE
PROSTYCH W
UKŁADZIE
WSPÓŁRZĘDNYCH
Proste przecinają się
Proste pokrywają się
Proste są równoległe
PARY LICZB
SPEŁNIAJĄCYCH
UKŁAD RÓWNAŃ
Jedna para
Nieskończenie
wiele par
Zero par
NAZWA UKŁADU
oznaczony
nieoznaczony sprzeczny
METODA PODSTAWIANIA
-Z jednego równania układu wyznaczamy jedną ze zmiennych (x lub y)
-Wyznaczoną zmienną podstawiamy do drugiego równania. Zmienia się wtedy ono w równanie z jedną
niewiadomą.
- Z tego równania znajdujemy wartość niewiadomej. Obliczoną wartość wstawiamy do poprzedniego
równania i znajdujemy wartość drugiej zmiennej.
METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW
Rozwiązując układ równań ta metodą, budujemy dwa równoważne układy równań takie, że w jednym są
przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, a w drugim przy niewidomej y.
W każdym układzie, po dodaniu równań stronami, eliminujemy jedną zmienną.
Otrzymujemy dwa równania, każde z jedną niewiadomą, zamiast dwóch układów równań.
Rozwiązując każde z nich, otrzymujemy rozwiązanie danego układy równań.
METODA MIESZANA
Polega na wyznaczeniu jednej zmiennej za pomocą metody przeciwnych współczynników, a drugiej za
pomocą metody podstawiania.
-W układzie równań przekształcamy oba równania, mnożąc je przez takie liczby, aby przy tej samej
zmiennej w obu równaniach otrzymać przeciwne współczynniki.
-Dodajemy równania stronami, eliminując niewiadomą, przy której są przeciwne współczynniki.
Otrzymujemy równanie z jedna niewiadoma.
-Wyliczamy wartość tej niewiadomej.
-Obliczona wartość podstawiamy w miejsce niewiadomej do dowolnego równania w układzie, po czym
znajdujemy wartość drugiej niewiadomej.
Koniec części II
Slide 14
II. Równania, nierówności, układy równań
Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem
równości (=), w których występuje jedna lub więcej
niewiadomych, nazywamy równaniem.
Równania mogą zawierać:
-Jedną niewiadomą, np.
3x 2 1 x
x x 0
2
-Dwie niewiadome, np.
2
x y 10
3x y 6
- Większą liczbę niewiadomych, np.
x y z t 7 x 5 z 10
Jeśli w równaniu występuje tylko jedna niewiadoma i jest ona w pierwszej
potędze, to takie równanie nazywamy równaniem liniowym z jedną niewiadomą
lub równaniem stopnia pierwszego z jedną niewiadomą, np.
4 z 3 15
x
1
4
x
1
x 38
3
Można je zawsze doprowadzić do postaci: ax+c=0 ( a 0 ).
Rozwiązaniem równania pierwszego stopnia z jedna niewiadomą jest liczba,
która postawiona w miejsce niewiadomej zmienia równanie w równość
prawdziwą.
Jeśli jakaś liczba jest rozwiązaniem równania, to często mówimy, że liczba ta
spełnia to równanie.
Równania, które mają ten sam zbiór rozwiązań, nazywamy równaniami
równoważnymi, np. -3x+2=8 i 4x+8=0. Oba równania spełnia tylko liczba -2.
Równania równoważne do danego otrzymamy:
- Dodając lub odejmując taką samą liczbę (lub wyrażenie algebraiczne) do obu stron
równania,
-mnożąc lub dzieląc obie strony równania przez te samą liczbę różna od zera
Równanie, które nie ma rozwiązanie, nazywamy równaniem sprzecznym.
Takim równaniem jest na przykład x+5=x. Jakąkolwiek liczbę podstawimy w miejsce
niewiadomej, to zawsze lewa strona powstałej równości nie będzie równa stronie prawej.
Równanie, które jest spełnione dla każdej liczby, nazywamy równaniem
tożsamościowym.
Przykładem takiego równanie jest równanie 2(x-2)=2x-4.
Przekształcając je, otrzymujemy: 2x-4=2x-4. Jakąkolwiek liczbę wstawimy w miejsce
niewiadomej, zawsze po lewej stronie równania otrzymamy taka samą wartość jak po
prawej.
RÓWNANIE PIERWSZEGO STOPNIA Z JEDNA
NIEWIADOMĄ
NAZWA
LICZBA
PRZYKŁAD
ROZWIĄZANIE
ROZWIĄZAŃ
Oznaczone
Jedno
3x-2=2x-4
Sprzeczne
Zero
3(x+1)=3x+5
Tożsamość
Nieskończenie
wiele
4(x-1)+2(x-2)+2x
x=-2
Brak rozwiązań
Każda liczba
rzeczywista
Nierównością liniową z jedną niewiadomą nazywamy wyrażenia,
które można przedstawić w postaci:
ax b 0 ax b 0 - nierówności ostre
ax b 0 ax b 0 - nierówności nieostre
Gdzie a i b są dowolnymi liczbami, przy czym a 0 .
Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba, która ją spełnia, to
znaczy taka liczba, która po podstawieniu w miejsce niewiadomej
daje nierówność prawdziwą. Na przykład zbiorem rozwiązań
nierówności 2x>6 jest zbiór liczb większych od.3
Rozwiązaniem nierówności 3x-2<3(x-1)+1 jest zbiór wszystkich
liczb, gdyż wstawiając w miejsce niewiadomej, po lewej i prawej
stronie nierówności, dowolną liczbę zawsze otrzymujemy
nierówność prawdziwą. Jest to nierówność tożsamościowa.
Żadna liczba nie spełnia nierówności x-3>x+5, bo wstawiając w
miejsce niewiadomej do lewej i prawej stronie dowolną liczbę
zawsze otrzymamy nierówność sprzeczną.
Mówimy, że dwie nierówności są równoważne, jeśli maja taki
sam zbiór rozwiązań.
Nierówność możemy przekształcić w nierówność
równoważną, jeśli:
- do obu stron nierówności dodamy (odejmiemy) tę samą
liczbę lub to samo wyrażenie algebraiczne, np.
x>9 | -2
x>9 | +3x-6
x-2>7
4x-6>3x+3
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę dodatnią, np.. Nierówności x>9 jest równoważna
nierówność 3x<27.
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę ujemną i zmienimy znak nierówności na przeciwny,
np. nierówności x>9 jest równoważna nierówność -3x<-27
Rozwiązując nierówność, postępujemy podobnie
jak podczas rozwiązywania równań.
Przekształcamy ją w nierówność równoważną,
tak aby po jednej stronie nierówności zostały
tylko niewiadome, a po drugiej stronie - liczba.
Chcąc opisać zbiór liczb większych lub równych od pewnej
liczby, a jednocześnie mniejszej od innej, np.
x 8
x 5
Możemy go zapisać za pomocą nierówności podwójnej:
5 x 8
Tę podwójną nierówność przedstawia na osi odcinek.
Równaniami liniowymi z dwiema niewiadomymi
są na przykład równania:
2x y 1
Chcąc znaleźć parę
liczb spełniających
dane równanie,
przyjmujemy za x
dowolną wartość i
obliczamy
odpowiadająca mu
wartość y.
2x 3 y 1
2 5 x 3 y 1 4 x 2 y 3
Można je doprowadzić do postaci: ax+by=c, gdzie
x i y są niewiadomymi, a, b, c są współczynnikami
liczbowymi, przy czym a 0 lub b 0 .
Równania: ax+by=c możemy przedstawić w
postaci równania: y a x c
.
b
b
Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi można
przedstawić graficznie w układzie współrzędnych.
Prosta o równaniu ax+by=c otrzymujemy, wybierając dwa
różne punkty, które spełniają to równanie, w więc leżą a tej
prostej. Punkty staramy się wybrać tak, aby można je było łatwo
zaznaczyć (najlepiej, gdy współrzędne punktów są liczbami
całkowitymi).
Nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi mogą
mieć postać:
ax by c ax by c
(nierówności ostre)
ax by c ax by c (nierówności nieostre)
Gdzie a, b, c są ustalonymi liczbami rzeczywistymi
a 0 , b 0 .
Każda nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
opisuje półpłaszczyznę wyznaczoną przez prostą
ax+by=c (bez tej prostej, gdy nierówność jest ostra, wraz
z tą prostą, gdy nierówność jest nieostra).
Dwa równania liniowe z dwiema niewiadomymi tworzą układ dwóch równań
liniowych z dwiema niewiadomymi.
Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest
każda para liczb spełniająca jednocześnie oba równania układu.
Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi może mieć:
-Dokładnie jedno rozwiązanie, gdy tylko jedna para liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ oznaczony.
-Nieskończenie wiele, wtedy nieskończenie wiele par liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ nieoznaczony.
- żadna para nie spełnia obu równań jednocześnie – wtedy jest to układ sprzeczny.
Mówimy, że dwa układy równań są równoważne, jeśli mają ten sam zbiór rozwiązań.
Układy równoważne możemy otrzymać:
-Dodając do obu stron (lub odejmując od obu stron) któregokolwiek równania tę samą
liczbę lub wyrażenie algebraiczne,
-Mnożąc (lub dzieląc) obie strony któregokolwiek równania przez tę sama liczbę lub
wyrażenie algebraiczne różne od zera,
-Dodając (lub odejmując stronami) oba równania.
Układ równań liniowych z dwoma niewiadomymi możemy rozwiązać metodą graficzną i
metodami algebraicznymi.
METODA GRAFICZNA
-Rysujemy wykres obu równań w jednym układnie współrzędnych,
- Odczytujemy współrzędne punktów należących do obu wykresów jednocześnie.
POŁOŻENIE
PROSTYCH W
UKŁADZIE
WSPÓŁRZĘDNYCH
Proste przecinają się
Proste pokrywają się
Proste są równoległe
PARY LICZB
SPEŁNIAJĄCYCH
UKŁAD RÓWNAŃ
Jedna para
Nieskończenie
wiele par
Zero par
NAZWA UKŁADU
oznaczony
nieoznaczony sprzeczny
METODA PODSTAWIANIA
-Z jednego równania układu wyznaczamy jedną ze zmiennych (x lub y)
-Wyznaczoną zmienną podstawiamy do drugiego równania. Zmienia się wtedy ono w równanie z jedną
niewiadomą.
- Z tego równania znajdujemy wartość niewiadomej. Obliczoną wartość wstawiamy do poprzedniego
równania i znajdujemy wartość drugiej zmiennej.
METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW
Rozwiązując układ równań ta metodą, budujemy dwa równoważne układy równań takie, że w jednym są
przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, a w drugim przy niewidomej y.
W każdym układzie, po dodaniu równań stronami, eliminujemy jedną zmienną.
Otrzymujemy dwa równania, każde z jedną niewiadomą, zamiast dwóch układów równań.
Rozwiązując każde z nich, otrzymujemy rozwiązanie danego układy równań.
METODA MIESZANA
Polega na wyznaczeniu jednej zmiennej za pomocą metody przeciwnych współczynników, a drugiej za
pomocą metody podstawiania.
-W układzie równań przekształcamy oba równania, mnożąc je przez takie liczby, aby przy tej samej
zmiennej w obu równaniach otrzymać przeciwne współczynniki.
-Dodajemy równania stronami, eliminując niewiadomą, przy której są przeciwne współczynniki.
Otrzymujemy równanie z jedna niewiadoma.
-Wyliczamy wartość tej niewiadomej.
-Obliczona wartość podstawiamy w miejsce niewiadomej do dowolnego równania w układzie, po czym
znajdujemy wartość drugiej niewiadomej.
Koniec części II
II. Równania, nierówności, układy równań
Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem
równości (=), w których występuje jedna lub więcej
niewiadomych, nazywamy równaniem.
Równania mogą zawierać:
-Jedną niewiadomą, np.
3x 2 1 x
x x 0
2
-Dwie niewiadome, np.
2
x y 10
3x y 6
- Większą liczbę niewiadomych, np.
x y z t 7 x 5 z 10
Jeśli w równaniu występuje tylko jedna niewiadoma i jest ona w pierwszej
potędze, to takie równanie nazywamy równaniem liniowym z jedną niewiadomą
lub równaniem stopnia pierwszego z jedną niewiadomą, np.
4 z 3 15
x
1
4
x
1
x 38
3
Można je zawsze doprowadzić do postaci: ax+c=0 ( a 0 ).
Rozwiązaniem równania pierwszego stopnia z jedna niewiadomą jest liczba,
która postawiona w miejsce niewiadomej zmienia równanie w równość
prawdziwą.
Jeśli jakaś liczba jest rozwiązaniem równania, to często mówimy, że liczba ta
spełnia to równanie.
Równania, które mają ten sam zbiór rozwiązań, nazywamy równaniami
równoważnymi, np. -3x+2=8 i 4x+8=0. Oba równania spełnia tylko liczba -2.
Równania równoważne do danego otrzymamy:
- Dodając lub odejmując taką samą liczbę (lub wyrażenie algebraiczne) do obu stron
równania,
-mnożąc lub dzieląc obie strony równania przez te samą liczbę różna od zera
Równanie, które nie ma rozwiązanie, nazywamy równaniem sprzecznym.
Takim równaniem jest na przykład x+5=x. Jakąkolwiek liczbę podstawimy w miejsce
niewiadomej, to zawsze lewa strona powstałej równości nie będzie równa stronie prawej.
Równanie, które jest spełnione dla każdej liczby, nazywamy równaniem
tożsamościowym.
Przykładem takiego równanie jest równanie 2(x-2)=2x-4.
Przekształcając je, otrzymujemy: 2x-4=2x-4. Jakąkolwiek liczbę wstawimy w miejsce
niewiadomej, zawsze po lewej stronie równania otrzymamy taka samą wartość jak po
prawej.
RÓWNANIE PIERWSZEGO STOPNIA Z JEDNA
NIEWIADOMĄ
NAZWA
LICZBA
PRZYKŁAD
ROZWIĄZANIE
ROZWIĄZAŃ
Oznaczone
Jedno
3x-2=2x-4
Sprzeczne
Zero
3(x+1)=3x+5
Tożsamość
Nieskończenie
wiele
4(x-1)+2(x-2)+2x
x=-2
Brak rozwiązań
Każda liczba
rzeczywista
Nierównością liniową z jedną niewiadomą nazywamy wyrażenia,
które można przedstawić w postaci:
ax b 0 ax b 0 - nierówności ostre
ax b 0 ax b 0 - nierówności nieostre
Gdzie a i b są dowolnymi liczbami, przy czym a 0 .
Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba, która ją spełnia, to
znaczy taka liczba, która po podstawieniu w miejsce niewiadomej
daje nierówność prawdziwą. Na przykład zbiorem rozwiązań
nierówności 2x>6 jest zbiór liczb większych od.3
Rozwiązaniem nierówności 3x-2<3(x-1)+1 jest zbiór wszystkich
liczb, gdyż wstawiając w miejsce niewiadomej, po lewej i prawej
stronie nierówności, dowolną liczbę zawsze otrzymujemy
nierówność prawdziwą. Jest to nierówność tożsamościowa.
Żadna liczba nie spełnia nierówności x-3>x+5, bo wstawiając w
miejsce niewiadomej do lewej i prawej stronie dowolną liczbę
zawsze otrzymamy nierówność sprzeczną.
Mówimy, że dwie nierówności są równoważne, jeśli maja taki
sam zbiór rozwiązań.
Nierówność możemy przekształcić w nierówność
równoważną, jeśli:
- do obu stron nierówności dodamy (odejmiemy) tę samą
liczbę lub to samo wyrażenie algebraiczne, np.
x>9 | -2
x>9 | +3x-6
x-2>7
4x-6>3x+3
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę dodatnią, np.. Nierówności x>9 jest równoważna
nierówność 3x<27.
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę ujemną i zmienimy znak nierówności na przeciwny,
np. nierówności x>9 jest równoważna nierówność -3x<-27
Rozwiązując nierówność, postępujemy podobnie
jak podczas rozwiązywania równań.
Przekształcamy ją w nierówność równoważną,
tak aby po jednej stronie nierówności zostały
tylko niewiadome, a po drugiej stronie - liczba.
Chcąc opisać zbiór liczb większych lub równych od pewnej
liczby, a jednocześnie mniejszej od innej, np.
x 8
x 5
Możemy go zapisać za pomocą nierówności podwójnej:
5 x 8
Tę podwójną nierówność przedstawia na osi odcinek.
Równaniami liniowymi z dwiema niewiadomymi
są na przykład równania:
2x y 1
Chcąc znaleźć parę
liczb spełniających
dane równanie,
przyjmujemy za x
dowolną wartość i
obliczamy
odpowiadająca mu
wartość y.
2x 3 y 1
2 5 x 3 y 1 4 x 2 y 3
Można je doprowadzić do postaci: ax+by=c, gdzie
x i y są niewiadomymi, a, b, c są współczynnikami
liczbowymi, przy czym a 0 lub b 0 .
Równania: ax+by=c możemy przedstawić w
postaci równania: y a x c
.
b
b
Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi można
przedstawić graficznie w układzie współrzędnych.
Prosta o równaniu ax+by=c otrzymujemy, wybierając dwa
różne punkty, które spełniają to równanie, w więc leżą a tej
prostej. Punkty staramy się wybrać tak, aby można je było łatwo
zaznaczyć (najlepiej, gdy współrzędne punktów są liczbami
całkowitymi).
Nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi mogą
mieć postać:
ax by c ax by c
(nierówności ostre)
ax by c ax by c (nierówności nieostre)
Gdzie a, b, c są ustalonymi liczbami rzeczywistymi
a 0 , b 0 .
Każda nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
opisuje półpłaszczyznę wyznaczoną przez prostą
ax+by=c (bez tej prostej, gdy nierówność jest ostra, wraz
z tą prostą, gdy nierówność jest nieostra).
Dwa równania liniowe z dwiema niewiadomymi tworzą układ dwóch równań
liniowych z dwiema niewiadomymi.
Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest
każda para liczb spełniająca jednocześnie oba równania układu.
Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi może mieć:
-Dokładnie jedno rozwiązanie, gdy tylko jedna para liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ oznaczony.
-Nieskończenie wiele, wtedy nieskończenie wiele par liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ nieoznaczony.
- żadna para nie spełnia obu równań jednocześnie – wtedy jest to układ sprzeczny.
Mówimy, że dwa układy równań są równoważne, jeśli mają ten sam zbiór rozwiązań.
Układy równoważne możemy otrzymać:
-Dodając do obu stron (lub odejmując od obu stron) któregokolwiek równania tę samą
liczbę lub wyrażenie algebraiczne,
-Mnożąc (lub dzieląc) obie strony któregokolwiek równania przez tę sama liczbę lub
wyrażenie algebraiczne różne od zera,
-Dodając (lub odejmując stronami) oba równania.
Układ równań liniowych z dwoma niewiadomymi możemy rozwiązać metodą graficzną i
metodami algebraicznymi.
METODA GRAFICZNA
-Rysujemy wykres obu równań w jednym układnie współrzędnych,
- Odczytujemy współrzędne punktów należących do obu wykresów jednocześnie.
POŁOŻENIE
PROSTYCH W
UKŁADZIE
WSPÓŁRZĘDNYCH
Proste przecinają się
Proste pokrywają się
Proste są równoległe
PARY LICZB
SPEŁNIAJĄCYCH
UKŁAD RÓWNAŃ
Jedna para
Nieskończenie
wiele par
Zero par
NAZWA UKŁADU
oznaczony
nieoznaczony sprzeczny
METODA PODSTAWIANIA
-Z jednego równania układu wyznaczamy jedną ze zmiennych (x lub y)
-Wyznaczoną zmienną podstawiamy do drugiego równania. Zmienia się wtedy ono w równanie z jedną
niewiadomą.
- Z tego równania znajdujemy wartość niewiadomej. Obliczoną wartość wstawiamy do poprzedniego
równania i znajdujemy wartość drugiej zmiennej.
METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW
Rozwiązując układ równań ta metodą, budujemy dwa równoważne układy równań takie, że w jednym są
przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, a w drugim przy niewidomej y.
W każdym układzie, po dodaniu równań stronami, eliminujemy jedną zmienną.
Otrzymujemy dwa równania, każde z jedną niewiadomą, zamiast dwóch układów równań.
Rozwiązując każde z nich, otrzymujemy rozwiązanie danego układy równań.
METODA MIESZANA
Polega na wyznaczeniu jednej zmiennej za pomocą metody przeciwnych współczynników, a drugiej za
pomocą metody podstawiania.
-W układzie równań przekształcamy oba równania, mnożąc je przez takie liczby, aby przy tej samej
zmiennej w obu równaniach otrzymać przeciwne współczynniki.
-Dodajemy równania stronami, eliminując niewiadomą, przy której są przeciwne współczynniki.
Otrzymujemy równanie z jedna niewiadoma.
-Wyliczamy wartość tej niewiadomej.
-Obliczona wartość podstawiamy w miejsce niewiadomej do dowolnego równania w układzie, po czym
znajdujemy wartość drugiej niewiadomej.
Koniec części II
Slide 2
II. Równania, nierówności, układy równań
Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem
równości (=), w których występuje jedna lub więcej
niewiadomych, nazywamy równaniem.
Równania mogą zawierać:
-Jedną niewiadomą, np.
3x 2 1 x
x x 0
2
-Dwie niewiadome, np.
2
x y 10
3x y 6
- Większą liczbę niewiadomych, np.
x y z t 7 x 5 z 10
Jeśli w równaniu występuje tylko jedna niewiadoma i jest ona w pierwszej
potędze, to takie równanie nazywamy równaniem liniowym z jedną niewiadomą
lub równaniem stopnia pierwszego z jedną niewiadomą, np.
4 z 3 15
x
1
4
x
1
x 38
3
Można je zawsze doprowadzić do postaci: ax+c=0 ( a 0 ).
Rozwiązaniem równania pierwszego stopnia z jedna niewiadomą jest liczba,
która postawiona w miejsce niewiadomej zmienia równanie w równość
prawdziwą.
Jeśli jakaś liczba jest rozwiązaniem równania, to często mówimy, że liczba ta
spełnia to równanie.
Równania, które mają ten sam zbiór rozwiązań, nazywamy równaniami
równoważnymi, np. -3x+2=8 i 4x+8=0. Oba równania spełnia tylko liczba -2.
Równania równoważne do danego otrzymamy:
- Dodając lub odejmując taką samą liczbę (lub wyrażenie algebraiczne) do obu stron
równania,
-mnożąc lub dzieląc obie strony równania przez te samą liczbę różna od zera
Równanie, które nie ma rozwiązanie, nazywamy równaniem sprzecznym.
Takim równaniem jest na przykład x+5=x. Jakąkolwiek liczbę podstawimy w miejsce
niewiadomej, to zawsze lewa strona powstałej równości nie będzie równa stronie prawej.
Równanie, które jest spełnione dla każdej liczby, nazywamy równaniem
tożsamościowym.
Przykładem takiego równanie jest równanie 2(x-2)=2x-4.
Przekształcając je, otrzymujemy: 2x-4=2x-4. Jakąkolwiek liczbę wstawimy w miejsce
niewiadomej, zawsze po lewej stronie równania otrzymamy taka samą wartość jak po
prawej.
RÓWNANIE PIERWSZEGO STOPNIA Z JEDNA
NIEWIADOMĄ
NAZWA
LICZBA
PRZYKŁAD
ROZWIĄZANIE
ROZWIĄZAŃ
Oznaczone
Jedno
3x-2=2x-4
Sprzeczne
Zero
3(x+1)=3x+5
Tożsamość
Nieskończenie
wiele
4(x-1)+2(x-2)+2x
x=-2
Brak rozwiązań
Każda liczba
rzeczywista
Nierównością liniową z jedną niewiadomą nazywamy wyrażenia,
które można przedstawić w postaci:
ax b 0 ax b 0 - nierówności ostre
ax b 0 ax b 0 - nierówności nieostre
Gdzie a i b są dowolnymi liczbami, przy czym a 0 .
Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba, która ją spełnia, to
znaczy taka liczba, która po podstawieniu w miejsce niewiadomej
daje nierówność prawdziwą. Na przykład zbiorem rozwiązań
nierówności 2x>6 jest zbiór liczb większych od.3
Rozwiązaniem nierówności 3x-2<3(x-1)+1 jest zbiór wszystkich
liczb, gdyż wstawiając w miejsce niewiadomej, po lewej i prawej
stronie nierówności, dowolną liczbę zawsze otrzymujemy
nierówność prawdziwą. Jest to nierówność tożsamościowa.
Żadna liczba nie spełnia nierówności x-3>x+5, bo wstawiając w
miejsce niewiadomej do lewej i prawej stronie dowolną liczbę
zawsze otrzymamy nierówność sprzeczną.
Mówimy, że dwie nierówności są równoważne, jeśli maja taki
sam zbiór rozwiązań.
Nierówność możemy przekształcić w nierówność
równoważną, jeśli:
- do obu stron nierówności dodamy (odejmiemy) tę samą
liczbę lub to samo wyrażenie algebraiczne, np.
x>9 | -2
x>9 | +3x-6
x-2>7
4x-6>3x+3
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę dodatnią, np.. Nierówności x>9 jest równoważna
nierówność 3x<27.
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę ujemną i zmienimy znak nierówności na przeciwny,
np. nierówności x>9 jest równoważna nierówność -3x<-27
Rozwiązując nierówność, postępujemy podobnie
jak podczas rozwiązywania równań.
Przekształcamy ją w nierówność równoważną,
tak aby po jednej stronie nierówności zostały
tylko niewiadome, a po drugiej stronie - liczba.
Chcąc opisać zbiór liczb większych lub równych od pewnej
liczby, a jednocześnie mniejszej od innej, np.
x 8
x 5
Możemy go zapisać za pomocą nierówności podwójnej:
5 x 8
Tę podwójną nierówność przedstawia na osi odcinek.
Równaniami liniowymi z dwiema niewiadomymi
są na przykład równania:
2x y 1
Chcąc znaleźć parę
liczb spełniających
dane równanie,
przyjmujemy za x
dowolną wartość i
obliczamy
odpowiadająca mu
wartość y.
2x 3 y 1
2 5 x 3 y 1 4 x 2 y 3
Można je doprowadzić do postaci: ax+by=c, gdzie
x i y są niewiadomymi, a, b, c są współczynnikami
liczbowymi, przy czym a 0 lub b 0 .
Równania: ax+by=c możemy przedstawić w
postaci równania: y a x c
.
b
b
Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi można
przedstawić graficznie w układzie współrzędnych.
Prosta o równaniu ax+by=c otrzymujemy, wybierając dwa
różne punkty, które spełniają to równanie, w więc leżą a tej
prostej. Punkty staramy się wybrać tak, aby można je było łatwo
zaznaczyć (najlepiej, gdy współrzędne punktów są liczbami
całkowitymi).
Nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi mogą
mieć postać:
ax by c ax by c
(nierówności ostre)
ax by c ax by c (nierówności nieostre)
Gdzie a, b, c są ustalonymi liczbami rzeczywistymi
a 0 , b 0 .
Każda nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
opisuje półpłaszczyznę wyznaczoną przez prostą
ax+by=c (bez tej prostej, gdy nierówność jest ostra, wraz
z tą prostą, gdy nierówność jest nieostra).
Dwa równania liniowe z dwiema niewiadomymi tworzą układ dwóch równań
liniowych z dwiema niewiadomymi.
Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest
każda para liczb spełniająca jednocześnie oba równania układu.
Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi może mieć:
-Dokładnie jedno rozwiązanie, gdy tylko jedna para liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ oznaczony.
-Nieskończenie wiele, wtedy nieskończenie wiele par liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ nieoznaczony.
- żadna para nie spełnia obu równań jednocześnie – wtedy jest to układ sprzeczny.
Mówimy, że dwa układy równań są równoważne, jeśli mają ten sam zbiór rozwiązań.
Układy równoważne możemy otrzymać:
-Dodając do obu stron (lub odejmując od obu stron) któregokolwiek równania tę samą
liczbę lub wyrażenie algebraiczne,
-Mnożąc (lub dzieląc) obie strony któregokolwiek równania przez tę sama liczbę lub
wyrażenie algebraiczne różne od zera,
-Dodając (lub odejmując stronami) oba równania.
Układ równań liniowych z dwoma niewiadomymi możemy rozwiązać metodą graficzną i
metodami algebraicznymi.
METODA GRAFICZNA
-Rysujemy wykres obu równań w jednym układnie współrzędnych,
- Odczytujemy współrzędne punktów należących do obu wykresów jednocześnie.
POŁOŻENIE
PROSTYCH W
UKŁADZIE
WSPÓŁRZĘDNYCH
Proste przecinają się
Proste pokrywają się
Proste są równoległe
PARY LICZB
SPEŁNIAJĄCYCH
UKŁAD RÓWNAŃ
Jedna para
Nieskończenie
wiele par
Zero par
NAZWA UKŁADU
oznaczony
nieoznaczony sprzeczny
METODA PODSTAWIANIA
-Z jednego równania układu wyznaczamy jedną ze zmiennych (x lub y)
-Wyznaczoną zmienną podstawiamy do drugiego równania. Zmienia się wtedy ono w równanie z jedną
niewiadomą.
- Z tego równania znajdujemy wartość niewiadomej. Obliczoną wartość wstawiamy do poprzedniego
równania i znajdujemy wartość drugiej zmiennej.
METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW
Rozwiązując układ równań ta metodą, budujemy dwa równoważne układy równań takie, że w jednym są
przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, a w drugim przy niewidomej y.
W każdym układzie, po dodaniu równań stronami, eliminujemy jedną zmienną.
Otrzymujemy dwa równania, każde z jedną niewiadomą, zamiast dwóch układów równań.
Rozwiązując każde z nich, otrzymujemy rozwiązanie danego układy równań.
METODA MIESZANA
Polega na wyznaczeniu jednej zmiennej za pomocą metody przeciwnych współczynników, a drugiej za
pomocą metody podstawiania.
-W układzie równań przekształcamy oba równania, mnożąc je przez takie liczby, aby przy tej samej
zmiennej w obu równaniach otrzymać przeciwne współczynniki.
-Dodajemy równania stronami, eliminując niewiadomą, przy której są przeciwne współczynniki.
Otrzymujemy równanie z jedna niewiadoma.
-Wyliczamy wartość tej niewiadomej.
-Obliczona wartość podstawiamy w miejsce niewiadomej do dowolnego równania w układzie, po czym
znajdujemy wartość drugiej niewiadomej.
Koniec części II
Slide 3
II. Równania, nierówności, układy równań
Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem
równości (=), w których występuje jedna lub więcej
niewiadomych, nazywamy równaniem.
Równania mogą zawierać:
-Jedną niewiadomą, np.
3x 2 1 x
x x 0
2
-Dwie niewiadome, np.
2
x y 10
3x y 6
- Większą liczbę niewiadomych, np.
x y z t 7 x 5 z 10
Jeśli w równaniu występuje tylko jedna niewiadoma i jest ona w pierwszej
potędze, to takie równanie nazywamy równaniem liniowym z jedną niewiadomą
lub równaniem stopnia pierwszego z jedną niewiadomą, np.
4 z 3 15
x
1
4
x
1
x 38
3
Można je zawsze doprowadzić do postaci: ax+c=0 ( a 0 ).
Rozwiązaniem równania pierwszego stopnia z jedna niewiadomą jest liczba,
która postawiona w miejsce niewiadomej zmienia równanie w równość
prawdziwą.
Jeśli jakaś liczba jest rozwiązaniem równania, to często mówimy, że liczba ta
spełnia to równanie.
Równania, które mają ten sam zbiór rozwiązań, nazywamy równaniami
równoważnymi, np. -3x+2=8 i 4x+8=0. Oba równania spełnia tylko liczba -2.
Równania równoważne do danego otrzymamy:
- Dodając lub odejmując taką samą liczbę (lub wyrażenie algebraiczne) do obu stron
równania,
-mnożąc lub dzieląc obie strony równania przez te samą liczbę różna od zera
Równanie, które nie ma rozwiązanie, nazywamy równaniem sprzecznym.
Takim równaniem jest na przykład x+5=x. Jakąkolwiek liczbę podstawimy w miejsce
niewiadomej, to zawsze lewa strona powstałej równości nie będzie równa stronie prawej.
Równanie, które jest spełnione dla każdej liczby, nazywamy równaniem
tożsamościowym.
Przykładem takiego równanie jest równanie 2(x-2)=2x-4.
Przekształcając je, otrzymujemy: 2x-4=2x-4. Jakąkolwiek liczbę wstawimy w miejsce
niewiadomej, zawsze po lewej stronie równania otrzymamy taka samą wartość jak po
prawej.
RÓWNANIE PIERWSZEGO STOPNIA Z JEDNA
NIEWIADOMĄ
NAZWA
LICZBA
PRZYKŁAD
ROZWIĄZANIE
ROZWIĄZAŃ
Oznaczone
Jedno
3x-2=2x-4
Sprzeczne
Zero
3(x+1)=3x+5
Tożsamość
Nieskończenie
wiele
4(x-1)+2(x-2)+2x
x=-2
Brak rozwiązań
Każda liczba
rzeczywista
Nierównością liniową z jedną niewiadomą nazywamy wyrażenia,
które można przedstawić w postaci:
ax b 0 ax b 0 - nierówności ostre
ax b 0 ax b 0 - nierówności nieostre
Gdzie a i b są dowolnymi liczbami, przy czym a 0 .
Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba, która ją spełnia, to
znaczy taka liczba, która po podstawieniu w miejsce niewiadomej
daje nierówność prawdziwą. Na przykład zbiorem rozwiązań
nierówności 2x>6 jest zbiór liczb większych od.3
Rozwiązaniem nierówności 3x-2<3(x-1)+1 jest zbiór wszystkich
liczb, gdyż wstawiając w miejsce niewiadomej, po lewej i prawej
stronie nierówności, dowolną liczbę zawsze otrzymujemy
nierówność prawdziwą. Jest to nierówność tożsamościowa.
Żadna liczba nie spełnia nierówności x-3>x+5, bo wstawiając w
miejsce niewiadomej do lewej i prawej stronie dowolną liczbę
zawsze otrzymamy nierówność sprzeczną.
Mówimy, że dwie nierówności są równoważne, jeśli maja taki
sam zbiór rozwiązań.
Nierówność możemy przekształcić w nierówność
równoważną, jeśli:
- do obu stron nierówności dodamy (odejmiemy) tę samą
liczbę lub to samo wyrażenie algebraiczne, np.
x>9 | -2
x>9 | +3x-6
x-2>7
4x-6>3x+3
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę dodatnią, np.. Nierówności x>9 jest równoważna
nierówność 3x<27.
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę ujemną i zmienimy znak nierówności na przeciwny,
np. nierówności x>9 jest równoważna nierówność -3x<-27
Rozwiązując nierówność, postępujemy podobnie
jak podczas rozwiązywania równań.
Przekształcamy ją w nierówność równoważną,
tak aby po jednej stronie nierówności zostały
tylko niewiadome, a po drugiej stronie - liczba.
Chcąc opisać zbiór liczb większych lub równych od pewnej
liczby, a jednocześnie mniejszej od innej, np.
x 8
x 5
Możemy go zapisać za pomocą nierówności podwójnej:
5 x 8
Tę podwójną nierówność przedstawia na osi odcinek.
Równaniami liniowymi z dwiema niewiadomymi
są na przykład równania:
2x y 1
Chcąc znaleźć parę
liczb spełniających
dane równanie,
przyjmujemy za x
dowolną wartość i
obliczamy
odpowiadająca mu
wartość y.
2x 3 y 1
2 5 x 3 y 1 4 x 2 y 3
Można je doprowadzić do postaci: ax+by=c, gdzie
x i y są niewiadomymi, a, b, c są współczynnikami
liczbowymi, przy czym a 0 lub b 0 .
Równania: ax+by=c możemy przedstawić w
postaci równania: y a x c
.
b
b
Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi można
przedstawić graficznie w układzie współrzędnych.
Prosta o równaniu ax+by=c otrzymujemy, wybierając dwa
różne punkty, które spełniają to równanie, w więc leżą a tej
prostej. Punkty staramy się wybrać tak, aby można je było łatwo
zaznaczyć (najlepiej, gdy współrzędne punktów są liczbami
całkowitymi).
Nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi mogą
mieć postać:
ax by c ax by c
(nierówności ostre)
ax by c ax by c (nierówności nieostre)
Gdzie a, b, c są ustalonymi liczbami rzeczywistymi
a 0 , b 0 .
Każda nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
opisuje półpłaszczyznę wyznaczoną przez prostą
ax+by=c (bez tej prostej, gdy nierówność jest ostra, wraz
z tą prostą, gdy nierówność jest nieostra).
Dwa równania liniowe z dwiema niewiadomymi tworzą układ dwóch równań
liniowych z dwiema niewiadomymi.
Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest
każda para liczb spełniająca jednocześnie oba równania układu.
Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi może mieć:
-Dokładnie jedno rozwiązanie, gdy tylko jedna para liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ oznaczony.
-Nieskończenie wiele, wtedy nieskończenie wiele par liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ nieoznaczony.
- żadna para nie spełnia obu równań jednocześnie – wtedy jest to układ sprzeczny.
Mówimy, że dwa układy równań są równoważne, jeśli mają ten sam zbiór rozwiązań.
Układy równoważne możemy otrzymać:
-Dodając do obu stron (lub odejmując od obu stron) któregokolwiek równania tę samą
liczbę lub wyrażenie algebraiczne,
-Mnożąc (lub dzieląc) obie strony któregokolwiek równania przez tę sama liczbę lub
wyrażenie algebraiczne różne od zera,
-Dodając (lub odejmując stronami) oba równania.
Układ równań liniowych z dwoma niewiadomymi możemy rozwiązać metodą graficzną i
metodami algebraicznymi.
METODA GRAFICZNA
-Rysujemy wykres obu równań w jednym układnie współrzędnych,
- Odczytujemy współrzędne punktów należących do obu wykresów jednocześnie.
POŁOŻENIE
PROSTYCH W
UKŁADZIE
WSPÓŁRZĘDNYCH
Proste przecinają się
Proste pokrywają się
Proste są równoległe
PARY LICZB
SPEŁNIAJĄCYCH
UKŁAD RÓWNAŃ
Jedna para
Nieskończenie
wiele par
Zero par
NAZWA UKŁADU
oznaczony
nieoznaczony sprzeczny
METODA PODSTAWIANIA
-Z jednego równania układu wyznaczamy jedną ze zmiennych (x lub y)
-Wyznaczoną zmienną podstawiamy do drugiego równania. Zmienia się wtedy ono w równanie z jedną
niewiadomą.
- Z tego równania znajdujemy wartość niewiadomej. Obliczoną wartość wstawiamy do poprzedniego
równania i znajdujemy wartość drugiej zmiennej.
METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW
Rozwiązując układ równań ta metodą, budujemy dwa równoważne układy równań takie, że w jednym są
przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, a w drugim przy niewidomej y.
W każdym układzie, po dodaniu równań stronami, eliminujemy jedną zmienną.
Otrzymujemy dwa równania, każde z jedną niewiadomą, zamiast dwóch układów równań.
Rozwiązując każde z nich, otrzymujemy rozwiązanie danego układy równań.
METODA MIESZANA
Polega na wyznaczeniu jednej zmiennej za pomocą metody przeciwnych współczynników, a drugiej za
pomocą metody podstawiania.
-W układzie równań przekształcamy oba równania, mnożąc je przez takie liczby, aby przy tej samej
zmiennej w obu równaniach otrzymać przeciwne współczynniki.
-Dodajemy równania stronami, eliminując niewiadomą, przy której są przeciwne współczynniki.
Otrzymujemy równanie z jedna niewiadoma.
-Wyliczamy wartość tej niewiadomej.
-Obliczona wartość podstawiamy w miejsce niewiadomej do dowolnego równania w układzie, po czym
znajdujemy wartość drugiej niewiadomej.
Koniec części II
Slide 4
II. Równania, nierówności, układy równań
Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem
równości (=), w których występuje jedna lub więcej
niewiadomych, nazywamy równaniem.
Równania mogą zawierać:
-Jedną niewiadomą, np.
3x 2 1 x
x x 0
2
-Dwie niewiadome, np.
2
x y 10
3x y 6
- Większą liczbę niewiadomych, np.
x y z t 7 x 5 z 10
Jeśli w równaniu występuje tylko jedna niewiadoma i jest ona w pierwszej
potędze, to takie równanie nazywamy równaniem liniowym z jedną niewiadomą
lub równaniem stopnia pierwszego z jedną niewiadomą, np.
4 z 3 15
x
1
4
x
1
x 38
3
Można je zawsze doprowadzić do postaci: ax+c=0 ( a 0 ).
Rozwiązaniem równania pierwszego stopnia z jedna niewiadomą jest liczba,
która postawiona w miejsce niewiadomej zmienia równanie w równość
prawdziwą.
Jeśli jakaś liczba jest rozwiązaniem równania, to często mówimy, że liczba ta
spełnia to równanie.
Równania, które mają ten sam zbiór rozwiązań, nazywamy równaniami
równoważnymi, np. -3x+2=8 i 4x+8=0. Oba równania spełnia tylko liczba -2.
Równania równoważne do danego otrzymamy:
- Dodając lub odejmując taką samą liczbę (lub wyrażenie algebraiczne) do obu stron
równania,
-mnożąc lub dzieląc obie strony równania przez te samą liczbę różna od zera
Równanie, które nie ma rozwiązanie, nazywamy równaniem sprzecznym.
Takim równaniem jest na przykład x+5=x. Jakąkolwiek liczbę podstawimy w miejsce
niewiadomej, to zawsze lewa strona powstałej równości nie będzie równa stronie prawej.
Równanie, które jest spełnione dla każdej liczby, nazywamy równaniem
tożsamościowym.
Przykładem takiego równanie jest równanie 2(x-2)=2x-4.
Przekształcając je, otrzymujemy: 2x-4=2x-4. Jakąkolwiek liczbę wstawimy w miejsce
niewiadomej, zawsze po lewej stronie równania otrzymamy taka samą wartość jak po
prawej.
RÓWNANIE PIERWSZEGO STOPNIA Z JEDNA
NIEWIADOMĄ
NAZWA
LICZBA
PRZYKŁAD
ROZWIĄZANIE
ROZWIĄZAŃ
Oznaczone
Jedno
3x-2=2x-4
Sprzeczne
Zero
3(x+1)=3x+5
Tożsamość
Nieskończenie
wiele
4(x-1)+2(x-2)+2x
x=-2
Brak rozwiązań
Każda liczba
rzeczywista
Nierównością liniową z jedną niewiadomą nazywamy wyrażenia,
które można przedstawić w postaci:
ax b 0 ax b 0 - nierówności ostre
ax b 0 ax b 0 - nierówności nieostre
Gdzie a i b są dowolnymi liczbami, przy czym a 0 .
Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba, która ją spełnia, to
znaczy taka liczba, która po podstawieniu w miejsce niewiadomej
daje nierówność prawdziwą. Na przykład zbiorem rozwiązań
nierówności 2x>6 jest zbiór liczb większych od.3
Rozwiązaniem nierówności 3x-2<3(x-1)+1 jest zbiór wszystkich
liczb, gdyż wstawiając w miejsce niewiadomej, po lewej i prawej
stronie nierówności, dowolną liczbę zawsze otrzymujemy
nierówność prawdziwą. Jest to nierówność tożsamościowa.
Żadna liczba nie spełnia nierówności x-3>x+5, bo wstawiając w
miejsce niewiadomej do lewej i prawej stronie dowolną liczbę
zawsze otrzymamy nierówność sprzeczną.
Mówimy, że dwie nierówności są równoważne, jeśli maja taki
sam zbiór rozwiązań.
Nierówność możemy przekształcić w nierówność
równoważną, jeśli:
- do obu stron nierówności dodamy (odejmiemy) tę samą
liczbę lub to samo wyrażenie algebraiczne, np.
x>9 | -2
x>9 | +3x-6
x-2>7
4x-6>3x+3
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę dodatnią, np.. Nierówności x>9 jest równoważna
nierówność 3x<27.
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę ujemną i zmienimy znak nierówności na przeciwny,
np. nierówności x>9 jest równoważna nierówność -3x<-27
Rozwiązując nierówność, postępujemy podobnie
jak podczas rozwiązywania równań.
Przekształcamy ją w nierówność równoważną,
tak aby po jednej stronie nierówności zostały
tylko niewiadome, a po drugiej stronie - liczba.
Chcąc opisać zbiór liczb większych lub równych od pewnej
liczby, a jednocześnie mniejszej od innej, np.
x 8
x 5
Możemy go zapisać za pomocą nierówności podwójnej:
5 x 8
Tę podwójną nierówność przedstawia na osi odcinek.
Równaniami liniowymi z dwiema niewiadomymi
są na przykład równania:
2x y 1
Chcąc znaleźć parę
liczb spełniających
dane równanie,
przyjmujemy za x
dowolną wartość i
obliczamy
odpowiadająca mu
wartość y.
2x 3 y 1
2 5 x 3 y 1 4 x 2 y 3
Można je doprowadzić do postaci: ax+by=c, gdzie
x i y są niewiadomymi, a, b, c są współczynnikami
liczbowymi, przy czym a 0 lub b 0 .
Równania: ax+by=c możemy przedstawić w
postaci równania: y a x c
.
b
b
Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi można
przedstawić graficznie w układzie współrzędnych.
Prosta o równaniu ax+by=c otrzymujemy, wybierając dwa
różne punkty, które spełniają to równanie, w więc leżą a tej
prostej. Punkty staramy się wybrać tak, aby można je było łatwo
zaznaczyć (najlepiej, gdy współrzędne punktów są liczbami
całkowitymi).
Nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi mogą
mieć postać:
ax by c ax by c
(nierówności ostre)
ax by c ax by c (nierówności nieostre)
Gdzie a, b, c są ustalonymi liczbami rzeczywistymi
a 0 , b 0 .
Każda nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
opisuje półpłaszczyznę wyznaczoną przez prostą
ax+by=c (bez tej prostej, gdy nierówność jest ostra, wraz
z tą prostą, gdy nierówność jest nieostra).
Dwa równania liniowe z dwiema niewiadomymi tworzą układ dwóch równań
liniowych z dwiema niewiadomymi.
Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest
każda para liczb spełniająca jednocześnie oba równania układu.
Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi może mieć:
-Dokładnie jedno rozwiązanie, gdy tylko jedna para liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ oznaczony.
-Nieskończenie wiele, wtedy nieskończenie wiele par liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ nieoznaczony.
- żadna para nie spełnia obu równań jednocześnie – wtedy jest to układ sprzeczny.
Mówimy, że dwa układy równań są równoważne, jeśli mają ten sam zbiór rozwiązań.
Układy równoważne możemy otrzymać:
-Dodając do obu stron (lub odejmując od obu stron) któregokolwiek równania tę samą
liczbę lub wyrażenie algebraiczne,
-Mnożąc (lub dzieląc) obie strony któregokolwiek równania przez tę sama liczbę lub
wyrażenie algebraiczne różne od zera,
-Dodając (lub odejmując stronami) oba równania.
Układ równań liniowych z dwoma niewiadomymi możemy rozwiązać metodą graficzną i
metodami algebraicznymi.
METODA GRAFICZNA
-Rysujemy wykres obu równań w jednym układnie współrzędnych,
- Odczytujemy współrzędne punktów należących do obu wykresów jednocześnie.
POŁOŻENIE
PROSTYCH W
UKŁADZIE
WSPÓŁRZĘDNYCH
Proste przecinają się
Proste pokrywają się
Proste są równoległe
PARY LICZB
SPEŁNIAJĄCYCH
UKŁAD RÓWNAŃ
Jedna para
Nieskończenie
wiele par
Zero par
NAZWA UKŁADU
oznaczony
nieoznaczony sprzeczny
METODA PODSTAWIANIA
-Z jednego równania układu wyznaczamy jedną ze zmiennych (x lub y)
-Wyznaczoną zmienną podstawiamy do drugiego równania. Zmienia się wtedy ono w równanie z jedną
niewiadomą.
- Z tego równania znajdujemy wartość niewiadomej. Obliczoną wartość wstawiamy do poprzedniego
równania i znajdujemy wartość drugiej zmiennej.
METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW
Rozwiązując układ równań ta metodą, budujemy dwa równoważne układy równań takie, że w jednym są
przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, a w drugim przy niewidomej y.
W każdym układzie, po dodaniu równań stronami, eliminujemy jedną zmienną.
Otrzymujemy dwa równania, każde z jedną niewiadomą, zamiast dwóch układów równań.
Rozwiązując każde z nich, otrzymujemy rozwiązanie danego układy równań.
METODA MIESZANA
Polega na wyznaczeniu jednej zmiennej za pomocą metody przeciwnych współczynników, a drugiej za
pomocą metody podstawiania.
-W układzie równań przekształcamy oba równania, mnożąc je przez takie liczby, aby przy tej samej
zmiennej w obu równaniach otrzymać przeciwne współczynniki.
-Dodajemy równania stronami, eliminując niewiadomą, przy której są przeciwne współczynniki.
Otrzymujemy równanie z jedna niewiadoma.
-Wyliczamy wartość tej niewiadomej.
-Obliczona wartość podstawiamy w miejsce niewiadomej do dowolnego równania w układzie, po czym
znajdujemy wartość drugiej niewiadomej.
Koniec części II
Slide 5
II. Równania, nierówności, układy równań
Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem
równości (=), w których występuje jedna lub więcej
niewiadomych, nazywamy równaniem.
Równania mogą zawierać:
-Jedną niewiadomą, np.
3x 2 1 x
x x 0
2
-Dwie niewiadome, np.
2
x y 10
3x y 6
- Większą liczbę niewiadomych, np.
x y z t 7 x 5 z 10
Jeśli w równaniu występuje tylko jedna niewiadoma i jest ona w pierwszej
potędze, to takie równanie nazywamy równaniem liniowym z jedną niewiadomą
lub równaniem stopnia pierwszego z jedną niewiadomą, np.
4 z 3 15
x
1
4
x
1
x 38
3
Można je zawsze doprowadzić do postaci: ax+c=0 ( a 0 ).
Rozwiązaniem równania pierwszego stopnia z jedna niewiadomą jest liczba,
która postawiona w miejsce niewiadomej zmienia równanie w równość
prawdziwą.
Jeśli jakaś liczba jest rozwiązaniem równania, to często mówimy, że liczba ta
spełnia to równanie.
Równania, które mają ten sam zbiór rozwiązań, nazywamy równaniami
równoważnymi, np. -3x+2=8 i 4x+8=0. Oba równania spełnia tylko liczba -2.
Równania równoważne do danego otrzymamy:
- Dodając lub odejmując taką samą liczbę (lub wyrażenie algebraiczne) do obu stron
równania,
-mnożąc lub dzieląc obie strony równania przez te samą liczbę różna od zera
Równanie, które nie ma rozwiązanie, nazywamy równaniem sprzecznym.
Takim równaniem jest na przykład x+5=x. Jakąkolwiek liczbę podstawimy w miejsce
niewiadomej, to zawsze lewa strona powstałej równości nie będzie równa stronie prawej.
Równanie, które jest spełnione dla każdej liczby, nazywamy równaniem
tożsamościowym.
Przykładem takiego równanie jest równanie 2(x-2)=2x-4.
Przekształcając je, otrzymujemy: 2x-4=2x-4. Jakąkolwiek liczbę wstawimy w miejsce
niewiadomej, zawsze po lewej stronie równania otrzymamy taka samą wartość jak po
prawej.
RÓWNANIE PIERWSZEGO STOPNIA Z JEDNA
NIEWIADOMĄ
NAZWA
LICZBA
PRZYKŁAD
ROZWIĄZANIE
ROZWIĄZAŃ
Oznaczone
Jedno
3x-2=2x-4
Sprzeczne
Zero
3(x+1)=3x+5
Tożsamość
Nieskończenie
wiele
4(x-1)+2(x-2)+2x
x=-2
Brak rozwiązań
Każda liczba
rzeczywista
Nierównością liniową z jedną niewiadomą nazywamy wyrażenia,
które można przedstawić w postaci:
ax b 0 ax b 0 - nierówności ostre
ax b 0 ax b 0 - nierówności nieostre
Gdzie a i b są dowolnymi liczbami, przy czym a 0 .
Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba, która ją spełnia, to
znaczy taka liczba, która po podstawieniu w miejsce niewiadomej
daje nierówność prawdziwą. Na przykład zbiorem rozwiązań
nierówności 2x>6 jest zbiór liczb większych od.3
Rozwiązaniem nierówności 3x-2<3(x-1)+1 jest zbiór wszystkich
liczb, gdyż wstawiając w miejsce niewiadomej, po lewej i prawej
stronie nierówności, dowolną liczbę zawsze otrzymujemy
nierówność prawdziwą. Jest to nierówność tożsamościowa.
Żadna liczba nie spełnia nierówności x-3>x+5, bo wstawiając w
miejsce niewiadomej do lewej i prawej stronie dowolną liczbę
zawsze otrzymamy nierówność sprzeczną.
Mówimy, że dwie nierówności są równoważne, jeśli maja taki
sam zbiór rozwiązań.
Nierówność możemy przekształcić w nierówność
równoważną, jeśli:
- do obu stron nierówności dodamy (odejmiemy) tę samą
liczbę lub to samo wyrażenie algebraiczne, np.
x>9 | -2
x>9 | +3x-6
x-2>7
4x-6>3x+3
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę dodatnią, np.. Nierówności x>9 jest równoważna
nierówność 3x<27.
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę ujemną i zmienimy znak nierówności na przeciwny,
np. nierówności x>9 jest równoważna nierówność -3x<-27
Rozwiązując nierówność, postępujemy podobnie
jak podczas rozwiązywania równań.
Przekształcamy ją w nierówność równoważną,
tak aby po jednej stronie nierówności zostały
tylko niewiadome, a po drugiej stronie - liczba.
Chcąc opisać zbiór liczb większych lub równych od pewnej
liczby, a jednocześnie mniejszej od innej, np.
x 8
x 5
Możemy go zapisać za pomocą nierówności podwójnej:
5 x 8
Tę podwójną nierówność przedstawia na osi odcinek.
Równaniami liniowymi z dwiema niewiadomymi
są na przykład równania:
2x y 1
Chcąc znaleźć parę
liczb spełniających
dane równanie,
przyjmujemy za x
dowolną wartość i
obliczamy
odpowiadająca mu
wartość y.
2x 3 y 1
2 5 x 3 y 1 4 x 2 y 3
Można je doprowadzić do postaci: ax+by=c, gdzie
x i y są niewiadomymi, a, b, c są współczynnikami
liczbowymi, przy czym a 0 lub b 0 .
Równania: ax+by=c możemy przedstawić w
postaci równania: y a x c
.
b
b
Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi można
przedstawić graficznie w układzie współrzędnych.
Prosta o równaniu ax+by=c otrzymujemy, wybierając dwa
różne punkty, które spełniają to równanie, w więc leżą a tej
prostej. Punkty staramy się wybrać tak, aby można je było łatwo
zaznaczyć (najlepiej, gdy współrzędne punktów są liczbami
całkowitymi).
Nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi mogą
mieć postać:
ax by c ax by c
(nierówności ostre)
ax by c ax by c (nierówności nieostre)
Gdzie a, b, c są ustalonymi liczbami rzeczywistymi
a 0 , b 0 .
Każda nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
opisuje półpłaszczyznę wyznaczoną przez prostą
ax+by=c (bez tej prostej, gdy nierówność jest ostra, wraz
z tą prostą, gdy nierówność jest nieostra).
Dwa równania liniowe z dwiema niewiadomymi tworzą układ dwóch równań
liniowych z dwiema niewiadomymi.
Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest
każda para liczb spełniająca jednocześnie oba równania układu.
Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi może mieć:
-Dokładnie jedno rozwiązanie, gdy tylko jedna para liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ oznaczony.
-Nieskończenie wiele, wtedy nieskończenie wiele par liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ nieoznaczony.
- żadna para nie spełnia obu równań jednocześnie – wtedy jest to układ sprzeczny.
Mówimy, że dwa układy równań są równoważne, jeśli mają ten sam zbiór rozwiązań.
Układy równoważne możemy otrzymać:
-Dodając do obu stron (lub odejmując od obu stron) któregokolwiek równania tę samą
liczbę lub wyrażenie algebraiczne,
-Mnożąc (lub dzieląc) obie strony któregokolwiek równania przez tę sama liczbę lub
wyrażenie algebraiczne różne od zera,
-Dodając (lub odejmując stronami) oba równania.
Układ równań liniowych z dwoma niewiadomymi możemy rozwiązać metodą graficzną i
metodami algebraicznymi.
METODA GRAFICZNA
-Rysujemy wykres obu równań w jednym układnie współrzędnych,
- Odczytujemy współrzędne punktów należących do obu wykresów jednocześnie.
POŁOŻENIE
PROSTYCH W
UKŁADZIE
WSPÓŁRZĘDNYCH
Proste przecinają się
Proste pokrywają się
Proste są równoległe
PARY LICZB
SPEŁNIAJĄCYCH
UKŁAD RÓWNAŃ
Jedna para
Nieskończenie
wiele par
Zero par
NAZWA UKŁADU
oznaczony
nieoznaczony sprzeczny
METODA PODSTAWIANIA
-Z jednego równania układu wyznaczamy jedną ze zmiennych (x lub y)
-Wyznaczoną zmienną podstawiamy do drugiego równania. Zmienia się wtedy ono w równanie z jedną
niewiadomą.
- Z tego równania znajdujemy wartość niewiadomej. Obliczoną wartość wstawiamy do poprzedniego
równania i znajdujemy wartość drugiej zmiennej.
METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW
Rozwiązując układ równań ta metodą, budujemy dwa równoważne układy równań takie, że w jednym są
przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, a w drugim przy niewidomej y.
W każdym układzie, po dodaniu równań stronami, eliminujemy jedną zmienną.
Otrzymujemy dwa równania, każde z jedną niewiadomą, zamiast dwóch układów równań.
Rozwiązując każde z nich, otrzymujemy rozwiązanie danego układy równań.
METODA MIESZANA
Polega na wyznaczeniu jednej zmiennej za pomocą metody przeciwnych współczynników, a drugiej za
pomocą metody podstawiania.
-W układzie równań przekształcamy oba równania, mnożąc je przez takie liczby, aby przy tej samej
zmiennej w obu równaniach otrzymać przeciwne współczynniki.
-Dodajemy równania stronami, eliminując niewiadomą, przy której są przeciwne współczynniki.
Otrzymujemy równanie z jedna niewiadoma.
-Wyliczamy wartość tej niewiadomej.
-Obliczona wartość podstawiamy w miejsce niewiadomej do dowolnego równania w układzie, po czym
znajdujemy wartość drugiej niewiadomej.
Koniec części II
Slide 6
II. Równania, nierówności, układy równań
Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem
równości (=), w których występuje jedna lub więcej
niewiadomych, nazywamy równaniem.
Równania mogą zawierać:
-Jedną niewiadomą, np.
3x 2 1 x
x x 0
2
-Dwie niewiadome, np.
2
x y 10
3x y 6
- Większą liczbę niewiadomych, np.
x y z t 7 x 5 z 10
Jeśli w równaniu występuje tylko jedna niewiadoma i jest ona w pierwszej
potędze, to takie równanie nazywamy równaniem liniowym z jedną niewiadomą
lub równaniem stopnia pierwszego z jedną niewiadomą, np.
4 z 3 15
x
1
4
x
1
x 38
3
Można je zawsze doprowadzić do postaci: ax+c=0 ( a 0 ).
Rozwiązaniem równania pierwszego stopnia z jedna niewiadomą jest liczba,
która postawiona w miejsce niewiadomej zmienia równanie w równość
prawdziwą.
Jeśli jakaś liczba jest rozwiązaniem równania, to często mówimy, że liczba ta
spełnia to równanie.
Równania, które mają ten sam zbiór rozwiązań, nazywamy równaniami
równoważnymi, np. -3x+2=8 i 4x+8=0. Oba równania spełnia tylko liczba -2.
Równania równoważne do danego otrzymamy:
- Dodając lub odejmując taką samą liczbę (lub wyrażenie algebraiczne) do obu stron
równania,
-mnożąc lub dzieląc obie strony równania przez te samą liczbę różna od zera
Równanie, które nie ma rozwiązanie, nazywamy równaniem sprzecznym.
Takim równaniem jest na przykład x+5=x. Jakąkolwiek liczbę podstawimy w miejsce
niewiadomej, to zawsze lewa strona powstałej równości nie będzie równa stronie prawej.
Równanie, które jest spełnione dla każdej liczby, nazywamy równaniem
tożsamościowym.
Przykładem takiego równanie jest równanie 2(x-2)=2x-4.
Przekształcając je, otrzymujemy: 2x-4=2x-4. Jakąkolwiek liczbę wstawimy w miejsce
niewiadomej, zawsze po lewej stronie równania otrzymamy taka samą wartość jak po
prawej.
RÓWNANIE PIERWSZEGO STOPNIA Z JEDNA
NIEWIADOMĄ
NAZWA
LICZBA
PRZYKŁAD
ROZWIĄZANIE
ROZWIĄZAŃ
Oznaczone
Jedno
3x-2=2x-4
Sprzeczne
Zero
3(x+1)=3x+5
Tożsamość
Nieskończenie
wiele
4(x-1)+2(x-2)+2x
x=-2
Brak rozwiązań
Każda liczba
rzeczywista
Nierównością liniową z jedną niewiadomą nazywamy wyrażenia,
które można przedstawić w postaci:
ax b 0 ax b 0 - nierówności ostre
ax b 0 ax b 0 - nierówności nieostre
Gdzie a i b są dowolnymi liczbami, przy czym a 0 .
Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba, która ją spełnia, to
znaczy taka liczba, która po podstawieniu w miejsce niewiadomej
daje nierówność prawdziwą. Na przykład zbiorem rozwiązań
nierówności 2x>6 jest zbiór liczb większych od.3
Rozwiązaniem nierówności 3x-2<3(x-1)+1 jest zbiór wszystkich
liczb, gdyż wstawiając w miejsce niewiadomej, po lewej i prawej
stronie nierówności, dowolną liczbę zawsze otrzymujemy
nierówność prawdziwą. Jest to nierówność tożsamościowa.
Żadna liczba nie spełnia nierówności x-3>x+5, bo wstawiając w
miejsce niewiadomej do lewej i prawej stronie dowolną liczbę
zawsze otrzymamy nierówność sprzeczną.
Mówimy, że dwie nierówności są równoważne, jeśli maja taki
sam zbiór rozwiązań.
Nierówność możemy przekształcić w nierówność
równoważną, jeśli:
- do obu stron nierówności dodamy (odejmiemy) tę samą
liczbę lub to samo wyrażenie algebraiczne, np.
x>9 | -2
x>9 | +3x-6
x-2>7
4x-6>3x+3
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę dodatnią, np.. Nierówności x>9 jest równoważna
nierówność 3x<27.
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę ujemną i zmienimy znak nierówności na przeciwny,
np. nierówności x>9 jest równoważna nierówność -3x<-27
Rozwiązując nierówność, postępujemy podobnie
jak podczas rozwiązywania równań.
Przekształcamy ją w nierówność równoważną,
tak aby po jednej stronie nierówności zostały
tylko niewiadome, a po drugiej stronie - liczba.
Chcąc opisać zbiór liczb większych lub równych od pewnej
liczby, a jednocześnie mniejszej od innej, np.
x 8
x 5
Możemy go zapisać za pomocą nierówności podwójnej:
5 x 8
Tę podwójną nierówność przedstawia na osi odcinek.
Równaniami liniowymi z dwiema niewiadomymi
są na przykład równania:
2x y 1
Chcąc znaleźć parę
liczb spełniających
dane równanie,
przyjmujemy za x
dowolną wartość i
obliczamy
odpowiadająca mu
wartość y.
2x 3 y 1
2 5 x 3 y 1 4 x 2 y 3
Można je doprowadzić do postaci: ax+by=c, gdzie
x i y są niewiadomymi, a, b, c są współczynnikami
liczbowymi, przy czym a 0 lub b 0 .
Równania: ax+by=c możemy przedstawić w
postaci równania: y a x c
.
b
b
Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi można
przedstawić graficznie w układzie współrzędnych.
Prosta o równaniu ax+by=c otrzymujemy, wybierając dwa
różne punkty, które spełniają to równanie, w więc leżą a tej
prostej. Punkty staramy się wybrać tak, aby można je było łatwo
zaznaczyć (najlepiej, gdy współrzędne punktów są liczbami
całkowitymi).
Nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi mogą
mieć postać:
ax by c ax by c
(nierówności ostre)
ax by c ax by c (nierówności nieostre)
Gdzie a, b, c są ustalonymi liczbami rzeczywistymi
a 0 , b 0 .
Każda nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
opisuje półpłaszczyznę wyznaczoną przez prostą
ax+by=c (bez tej prostej, gdy nierówność jest ostra, wraz
z tą prostą, gdy nierówność jest nieostra).
Dwa równania liniowe z dwiema niewiadomymi tworzą układ dwóch równań
liniowych z dwiema niewiadomymi.
Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest
każda para liczb spełniająca jednocześnie oba równania układu.
Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi może mieć:
-Dokładnie jedno rozwiązanie, gdy tylko jedna para liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ oznaczony.
-Nieskończenie wiele, wtedy nieskończenie wiele par liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ nieoznaczony.
- żadna para nie spełnia obu równań jednocześnie – wtedy jest to układ sprzeczny.
Mówimy, że dwa układy równań są równoważne, jeśli mają ten sam zbiór rozwiązań.
Układy równoważne możemy otrzymać:
-Dodając do obu stron (lub odejmując od obu stron) któregokolwiek równania tę samą
liczbę lub wyrażenie algebraiczne,
-Mnożąc (lub dzieląc) obie strony któregokolwiek równania przez tę sama liczbę lub
wyrażenie algebraiczne różne od zera,
-Dodając (lub odejmując stronami) oba równania.
Układ równań liniowych z dwoma niewiadomymi możemy rozwiązać metodą graficzną i
metodami algebraicznymi.
METODA GRAFICZNA
-Rysujemy wykres obu równań w jednym układnie współrzędnych,
- Odczytujemy współrzędne punktów należących do obu wykresów jednocześnie.
POŁOŻENIE
PROSTYCH W
UKŁADZIE
WSPÓŁRZĘDNYCH
Proste przecinają się
Proste pokrywają się
Proste są równoległe
PARY LICZB
SPEŁNIAJĄCYCH
UKŁAD RÓWNAŃ
Jedna para
Nieskończenie
wiele par
Zero par
NAZWA UKŁADU
oznaczony
nieoznaczony sprzeczny
METODA PODSTAWIANIA
-Z jednego równania układu wyznaczamy jedną ze zmiennych (x lub y)
-Wyznaczoną zmienną podstawiamy do drugiego równania. Zmienia się wtedy ono w równanie z jedną
niewiadomą.
- Z tego równania znajdujemy wartość niewiadomej. Obliczoną wartość wstawiamy do poprzedniego
równania i znajdujemy wartość drugiej zmiennej.
METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW
Rozwiązując układ równań ta metodą, budujemy dwa równoważne układy równań takie, że w jednym są
przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, a w drugim przy niewidomej y.
W każdym układzie, po dodaniu równań stronami, eliminujemy jedną zmienną.
Otrzymujemy dwa równania, każde z jedną niewiadomą, zamiast dwóch układów równań.
Rozwiązując każde z nich, otrzymujemy rozwiązanie danego układy równań.
METODA MIESZANA
Polega na wyznaczeniu jednej zmiennej za pomocą metody przeciwnych współczynników, a drugiej za
pomocą metody podstawiania.
-W układzie równań przekształcamy oba równania, mnożąc je przez takie liczby, aby przy tej samej
zmiennej w obu równaniach otrzymać przeciwne współczynniki.
-Dodajemy równania stronami, eliminując niewiadomą, przy której są przeciwne współczynniki.
Otrzymujemy równanie z jedna niewiadoma.
-Wyliczamy wartość tej niewiadomej.
-Obliczona wartość podstawiamy w miejsce niewiadomej do dowolnego równania w układzie, po czym
znajdujemy wartość drugiej niewiadomej.
Koniec części II
Slide 7
II. Równania, nierówności, układy równań
Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem
równości (=), w których występuje jedna lub więcej
niewiadomych, nazywamy równaniem.
Równania mogą zawierać:
-Jedną niewiadomą, np.
3x 2 1 x
x x 0
2
-Dwie niewiadome, np.
2
x y 10
3x y 6
- Większą liczbę niewiadomych, np.
x y z t 7 x 5 z 10
Jeśli w równaniu występuje tylko jedna niewiadoma i jest ona w pierwszej
potędze, to takie równanie nazywamy równaniem liniowym z jedną niewiadomą
lub równaniem stopnia pierwszego z jedną niewiadomą, np.
4 z 3 15
x
1
4
x
1
x 38
3
Można je zawsze doprowadzić do postaci: ax+c=0 ( a 0 ).
Rozwiązaniem równania pierwszego stopnia z jedna niewiadomą jest liczba,
która postawiona w miejsce niewiadomej zmienia równanie w równość
prawdziwą.
Jeśli jakaś liczba jest rozwiązaniem równania, to często mówimy, że liczba ta
spełnia to równanie.
Równania, które mają ten sam zbiór rozwiązań, nazywamy równaniami
równoważnymi, np. -3x+2=8 i 4x+8=0. Oba równania spełnia tylko liczba -2.
Równania równoważne do danego otrzymamy:
- Dodając lub odejmując taką samą liczbę (lub wyrażenie algebraiczne) do obu stron
równania,
-mnożąc lub dzieląc obie strony równania przez te samą liczbę różna od zera
Równanie, które nie ma rozwiązanie, nazywamy równaniem sprzecznym.
Takim równaniem jest na przykład x+5=x. Jakąkolwiek liczbę podstawimy w miejsce
niewiadomej, to zawsze lewa strona powstałej równości nie będzie równa stronie prawej.
Równanie, które jest spełnione dla każdej liczby, nazywamy równaniem
tożsamościowym.
Przykładem takiego równanie jest równanie 2(x-2)=2x-4.
Przekształcając je, otrzymujemy: 2x-4=2x-4. Jakąkolwiek liczbę wstawimy w miejsce
niewiadomej, zawsze po lewej stronie równania otrzymamy taka samą wartość jak po
prawej.
RÓWNANIE PIERWSZEGO STOPNIA Z JEDNA
NIEWIADOMĄ
NAZWA
LICZBA
PRZYKŁAD
ROZWIĄZANIE
ROZWIĄZAŃ
Oznaczone
Jedno
3x-2=2x-4
Sprzeczne
Zero
3(x+1)=3x+5
Tożsamość
Nieskończenie
wiele
4(x-1)+2(x-2)+2x
x=-2
Brak rozwiązań
Każda liczba
rzeczywista
Nierównością liniową z jedną niewiadomą nazywamy wyrażenia,
które można przedstawić w postaci:
ax b 0 ax b 0 - nierówności ostre
ax b 0 ax b 0 - nierówności nieostre
Gdzie a i b są dowolnymi liczbami, przy czym a 0 .
Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba, która ją spełnia, to
znaczy taka liczba, która po podstawieniu w miejsce niewiadomej
daje nierówność prawdziwą. Na przykład zbiorem rozwiązań
nierówności 2x>6 jest zbiór liczb większych od.3
Rozwiązaniem nierówności 3x-2<3(x-1)+1 jest zbiór wszystkich
liczb, gdyż wstawiając w miejsce niewiadomej, po lewej i prawej
stronie nierówności, dowolną liczbę zawsze otrzymujemy
nierówność prawdziwą. Jest to nierówność tożsamościowa.
Żadna liczba nie spełnia nierówności x-3>x+5, bo wstawiając w
miejsce niewiadomej do lewej i prawej stronie dowolną liczbę
zawsze otrzymamy nierówność sprzeczną.
Mówimy, że dwie nierówności są równoważne, jeśli maja taki
sam zbiór rozwiązań.
Nierówność możemy przekształcić w nierówność
równoważną, jeśli:
- do obu stron nierówności dodamy (odejmiemy) tę samą
liczbę lub to samo wyrażenie algebraiczne, np.
x>9 | -2
x>9 | +3x-6
x-2>7
4x-6>3x+3
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę dodatnią, np.. Nierówności x>9 jest równoważna
nierówność 3x<27.
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę ujemną i zmienimy znak nierówności na przeciwny,
np. nierówności x>9 jest równoważna nierówność -3x<-27
Rozwiązując nierówność, postępujemy podobnie
jak podczas rozwiązywania równań.
Przekształcamy ją w nierówność równoważną,
tak aby po jednej stronie nierówności zostały
tylko niewiadome, a po drugiej stronie - liczba.
Chcąc opisać zbiór liczb większych lub równych od pewnej
liczby, a jednocześnie mniejszej od innej, np.
x 8
x 5
Możemy go zapisać za pomocą nierówności podwójnej:
5 x 8
Tę podwójną nierówność przedstawia na osi odcinek.
Równaniami liniowymi z dwiema niewiadomymi
są na przykład równania:
2x y 1
Chcąc znaleźć parę
liczb spełniających
dane równanie,
przyjmujemy za x
dowolną wartość i
obliczamy
odpowiadająca mu
wartość y.
2x 3 y 1
2 5 x 3 y 1 4 x 2 y 3
Można je doprowadzić do postaci: ax+by=c, gdzie
x i y są niewiadomymi, a, b, c są współczynnikami
liczbowymi, przy czym a 0 lub b 0 .
Równania: ax+by=c możemy przedstawić w
postaci równania: y a x c
.
b
b
Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi można
przedstawić graficznie w układzie współrzędnych.
Prosta o równaniu ax+by=c otrzymujemy, wybierając dwa
różne punkty, które spełniają to równanie, w więc leżą a tej
prostej. Punkty staramy się wybrać tak, aby można je było łatwo
zaznaczyć (najlepiej, gdy współrzędne punktów są liczbami
całkowitymi).
Nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi mogą
mieć postać:
ax by c ax by c
(nierówności ostre)
ax by c ax by c (nierówności nieostre)
Gdzie a, b, c są ustalonymi liczbami rzeczywistymi
a 0 , b 0 .
Każda nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
opisuje półpłaszczyznę wyznaczoną przez prostą
ax+by=c (bez tej prostej, gdy nierówność jest ostra, wraz
z tą prostą, gdy nierówność jest nieostra).
Dwa równania liniowe z dwiema niewiadomymi tworzą układ dwóch równań
liniowych z dwiema niewiadomymi.
Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest
każda para liczb spełniająca jednocześnie oba równania układu.
Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi może mieć:
-Dokładnie jedno rozwiązanie, gdy tylko jedna para liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ oznaczony.
-Nieskończenie wiele, wtedy nieskończenie wiele par liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ nieoznaczony.
- żadna para nie spełnia obu równań jednocześnie – wtedy jest to układ sprzeczny.
Mówimy, że dwa układy równań są równoważne, jeśli mają ten sam zbiór rozwiązań.
Układy równoważne możemy otrzymać:
-Dodając do obu stron (lub odejmując od obu stron) któregokolwiek równania tę samą
liczbę lub wyrażenie algebraiczne,
-Mnożąc (lub dzieląc) obie strony któregokolwiek równania przez tę sama liczbę lub
wyrażenie algebraiczne różne od zera,
-Dodając (lub odejmując stronami) oba równania.
Układ równań liniowych z dwoma niewiadomymi możemy rozwiązać metodą graficzną i
metodami algebraicznymi.
METODA GRAFICZNA
-Rysujemy wykres obu równań w jednym układnie współrzędnych,
- Odczytujemy współrzędne punktów należących do obu wykresów jednocześnie.
POŁOŻENIE
PROSTYCH W
UKŁADZIE
WSPÓŁRZĘDNYCH
Proste przecinają się
Proste pokrywają się
Proste są równoległe
PARY LICZB
SPEŁNIAJĄCYCH
UKŁAD RÓWNAŃ
Jedna para
Nieskończenie
wiele par
Zero par
NAZWA UKŁADU
oznaczony
nieoznaczony sprzeczny
METODA PODSTAWIANIA
-Z jednego równania układu wyznaczamy jedną ze zmiennych (x lub y)
-Wyznaczoną zmienną podstawiamy do drugiego równania. Zmienia się wtedy ono w równanie z jedną
niewiadomą.
- Z tego równania znajdujemy wartość niewiadomej. Obliczoną wartość wstawiamy do poprzedniego
równania i znajdujemy wartość drugiej zmiennej.
METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW
Rozwiązując układ równań ta metodą, budujemy dwa równoważne układy równań takie, że w jednym są
przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, a w drugim przy niewidomej y.
W każdym układzie, po dodaniu równań stronami, eliminujemy jedną zmienną.
Otrzymujemy dwa równania, każde z jedną niewiadomą, zamiast dwóch układów równań.
Rozwiązując każde z nich, otrzymujemy rozwiązanie danego układy równań.
METODA MIESZANA
Polega na wyznaczeniu jednej zmiennej za pomocą metody przeciwnych współczynników, a drugiej za
pomocą metody podstawiania.
-W układzie równań przekształcamy oba równania, mnożąc je przez takie liczby, aby przy tej samej
zmiennej w obu równaniach otrzymać przeciwne współczynniki.
-Dodajemy równania stronami, eliminując niewiadomą, przy której są przeciwne współczynniki.
Otrzymujemy równanie z jedna niewiadoma.
-Wyliczamy wartość tej niewiadomej.
-Obliczona wartość podstawiamy w miejsce niewiadomej do dowolnego równania w układzie, po czym
znajdujemy wartość drugiej niewiadomej.
Koniec części II
Slide 8
II. Równania, nierówności, układy równań
Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem
równości (=), w których występuje jedna lub więcej
niewiadomych, nazywamy równaniem.
Równania mogą zawierać:
-Jedną niewiadomą, np.
3x 2 1 x
x x 0
2
-Dwie niewiadome, np.
2
x y 10
3x y 6
- Większą liczbę niewiadomych, np.
x y z t 7 x 5 z 10
Jeśli w równaniu występuje tylko jedna niewiadoma i jest ona w pierwszej
potędze, to takie równanie nazywamy równaniem liniowym z jedną niewiadomą
lub równaniem stopnia pierwszego z jedną niewiadomą, np.
4 z 3 15
x
1
4
x
1
x 38
3
Można je zawsze doprowadzić do postaci: ax+c=0 ( a 0 ).
Rozwiązaniem równania pierwszego stopnia z jedna niewiadomą jest liczba,
która postawiona w miejsce niewiadomej zmienia równanie w równość
prawdziwą.
Jeśli jakaś liczba jest rozwiązaniem równania, to często mówimy, że liczba ta
spełnia to równanie.
Równania, które mają ten sam zbiór rozwiązań, nazywamy równaniami
równoważnymi, np. -3x+2=8 i 4x+8=0. Oba równania spełnia tylko liczba -2.
Równania równoważne do danego otrzymamy:
- Dodając lub odejmując taką samą liczbę (lub wyrażenie algebraiczne) do obu stron
równania,
-mnożąc lub dzieląc obie strony równania przez te samą liczbę różna od zera
Równanie, które nie ma rozwiązanie, nazywamy równaniem sprzecznym.
Takim równaniem jest na przykład x+5=x. Jakąkolwiek liczbę podstawimy w miejsce
niewiadomej, to zawsze lewa strona powstałej równości nie będzie równa stronie prawej.
Równanie, które jest spełnione dla każdej liczby, nazywamy równaniem
tożsamościowym.
Przykładem takiego równanie jest równanie 2(x-2)=2x-4.
Przekształcając je, otrzymujemy: 2x-4=2x-4. Jakąkolwiek liczbę wstawimy w miejsce
niewiadomej, zawsze po lewej stronie równania otrzymamy taka samą wartość jak po
prawej.
RÓWNANIE PIERWSZEGO STOPNIA Z JEDNA
NIEWIADOMĄ
NAZWA
LICZBA
PRZYKŁAD
ROZWIĄZANIE
ROZWIĄZAŃ
Oznaczone
Jedno
3x-2=2x-4
Sprzeczne
Zero
3(x+1)=3x+5
Tożsamość
Nieskończenie
wiele
4(x-1)+2(x-2)+2x
x=-2
Brak rozwiązań
Każda liczba
rzeczywista
Nierównością liniową z jedną niewiadomą nazywamy wyrażenia,
które można przedstawić w postaci:
ax b 0 ax b 0 - nierówności ostre
ax b 0 ax b 0 - nierówności nieostre
Gdzie a i b są dowolnymi liczbami, przy czym a 0 .
Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba, która ją spełnia, to
znaczy taka liczba, która po podstawieniu w miejsce niewiadomej
daje nierówność prawdziwą. Na przykład zbiorem rozwiązań
nierówności 2x>6 jest zbiór liczb większych od.3
Rozwiązaniem nierówności 3x-2<3(x-1)+1 jest zbiór wszystkich
liczb, gdyż wstawiając w miejsce niewiadomej, po lewej i prawej
stronie nierówności, dowolną liczbę zawsze otrzymujemy
nierówność prawdziwą. Jest to nierówność tożsamościowa.
Żadna liczba nie spełnia nierówności x-3>x+5, bo wstawiając w
miejsce niewiadomej do lewej i prawej stronie dowolną liczbę
zawsze otrzymamy nierówność sprzeczną.
Mówimy, że dwie nierówności są równoważne, jeśli maja taki
sam zbiór rozwiązań.
Nierówność możemy przekształcić w nierówność
równoważną, jeśli:
- do obu stron nierówności dodamy (odejmiemy) tę samą
liczbę lub to samo wyrażenie algebraiczne, np.
x>9 | -2
x>9 | +3x-6
x-2>7
4x-6>3x+3
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę dodatnią, np.. Nierówności x>9 jest równoważna
nierówność 3x<27.
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę ujemną i zmienimy znak nierówności na przeciwny,
np. nierówności x>9 jest równoważna nierówność -3x<-27
Rozwiązując nierówność, postępujemy podobnie
jak podczas rozwiązywania równań.
Przekształcamy ją w nierówność równoważną,
tak aby po jednej stronie nierówności zostały
tylko niewiadome, a po drugiej stronie - liczba.
Chcąc opisać zbiór liczb większych lub równych od pewnej
liczby, a jednocześnie mniejszej od innej, np.
x 8
x 5
Możemy go zapisać za pomocą nierówności podwójnej:
5 x 8
Tę podwójną nierówność przedstawia na osi odcinek.
Równaniami liniowymi z dwiema niewiadomymi
są na przykład równania:
2x y 1
Chcąc znaleźć parę
liczb spełniających
dane równanie,
przyjmujemy za x
dowolną wartość i
obliczamy
odpowiadająca mu
wartość y.
2x 3 y 1
2 5 x 3 y 1 4 x 2 y 3
Można je doprowadzić do postaci: ax+by=c, gdzie
x i y są niewiadomymi, a, b, c są współczynnikami
liczbowymi, przy czym a 0 lub b 0 .
Równania: ax+by=c możemy przedstawić w
postaci równania: y a x c
.
b
b
Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi można
przedstawić graficznie w układzie współrzędnych.
Prosta o równaniu ax+by=c otrzymujemy, wybierając dwa
różne punkty, które spełniają to równanie, w więc leżą a tej
prostej. Punkty staramy się wybrać tak, aby można je było łatwo
zaznaczyć (najlepiej, gdy współrzędne punktów są liczbami
całkowitymi).
Nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi mogą
mieć postać:
ax by c ax by c
(nierówności ostre)
ax by c ax by c (nierówności nieostre)
Gdzie a, b, c są ustalonymi liczbami rzeczywistymi
a 0 , b 0 .
Każda nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
opisuje półpłaszczyznę wyznaczoną przez prostą
ax+by=c (bez tej prostej, gdy nierówność jest ostra, wraz
z tą prostą, gdy nierówność jest nieostra).
Dwa równania liniowe z dwiema niewiadomymi tworzą układ dwóch równań
liniowych z dwiema niewiadomymi.
Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest
każda para liczb spełniająca jednocześnie oba równania układu.
Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi może mieć:
-Dokładnie jedno rozwiązanie, gdy tylko jedna para liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ oznaczony.
-Nieskończenie wiele, wtedy nieskończenie wiele par liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ nieoznaczony.
- żadna para nie spełnia obu równań jednocześnie – wtedy jest to układ sprzeczny.
Mówimy, że dwa układy równań są równoważne, jeśli mają ten sam zbiór rozwiązań.
Układy równoważne możemy otrzymać:
-Dodając do obu stron (lub odejmując od obu stron) któregokolwiek równania tę samą
liczbę lub wyrażenie algebraiczne,
-Mnożąc (lub dzieląc) obie strony któregokolwiek równania przez tę sama liczbę lub
wyrażenie algebraiczne różne od zera,
-Dodając (lub odejmując stronami) oba równania.
Układ równań liniowych z dwoma niewiadomymi możemy rozwiązać metodą graficzną i
metodami algebraicznymi.
METODA GRAFICZNA
-Rysujemy wykres obu równań w jednym układnie współrzędnych,
- Odczytujemy współrzędne punktów należących do obu wykresów jednocześnie.
POŁOŻENIE
PROSTYCH W
UKŁADZIE
WSPÓŁRZĘDNYCH
Proste przecinają się
Proste pokrywają się
Proste są równoległe
PARY LICZB
SPEŁNIAJĄCYCH
UKŁAD RÓWNAŃ
Jedna para
Nieskończenie
wiele par
Zero par
NAZWA UKŁADU
oznaczony
nieoznaczony sprzeczny
METODA PODSTAWIANIA
-Z jednego równania układu wyznaczamy jedną ze zmiennych (x lub y)
-Wyznaczoną zmienną podstawiamy do drugiego równania. Zmienia się wtedy ono w równanie z jedną
niewiadomą.
- Z tego równania znajdujemy wartość niewiadomej. Obliczoną wartość wstawiamy do poprzedniego
równania i znajdujemy wartość drugiej zmiennej.
METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW
Rozwiązując układ równań ta metodą, budujemy dwa równoważne układy równań takie, że w jednym są
przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, a w drugim przy niewidomej y.
W każdym układzie, po dodaniu równań stronami, eliminujemy jedną zmienną.
Otrzymujemy dwa równania, każde z jedną niewiadomą, zamiast dwóch układów równań.
Rozwiązując każde z nich, otrzymujemy rozwiązanie danego układy równań.
METODA MIESZANA
Polega na wyznaczeniu jednej zmiennej za pomocą metody przeciwnych współczynników, a drugiej za
pomocą metody podstawiania.
-W układzie równań przekształcamy oba równania, mnożąc je przez takie liczby, aby przy tej samej
zmiennej w obu równaniach otrzymać przeciwne współczynniki.
-Dodajemy równania stronami, eliminując niewiadomą, przy której są przeciwne współczynniki.
Otrzymujemy równanie z jedna niewiadoma.
-Wyliczamy wartość tej niewiadomej.
-Obliczona wartość podstawiamy w miejsce niewiadomej do dowolnego równania w układzie, po czym
znajdujemy wartość drugiej niewiadomej.
Koniec części II
Slide 9
II. Równania, nierówności, układy równań
Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem
równości (=), w których występuje jedna lub więcej
niewiadomych, nazywamy równaniem.
Równania mogą zawierać:
-Jedną niewiadomą, np.
3x 2 1 x
x x 0
2
-Dwie niewiadome, np.
2
x y 10
3x y 6
- Większą liczbę niewiadomych, np.
x y z t 7 x 5 z 10
Jeśli w równaniu występuje tylko jedna niewiadoma i jest ona w pierwszej
potędze, to takie równanie nazywamy równaniem liniowym z jedną niewiadomą
lub równaniem stopnia pierwszego z jedną niewiadomą, np.
4 z 3 15
x
1
4
x
1
x 38
3
Można je zawsze doprowadzić do postaci: ax+c=0 ( a 0 ).
Rozwiązaniem równania pierwszego stopnia z jedna niewiadomą jest liczba,
która postawiona w miejsce niewiadomej zmienia równanie w równość
prawdziwą.
Jeśli jakaś liczba jest rozwiązaniem równania, to często mówimy, że liczba ta
spełnia to równanie.
Równania, które mają ten sam zbiór rozwiązań, nazywamy równaniami
równoważnymi, np. -3x+2=8 i 4x+8=0. Oba równania spełnia tylko liczba -2.
Równania równoważne do danego otrzymamy:
- Dodając lub odejmując taką samą liczbę (lub wyrażenie algebraiczne) do obu stron
równania,
-mnożąc lub dzieląc obie strony równania przez te samą liczbę różna od zera
Równanie, które nie ma rozwiązanie, nazywamy równaniem sprzecznym.
Takim równaniem jest na przykład x+5=x. Jakąkolwiek liczbę podstawimy w miejsce
niewiadomej, to zawsze lewa strona powstałej równości nie będzie równa stronie prawej.
Równanie, które jest spełnione dla każdej liczby, nazywamy równaniem
tożsamościowym.
Przykładem takiego równanie jest równanie 2(x-2)=2x-4.
Przekształcając je, otrzymujemy: 2x-4=2x-4. Jakąkolwiek liczbę wstawimy w miejsce
niewiadomej, zawsze po lewej stronie równania otrzymamy taka samą wartość jak po
prawej.
RÓWNANIE PIERWSZEGO STOPNIA Z JEDNA
NIEWIADOMĄ
NAZWA
LICZBA
PRZYKŁAD
ROZWIĄZANIE
ROZWIĄZAŃ
Oznaczone
Jedno
3x-2=2x-4
Sprzeczne
Zero
3(x+1)=3x+5
Tożsamość
Nieskończenie
wiele
4(x-1)+2(x-2)+2x
x=-2
Brak rozwiązań
Każda liczba
rzeczywista
Nierównością liniową z jedną niewiadomą nazywamy wyrażenia,
które można przedstawić w postaci:
ax b 0 ax b 0 - nierówności ostre
ax b 0 ax b 0 - nierówności nieostre
Gdzie a i b są dowolnymi liczbami, przy czym a 0 .
Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba, która ją spełnia, to
znaczy taka liczba, która po podstawieniu w miejsce niewiadomej
daje nierówność prawdziwą. Na przykład zbiorem rozwiązań
nierówności 2x>6 jest zbiór liczb większych od.3
Rozwiązaniem nierówności 3x-2<3(x-1)+1 jest zbiór wszystkich
liczb, gdyż wstawiając w miejsce niewiadomej, po lewej i prawej
stronie nierówności, dowolną liczbę zawsze otrzymujemy
nierówność prawdziwą. Jest to nierówność tożsamościowa.
Żadna liczba nie spełnia nierówności x-3>x+5, bo wstawiając w
miejsce niewiadomej do lewej i prawej stronie dowolną liczbę
zawsze otrzymamy nierówność sprzeczną.
Mówimy, że dwie nierówności są równoważne, jeśli maja taki
sam zbiór rozwiązań.
Nierówność możemy przekształcić w nierówność
równoważną, jeśli:
- do obu stron nierówności dodamy (odejmiemy) tę samą
liczbę lub to samo wyrażenie algebraiczne, np.
x>9 | -2
x>9 | +3x-6
x-2>7
4x-6>3x+3
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę dodatnią, np.. Nierówności x>9 jest równoważna
nierówność 3x<27.
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę ujemną i zmienimy znak nierówności na przeciwny,
np. nierówności x>9 jest równoważna nierówność -3x<-27
Rozwiązując nierówność, postępujemy podobnie
jak podczas rozwiązywania równań.
Przekształcamy ją w nierówność równoważną,
tak aby po jednej stronie nierówności zostały
tylko niewiadome, a po drugiej stronie - liczba.
Chcąc opisać zbiór liczb większych lub równych od pewnej
liczby, a jednocześnie mniejszej od innej, np.
x 8
x 5
Możemy go zapisać za pomocą nierówności podwójnej:
5 x 8
Tę podwójną nierówność przedstawia na osi odcinek.
Równaniami liniowymi z dwiema niewiadomymi
są na przykład równania:
2x y 1
Chcąc znaleźć parę
liczb spełniających
dane równanie,
przyjmujemy za x
dowolną wartość i
obliczamy
odpowiadająca mu
wartość y.
2x 3 y 1
2 5 x 3 y 1 4 x 2 y 3
Można je doprowadzić do postaci: ax+by=c, gdzie
x i y są niewiadomymi, a, b, c są współczynnikami
liczbowymi, przy czym a 0 lub b 0 .
Równania: ax+by=c możemy przedstawić w
postaci równania: y a x c
.
b
b
Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi można
przedstawić graficznie w układzie współrzędnych.
Prosta o równaniu ax+by=c otrzymujemy, wybierając dwa
różne punkty, które spełniają to równanie, w więc leżą a tej
prostej. Punkty staramy się wybrać tak, aby można je było łatwo
zaznaczyć (najlepiej, gdy współrzędne punktów są liczbami
całkowitymi).
Nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi mogą
mieć postać:
ax by c ax by c
(nierówności ostre)
ax by c ax by c (nierówności nieostre)
Gdzie a, b, c są ustalonymi liczbami rzeczywistymi
a 0 , b 0 .
Każda nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
opisuje półpłaszczyznę wyznaczoną przez prostą
ax+by=c (bez tej prostej, gdy nierówność jest ostra, wraz
z tą prostą, gdy nierówność jest nieostra).
Dwa równania liniowe z dwiema niewiadomymi tworzą układ dwóch równań
liniowych z dwiema niewiadomymi.
Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest
każda para liczb spełniająca jednocześnie oba równania układu.
Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi może mieć:
-Dokładnie jedno rozwiązanie, gdy tylko jedna para liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ oznaczony.
-Nieskończenie wiele, wtedy nieskończenie wiele par liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ nieoznaczony.
- żadna para nie spełnia obu równań jednocześnie – wtedy jest to układ sprzeczny.
Mówimy, że dwa układy równań są równoważne, jeśli mają ten sam zbiór rozwiązań.
Układy równoważne możemy otrzymać:
-Dodając do obu stron (lub odejmując od obu stron) któregokolwiek równania tę samą
liczbę lub wyrażenie algebraiczne,
-Mnożąc (lub dzieląc) obie strony któregokolwiek równania przez tę sama liczbę lub
wyrażenie algebraiczne różne od zera,
-Dodając (lub odejmując stronami) oba równania.
Układ równań liniowych z dwoma niewiadomymi możemy rozwiązać metodą graficzną i
metodami algebraicznymi.
METODA GRAFICZNA
-Rysujemy wykres obu równań w jednym układnie współrzędnych,
- Odczytujemy współrzędne punktów należących do obu wykresów jednocześnie.
POŁOŻENIE
PROSTYCH W
UKŁADZIE
WSPÓŁRZĘDNYCH
Proste przecinają się
Proste pokrywają się
Proste są równoległe
PARY LICZB
SPEŁNIAJĄCYCH
UKŁAD RÓWNAŃ
Jedna para
Nieskończenie
wiele par
Zero par
NAZWA UKŁADU
oznaczony
nieoznaczony sprzeczny
METODA PODSTAWIANIA
-Z jednego równania układu wyznaczamy jedną ze zmiennych (x lub y)
-Wyznaczoną zmienną podstawiamy do drugiego równania. Zmienia się wtedy ono w równanie z jedną
niewiadomą.
- Z tego równania znajdujemy wartość niewiadomej. Obliczoną wartość wstawiamy do poprzedniego
równania i znajdujemy wartość drugiej zmiennej.
METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW
Rozwiązując układ równań ta metodą, budujemy dwa równoważne układy równań takie, że w jednym są
przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, a w drugim przy niewidomej y.
W każdym układzie, po dodaniu równań stronami, eliminujemy jedną zmienną.
Otrzymujemy dwa równania, każde z jedną niewiadomą, zamiast dwóch układów równań.
Rozwiązując każde z nich, otrzymujemy rozwiązanie danego układy równań.
METODA MIESZANA
Polega na wyznaczeniu jednej zmiennej za pomocą metody przeciwnych współczynników, a drugiej za
pomocą metody podstawiania.
-W układzie równań przekształcamy oba równania, mnożąc je przez takie liczby, aby przy tej samej
zmiennej w obu równaniach otrzymać przeciwne współczynniki.
-Dodajemy równania stronami, eliminując niewiadomą, przy której są przeciwne współczynniki.
Otrzymujemy równanie z jedna niewiadoma.
-Wyliczamy wartość tej niewiadomej.
-Obliczona wartość podstawiamy w miejsce niewiadomej do dowolnego równania w układzie, po czym
znajdujemy wartość drugiej niewiadomej.
Koniec części II
Slide 10
II. Równania, nierówności, układy równań
Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem
równości (=), w których występuje jedna lub więcej
niewiadomych, nazywamy równaniem.
Równania mogą zawierać:
-Jedną niewiadomą, np.
3x 2 1 x
x x 0
2
-Dwie niewiadome, np.
2
x y 10
3x y 6
- Większą liczbę niewiadomych, np.
x y z t 7 x 5 z 10
Jeśli w równaniu występuje tylko jedna niewiadoma i jest ona w pierwszej
potędze, to takie równanie nazywamy równaniem liniowym z jedną niewiadomą
lub równaniem stopnia pierwszego z jedną niewiadomą, np.
4 z 3 15
x
1
4
x
1
x 38
3
Można je zawsze doprowadzić do postaci: ax+c=0 ( a 0 ).
Rozwiązaniem równania pierwszego stopnia z jedna niewiadomą jest liczba,
która postawiona w miejsce niewiadomej zmienia równanie w równość
prawdziwą.
Jeśli jakaś liczba jest rozwiązaniem równania, to często mówimy, że liczba ta
spełnia to równanie.
Równania, które mają ten sam zbiór rozwiązań, nazywamy równaniami
równoważnymi, np. -3x+2=8 i 4x+8=0. Oba równania spełnia tylko liczba -2.
Równania równoważne do danego otrzymamy:
- Dodając lub odejmując taką samą liczbę (lub wyrażenie algebraiczne) do obu stron
równania,
-mnożąc lub dzieląc obie strony równania przez te samą liczbę różna od zera
Równanie, które nie ma rozwiązanie, nazywamy równaniem sprzecznym.
Takim równaniem jest na przykład x+5=x. Jakąkolwiek liczbę podstawimy w miejsce
niewiadomej, to zawsze lewa strona powstałej równości nie będzie równa stronie prawej.
Równanie, które jest spełnione dla każdej liczby, nazywamy równaniem
tożsamościowym.
Przykładem takiego równanie jest równanie 2(x-2)=2x-4.
Przekształcając je, otrzymujemy: 2x-4=2x-4. Jakąkolwiek liczbę wstawimy w miejsce
niewiadomej, zawsze po lewej stronie równania otrzymamy taka samą wartość jak po
prawej.
RÓWNANIE PIERWSZEGO STOPNIA Z JEDNA
NIEWIADOMĄ
NAZWA
LICZBA
PRZYKŁAD
ROZWIĄZANIE
ROZWIĄZAŃ
Oznaczone
Jedno
3x-2=2x-4
Sprzeczne
Zero
3(x+1)=3x+5
Tożsamość
Nieskończenie
wiele
4(x-1)+2(x-2)+2x
x=-2
Brak rozwiązań
Każda liczba
rzeczywista
Nierównością liniową z jedną niewiadomą nazywamy wyrażenia,
które można przedstawić w postaci:
ax b 0 ax b 0 - nierówności ostre
ax b 0 ax b 0 - nierówności nieostre
Gdzie a i b są dowolnymi liczbami, przy czym a 0 .
Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba, która ją spełnia, to
znaczy taka liczba, która po podstawieniu w miejsce niewiadomej
daje nierówność prawdziwą. Na przykład zbiorem rozwiązań
nierówności 2x>6 jest zbiór liczb większych od.3
Rozwiązaniem nierówności 3x-2<3(x-1)+1 jest zbiór wszystkich
liczb, gdyż wstawiając w miejsce niewiadomej, po lewej i prawej
stronie nierówności, dowolną liczbę zawsze otrzymujemy
nierówność prawdziwą. Jest to nierówność tożsamościowa.
Żadna liczba nie spełnia nierówności x-3>x+5, bo wstawiając w
miejsce niewiadomej do lewej i prawej stronie dowolną liczbę
zawsze otrzymamy nierówność sprzeczną.
Mówimy, że dwie nierówności są równoważne, jeśli maja taki
sam zbiór rozwiązań.
Nierówność możemy przekształcić w nierówność
równoważną, jeśli:
- do obu stron nierówności dodamy (odejmiemy) tę samą
liczbę lub to samo wyrażenie algebraiczne, np.
x>9 | -2
x>9 | +3x-6
x-2>7
4x-6>3x+3
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę dodatnią, np.. Nierówności x>9 jest równoważna
nierówność 3x<27.
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę ujemną i zmienimy znak nierówności na przeciwny,
np. nierówności x>9 jest równoważna nierówność -3x<-27
Rozwiązując nierówność, postępujemy podobnie
jak podczas rozwiązywania równań.
Przekształcamy ją w nierówność równoważną,
tak aby po jednej stronie nierówności zostały
tylko niewiadome, a po drugiej stronie - liczba.
Chcąc opisać zbiór liczb większych lub równych od pewnej
liczby, a jednocześnie mniejszej od innej, np.
x 8
x 5
Możemy go zapisać za pomocą nierówności podwójnej:
5 x 8
Tę podwójną nierówność przedstawia na osi odcinek.
Równaniami liniowymi z dwiema niewiadomymi
są na przykład równania:
2x y 1
Chcąc znaleźć parę
liczb spełniających
dane równanie,
przyjmujemy za x
dowolną wartość i
obliczamy
odpowiadająca mu
wartość y.
2x 3 y 1
2 5 x 3 y 1 4 x 2 y 3
Można je doprowadzić do postaci: ax+by=c, gdzie
x i y są niewiadomymi, a, b, c są współczynnikami
liczbowymi, przy czym a 0 lub b 0 .
Równania: ax+by=c możemy przedstawić w
postaci równania: y a x c
.
b
b
Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi można
przedstawić graficznie w układzie współrzędnych.
Prosta o równaniu ax+by=c otrzymujemy, wybierając dwa
różne punkty, które spełniają to równanie, w więc leżą a tej
prostej. Punkty staramy się wybrać tak, aby można je było łatwo
zaznaczyć (najlepiej, gdy współrzędne punktów są liczbami
całkowitymi).
Nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi mogą
mieć postać:
ax by c ax by c
(nierówności ostre)
ax by c ax by c (nierówności nieostre)
Gdzie a, b, c są ustalonymi liczbami rzeczywistymi
a 0 , b 0 .
Każda nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
opisuje półpłaszczyznę wyznaczoną przez prostą
ax+by=c (bez tej prostej, gdy nierówność jest ostra, wraz
z tą prostą, gdy nierówność jest nieostra).
Dwa równania liniowe z dwiema niewiadomymi tworzą układ dwóch równań
liniowych z dwiema niewiadomymi.
Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest
każda para liczb spełniająca jednocześnie oba równania układu.
Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi może mieć:
-Dokładnie jedno rozwiązanie, gdy tylko jedna para liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ oznaczony.
-Nieskończenie wiele, wtedy nieskończenie wiele par liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ nieoznaczony.
- żadna para nie spełnia obu równań jednocześnie – wtedy jest to układ sprzeczny.
Mówimy, że dwa układy równań są równoważne, jeśli mają ten sam zbiór rozwiązań.
Układy równoważne możemy otrzymać:
-Dodając do obu stron (lub odejmując od obu stron) któregokolwiek równania tę samą
liczbę lub wyrażenie algebraiczne,
-Mnożąc (lub dzieląc) obie strony któregokolwiek równania przez tę sama liczbę lub
wyrażenie algebraiczne różne od zera,
-Dodając (lub odejmując stronami) oba równania.
Układ równań liniowych z dwoma niewiadomymi możemy rozwiązać metodą graficzną i
metodami algebraicznymi.
METODA GRAFICZNA
-Rysujemy wykres obu równań w jednym układnie współrzędnych,
- Odczytujemy współrzędne punktów należących do obu wykresów jednocześnie.
POŁOŻENIE
PROSTYCH W
UKŁADZIE
WSPÓŁRZĘDNYCH
Proste przecinają się
Proste pokrywają się
Proste są równoległe
PARY LICZB
SPEŁNIAJĄCYCH
UKŁAD RÓWNAŃ
Jedna para
Nieskończenie
wiele par
Zero par
NAZWA UKŁADU
oznaczony
nieoznaczony sprzeczny
METODA PODSTAWIANIA
-Z jednego równania układu wyznaczamy jedną ze zmiennych (x lub y)
-Wyznaczoną zmienną podstawiamy do drugiego równania. Zmienia się wtedy ono w równanie z jedną
niewiadomą.
- Z tego równania znajdujemy wartość niewiadomej. Obliczoną wartość wstawiamy do poprzedniego
równania i znajdujemy wartość drugiej zmiennej.
METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW
Rozwiązując układ równań ta metodą, budujemy dwa równoważne układy równań takie, że w jednym są
przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, a w drugim przy niewidomej y.
W każdym układzie, po dodaniu równań stronami, eliminujemy jedną zmienną.
Otrzymujemy dwa równania, każde z jedną niewiadomą, zamiast dwóch układów równań.
Rozwiązując każde z nich, otrzymujemy rozwiązanie danego układy równań.
METODA MIESZANA
Polega na wyznaczeniu jednej zmiennej za pomocą metody przeciwnych współczynników, a drugiej za
pomocą metody podstawiania.
-W układzie równań przekształcamy oba równania, mnożąc je przez takie liczby, aby przy tej samej
zmiennej w obu równaniach otrzymać przeciwne współczynniki.
-Dodajemy równania stronami, eliminując niewiadomą, przy której są przeciwne współczynniki.
Otrzymujemy równanie z jedna niewiadoma.
-Wyliczamy wartość tej niewiadomej.
-Obliczona wartość podstawiamy w miejsce niewiadomej do dowolnego równania w układzie, po czym
znajdujemy wartość drugiej niewiadomej.
Koniec części II
Slide 11
II. Równania, nierówności, układy równań
Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem
równości (=), w których występuje jedna lub więcej
niewiadomych, nazywamy równaniem.
Równania mogą zawierać:
-Jedną niewiadomą, np.
3x 2 1 x
x x 0
2
-Dwie niewiadome, np.
2
x y 10
3x y 6
- Większą liczbę niewiadomych, np.
x y z t 7 x 5 z 10
Jeśli w równaniu występuje tylko jedna niewiadoma i jest ona w pierwszej
potędze, to takie równanie nazywamy równaniem liniowym z jedną niewiadomą
lub równaniem stopnia pierwszego z jedną niewiadomą, np.
4 z 3 15
x
1
4
x
1
x 38
3
Można je zawsze doprowadzić do postaci: ax+c=0 ( a 0 ).
Rozwiązaniem równania pierwszego stopnia z jedna niewiadomą jest liczba,
która postawiona w miejsce niewiadomej zmienia równanie w równość
prawdziwą.
Jeśli jakaś liczba jest rozwiązaniem równania, to często mówimy, że liczba ta
spełnia to równanie.
Równania, które mają ten sam zbiór rozwiązań, nazywamy równaniami
równoważnymi, np. -3x+2=8 i 4x+8=0. Oba równania spełnia tylko liczba -2.
Równania równoważne do danego otrzymamy:
- Dodając lub odejmując taką samą liczbę (lub wyrażenie algebraiczne) do obu stron
równania,
-mnożąc lub dzieląc obie strony równania przez te samą liczbę różna od zera
Równanie, które nie ma rozwiązanie, nazywamy równaniem sprzecznym.
Takim równaniem jest na przykład x+5=x. Jakąkolwiek liczbę podstawimy w miejsce
niewiadomej, to zawsze lewa strona powstałej równości nie będzie równa stronie prawej.
Równanie, które jest spełnione dla każdej liczby, nazywamy równaniem
tożsamościowym.
Przykładem takiego równanie jest równanie 2(x-2)=2x-4.
Przekształcając je, otrzymujemy: 2x-4=2x-4. Jakąkolwiek liczbę wstawimy w miejsce
niewiadomej, zawsze po lewej stronie równania otrzymamy taka samą wartość jak po
prawej.
RÓWNANIE PIERWSZEGO STOPNIA Z JEDNA
NIEWIADOMĄ
NAZWA
LICZBA
PRZYKŁAD
ROZWIĄZANIE
ROZWIĄZAŃ
Oznaczone
Jedno
3x-2=2x-4
Sprzeczne
Zero
3(x+1)=3x+5
Tożsamość
Nieskończenie
wiele
4(x-1)+2(x-2)+2x
x=-2
Brak rozwiązań
Każda liczba
rzeczywista
Nierównością liniową z jedną niewiadomą nazywamy wyrażenia,
które można przedstawić w postaci:
ax b 0 ax b 0 - nierówności ostre
ax b 0 ax b 0 - nierówności nieostre
Gdzie a i b są dowolnymi liczbami, przy czym a 0 .
Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba, która ją spełnia, to
znaczy taka liczba, która po podstawieniu w miejsce niewiadomej
daje nierówność prawdziwą. Na przykład zbiorem rozwiązań
nierówności 2x>6 jest zbiór liczb większych od.3
Rozwiązaniem nierówności 3x-2<3(x-1)+1 jest zbiór wszystkich
liczb, gdyż wstawiając w miejsce niewiadomej, po lewej i prawej
stronie nierówności, dowolną liczbę zawsze otrzymujemy
nierówność prawdziwą. Jest to nierówność tożsamościowa.
Żadna liczba nie spełnia nierówności x-3>x+5, bo wstawiając w
miejsce niewiadomej do lewej i prawej stronie dowolną liczbę
zawsze otrzymamy nierówność sprzeczną.
Mówimy, że dwie nierówności są równoważne, jeśli maja taki
sam zbiór rozwiązań.
Nierówność możemy przekształcić w nierówność
równoważną, jeśli:
- do obu stron nierówności dodamy (odejmiemy) tę samą
liczbę lub to samo wyrażenie algebraiczne, np.
x>9 | -2
x>9 | +3x-6
x-2>7
4x-6>3x+3
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę dodatnią, np.. Nierówności x>9 jest równoważna
nierówność 3x<27.
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę ujemną i zmienimy znak nierówności na przeciwny,
np. nierówności x>9 jest równoważna nierówność -3x<-27
Rozwiązując nierówność, postępujemy podobnie
jak podczas rozwiązywania równań.
Przekształcamy ją w nierówność równoważną,
tak aby po jednej stronie nierówności zostały
tylko niewiadome, a po drugiej stronie - liczba.
Chcąc opisać zbiór liczb większych lub równych od pewnej
liczby, a jednocześnie mniejszej od innej, np.
x 8
x 5
Możemy go zapisać za pomocą nierówności podwójnej:
5 x 8
Tę podwójną nierówność przedstawia na osi odcinek.
Równaniami liniowymi z dwiema niewiadomymi
są na przykład równania:
2x y 1
Chcąc znaleźć parę
liczb spełniających
dane równanie,
przyjmujemy za x
dowolną wartość i
obliczamy
odpowiadająca mu
wartość y.
2x 3 y 1
2 5 x 3 y 1 4 x 2 y 3
Można je doprowadzić do postaci: ax+by=c, gdzie
x i y są niewiadomymi, a, b, c są współczynnikami
liczbowymi, przy czym a 0 lub b 0 .
Równania: ax+by=c możemy przedstawić w
postaci równania: y a x c
.
b
b
Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi można
przedstawić graficznie w układzie współrzędnych.
Prosta o równaniu ax+by=c otrzymujemy, wybierając dwa
różne punkty, które spełniają to równanie, w więc leżą a tej
prostej. Punkty staramy się wybrać tak, aby można je było łatwo
zaznaczyć (najlepiej, gdy współrzędne punktów są liczbami
całkowitymi).
Nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi mogą
mieć postać:
ax by c ax by c
(nierówności ostre)
ax by c ax by c (nierówności nieostre)
Gdzie a, b, c są ustalonymi liczbami rzeczywistymi
a 0 , b 0 .
Każda nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
opisuje półpłaszczyznę wyznaczoną przez prostą
ax+by=c (bez tej prostej, gdy nierówność jest ostra, wraz
z tą prostą, gdy nierówność jest nieostra).
Dwa równania liniowe z dwiema niewiadomymi tworzą układ dwóch równań
liniowych z dwiema niewiadomymi.
Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest
każda para liczb spełniająca jednocześnie oba równania układu.
Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi może mieć:
-Dokładnie jedno rozwiązanie, gdy tylko jedna para liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ oznaczony.
-Nieskończenie wiele, wtedy nieskończenie wiele par liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ nieoznaczony.
- żadna para nie spełnia obu równań jednocześnie – wtedy jest to układ sprzeczny.
Mówimy, że dwa układy równań są równoważne, jeśli mają ten sam zbiór rozwiązań.
Układy równoważne możemy otrzymać:
-Dodając do obu stron (lub odejmując od obu stron) któregokolwiek równania tę samą
liczbę lub wyrażenie algebraiczne,
-Mnożąc (lub dzieląc) obie strony któregokolwiek równania przez tę sama liczbę lub
wyrażenie algebraiczne różne od zera,
-Dodając (lub odejmując stronami) oba równania.
Układ równań liniowych z dwoma niewiadomymi możemy rozwiązać metodą graficzną i
metodami algebraicznymi.
METODA GRAFICZNA
-Rysujemy wykres obu równań w jednym układnie współrzędnych,
- Odczytujemy współrzędne punktów należących do obu wykresów jednocześnie.
POŁOŻENIE
PROSTYCH W
UKŁADZIE
WSPÓŁRZĘDNYCH
Proste przecinają się
Proste pokrywają się
Proste są równoległe
PARY LICZB
SPEŁNIAJĄCYCH
UKŁAD RÓWNAŃ
Jedna para
Nieskończenie
wiele par
Zero par
NAZWA UKŁADU
oznaczony
nieoznaczony sprzeczny
METODA PODSTAWIANIA
-Z jednego równania układu wyznaczamy jedną ze zmiennych (x lub y)
-Wyznaczoną zmienną podstawiamy do drugiego równania. Zmienia się wtedy ono w równanie z jedną
niewiadomą.
- Z tego równania znajdujemy wartość niewiadomej. Obliczoną wartość wstawiamy do poprzedniego
równania i znajdujemy wartość drugiej zmiennej.
METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW
Rozwiązując układ równań ta metodą, budujemy dwa równoważne układy równań takie, że w jednym są
przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, a w drugim przy niewidomej y.
W każdym układzie, po dodaniu równań stronami, eliminujemy jedną zmienną.
Otrzymujemy dwa równania, każde z jedną niewiadomą, zamiast dwóch układów równań.
Rozwiązując każde z nich, otrzymujemy rozwiązanie danego układy równań.
METODA MIESZANA
Polega na wyznaczeniu jednej zmiennej za pomocą metody przeciwnych współczynników, a drugiej za
pomocą metody podstawiania.
-W układzie równań przekształcamy oba równania, mnożąc je przez takie liczby, aby przy tej samej
zmiennej w obu równaniach otrzymać przeciwne współczynniki.
-Dodajemy równania stronami, eliminując niewiadomą, przy której są przeciwne współczynniki.
Otrzymujemy równanie z jedna niewiadoma.
-Wyliczamy wartość tej niewiadomej.
-Obliczona wartość podstawiamy w miejsce niewiadomej do dowolnego równania w układzie, po czym
znajdujemy wartość drugiej niewiadomej.
Koniec części II
Slide 12
II. Równania, nierówności, układy równań
Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem
równości (=), w których występuje jedna lub więcej
niewiadomych, nazywamy równaniem.
Równania mogą zawierać:
-Jedną niewiadomą, np.
3x 2 1 x
x x 0
2
-Dwie niewiadome, np.
2
x y 10
3x y 6
- Większą liczbę niewiadomych, np.
x y z t 7 x 5 z 10
Jeśli w równaniu występuje tylko jedna niewiadoma i jest ona w pierwszej
potędze, to takie równanie nazywamy równaniem liniowym z jedną niewiadomą
lub równaniem stopnia pierwszego z jedną niewiadomą, np.
4 z 3 15
x
1
4
x
1
x 38
3
Można je zawsze doprowadzić do postaci: ax+c=0 ( a 0 ).
Rozwiązaniem równania pierwszego stopnia z jedna niewiadomą jest liczba,
która postawiona w miejsce niewiadomej zmienia równanie w równość
prawdziwą.
Jeśli jakaś liczba jest rozwiązaniem równania, to często mówimy, że liczba ta
spełnia to równanie.
Równania, które mają ten sam zbiór rozwiązań, nazywamy równaniami
równoważnymi, np. -3x+2=8 i 4x+8=0. Oba równania spełnia tylko liczba -2.
Równania równoważne do danego otrzymamy:
- Dodając lub odejmując taką samą liczbę (lub wyrażenie algebraiczne) do obu stron
równania,
-mnożąc lub dzieląc obie strony równania przez te samą liczbę różna od zera
Równanie, które nie ma rozwiązanie, nazywamy równaniem sprzecznym.
Takim równaniem jest na przykład x+5=x. Jakąkolwiek liczbę podstawimy w miejsce
niewiadomej, to zawsze lewa strona powstałej równości nie będzie równa stronie prawej.
Równanie, które jest spełnione dla każdej liczby, nazywamy równaniem
tożsamościowym.
Przykładem takiego równanie jest równanie 2(x-2)=2x-4.
Przekształcając je, otrzymujemy: 2x-4=2x-4. Jakąkolwiek liczbę wstawimy w miejsce
niewiadomej, zawsze po lewej stronie równania otrzymamy taka samą wartość jak po
prawej.
RÓWNANIE PIERWSZEGO STOPNIA Z JEDNA
NIEWIADOMĄ
NAZWA
LICZBA
PRZYKŁAD
ROZWIĄZANIE
ROZWIĄZAŃ
Oznaczone
Jedno
3x-2=2x-4
Sprzeczne
Zero
3(x+1)=3x+5
Tożsamość
Nieskończenie
wiele
4(x-1)+2(x-2)+2x
x=-2
Brak rozwiązań
Każda liczba
rzeczywista
Nierównością liniową z jedną niewiadomą nazywamy wyrażenia,
które można przedstawić w postaci:
ax b 0 ax b 0 - nierówności ostre
ax b 0 ax b 0 - nierówności nieostre
Gdzie a i b są dowolnymi liczbami, przy czym a 0 .
Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba, która ją spełnia, to
znaczy taka liczba, która po podstawieniu w miejsce niewiadomej
daje nierówność prawdziwą. Na przykład zbiorem rozwiązań
nierówności 2x>6 jest zbiór liczb większych od.3
Rozwiązaniem nierówności 3x-2<3(x-1)+1 jest zbiór wszystkich
liczb, gdyż wstawiając w miejsce niewiadomej, po lewej i prawej
stronie nierówności, dowolną liczbę zawsze otrzymujemy
nierówność prawdziwą. Jest to nierówność tożsamościowa.
Żadna liczba nie spełnia nierówności x-3>x+5, bo wstawiając w
miejsce niewiadomej do lewej i prawej stronie dowolną liczbę
zawsze otrzymamy nierówność sprzeczną.
Mówimy, że dwie nierówności są równoważne, jeśli maja taki
sam zbiór rozwiązań.
Nierówność możemy przekształcić w nierówność
równoważną, jeśli:
- do obu stron nierówności dodamy (odejmiemy) tę samą
liczbę lub to samo wyrażenie algebraiczne, np.
x>9 | -2
x>9 | +3x-6
x-2>7
4x-6>3x+3
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę dodatnią, np.. Nierówności x>9 jest równoważna
nierówność 3x<27.
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę ujemną i zmienimy znak nierówności na przeciwny,
np. nierówności x>9 jest równoważna nierówność -3x<-27
Rozwiązując nierówność, postępujemy podobnie
jak podczas rozwiązywania równań.
Przekształcamy ją w nierówność równoważną,
tak aby po jednej stronie nierówności zostały
tylko niewiadome, a po drugiej stronie - liczba.
Chcąc opisać zbiór liczb większych lub równych od pewnej
liczby, a jednocześnie mniejszej od innej, np.
x 8
x 5
Możemy go zapisać za pomocą nierówności podwójnej:
5 x 8
Tę podwójną nierówność przedstawia na osi odcinek.
Równaniami liniowymi z dwiema niewiadomymi
są na przykład równania:
2x y 1
Chcąc znaleźć parę
liczb spełniających
dane równanie,
przyjmujemy za x
dowolną wartość i
obliczamy
odpowiadająca mu
wartość y.
2x 3 y 1
2 5 x 3 y 1 4 x 2 y 3
Można je doprowadzić do postaci: ax+by=c, gdzie
x i y są niewiadomymi, a, b, c są współczynnikami
liczbowymi, przy czym a 0 lub b 0 .
Równania: ax+by=c możemy przedstawić w
postaci równania: y a x c
.
b
b
Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi można
przedstawić graficznie w układzie współrzędnych.
Prosta o równaniu ax+by=c otrzymujemy, wybierając dwa
różne punkty, które spełniają to równanie, w więc leżą a tej
prostej. Punkty staramy się wybrać tak, aby można je było łatwo
zaznaczyć (najlepiej, gdy współrzędne punktów są liczbami
całkowitymi).
Nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi mogą
mieć postać:
ax by c ax by c
(nierówności ostre)
ax by c ax by c (nierówności nieostre)
Gdzie a, b, c są ustalonymi liczbami rzeczywistymi
a 0 , b 0 .
Każda nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
opisuje półpłaszczyznę wyznaczoną przez prostą
ax+by=c (bez tej prostej, gdy nierówność jest ostra, wraz
z tą prostą, gdy nierówność jest nieostra).
Dwa równania liniowe z dwiema niewiadomymi tworzą układ dwóch równań
liniowych z dwiema niewiadomymi.
Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest
każda para liczb spełniająca jednocześnie oba równania układu.
Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi może mieć:
-Dokładnie jedno rozwiązanie, gdy tylko jedna para liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ oznaczony.
-Nieskończenie wiele, wtedy nieskończenie wiele par liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ nieoznaczony.
- żadna para nie spełnia obu równań jednocześnie – wtedy jest to układ sprzeczny.
Mówimy, że dwa układy równań są równoważne, jeśli mają ten sam zbiór rozwiązań.
Układy równoważne możemy otrzymać:
-Dodając do obu stron (lub odejmując od obu stron) któregokolwiek równania tę samą
liczbę lub wyrażenie algebraiczne,
-Mnożąc (lub dzieląc) obie strony któregokolwiek równania przez tę sama liczbę lub
wyrażenie algebraiczne różne od zera,
-Dodając (lub odejmując stronami) oba równania.
Układ równań liniowych z dwoma niewiadomymi możemy rozwiązać metodą graficzną i
metodami algebraicznymi.
METODA GRAFICZNA
-Rysujemy wykres obu równań w jednym układnie współrzędnych,
- Odczytujemy współrzędne punktów należących do obu wykresów jednocześnie.
POŁOŻENIE
PROSTYCH W
UKŁADZIE
WSPÓŁRZĘDNYCH
Proste przecinają się
Proste pokrywają się
Proste są równoległe
PARY LICZB
SPEŁNIAJĄCYCH
UKŁAD RÓWNAŃ
Jedna para
Nieskończenie
wiele par
Zero par
NAZWA UKŁADU
oznaczony
nieoznaczony sprzeczny
METODA PODSTAWIANIA
-Z jednego równania układu wyznaczamy jedną ze zmiennych (x lub y)
-Wyznaczoną zmienną podstawiamy do drugiego równania. Zmienia się wtedy ono w równanie z jedną
niewiadomą.
- Z tego równania znajdujemy wartość niewiadomej. Obliczoną wartość wstawiamy do poprzedniego
równania i znajdujemy wartość drugiej zmiennej.
METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW
Rozwiązując układ równań ta metodą, budujemy dwa równoważne układy równań takie, że w jednym są
przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, a w drugim przy niewidomej y.
W każdym układzie, po dodaniu równań stronami, eliminujemy jedną zmienną.
Otrzymujemy dwa równania, każde z jedną niewiadomą, zamiast dwóch układów równań.
Rozwiązując każde z nich, otrzymujemy rozwiązanie danego układy równań.
METODA MIESZANA
Polega na wyznaczeniu jednej zmiennej za pomocą metody przeciwnych współczynników, a drugiej za
pomocą metody podstawiania.
-W układzie równań przekształcamy oba równania, mnożąc je przez takie liczby, aby przy tej samej
zmiennej w obu równaniach otrzymać przeciwne współczynniki.
-Dodajemy równania stronami, eliminując niewiadomą, przy której są przeciwne współczynniki.
Otrzymujemy równanie z jedna niewiadoma.
-Wyliczamy wartość tej niewiadomej.
-Obliczona wartość podstawiamy w miejsce niewiadomej do dowolnego równania w układzie, po czym
znajdujemy wartość drugiej niewiadomej.
Koniec części II
Slide 13
II. Równania, nierówności, układy równań
Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem
równości (=), w których występuje jedna lub więcej
niewiadomych, nazywamy równaniem.
Równania mogą zawierać:
-Jedną niewiadomą, np.
3x 2 1 x
x x 0
2
-Dwie niewiadome, np.
2
x y 10
3x y 6
- Większą liczbę niewiadomych, np.
x y z t 7 x 5 z 10
Jeśli w równaniu występuje tylko jedna niewiadoma i jest ona w pierwszej
potędze, to takie równanie nazywamy równaniem liniowym z jedną niewiadomą
lub równaniem stopnia pierwszego z jedną niewiadomą, np.
4 z 3 15
x
1
4
x
1
x 38
3
Można je zawsze doprowadzić do postaci: ax+c=0 ( a 0 ).
Rozwiązaniem równania pierwszego stopnia z jedna niewiadomą jest liczba,
która postawiona w miejsce niewiadomej zmienia równanie w równość
prawdziwą.
Jeśli jakaś liczba jest rozwiązaniem równania, to często mówimy, że liczba ta
spełnia to równanie.
Równania, które mają ten sam zbiór rozwiązań, nazywamy równaniami
równoważnymi, np. -3x+2=8 i 4x+8=0. Oba równania spełnia tylko liczba -2.
Równania równoważne do danego otrzymamy:
- Dodając lub odejmując taką samą liczbę (lub wyrażenie algebraiczne) do obu stron
równania,
-mnożąc lub dzieląc obie strony równania przez te samą liczbę różna od zera
Równanie, które nie ma rozwiązanie, nazywamy równaniem sprzecznym.
Takim równaniem jest na przykład x+5=x. Jakąkolwiek liczbę podstawimy w miejsce
niewiadomej, to zawsze lewa strona powstałej równości nie będzie równa stronie prawej.
Równanie, które jest spełnione dla każdej liczby, nazywamy równaniem
tożsamościowym.
Przykładem takiego równanie jest równanie 2(x-2)=2x-4.
Przekształcając je, otrzymujemy: 2x-4=2x-4. Jakąkolwiek liczbę wstawimy w miejsce
niewiadomej, zawsze po lewej stronie równania otrzymamy taka samą wartość jak po
prawej.
RÓWNANIE PIERWSZEGO STOPNIA Z JEDNA
NIEWIADOMĄ
NAZWA
LICZBA
PRZYKŁAD
ROZWIĄZANIE
ROZWIĄZAŃ
Oznaczone
Jedno
3x-2=2x-4
Sprzeczne
Zero
3(x+1)=3x+5
Tożsamość
Nieskończenie
wiele
4(x-1)+2(x-2)+2x
x=-2
Brak rozwiązań
Każda liczba
rzeczywista
Nierównością liniową z jedną niewiadomą nazywamy wyrażenia,
które można przedstawić w postaci:
ax b 0 ax b 0 - nierówności ostre
ax b 0 ax b 0 - nierówności nieostre
Gdzie a i b są dowolnymi liczbami, przy czym a 0 .
Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba, która ją spełnia, to
znaczy taka liczba, która po podstawieniu w miejsce niewiadomej
daje nierówność prawdziwą. Na przykład zbiorem rozwiązań
nierówności 2x>6 jest zbiór liczb większych od.3
Rozwiązaniem nierówności 3x-2<3(x-1)+1 jest zbiór wszystkich
liczb, gdyż wstawiając w miejsce niewiadomej, po lewej i prawej
stronie nierówności, dowolną liczbę zawsze otrzymujemy
nierówność prawdziwą. Jest to nierówność tożsamościowa.
Żadna liczba nie spełnia nierówności x-3>x+5, bo wstawiając w
miejsce niewiadomej do lewej i prawej stronie dowolną liczbę
zawsze otrzymamy nierówność sprzeczną.
Mówimy, że dwie nierówności są równoważne, jeśli maja taki
sam zbiór rozwiązań.
Nierówność możemy przekształcić w nierówność
równoważną, jeśli:
- do obu stron nierówności dodamy (odejmiemy) tę samą
liczbę lub to samo wyrażenie algebraiczne, np.
x>9 | -2
x>9 | +3x-6
x-2>7
4x-6>3x+3
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę dodatnią, np.. Nierówności x>9 jest równoważna
nierówność 3x<27.
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę ujemną i zmienimy znak nierówności na przeciwny,
np. nierówności x>9 jest równoważna nierówność -3x<-27
Rozwiązując nierówność, postępujemy podobnie
jak podczas rozwiązywania równań.
Przekształcamy ją w nierówność równoważną,
tak aby po jednej stronie nierówności zostały
tylko niewiadome, a po drugiej stronie - liczba.
Chcąc opisać zbiór liczb większych lub równych od pewnej
liczby, a jednocześnie mniejszej od innej, np.
x 8
x 5
Możemy go zapisać za pomocą nierówności podwójnej:
5 x 8
Tę podwójną nierówność przedstawia na osi odcinek.
Równaniami liniowymi z dwiema niewiadomymi
są na przykład równania:
2x y 1
Chcąc znaleźć parę
liczb spełniających
dane równanie,
przyjmujemy za x
dowolną wartość i
obliczamy
odpowiadająca mu
wartość y.
2x 3 y 1
2 5 x 3 y 1 4 x 2 y 3
Można je doprowadzić do postaci: ax+by=c, gdzie
x i y są niewiadomymi, a, b, c są współczynnikami
liczbowymi, przy czym a 0 lub b 0 .
Równania: ax+by=c możemy przedstawić w
postaci równania: y a x c
.
b
b
Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi można
przedstawić graficznie w układzie współrzędnych.
Prosta o równaniu ax+by=c otrzymujemy, wybierając dwa
różne punkty, które spełniają to równanie, w więc leżą a tej
prostej. Punkty staramy się wybrać tak, aby można je było łatwo
zaznaczyć (najlepiej, gdy współrzędne punktów są liczbami
całkowitymi).
Nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi mogą
mieć postać:
ax by c ax by c
(nierówności ostre)
ax by c ax by c (nierówności nieostre)
Gdzie a, b, c są ustalonymi liczbami rzeczywistymi
a 0 , b 0 .
Każda nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
opisuje półpłaszczyznę wyznaczoną przez prostą
ax+by=c (bez tej prostej, gdy nierówność jest ostra, wraz
z tą prostą, gdy nierówność jest nieostra).
Dwa równania liniowe z dwiema niewiadomymi tworzą układ dwóch równań
liniowych z dwiema niewiadomymi.
Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest
każda para liczb spełniająca jednocześnie oba równania układu.
Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi może mieć:
-Dokładnie jedno rozwiązanie, gdy tylko jedna para liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ oznaczony.
-Nieskończenie wiele, wtedy nieskończenie wiele par liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ nieoznaczony.
- żadna para nie spełnia obu równań jednocześnie – wtedy jest to układ sprzeczny.
Mówimy, że dwa układy równań są równoważne, jeśli mają ten sam zbiór rozwiązań.
Układy równoważne możemy otrzymać:
-Dodając do obu stron (lub odejmując od obu stron) któregokolwiek równania tę samą
liczbę lub wyrażenie algebraiczne,
-Mnożąc (lub dzieląc) obie strony któregokolwiek równania przez tę sama liczbę lub
wyrażenie algebraiczne różne od zera,
-Dodając (lub odejmując stronami) oba równania.
Układ równań liniowych z dwoma niewiadomymi możemy rozwiązać metodą graficzną i
metodami algebraicznymi.
METODA GRAFICZNA
-Rysujemy wykres obu równań w jednym układnie współrzędnych,
- Odczytujemy współrzędne punktów należących do obu wykresów jednocześnie.
POŁOŻENIE
PROSTYCH W
UKŁADZIE
WSPÓŁRZĘDNYCH
Proste przecinają się
Proste pokrywają się
Proste są równoległe
PARY LICZB
SPEŁNIAJĄCYCH
UKŁAD RÓWNAŃ
Jedna para
Nieskończenie
wiele par
Zero par
NAZWA UKŁADU
oznaczony
nieoznaczony sprzeczny
METODA PODSTAWIANIA
-Z jednego równania układu wyznaczamy jedną ze zmiennych (x lub y)
-Wyznaczoną zmienną podstawiamy do drugiego równania. Zmienia się wtedy ono w równanie z jedną
niewiadomą.
- Z tego równania znajdujemy wartość niewiadomej. Obliczoną wartość wstawiamy do poprzedniego
równania i znajdujemy wartość drugiej zmiennej.
METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW
Rozwiązując układ równań ta metodą, budujemy dwa równoważne układy równań takie, że w jednym są
przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, a w drugim przy niewidomej y.
W każdym układzie, po dodaniu równań stronami, eliminujemy jedną zmienną.
Otrzymujemy dwa równania, każde z jedną niewiadomą, zamiast dwóch układów równań.
Rozwiązując każde z nich, otrzymujemy rozwiązanie danego układy równań.
METODA MIESZANA
Polega na wyznaczeniu jednej zmiennej za pomocą metody przeciwnych współczynników, a drugiej za
pomocą metody podstawiania.
-W układzie równań przekształcamy oba równania, mnożąc je przez takie liczby, aby przy tej samej
zmiennej w obu równaniach otrzymać przeciwne współczynniki.
-Dodajemy równania stronami, eliminując niewiadomą, przy której są przeciwne współczynniki.
Otrzymujemy równanie z jedna niewiadoma.
-Wyliczamy wartość tej niewiadomej.
-Obliczona wartość podstawiamy w miejsce niewiadomej do dowolnego równania w układzie, po czym
znajdujemy wartość drugiej niewiadomej.
Koniec części II
Slide 14
II. Równania, nierówności, układy równań
Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem
równości (=), w których występuje jedna lub więcej
niewiadomych, nazywamy równaniem.
Równania mogą zawierać:
-Jedną niewiadomą, np.
3x 2 1 x
x x 0
2
-Dwie niewiadome, np.
2
x y 10
3x y 6
- Większą liczbę niewiadomych, np.
x y z t 7 x 5 z 10
Jeśli w równaniu występuje tylko jedna niewiadoma i jest ona w pierwszej
potędze, to takie równanie nazywamy równaniem liniowym z jedną niewiadomą
lub równaniem stopnia pierwszego z jedną niewiadomą, np.
4 z 3 15
x
1
4
x
1
x 38
3
Można je zawsze doprowadzić do postaci: ax+c=0 ( a 0 ).
Rozwiązaniem równania pierwszego stopnia z jedna niewiadomą jest liczba,
która postawiona w miejsce niewiadomej zmienia równanie w równość
prawdziwą.
Jeśli jakaś liczba jest rozwiązaniem równania, to często mówimy, że liczba ta
spełnia to równanie.
Równania, które mają ten sam zbiór rozwiązań, nazywamy równaniami
równoważnymi, np. -3x+2=8 i 4x+8=0. Oba równania spełnia tylko liczba -2.
Równania równoważne do danego otrzymamy:
- Dodając lub odejmując taką samą liczbę (lub wyrażenie algebraiczne) do obu stron
równania,
-mnożąc lub dzieląc obie strony równania przez te samą liczbę różna od zera
Równanie, które nie ma rozwiązanie, nazywamy równaniem sprzecznym.
Takim równaniem jest na przykład x+5=x. Jakąkolwiek liczbę podstawimy w miejsce
niewiadomej, to zawsze lewa strona powstałej równości nie będzie równa stronie prawej.
Równanie, które jest spełnione dla każdej liczby, nazywamy równaniem
tożsamościowym.
Przykładem takiego równanie jest równanie 2(x-2)=2x-4.
Przekształcając je, otrzymujemy: 2x-4=2x-4. Jakąkolwiek liczbę wstawimy w miejsce
niewiadomej, zawsze po lewej stronie równania otrzymamy taka samą wartość jak po
prawej.
RÓWNANIE PIERWSZEGO STOPNIA Z JEDNA
NIEWIADOMĄ
NAZWA
LICZBA
PRZYKŁAD
ROZWIĄZANIE
ROZWIĄZAŃ
Oznaczone
Jedno
3x-2=2x-4
Sprzeczne
Zero
3(x+1)=3x+5
Tożsamość
Nieskończenie
wiele
4(x-1)+2(x-2)+2x
x=-2
Brak rozwiązań
Każda liczba
rzeczywista
Nierównością liniową z jedną niewiadomą nazywamy wyrażenia,
które można przedstawić w postaci:
ax b 0 ax b 0 - nierówności ostre
ax b 0 ax b 0 - nierówności nieostre
Gdzie a i b są dowolnymi liczbami, przy czym a 0 .
Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba, która ją spełnia, to
znaczy taka liczba, która po podstawieniu w miejsce niewiadomej
daje nierówność prawdziwą. Na przykład zbiorem rozwiązań
nierówności 2x>6 jest zbiór liczb większych od.3
Rozwiązaniem nierówności 3x-2<3(x-1)+1 jest zbiór wszystkich
liczb, gdyż wstawiając w miejsce niewiadomej, po lewej i prawej
stronie nierówności, dowolną liczbę zawsze otrzymujemy
nierówność prawdziwą. Jest to nierówność tożsamościowa.
Żadna liczba nie spełnia nierówności x-3>x+5, bo wstawiając w
miejsce niewiadomej do lewej i prawej stronie dowolną liczbę
zawsze otrzymamy nierówność sprzeczną.
Mówimy, że dwie nierówności są równoważne, jeśli maja taki
sam zbiór rozwiązań.
Nierówność możemy przekształcić w nierówność
równoważną, jeśli:
- do obu stron nierówności dodamy (odejmiemy) tę samą
liczbę lub to samo wyrażenie algebraiczne, np.
x>9 | -2
x>9 | +3x-6
x-2>7
4x-6>3x+3
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę dodatnią, np.. Nierówności x>9 jest równoważna
nierówność 3x<27.
- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez
liczbę ujemną i zmienimy znak nierówności na przeciwny,
np. nierówności x>9 jest równoważna nierówność -3x<-27
Rozwiązując nierówność, postępujemy podobnie
jak podczas rozwiązywania równań.
Przekształcamy ją w nierówność równoważną,
tak aby po jednej stronie nierówności zostały
tylko niewiadome, a po drugiej stronie - liczba.
Chcąc opisać zbiór liczb większych lub równych od pewnej
liczby, a jednocześnie mniejszej od innej, np.
x 8
x 5
Możemy go zapisać za pomocą nierówności podwójnej:
5 x 8
Tę podwójną nierówność przedstawia na osi odcinek.
Równaniami liniowymi z dwiema niewiadomymi
są na przykład równania:
2x y 1
Chcąc znaleźć parę
liczb spełniających
dane równanie,
przyjmujemy za x
dowolną wartość i
obliczamy
odpowiadająca mu
wartość y.
2x 3 y 1
2 5 x 3 y 1 4 x 2 y 3
Można je doprowadzić do postaci: ax+by=c, gdzie
x i y są niewiadomymi, a, b, c są współczynnikami
liczbowymi, przy czym a 0 lub b 0 .
Równania: ax+by=c możemy przedstawić w
postaci równania: y a x c
.
b
b
Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi można
przedstawić graficznie w układzie współrzędnych.
Prosta o równaniu ax+by=c otrzymujemy, wybierając dwa
różne punkty, które spełniają to równanie, w więc leżą a tej
prostej. Punkty staramy się wybrać tak, aby można je było łatwo
zaznaczyć (najlepiej, gdy współrzędne punktów są liczbami
całkowitymi).
Nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi mogą
mieć postać:
ax by c ax by c
(nierówności ostre)
ax by c ax by c (nierówności nieostre)
Gdzie a, b, c są ustalonymi liczbami rzeczywistymi
a 0 , b 0 .
Każda nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
opisuje półpłaszczyznę wyznaczoną przez prostą
ax+by=c (bez tej prostej, gdy nierówność jest ostra, wraz
z tą prostą, gdy nierówność jest nieostra).
Dwa równania liniowe z dwiema niewiadomymi tworzą układ dwóch równań
liniowych z dwiema niewiadomymi.
Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest
każda para liczb spełniająca jednocześnie oba równania układu.
Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi może mieć:
-Dokładnie jedno rozwiązanie, gdy tylko jedna para liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ oznaczony.
-Nieskończenie wiele, wtedy nieskończenie wiele par liczb spełnia jednocześnie oba
równania – wtedy jest to układ nieoznaczony.
- żadna para nie spełnia obu równań jednocześnie – wtedy jest to układ sprzeczny.
Mówimy, że dwa układy równań są równoważne, jeśli mają ten sam zbiór rozwiązań.
Układy równoważne możemy otrzymać:
-Dodając do obu stron (lub odejmując od obu stron) któregokolwiek równania tę samą
liczbę lub wyrażenie algebraiczne,
-Mnożąc (lub dzieląc) obie strony któregokolwiek równania przez tę sama liczbę lub
wyrażenie algebraiczne różne od zera,
-Dodając (lub odejmując stronami) oba równania.
Układ równań liniowych z dwoma niewiadomymi możemy rozwiązać metodą graficzną i
metodami algebraicznymi.
METODA GRAFICZNA
-Rysujemy wykres obu równań w jednym układnie współrzędnych,
- Odczytujemy współrzędne punktów należących do obu wykresów jednocześnie.
POŁOŻENIE
PROSTYCH W
UKŁADZIE
WSPÓŁRZĘDNYCH
Proste przecinają się
Proste pokrywają się
Proste są równoległe
PARY LICZB
SPEŁNIAJĄCYCH
UKŁAD RÓWNAŃ
Jedna para
Nieskończenie
wiele par
Zero par
NAZWA UKŁADU
oznaczony
nieoznaczony sprzeczny
METODA PODSTAWIANIA
-Z jednego równania układu wyznaczamy jedną ze zmiennych (x lub y)
-Wyznaczoną zmienną podstawiamy do drugiego równania. Zmienia się wtedy ono w równanie z jedną
niewiadomą.
- Z tego równania znajdujemy wartość niewiadomej. Obliczoną wartość wstawiamy do poprzedniego
równania i znajdujemy wartość drugiej zmiennej.
METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW
Rozwiązując układ równań ta metodą, budujemy dwa równoważne układy równań takie, że w jednym są
przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, a w drugim przy niewidomej y.
W każdym układzie, po dodaniu równań stronami, eliminujemy jedną zmienną.
Otrzymujemy dwa równania, każde z jedną niewiadomą, zamiast dwóch układów równań.
Rozwiązując każde z nich, otrzymujemy rozwiązanie danego układy równań.
METODA MIESZANA
Polega na wyznaczeniu jednej zmiennej za pomocą metody przeciwnych współczynników, a drugiej za
pomocą metody podstawiania.
-W układzie równań przekształcamy oba równania, mnożąc je przez takie liczby, aby przy tej samej
zmiennej w obu równaniach otrzymać przeciwne współczynniki.
-Dodajemy równania stronami, eliminując niewiadomą, przy której są przeciwne współczynniki.
Otrzymujemy równanie z jedna niewiadoma.
-Wyliczamy wartość tej niewiadomej.
-Obliczona wartość podstawiamy w miejsce niewiadomej do dowolnego równania w układzie, po czym
znajdujemy wartość drugiej niewiadomej.
Koniec części II