Slide 1

FUNKCJA
KWADRATOWA
Autorzy:
Kamil Tutro
Paweł Ochałek

Kamil Krajewski
Andrzej Ogorzałek

Uczniowie klasy 2d LO Kołaczyce

1. Jednomian stopnia drugiego.
2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
4. Wzory Viete’a.

5. Równania kwadratowe.
6. Nierówności kwadratowe.
7. Równania i nierówności kwadratowe z
parametrem.

1. Jednomianem stopnia drugiego.
nazywamy funkcję:

y  ax

2

gdzie x  R , natomiast a jest stałą liczbą rzeczywistą
różną od zera.
Przykładowe wykresy:
y

y

a0
x

a 0
x
C.D.

Własności funkcji
1. D f  R , ZW

f

y  ax

2

x R

a 0

 0 ,  )

2. Funkcja ma jedno miejsce zerowe

x0

3. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla
x  (  , 0 )  ( 0 ,  ) .Nie przyjmuje wartości ujemnych.

4. Funkcja:
Jest malejąca w zbiorze ( , 0 )
Jest rosnąca w zbiorze

( 0 ,  )

5. Funkcja jest parzysta (sprawdź !!!).
6. Funkcja nie jest różnowartościowa.

C.D.

7. Funkcja osiąga najmniejszą wartość równą 0, dla
argumentu 0. Nie przyjmuje wartości największej.
Zbiór wartości funkcji jest ograniczony z dołu; nie jest
ograniczony z góry.

SPIS TREŚCI

2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
Nazywamy funkcję

y  ax  bx  c
2

gdzie a , b , c  R oraz a  0 , x  R , nazywamy funkcją
kwadratową (trójmianem kwadratowym) w postaci
ogólnej.
Def.

Funkcję y  a ( x  p )  q , a  0 , x  R
2

, nazywamy
funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) w
postaci kanonicznej.

gdzie
p

b
2a

b  4 ac
2

q

4a
C.D.

Tw.

Wykres funkcji y  a ( x  p )  q , a  0 , powstaje w wyniku
2
y

ax
, a  0, x  R
przesunięcia równoległego jednomianu
o wektor v  [ p , q ].
2

Tw.

Funkcję kwadratową postaci ogólnej:
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  a(x  p)  q
2

C.D.

Dowód

Ponieważ a  0 , więc mamy:
2
2 

b
b
b




2
2
y  ax  bx  c  a  x  x   c  a   x 
c
 
2 
a 
2a 
4 a 

 
2

2

2

2

2

b 
b
b 
b
b 



 a x 
 c  a x 
 c  a x 
 a
 
 
2
2a 
4a
2a 
4a
2a 




b
4 ac
 

4a
 4a
2

2

2

b
b
 4 ac


  a x 
 

2a 
4a



Stąd:
p

b

b  4 ac
2

q

2a

4a

Co kończy dowód twierdzenia.
C.D.

2
UWAGA: dla funkcji kwadratowej y  ax  bx  c , a  0
2
liczbę b  4 ac
oznaczamy symbolem  (delta) i
nazywamy ją wyróżnikiem trójmianu kwadratowego.

y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

Mamy więc:
  b  4 ac
2

Wniosek

Funkcję kwadratową w postacie ogólnej
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  ax  p   q
2

C.D.

gdzie
p

b

q



2a

4a

Wniosek

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

ma współrzędne
xw  

b
2a

yw 


4a

SPIS TREŚCI

3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
Liczba miejsc zerowych trójmianu kwadratowego
y  ax  bx  c , a  0
2

jest równa liczbie punktów wspólnych wykresu tej funkcji i
osi OX.

Niech a będzie liczbą dodatni. Wówczas są trzy możliwe
przypadki.

( p, q)

x

( p, q)

x

x
( p, q)

C.D.

Zauważmy, że trójmian nie ma miejsc zerowych
(przypadek 1) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
Ale q 



.

4a

Mamy więc:
q0 ia0



 0 i a  0     0 i a  0    0 ia  0 

4a

Trójmian kwadratowy ma tylko jedno miejsce zerowe
(przypadek 2) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

Trójmian kwadratowy ma dwa różne miejsca zerowe
(przypadek 3) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

C.D.

Nasze rozważania prowadzą do następującego twierdzenia:
Dany jest trójmian y  ax  bx  c , a  0 . Wówczas:
2

1.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a  x  x1  x  x 2 , a  0

gdzie
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Liczby x1 , x 2 są miejscami zerowymi trójmianu.

C.D.

2.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a x  x0  , a  0
2

gdzie
x0 

b
2a

Liczba x 0 jest (podwójnym) miejscem zerowym trójmianu.
3.   0 Wtedy i tylko wtedy, gdy trójmianu nie można
przedstawić w postaci iloczynowej. Trójmian nie ma miejsc
zerowych.

SPIS TREŚCI

4. Wzory Viete’a.
Wiesz, że trójmian kwadratowy y  ax  bx  c , a  0
ma miejsca zerowe tylko wtedy, gdy   0 . Jeśli   0 , b
to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe x 0  
jeśli natomiast   0 , to funkcja kwadratowa ma dwa 2 a
2

różne miejsca zerowe:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Załóżmy, że   0 , a następnie obliczmy sumę i iloczyn
miejsc zerowych trójmianu kwadratowego. Obliczenia
przeprowadzimy w następujący sposób:

C.D.

b

x1  x 2 



b



2a





b

2a

 b





 b 



4a

2

 b  b  4 ac
2



 

2

b 
2



4a

2

4a

2



2

4 ac
4a

2

2





b  b  4 ac
2

4a





2a

b   b  
b




x1  x 2 






2a
2a

 

2



2



  b
4a

2

 2b
 2a





b
a





c
a
C.D.

Twierdzenie Viete’a
Jeśli x1 , x 2 są różnymi miejscami zerowymi trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to zachodzą związki:
x1  x 2  

b
a

x1  x 2 

c
a

Jeśli x 0 jest jednym miejscem
zerowym trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to:

2 x0  

b
a

2

x0 

c
a

SPIS TREŚCI

5. Równania kwadratowe.
Def.

Równanie ax  bx  c  0 , gdzie a , b , c  R i a  0 ,
2

nazywamy równaniem kwadratowym.
W zależności od wartości współczynników a , b , c równania
2
y

ax
 bx  c , a  0 , dzielimy na zupełne i
kwadratowe
niezupełne. Równania kwadratowe zupełne to takie, w
których wszystkie współczynniki a , b , c są różne od zera,
np. równania:
x  2x 1  0
2

3x  5x  7  0
2

 0 ,5 x  9 x  11  0
2

Równanie kwadratowe niezupełne to takie, w których
współczynnik a  0 , ale przynajmniej jeden ze
współczynników b, c jest zerem, np. równania:
3x  x  0
2

5x  1  0
2

 1, 2 x  0
2

C.D.

Wniosek
2
Równanie kwadratowe ax  bx  c  0 , gdzie a  0 :

1) nie ma rozwiązań, jeśli   0

2) ma jedno rozwiązanie, jeśli   0 ; rozwiązanie ma
postać :
x0  

b
2a

3) ma dwa różne rozwiązania, jeśli   0 ; w tej sytuacji te
rozwiązania mają postać:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

SPIS TREŚCI

6. Nierówności kwadratowe.
Przykład

Wyznaczmy dwie liczby naturalne różniące się 1, których
iloczyn jest mniejszy od potrojonej liczby mniejszej.
Niech x oznacza liczbę mniejszą, natomiast x  1 -liczbę
większą, x  N . Iloczyn liczb opisuje wyrażenie x  x  1  ,
a potrojoną liczbę mniejszą – wyrażenie 3 x . Z treści
zadania wynika, że
x  x  1  3 x  x  N  x  x  3 x  x  N 
2

 x  2 x  0  x  N  xx  2  0  x  N
2

C.D.

Iloczyn liczb x oraz x  2 jest ujemny tylko wtedy, gdy liczby
te są przeciwnych znaków. Na tej podstawie stwierdzimy, że:
 x  0


  x  2  0

 x0 
  x  N  x  0 , 2   x  N  x  1

 x  2  0 

Szukana liczba to 1.

Sprawdzimy. Iloczyn liczb wynosi 2, potrojona zaś liczba
mniejsza to 3. Zachodzi zatem nierówność, bo 2 < 3.
Def.

Nierównością kwadratową nazywamy każdą z nierówności:
2
2
2
ax  bx  c  0 , ax  bx  c  0 lub ax  bx  c  0
gdzie a , b , c  R oraz a  0 .
SPIS TREŚCI

7. Równania i nierówności kwadratowe z parametrem.
Przykład

Zbadajmy liczbę rozwiązań równania:

m

2

 1  x   m  1  x  1  0
2

z parametrem m . Narysujmy wykres funkcji y  g (m ) ,
która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje
liczbę rozwiązań powyższego równania. Rozważmy dwa
przypadki.
Przypadek 1.
m  1  0  m  1m  1  0  m  1  0  m  1  0 
2

 m  1  m  1
C.D.

Jeśli m  1 lub m   1 , to współczynnik przy x 2 jest równy
zeru. Wówczas równanie jest liniowe. Dla m  1
otrzymujemy równanie liniowe 2 x  1  0 , które ma jedno
rozwiązanie. Dla m   1 otrzymujemy równanie liniowe
sprzeczne.

Przypadek 2.

Jeśli m  R   1,1 , to rozważane równanie jest
równaniem kwadratowym i liczba jego rozwiązań zależy od
 . Obliczmy  . Otrzymujemy:
   m  1   4 m  1   1   m  1  m  1   4  m  1  m  1  
2

2

  m  1   3 m  5 

C.D.

Zatem:
• Równanie ma jedno rozwiązanie 

   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2

  m   1  m  1   m  R   1,1  m  1
3
3

• Równanie ma dwa różne rozwiązania 
   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2


 m    1,1   m  R   1,1  m    1,1    1,1 
3
3


• Równanie nie ma rozwiązań 
   0  m  R   1,1 
 2

 m     ,  1    1 ,    m  R   1,1 
 3

 2

 m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Podsumujmy otrzymane wyniki:
Równanie kwadratowe,
dwa rozwiązania

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

-1

1

1

2

m

3

Równanie liniowe, nie
ma rozwiązań

Równanie liniowe,
jedno rozwiązanie

Równanie liniowe, jedno
rozwiązanie

Rysunek pokazuje, że rozpatrzyliśmy wszystkie wartości m
mR

C.D.

Nasze rozważania możemy zapisać krótko w następujący
sposób:

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

a) ma dwa rozwiązania wtedy, gdy

2

m    1,1    1,1 
3


b) ma jedno rozwiązanie wtedy, gry

 2
m   1,1 
 3

c) nie ma rozwiązań wtedy, gdy

 2

m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Stąd wzór szukanej funkcji y  g  m  , która każdej liczbie
rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę rozwiązań
równania :

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

ma postać:

2


g m    1


0


dla
dla
dla

2

m    1,1    1,1 
3

 2
m  1,1 
 3

 2

m     ,  1   1 ,  
 3


C.D.

Wykres funkcji g:

y

y  g (m )

1
1

1 12 2

m

3

SPIS TREŚCI


Slide 2

FUNKCJA
KWADRATOWA
Autorzy:
Kamil Tutro
Paweł Ochałek

Kamil Krajewski
Andrzej Ogorzałek

Uczniowie klasy 2d LO Kołaczyce

1. Jednomian stopnia drugiego.
2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
4. Wzory Viete’a.

5. Równania kwadratowe.
6. Nierówności kwadratowe.
7. Równania i nierówności kwadratowe z
parametrem.

1. Jednomianem stopnia drugiego.
nazywamy funkcję:

y  ax

2

gdzie x  R , natomiast a jest stałą liczbą rzeczywistą
różną od zera.
Przykładowe wykresy:
y

y

a0
x

a 0
x
C.D.

Własności funkcji
1. D f  R , ZW

f

y  ax

2

x R

a 0

 0 ,  )

2. Funkcja ma jedno miejsce zerowe

x0

3. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla
x  (  , 0 )  ( 0 ,  ) .Nie przyjmuje wartości ujemnych.

4. Funkcja:
Jest malejąca w zbiorze ( , 0 )
Jest rosnąca w zbiorze

( 0 ,  )

5. Funkcja jest parzysta (sprawdź !!!).
6. Funkcja nie jest różnowartościowa.

C.D.

7. Funkcja osiąga najmniejszą wartość równą 0, dla
argumentu 0. Nie przyjmuje wartości największej.
Zbiór wartości funkcji jest ograniczony z dołu; nie jest
ograniczony z góry.

SPIS TREŚCI

2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
Nazywamy funkcję

y  ax  bx  c
2

gdzie a , b , c  R oraz a  0 , x  R , nazywamy funkcją
kwadratową (trójmianem kwadratowym) w postaci
ogólnej.
Def.

Funkcję y  a ( x  p )  q , a  0 , x  R
2

, nazywamy
funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) w
postaci kanonicznej.

gdzie
p

b
2a

b  4 ac
2

q

4a
C.D.

Tw.

Wykres funkcji y  a ( x  p )  q , a  0 , powstaje w wyniku
2
y

ax
, a  0, x  R
przesunięcia równoległego jednomianu
o wektor v  [ p , q ].
2

Tw.

Funkcję kwadratową postaci ogólnej:
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  a(x  p)  q
2

C.D.

Dowód

Ponieważ a  0 , więc mamy:
2
2 

b
b
b




2
2
y  ax  bx  c  a  x  x   c  a   x 
c
 
2 
a 
2a 
4 a 

 
2

2

2

2

2

b 
b
b 
b
b 



 a x 
 c  a x 
 c  a x 
 a
 
 
2
2a 
4a
2a 
4a
2a 




b
4 ac
 

4a
 4a
2

2

2

b
b
 4 ac


  a x 
 

2a 
4a



Stąd:
p

b

b  4 ac
2

q

2a

4a

Co kończy dowód twierdzenia.
C.D.

2
UWAGA: dla funkcji kwadratowej y  ax  bx  c , a  0
2
liczbę b  4 ac
oznaczamy symbolem  (delta) i
nazywamy ją wyróżnikiem trójmianu kwadratowego.

y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

Mamy więc:
  b  4 ac
2

Wniosek

Funkcję kwadratową w postacie ogólnej
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  ax  p   q
2

C.D.

gdzie
p

b

q



2a

4a

Wniosek

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

ma współrzędne
xw  

b
2a

yw 


4a

SPIS TREŚCI

3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
Liczba miejsc zerowych trójmianu kwadratowego
y  ax  bx  c , a  0
2

jest równa liczbie punktów wspólnych wykresu tej funkcji i
osi OX.

Niech a będzie liczbą dodatni. Wówczas są trzy możliwe
przypadki.

( p, q)

x

( p, q)

x

x
( p, q)

C.D.

Zauważmy, że trójmian nie ma miejsc zerowych
(przypadek 1) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
Ale q 



.

4a

Mamy więc:
q0 ia0



 0 i a  0     0 i a  0    0 ia  0 

4a

Trójmian kwadratowy ma tylko jedno miejsce zerowe
(przypadek 2) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

Trójmian kwadratowy ma dwa różne miejsca zerowe
(przypadek 3) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

C.D.

Nasze rozważania prowadzą do następującego twierdzenia:
Dany jest trójmian y  ax  bx  c , a  0 . Wówczas:
2

1.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a  x  x1  x  x 2 , a  0

gdzie
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Liczby x1 , x 2 są miejscami zerowymi trójmianu.

C.D.

2.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a x  x0  , a  0
2

gdzie
x0 

b
2a

Liczba x 0 jest (podwójnym) miejscem zerowym trójmianu.
3.   0 Wtedy i tylko wtedy, gdy trójmianu nie można
przedstawić w postaci iloczynowej. Trójmian nie ma miejsc
zerowych.

SPIS TREŚCI

4. Wzory Viete’a.
Wiesz, że trójmian kwadratowy y  ax  bx  c , a  0
ma miejsca zerowe tylko wtedy, gdy   0 . Jeśli   0 , b
to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe x 0  
jeśli natomiast   0 , to funkcja kwadratowa ma dwa 2 a
2

różne miejsca zerowe:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Załóżmy, że   0 , a następnie obliczmy sumę i iloczyn
miejsc zerowych trójmianu kwadratowego. Obliczenia
przeprowadzimy w następujący sposób:

C.D.

b

x1  x 2 



b



2a





b

2a

 b





 b 



4a

2

 b  b  4 ac
2



 

2

b 
2



4a

2

4a

2



2

4 ac
4a

2

2





b  b  4 ac
2

4a





2a

b   b  
b




x1  x 2 






2a
2a

 

2



2



  b
4a

2

 2b
 2a





b
a





c
a
C.D.

Twierdzenie Viete’a
Jeśli x1 , x 2 są różnymi miejscami zerowymi trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to zachodzą związki:
x1  x 2  

b
a

x1  x 2 

c
a

Jeśli x 0 jest jednym miejscem
zerowym trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to:

2 x0  

b
a

2

x0 

c
a

SPIS TREŚCI

5. Równania kwadratowe.
Def.

Równanie ax  bx  c  0 , gdzie a , b , c  R i a  0 ,
2

nazywamy równaniem kwadratowym.
W zależności od wartości współczynników a , b , c równania
2
y

ax
 bx  c , a  0 , dzielimy na zupełne i
kwadratowe
niezupełne. Równania kwadratowe zupełne to takie, w
których wszystkie współczynniki a , b , c są różne od zera,
np. równania:
x  2x 1  0
2

3x  5x  7  0
2

 0 ,5 x  9 x  11  0
2

Równanie kwadratowe niezupełne to takie, w których
współczynnik a  0 , ale przynajmniej jeden ze
współczynników b, c jest zerem, np. równania:
3x  x  0
2

5x  1  0
2

 1, 2 x  0
2

C.D.

Wniosek
2
Równanie kwadratowe ax  bx  c  0 , gdzie a  0 :

1) nie ma rozwiązań, jeśli   0

2) ma jedno rozwiązanie, jeśli   0 ; rozwiązanie ma
postać :
x0  

b
2a

3) ma dwa różne rozwiązania, jeśli   0 ; w tej sytuacji te
rozwiązania mają postać:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

SPIS TREŚCI

6. Nierówności kwadratowe.
Przykład

Wyznaczmy dwie liczby naturalne różniące się 1, których
iloczyn jest mniejszy od potrojonej liczby mniejszej.
Niech x oznacza liczbę mniejszą, natomiast x  1 -liczbę
większą, x  N . Iloczyn liczb opisuje wyrażenie x  x  1  ,
a potrojoną liczbę mniejszą – wyrażenie 3 x . Z treści
zadania wynika, że
x  x  1  3 x  x  N  x  x  3 x  x  N 
2

 x  2 x  0  x  N  xx  2  0  x  N
2

C.D.

Iloczyn liczb x oraz x  2 jest ujemny tylko wtedy, gdy liczby
te są przeciwnych znaków. Na tej podstawie stwierdzimy, że:
 x  0


  x  2  0

 x0 
  x  N  x  0 , 2   x  N  x  1

 x  2  0 

Szukana liczba to 1.

Sprawdzimy. Iloczyn liczb wynosi 2, potrojona zaś liczba
mniejsza to 3. Zachodzi zatem nierówność, bo 2 < 3.
Def.

Nierównością kwadratową nazywamy każdą z nierówności:
2
2
2
ax  bx  c  0 , ax  bx  c  0 lub ax  bx  c  0
gdzie a , b , c  R oraz a  0 .
SPIS TREŚCI

7. Równania i nierówności kwadratowe z parametrem.
Przykład

Zbadajmy liczbę rozwiązań równania:

m

2

 1  x   m  1  x  1  0
2

z parametrem m . Narysujmy wykres funkcji y  g (m ) ,
która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje
liczbę rozwiązań powyższego równania. Rozważmy dwa
przypadki.
Przypadek 1.
m  1  0  m  1m  1  0  m  1  0  m  1  0 
2

 m  1  m  1
C.D.

Jeśli m  1 lub m   1 , to współczynnik przy x 2 jest równy
zeru. Wówczas równanie jest liniowe. Dla m  1
otrzymujemy równanie liniowe 2 x  1  0 , które ma jedno
rozwiązanie. Dla m   1 otrzymujemy równanie liniowe
sprzeczne.

Przypadek 2.

Jeśli m  R   1,1 , to rozważane równanie jest
równaniem kwadratowym i liczba jego rozwiązań zależy od
 . Obliczmy  . Otrzymujemy:
   m  1   4 m  1   1   m  1  m  1   4  m  1  m  1  
2

2

  m  1   3 m  5 

C.D.

Zatem:
• Równanie ma jedno rozwiązanie 

   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2

  m   1  m  1   m  R   1,1  m  1
3
3

• Równanie ma dwa różne rozwiązania 
   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2


 m    1,1   m  R   1,1  m    1,1    1,1 
3
3


• Równanie nie ma rozwiązań 
   0  m  R   1,1 
 2

 m     ,  1    1 ,    m  R   1,1 
 3

 2

 m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Podsumujmy otrzymane wyniki:
Równanie kwadratowe,
dwa rozwiązania

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

-1

1

1

2

m

3

Równanie liniowe, nie
ma rozwiązań

Równanie liniowe,
jedno rozwiązanie

Równanie liniowe, jedno
rozwiązanie

Rysunek pokazuje, że rozpatrzyliśmy wszystkie wartości m
mR

C.D.

Nasze rozważania możemy zapisać krótko w następujący
sposób:

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

a) ma dwa rozwiązania wtedy, gdy

2

m    1,1    1,1 
3


b) ma jedno rozwiązanie wtedy, gry

 2
m   1,1 
 3

c) nie ma rozwiązań wtedy, gdy

 2

m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Stąd wzór szukanej funkcji y  g  m  , która każdej liczbie
rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę rozwiązań
równania :

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

ma postać:

2


g m    1


0


dla
dla
dla

2

m    1,1    1,1 
3

 2
m  1,1 
 3

 2

m     ,  1   1 ,  
 3


C.D.

Wykres funkcji g:

y

y  g (m )

1
1

1 12 2

m

3

SPIS TREŚCI


Slide 3

FUNKCJA
KWADRATOWA
Autorzy:
Kamil Tutro
Paweł Ochałek

Kamil Krajewski
Andrzej Ogorzałek

Uczniowie klasy 2d LO Kołaczyce

1. Jednomian stopnia drugiego.
2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
4. Wzory Viete’a.

5. Równania kwadratowe.
6. Nierówności kwadratowe.
7. Równania i nierówności kwadratowe z
parametrem.

1. Jednomianem stopnia drugiego.
nazywamy funkcję:

y  ax

2

gdzie x  R , natomiast a jest stałą liczbą rzeczywistą
różną od zera.
Przykładowe wykresy:
y

y

a0
x

a 0
x
C.D.

Własności funkcji
1. D f  R , ZW

f

y  ax

2

x R

a 0

 0 ,  )

2. Funkcja ma jedno miejsce zerowe

x0

3. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla
x  (  , 0 )  ( 0 ,  ) .Nie przyjmuje wartości ujemnych.

4. Funkcja:
Jest malejąca w zbiorze ( , 0 )
Jest rosnąca w zbiorze

( 0 ,  )

5. Funkcja jest parzysta (sprawdź !!!).
6. Funkcja nie jest różnowartościowa.

C.D.

7. Funkcja osiąga najmniejszą wartość równą 0, dla
argumentu 0. Nie przyjmuje wartości największej.
Zbiór wartości funkcji jest ograniczony z dołu; nie jest
ograniczony z góry.

SPIS TREŚCI

2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
Nazywamy funkcję

y  ax  bx  c
2

gdzie a , b , c  R oraz a  0 , x  R , nazywamy funkcją
kwadratową (trójmianem kwadratowym) w postaci
ogólnej.
Def.

Funkcję y  a ( x  p )  q , a  0 , x  R
2

, nazywamy
funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) w
postaci kanonicznej.

gdzie
p

b
2a

b  4 ac
2

q

4a
C.D.

Tw.

Wykres funkcji y  a ( x  p )  q , a  0 , powstaje w wyniku
2
y

ax
, a  0, x  R
przesunięcia równoległego jednomianu
o wektor v  [ p , q ].
2

Tw.

Funkcję kwadratową postaci ogólnej:
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  a(x  p)  q
2

C.D.

Dowód

Ponieważ a  0 , więc mamy:
2
2 

b
b
b




2
2
y  ax  bx  c  a  x  x   c  a   x 
c
 
2 
a 
2a 
4 a 

 
2

2

2

2

2

b 
b
b 
b
b 



 a x 
 c  a x 
 c  a x 
 a
 
 
2
2a 
4a
2a 
4a
2a 




b
4 ac
 

4a
 4a
2

2

2

b
b
 4 ac


  a x 
 

2a 
4a



Stąd:
p

b

b  4 ac
2

q

2a

4a

Co kończy dowód twierdzenia.
C.D.

2
UWAGA: dla funkcji kwadratowej y  ax  bx  c , a  0
2
liczbę b  4 ac
oznaczamy symbolem  (delta) i
nazywamy ją wyróżnikiem trójmianu kwadratowego.

y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

Mamy więc:
  b  4 ac
2

Wniosek

Funkcję kwadratową w postacie ogólnej
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  ax  p   q
2

C.D.

gdzie
p

b

q



2a

4a

Wniosek

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

ma współrzędne
xw  

b
2a

yw 


4a

SPIS TREŚCI

3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
Liczba miejsc zerowych trójmianu kwadratowego
y  ax  bx  c , a  0
2

jest równa liczbie punktów wspólnych wykresu tej funkcji i
osi OX.

Niech a będzie liczbą dodatni. Wówczas są trzy możliwe
przypadki.

( p, q)

x

( p, q)

x

x
( p, q)

C.D.

Zauważmy, że trójmian nie ma miejsc zerowych
(przypadek 1) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
Ale q 



.

4a

Mamy więc:
q0 ia0



 0 i a  0     0 i a  0    0 ia  0 

4a

Trójmian kwadratowy ma tylko jedno miejsce zerowe
(przypadek 2) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

Trójmian kwadratowy ma dwa różne miejsca zerowe
(przypadek 3) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

C.D.

Nasze rozważania prowadzą do następującego twierdzenia:
Dany jest trójmian y  ax  bx  c , a  0 . Wówczas:
2

1.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a  x  x1  x  x 2 , a  0

gdzie
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Liczby x1 , x 2 są miejscami zerowymi trójmianu.

C.D.

2.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a x  x0  , a  0
2

gdzie
x0 

b
2a

Liczba x 0 jest (podwójnym) miejscem zerowym trójmianu.
3.   0 Wtedy i tylko wtedy, gdy trójmianu nie można
przedstawić w postaci iloczynowej. Trójmian nie ma miejsc
zerowych.

SPIS TREŚCI

4. Wzory Viete’a.
Wiesz, że trójmian kwadratowy y  ax  bx  c , a  0
ma miejsca zerowe tylko wtedy, gdy   0 . Jeśli   0 , b
to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe x 0  
jeśli natomiast   0 , to funkcja kwadratowa ma dwa 2 a
2

różne miejsca zerowe:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Załóżmy, że   0 , a następnie obliczmy sumę i iloczyn
miejsc zerowych trójmianu kwadratowego. Obliczenia
przeprowadzimy w następujący sposób:

C.D.

b

x1  x 2 



b



2a





b

2a

 b





 b 



4a

2

 b  b  4 ac
2



 

2

b 
2



4a

2

4a

2



2

4 ac
4a

2

2





b  b  4 ac
2

4a





2a

b   b  
b




x1  x 2 






2a
2a

 

2



2



  b
4a

2

 2b
 2a





b
a





c
a
C.D.

Twierdzenie Viete’a
Jeśli x1 , x 2 są różnymi miejscami zerowymi trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to zachodzą związki:
x1  x 2  

b
a

x1  x 2 

c
a

Jeśli x 0 jest jednym miejscem
zerowym trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to:

2 x0  

b
a

2

x0 

c
a

SPIS TREŚCI

5. Równania kwadratowe.
Def.

Równanie ax  bx  c  0 , gdzie a , b , c  R i a  0 ,
2

nazywamy równaniem kwadratowym.
W zależności od wartości współczynników a , b , c równania
2
y

ax
 bx  c , a  0 , dzielimy na zupełne i
kwadratowe
niezupełne. Równania kwadratowe zupełne to takie, w
których wszystkie współczynniki a , b , c są różne od zera,
np. równania:
x  2x 1  0
2

3x  5x  7  0
2

 0 ,5 x  9 x  11  0
2

Równanie kwadratowe niezupełne to takie, w których
współczynnik a  0 , ale przynajmniej jeden ze
współczynników b, c jest zerem, np. równania:
3x  x  0
2

5x  1  0
2

 1, 2 x  0
2

C.D.

Wniosek
2
Równanie kwadratowe ax  bx  c  0 , gdzie a  0 :

1) nie ma rozwiązań, jeśli   0

2) ma jedno rozwiązanie, jeśli   0 ; rozwiązanie ma
postać :
x0  

b
2a

3) ma dwa różne rozwiązania, jeśli   0 ; w tej sytuacji te
rozwiązania mają postać:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

SPIS TREŚCI

6. Nierówności kwadratowe.
Przykład

Wyznaczmy dwie liczby naturalne różniące się 1, których
iloczyn jest mniejszy od potrojonej liczby mniejszej.
Niech x oznacza liczbę mniejszą, natomiast x  1 -liczbę
większą, x  N . Iloczyn liczb opisuje wyrażenie x  x  1  ,
a potrojoną liczbę mniejszą – wyrażenie 3 x . Z treści
zadania wynika, że
x  x  1  3 x  x  N  x  x  3 x  x  N 
2

 x  2 x  0  x  N  xx  2  0  x  N
2

C.D.

Iloczyn liczb x oraz x  2 jest ujemny tylko wtedy, gdy liczby
te są przeciwnych znaków. Na tej podstawie stwierdzimy, że:
 x  0


  x  2  0

 x0 
  x  N  x  0 , 2   x  N  x  1

 x  2  0 

Szukana liczba to 1.

Sprawdzimy. Iloczyn liczb wynosi 2, potrojona zaś liczba
mniejsza to 3. Zachodzi zatem nierówność, bo 2 < 3.
Def.

Nierównością kwadratową nazywamy każdą z nierówności:
2
2
2
ax  bx  c  0 , ax  bx  c  0 lub ax  bx  c  0
gdzie a , b , c  R oraz a  0 .
SPIS TREŚCI

7. Równania i nierówności kwadratowe z parametrem.
Przykład

Zbadajmy liczbę rozwiązań równania:

m

2

 1  x   m  1  x  1  0
2

z parametrem m . Narysujmy wykres funkcji y  g (m ) ,
która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje
liczbę rozwiązań powyższego równania. Rozważmy dwa
przypadki.
Przypadek 1.
m  1  0  m  1m  1  0  m  1  0  m  1  0 
2

 m  1  m  1
C.D.

Jeśli m  1 lub m   1 , to współczynnik przy x 2 jest równy
zeru. Wówczas równanie jest liniowe. Dla m  1
otrzymujemy równanie liniowe 2 x  1  0 , które ma jedno
rozwiązanie. Dla m   1 otrzymujemy równanie liniowe
sprzeczne.

Przypadek 2.

Jeśli m  R   1,1 , to rozważane równanie jest
równaniem kwadratowym i liczba jego rozwiązań zależy od
 . Obliczmy  . Otrzymujemy:
   m  1   4 m  1   1   m  1  m  1   4  m  1  m  1  
2

2

  m  1   3 m  5 

C.D.

Zatem:
• Równanie ma jedno rozwiązanie 

   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2

  m   1  m  1   m  R   1,1  m  1
3
3

• Równanie ma dwa różne rozwiązania 
   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2


 m    1,1   m  R   1,1  m    1,1    1,1 
3
3


• Równanie nie ma rozwiązań 
   0  m  R   1,1 
 2

 m     ,  1    1 ,    m  R   1,1 
 3

 2

 m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Podsumujmy otrzymane wyniki:
Równanie kwadratowe,
dwa rozwiązania

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

-1

1

1

2

m

3

Równanie liniowe, nie
ma rozwiązań

Równanie liniowe,
jedno rozwiązanie

Równanie liniowe, jedno
rozwiązanie

Rysunek pokazuje, że rozpatrzyliśmy wszystkie wartości m
mR

C.D.

Nasze rozważania możemy zapisać krótko w następujący
sposób:

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

a) ma dwa rozwiązania wtedy, gdy

2

m    1,1    1,1 
3


b) ma jedno rozwiązanie wtedy, gry

 2
m   1,1 
 3

c) nie ma rozwiązań wtedy, gdy

 2

m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Stąd wzór szukanej funkcji y  g  m  , która każdej liczbie
rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę rozwiązań
równania :

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

ma postać:

2


g m    1


0


dla
dla
dla

2

m    1,1    1,1 
3

 2
m  1,1 
 3

 2

m     ,  1   1 ,  
 3


C.D.

Wykres funkcji g:

y

y  g (m )

1
1

1 12 2

m

3

SPIS TREŚCI


Slide 4

FUNKCJA
KWADRATOWA
Autorzy:
Kamil Tutro
Paweł Ochałek

Kamil Krajewski
Andrzej Ogorzałek

Uczniowie klasy 2d LO Kołaczyce

1. Jednomian stopnia drugiego.
2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
4. Wzory Viete’a.

5. Równania kwadratowe.
6. Nierówności kwadratowe.
7. Równania i nierówności kwadratowe z
parametrem.

1. Jednomianem stopnia drugiego.
nazywamy funkcję:

y  ax

2

gdzie x  R , natomiast a jest stałą liczbą rzeczywistą
różną od zera.
Przykładowe wykresy:
y

y

a0
x

a 0
x
C.D.

Własności funkcji
1. D f  R , ZW

f

y  ax

2

x R

a 0

 0 ,  )

2. Funkcja ma jedno miejsce zerowe

x0

3. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla
x  (  , 0 )  ( 0 ,  ) .Nie przyjmuje wartości ujemnych.

4. Funkcja:
Jest malejąca w zbiorze ( , 0 )
Jest rosnąca w zbiorze

( 0 ,  )

5. Funkcja jest parzysta (sprawdź !!!).
6. Funkcja nie jest różnowartościowa.

C.D.

7. Funkcja osiąga najmniejszą wartość równą 0, dla
argumentu 0. Nie przyjmuje wartości największej.
Zbiór wartości funkcji jest ograniczony z dołu; nie jest
ograniczony z góry.

SPIS TREŚCI

2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
Nazywamy funkcję

y  ax  bx  c
2

gdzie a , b , c  R oraz a  0 , x  R , nazywamy funkcją
kwadratową (trójmianem kwadratowym) w postaci
ogólnej.
Def.

Funkcję y  a ( x  p )  q , a  0 , x  R
2

, nazywamy
funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) w
postaci kanonicznej.

gdzie
p

b
2a

b  4 ac
2

q

4a
C.D.

Tw.

Wykres funkcji y  a ( x  p )  q , a  0 , powstaje w wyniku
2
y

ax
, a  0, x  R
przesunięcia równoległego jednomianu
o wektor v  [ p , q ].
2

Tw.

Funkcję kwadratową postaci ogólnej:
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  a(x  p)  q
2

C.D.

Dowód

Ponieważ a  0 , więc mamy:
2
2 

b
b
b




2
2
y  ax  bx  c  a  x  x   c  a   x 
c
 
2 
a 
2a 
4 a 

 
2

2

2

2

2

b 
b
b 
b
b 



 a x 
 c  a x 
 c  a x 
 a
 
 
2
2a 
4a
2a 
4a
2a 




b
4 ac
 

4a
 4a
2

2

2

b
b
 4 ac


  a x 
 

2a 
4a



Stąd:
p

b

b  4 ac
2

q

2a

4a

Co kończy dowód twierdzenia.
C.D.

2
UWAGA: dla funkcji kwadratowej y  ax  bx  c , a  0
2
liczbę b  4 ac
oznaczamy symbolem  (delta) i
nazywamy ją wyróżnikiem trójmianu kwadratowego.

y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

Mamy więc:
  b  4 ac
2

Wniosek

Funkcję kwadratową w postacie ogólnej
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  ax  p   q
2

C.D.

gdzie
p

b

q



2a

4a

Wniosek

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

ma współrzędne
xw  

b
2a

yw 


4a

SPIS TREŚCI

3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
Liczba miejsc zerowych trójmianu kwadratowego
y  ax  bx  c , a  0
2

jest równa liczbie punktów wspólnych wykresu tej funkcji i
osi OX.

Niech a będzie liczbą dodatni. Wówczas są trzy możliwe
przypadki.

( p, q)

x

( p, q)

x

x
( p, q)

C.D.

Zauważmy, że trójmian nie ma miejsc zerowych
(przypadek 1) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
Ale q 



.

4a

Mamy więc:
q0 ia0



 0 i a  0     0 i a  0    0 ia  0 

4a

Trójmian kwadratowy ma tylko jedno miejsce zerowe
(przypadek 2) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

Trójmian kwadratowy ma dwa różne miejsca zerowe
(przypadek 3) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

C.D.

Nasze rozważania prowadzą do następującego twierdzenia:
Dany jest trójmian y  ax  bx  c , a  0 . Wówczas:
2

1.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a  x  x1  x  x 2 , a  0

gdzie
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Liczby x1 , x 2 są miejscami zerowymi trójmianu.

C.D.

2.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a x  x0  , a  0
2

gdzie
x0 

b
2a

Liczba x 0 jest (podwójnym) miejscem zerowym trójmianu.
3.   0 Wtedy i tylko wtedy, gdy trójmianu nie można
przedstawić w postaci iloczynowej. Trójmian nie ma miejsc
zerowych.

SPIS TREŚCI

4. Wzory Viete’a.
Wiesz, że trójmian kwadratowy y  ax  bx  c , a  0
ma miejsca zerowe tylko wtedy, gdy   0 . Jeśli   0 , b
to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe x 0  
jeśli natomiast   0 , to funkcja kwadratowa ma dwa 2 a
2

różne miejsca zerowe:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Załóżmy, że   0 , a następnie obliczmy sumę i iloczyn
miejsc zerowych trójmianu kwadratowego. Obliczenia
przeprowadzimy w następujący sposób:

C.D.

b

x1  x 2 



b



2a





b

2a

 b





 b 



4a

2

 b  b  4 ac
2



 

2

b 
2



4a

2

4a

2



2

4 ac
4a

2

2





b  b  4 ac
2

4a





2a

b   b  
b




x1  x 2 






2a
2a

 

2



2



  b
4a

2

 2b
 2a





b
a





c
a
C.D.

Twierdzenie Viete’a
Jeśli x1 , x 2 są różnymi miejscami zerowymi trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to zachodzą związki:
x1  x 2  

b
a

x1  x 2 

c
a

Jeśli x 0 jest jednym miejscem
zerowym trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to:

2 x0  

b
a

2

x0 

c
a

SPIS TREŚCI

5. Równania kwadratowe.
Def.

Równanie ax  bx  c  0 , gdzie a , b , c  R i a  0 ,
2

nazywamy równaniem kwadratowym.
W zależności od wartości współczynników a , b , c równania
2
y

ax
 bx  c , a  0 , dzielimy na zupełne i
kwadratowe
niezupełne. Równania kwadratowe zupełne to takie, w
których wszystkie współczynniki a , b , c są różne od zera,
np. równania:
x  2x 1  0
2

3x  5x  7  0
2

 0 ,5 x  9 x  11  0
2

Równanie kwadratowe niezupełne to takie, w których
współczynnik a  0 , ale przynajmniej jeden ze
współczynników b, c jest zerem, np. równania:
3x  x  0
2

5x  1  0
2

 1, 2 x  0
2

C.D.

Wniosek
2
Równanie kwadratowe ax  bx  c  0 , gdzie a  0 :

1) nie ma rozwiązań, jeśli   0

2) ma jedno rozwiązanie, jeśli   0 ; rozwiązanie ma
postać :
x0  

b
2a

3) ma dwa różne rozwiązania, jeśli   0 ; w tej sytuacji te
rozwiązania mają postać:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

SPIS TREŚCI

6. Nierówności kwadratowe.
Przykład

Wyznaczmy dwie liczby naturalne różniące się 1, których
iloczyn jest mniejszy od potrojonej liczby mniejszej.
Niech x oznacza liczbę mniejszą, natomiast x  1 -liczbę
większą, x  N . Iloczyn liczb opisuje wyrażenie x  x  1  ,
a potrojoną liczbę mniejszą – wyrażenie 3 x . Z treści
zadania wynika, że
x  x  1  3 x  x  N  x  x  3 x  x  N 
2

 x  2 x  0  x  N  xx  2  0  x  N
2

C.D.

Iloczyn liczb x oraz x  2 jest ujemny tylko wtedy, gdy liczby
te są przeciwnych znaków. Na tej podstawie stwierdzimy, że:
 x  0


  x  2  0

 x0 
  x  N  x  0 , 2   x  N  x  1

 x  2  0 

Szukana liczba to 1.

Sprawdzimy. Iloczyn liczb wynosi 2, potrojona zaś liczba
mniejsza to 3. Zachodzi zatem nierówność, bo 2 < 3.
Def.

Nierównością kwadratową nazywamy każdą z nierówności:
2
2
2
ax  bx  c  0 , ax  bx  c  0 lub ax  bx  c  0
gdzie a , b , c  R oraz a  0 .
SPIS TREŚCI

7. Równania i nierówności kwadratowe z parametrem.
Przykład

Zbadajmy liczbę rozwiązań równania:

m

2

 1  x   m  1  x  1  0
2

z parametrem m . Narysujmy wykres funkcji y  g (m ) ,
która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje
liczbę rozwiązań powyższego równania. Rozważmy dwa
przypadki.
Przypadek 1.
m  1  0  m  1m  1  0  m  1  0  m  1  0 
2

 m  1  m  1
C.D.

Jeśli m  1 lub m   1 , to współczynnik przy x 2 jest równy
zeru. Wówczas równanie jest liniowe. Dla m  1
otrzymujemy równanie liniowe 2 x  1  0 , które ma jedno
rozwiązanie. Dla m   1 otrzymujemy równanie liniowe
sprzeczne.

Przypadek 2.

Jeśli m  R   1,1 , to rozważane równanie jest
równaniem kwadratowym i liczba jego rozwiązań zależy od
 . Obliczmy  . Otrzymujemy:
   m  1   4 m  1   1   m  1  m  1   4  m  1  m  1  
2

2

  m  1   3 m  5 

C.D.

Zatem:
• Równanie ma jedno rozwiązanie 

   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2

  m   1  m  1   m  R   1,1  m  1
3
3

• Równanie ma dwa różne rozwiązania 
   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2


 m    1,1   m  R   1,1  m    1,1    1,1 
3
3


• Równanie nie ma rozwiązań 
   0  m  R   1,1 
 2

 m     ,  1    1 ,    m  R   1,1 
 3

 2

 m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Podsumujmy otrzymane wyniki:
Równanie kwadratowe,
dwa rozwiązania

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

-1

1

1

2

m

3

Równanie liniowe, nie
ma rozwiązań

Równanie liniowe,
jedno rozwiązanie

Równanie liniowe, jedno
rozwiązanie

Rysunek pokazuje, że rozpatrzyliśmy wszystkie wartości m
mR

C.D.

Nasze rozważania możemy zapisać krótko w następujący
sposób:

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

a) ma dwa rozwiązania wtedy, gdy

2

m    1,1    1,1 
3


b) ma jedno rozwiązanie wtedy, gry

 2
m   1,1 
 3

c) nie ma rozwiązań wtedy, gdy

 2

m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Stąd wzór szukanej funkcji y  g  m  , która każdej liczbie
rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę rozwiązań
równania :

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

ma postać:

2


g m    1


0


dla
dla
dla

2

m    1,1    1,1 
3

 2
m  1,1 
 3

 2

m     ,  1   1 ,  
 3


C.D.

Wykres funkcji g:

y

y  g (m )

1
1

1 12 2

m

3

SPIS TREŚCI


Slide 5

FUNKCJA
KWADRATOWA
Autorzy:
Kamil Tutro
Paweł Ochałek

Kamil Krajewski
Andrzej Ogorzałek

Uczniowie klasy 2d LO Kołaczyce

1. Jednomian stopnia drugiego.
2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
4. Wzory Viete’a.

5. Równania kwadratowe.
6. Nierówności kwadratowe.
7. Równania i nierówności kwadratowe z
parametrem.

1. Jednomianem stopnia drugiego.
nazywamy funkcję:

y  ax

2

gdzie x  R , natomiast a jest stałą liczbą rzeczywistą
różną od zera.
Przykładowe wykresy:
y

y

a0
x

a 0
x
C.D.

Własności funkcji
1. D f  R , ZW

f

y  ax

2

x R

a 0

 0 ,  )

2. Funkcja ma jedno miejsce zerowe

x0

3. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla
x  (  , 0 )  ( 0 ,  ) .Nie przyjmuje wartości ujemnych.

4. Funkcja:
Jest malejąca w zbiorze ( , 0 )
Jest rosnąca w zbiorze

( 0 ,  )

5. Funkcja jest parzysta (sprawdź !!!).
6. Funkcja nie jest różnowartościowa.

C.D.

7. Funkcja osiąga najmniejszą wartość równą 0, dla
argumentu 0. Nie przyjmuje wartości największej.
Zbiór wartości funkcji jest ograniczony z dołu; nie jest
ograniczony z góry.

SPIS TREŚCI

2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
Nazywamy funkcję

y  ax  bx  c
2

gdzie a , b , c  R oraz a  0 , x  R , nazywamy funkcją
kwadratową (trójmianem kwadratowym) w postaci
ogólnej.
Def.

Funkcję y  a ( x  p )  q , a  0 , x  R
2

, nazywamy
funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) w
postaci kanonicznej.

gdzie
p

b
2a

b  4 ac
2

q

4a
C.D.

Tw.

Wykres funkcji y  a ( x  p )  q , a  0 , powstaje w wyniku
2
y

ax
, a  0, x  R
przesunięcia równoległego jednomianu
o wektor v  [ p , q ].
2

Tw.

Funkcję kwadratową postaci ogólnej:
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  a(x  p)  q
2

C.D.

Dowód

Ponieważ a  0 , więc mamy:
2
2 

b
b
b




2
2
y  ax  bx  c  a  x  x   c  a   x 
c
 
2 
a 
2a 
4 a 

 
2

2

2

2

2

b 
b
b 
b
b 



 a x 
 c  a x 
 c  a x 
 a
 
 
2
2a 
4a
2a 
4a
2a 




b
4 ac
 

4a
 4a
2

2

2

b
b
 4 ac


  a x 
 

2a 
4a



Stąd:
p

b

b  4 ac
2

q

2a

4a

Co kończy dowód twierdzenia.
C.D.

2
UWAGA: dla funkcji kwadratowej y  ax  bx  c , a  0
2
liczbę b  4 ac
oznaczamy symbolem  (delta) i
nazywamy ją wyróżnikiem trójmianu kwadratowego.

y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

Mamy więc:
  b  4 ac
2

Wniosek

Funkcję kwadratową w postacie ogólnej
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  ax  p   q
2

C.D.

gdzie
p

b

q



2a

4a

Wniosek

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

ma współrzędne
xw  

b
2a

yw 


4a

SPIS TREŚCI

3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
Liczba miejsc zerowych trójmianu kwadratowego
y  ax  bx  c , a  0
2

jest równa liczbie punktów wspólnych wykresu tej funkcji i
osi OX.

Niech a będzie liczbą dodatni. Wówczas są trzy możliwe
przypadki.

( p, q)

x

( p, q)

x

x
( p, q)

C.D.

Zauważmy, że trójmian nie ma miejsc zerowych
(przypadek 1) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
Ale q 



.

4a

Mamy więc:
q0 ia0



 0 i a  0     0 i a  0    0 ia  0 

4a

Trójmian kwadratowy ma tylko jedno miejsce zerowe
(przypadek 2) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

Trójmian kwadratowy ma dwa różne miejsca zerowe
(przypadek 3) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

C.D.

Nasze rozważania prowadzą do następującego twierdzenia:
Dany jest trójmian y  ax  bx  c , a  0 . Wówczas:
2

1.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a  x  x1  x  x 2 , a  0

gdzie
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Liczby x1 , x 2 są miejscami zerowymi trójmianu.

C.D.

2.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a x  x0  , a  0
2

gdzie
x0 

b
2a

Liczba x 0 jest (podwójnym) miejscem zerowym trójmianu.
3.   0 Wtedy i tylko wtedy, gdy trójmianu nie można
przedstawić w postaci iloczynowej. Trójmian nie ma miejsc
zerowych.

SPIS TREŚCI

4. Wzory Viete’a.
Wiesz, że trójmian kwadratowy y  ax  bx  c , a  0
ma miejsca zerowe tylko wtedy, gdy   0 . Jeśli   0 , b
to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe x 0  
jeśli natomiast   0 , to funkcja kwadratowa ma dwa 2 a
2

różne miejsca zerowe:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Załóżmy, że   0 , a następnie obliczmy sumę i iloczyn
miejsc zerowych trójmianu kwadratowego. Obliczenia
przeprowadzimy w następujący sposób:

C.D.

b

x1  x 2 



b



2a





b

2a

 b





 b 



4a

2

 b  b  4 ac
2



 

2

b 
2



4a

2

4a

2



2

4 ac
4a

2

2





b  b  4 ac
2

4a





2a

b   b  
b




x1  x 2 






2a
2a

 

2



2



  b
4a

2

 2b
 2a





b
a





c
a
C.D.

Twierdzenie Viete’a
Jeśli x1 , x 2 są różnymi miejscami zerowymi trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to zachodzą związki:
x1  x 2  

b
a

x1  x 2 

c
a

Jeśli x 0 jest jednym miejscem
zerowym trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to:

2 x0  

b
a

2

x0 

c
a

SPIS TREŚCI

5. Równania kwadratowe.
Def.

Równanie ax  bx  c  0 , gdzie a , b , c  R i a  0 ,
2

nazywamy równaniem kwadratowym.
W zależności od wartości współczynników a , b , c równania
2
y

ax
 bx  c , a  0 , dzielimy na zupełne i
kwadratowe
niezupełne. Równania kwadratowe zupełne to takie, w
których wszystkie współczynniki a , b , c są różne od zera,
np. równania:
x  2x 1  0
2

3x  5x  7  0
2

 0 ,5 x  9 x  11  0
2

Równanie kwadratowe niezupełne to takie, w których
współczynnik a  0 , ale przynajmniej jeden ze
współczynników b, c jest zerem, np. równania:
3x  x  0
2

5x  1  0
2

 1, 2 x  0
2

C.D.

Wniosek
2
Równanie kwadratowe ax  bx  c  0 , gdzie a  0 :

1) nie ma rozwiązań, jeśli   0

2) ma jedno rozwiązanie, jeśli   0 ; rozwiązanie ma
postać :
x0  

b
2a

3) ma dwa różne rozwiązania, jeśli   0 ; w tej sytuacji te
rozwiązania mają postać:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

SPIS TREŚCI

6. Nierówności kwadratowe.
Przykład

Wyznaczmy dwie liczby naturalne różniące się 1, których
iloczyn jest mniejszy od potrojonej liczby mniejszej.
Niech x oznacza liczbę mniejszą, natomiast x  1 -liczbę
większą, x  N . Iloczyn liczb opisuje wyrażenie x  x  1  ,
a potrojoną liczbę mniejszą – wyrażenie 3 x . Z treści
zadania wynika, że
x  x  1  3 x  x  N  x  x  3 x  x  N 
2

 x  2 x  0  x  N  xx  2  0  x  N
2

C.D.

Iloczyn liczb x oraz x  2 jest ujemny tylko wtedy, gdy liczby
te są przeciwnych znaków. Na tej podstawie stwierdzimy, że:
 x  0


  x  2  0

 x0 
  x  N  x  0 , 2   x  N  x  1

 x  2  0 

Szukana liczba to 1.

Sprawdzimy. Iloczyn liczb wynosi 2, potrojona zaś liczba
mniejsza to 3. Zachodzi zatem nierówność, bo 2 < 3.
Def.

Nierównością kwadratową nazywamy każdą z nierówności:
2
2
2
ax  bx  c  0 , ax  bx  c  0 lub ax  bx  c  0
gdzie a , b , c  R oraz a  0 .
SPIS TREŚCI

7. Równania i nierówności kwadratowe z parametrem.
Przykład

Zbadajmy liczbę rozwiązań równania:

m

2

 1  x   m  1  x  1  0
2

z parametrem m . Narysujmy wykres funkcji y  g (m ) ,
która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje
liczbę rozwiązań powyższego równania. Rozważmy dwa
przypadki.
Przypadek 1.
m  1  0  m  1m  1  0  m  1  0  m  1  0 
2

 m  1  m  1
C.D.

Jeśli m  1 lub m   1 , to współczynnik przy x 2 jest równy
zeru. Wówczas równanie jest liniowe. Dla m  1
otrzymujemy równanie liniowe 2 x  1  0 , które ma jedno
rozwiązanie. Dla m   1 otrzymujemy równanie liniowe
sprzeczne.

Przypadek 2.

Jeśli m  R   1,1 , to rozważane równanie jest
równaniem kwadratowym i liczba jego rozwiązań zależy od
 . Obliczmy  . Otrzymujemy:
   m  1   4 m  1   1   m  1  m  1   4  m  1  m  1  
2

2

  m  1   3 m  5 

C.D.

Zatem:
• Równanie ma jedno rozwiązanie 

   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2

  m   1  m  1   m  R   1,1  m  1
3
3

• Równanie ma dwa różne rozwiązania 
   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2


 m    1,1   m  R   1,1  m    1,1    1,1 
3
3


• Równanie nie ma rozwiązań 
   0  m  R   1,1 
 2

 m     ,  1    1 ,    m  R   1,1 
 3

 2

 m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Podsumujmy otrzymane wyniki:
Równanie kwadratowe,
dwa rozwiązania

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

-1

1

1

2

m

3

Równanie liniowe, nie
ma rozwiązań

Równanie liniowe,
jedno rozwiązanie

Równanie liniowe, jedno
rozwiązanie

Rysunek pokazuje, że rozpatrzyliśmy wszystkie wartości m
mR

C.D.

Nasze rozważania możemy zapisać krótko w następujący
sposób:

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

a) ma dwa rozwiązania wtedy, gdy

2

m    1,1    1,1 
3


b) ma jedno rozwiązanie wtedy, gry

 2
m   1,1 
 3

c) nie ma rozwiązań wtedy, gdy

 2

m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Stąd wzór szukanej funkcji y  g  m  , która każdej liczbie
rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę rozwiązań
równania :

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

ma postać:

2


g m    1


0


dla
dla
dla

2

m    1,1    1,1 
3

 2
m  1,1 
 3

 2

m     ,  1   1 ,  
 3


C.D.

Wykres funkcji g:

y

y  g (m )

1
1

1 12 2

m

3

SPIS TREŚCI


Slide 6

FUNKCJA
KWADRATOWA
Autorzy:
Kamil Tutro
Paweł Ochałek

Kamil Krajewski
Andrzej Ogorzałek

Uczniowie klasy 2d LO Kołaczyce

1. Jednomian stopnia drugiego.
2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
4. Wzory Viete’a.

5. Równania kwadratowe.
6. Nierówności kwadratowe.
7. Równania i nierówności kwadratowe z
parametrem.

1. Jednomianem stopnia drugiego.
nazywamy funkcję:

y  ax

2

gdzie x  R , natomiast a jest stałą liczbą rzeczywistą
różną od zera.
Przykładowe wykresy:
y

y

a0
x

a 0
x
C.D.

Własności funkcji
1. D f  R , ZW

f

y  ax

2

x R

a 0

 0 ,  )

2. Funkcja ma jedno miejsce zerowe

x0

3. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla
x  (  , 0 )  ( 0 ,  ) .Nie przyjmuje wartości ujemnych.

4. Funkcja:
Jest malejąca w zbiorze ( , 0 )
Jest rosnąca w zbiorze

( 0 ,  )

5. Funkcja jest parzysta (sprawdź !!!).
6. Funkcja nie jest różnowartościowa.

C.D.

7. Funkcja osiąga najmniejszą wartość równą 0, dla
argumentu 0. Nie przyjmuje wartości największej.
Zbiór wartości funkcji jest ograniczony z dołu; nie jest
ograniczony z góry.

SPIS TREŚCI

2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
Nazywamy funkcję

y  ax  bx  c
2

gdzie a , b , c  R oraz a  0 , x  R , nazywamy funkcją
kwadratową (trójmianem kwadratowym) w postaci
ogólnej.
Def.

Funkcję y  a ( x  p )  q , a  0 , x  R
2

, nazywamy
funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) w
postaci kanonicznej.

gdzie
p

b
2a

b  4 ac
2

q

4a
C.D.

Tw.

Wykres funkcji y  a ( x  p )  q , a  0 , powstaje w wyniku
2
y

ax
, a  0, x  R
przesunięcia równoległego jednomianu
o wektor v  [ p , q ].
2

Tw.

Funkcję kwadratową postaci ogólnej:
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  a(x  p)  q
2

C.D.

Dowód

Ponieważ a  0 , więc mamy:
2
2 

b
b
b




2
2
y  ax  bx  c  a  x  x   c  a   x 
c
 
2 
a 
2a 
4 a 

 
2

2

2

2

2

b 
b
b 
b
b 



 a x 
 c  a x 
 c  a x 
 a
 
 
2
2a 
4a
2a 
4a
2a 




b
4 ac
 

4a
 4a
2

2

2

b
b
 4 ac


  a x 
 

2a 
4a



Stąd:
p

b

b  4 ac
2

q

2a

4a

Co kończy dowód twierdzenia.
C.D.

2
UWAGA: dla funkcji kwadratowej y  ax  bx  c , a  0
2
liczbę b  4 ac
oznaczamy symbolem  (delta) i
nazywamy ją wyróżnikiem trójmianu kwadratowego.

y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

Mamy więc:
  b  4 ac
2

Wniosek

Funkcję kwadratową w postacie ogólnej
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  ax  p   q
2

C.D.

gdzie
p

b

q



2a

4a

Wniosek

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

ma współrzędne
xw  

b
2a

yw 


4a

SPIS TREŚCI

3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
Liczba miejsc zerowych trójmianu kwadratowego
y  ax  bx  c , a  0
2

jest równa liczbie punktów wspólnych wykresu tej funkcji i
osi OX.

Niech a będzie liczbą dodatni. Wówczas są trzy możliwe
przypadki.

( p, q)

x

( p, q)

x

x
( p, q)

C.D.

Zauważmy, że trójmian nie ma miejsc zerowych
(przypadek 1) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
Ale q 



.

4a

Mamy więc:
q0 ia0



 0 i a  0     0 i a  0    0 ia  0 

4a

Trójmian kwadratowy ma tylko jedno miejsce zerowe
(przypadek 2) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

Trójmian kwadratowy ma dwa różne miejsca zerowe
(przypadek 3) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

C.D.

Nasze rozważania prowadzą do następującego twierdzenia:
Dany jest trójmian y  ax  bx  c , a  0 . Wówczas:
2

1.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a  x  x1  x  x 2 , a  0

gdzie
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Liczby x1 , x 2 są miejscami zerowymi trójmianu.

C.D.

2.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a x  x0  , a  0
2

gdzie
x0 

b
2a

Liczba x 0 jest (podwójnym) miejscem zerowym trójmianu.
3.   0 Wtedy i tylko wtedy, gdy trójmianu nie można
przedstawić w postaci iloczynowej. Trójmian nie ma miejsc
zerowych.

SPIS TREŚCI

4. Wzory Viete’a.
Wiesz, że trójmian kwadratowy y  ax  bx  c , a  0
ma miejsca zerowe tylko wtedy, gdy   0 . Jeśli   0 , b
to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe x 0  
jeśli natomiast   0 , to funkcja kwadratowa ma dwa 2 a
2

różne miejsca zerowe:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Załóżmy, że   0 , a następnie obliczmy sumę i iloczyn
miejsc zerowych trójmianu kwadratowego. Obliczenia
przeprowadzimy w następujący sposób:

C.D.

b

x1  x 2 



b



2a





b

2a

 b





 b 



4a

2

 b  b  4 ac
2



 

2

b 
2



4a

2

4a

2



2

4 ac
4a

2

2





b  b  4 ac
2

4a





2a

b   b  
b




x1  x 2 






2a
2a

 

2



2



  b
4a

2

 2b
 2a





b
a





c
a
C.D.

Twierdzenie Viete’a
Jeśli x1 , x 2 są różnymi miejscami zerowymi trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to zachodzą związki:
x1  x 2  

b
a

x1  x 2 

c
a

Jeśli x 0 jest jednym miejscem
zerowym trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to:

2 x0  

b
a

2

x0 

c
a

SPIS TREŚCI

5. Równania kwadratowe.
Def.

Równanie ax  bx  c  0 , gdzie a , b , c  R i a  0 ,
2

nazywamy równaniem kwadratowym.
W zależności od wartości współczynników a , b , c równania
2
y

ax
 bx  c , a  0 , dzielimy na zupełne i
kwadratowe
niezupełne. Równania kwadratowe zupełne to takie, w
których wszystkie współczynniki a , b , c są różne od zera,
np. równania:
x  2x 1  0
2

3x  5x  7  0
2

 0 ,5 x  9 x  11  0
2

Równanie kwadratowe niezupełne to takie, w których
współczynnik a  0 , ale przynajmniej jeden ze
współczynników b, c jest zerem, np. równania:
3x  x  0
2

5x  1  0
2

 1, 2 x  0
2

C.D.

Wniosek
2
Równanie kwadratowe ax  bx  c  0 , gdzie a  0 :

1) nie ma rozwiązań, jeśli   0

2) ma jedno rozwiązanie, jeśli   0 ; rozwiązanie ma
postać :
x0  

b
2a

3) ma dwa różne rozwiązania, jeśli   0 ; w tej sytuacji te
rozwiązania mają postać:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

SPIS TREŚCI

6. Nierówności kwadratowe.
Przykład

Wyznaczmy dwie liczby naturalne różniące się 1, których
iloczyn jest mniejszy od potrojonej liczby mniejszej.
Niech x oznacza liczbę mniejszą, natomiast x  1 -liczbę
większą, x  N . Iloczyn liczb opisuje wyrażenie x  x  1  ,
a potrojoną liczbę mniejszą – wyrażenie 3 x . Z treści
zadania wynika, że
x  x  1  3 x  x  N  x  x  3 x  x  N 
2

 x  2 x  0  x  N  xx  2  0  x  N
2

C.D.

Iloczyn liczb x oraz x  2 jest ujemny tylko wtedy, gdy liczby
te są przeciwnych znaków. Na tej podstawie stwierdzimy, że:
 x  0


  x  2  0

 x0 
  x  N  x  0 , 2   x  N  x  1

 x  2  0 

Szukana liczba to 1.

Sprawdzimy. Iloczyn liczb wynosi 2, potrojona zaś liczba
mniejsza to 3. Zachodzi zatem nierówność, bo 2 < 3.
Def.

Nierównością kwadratową nazywamy każdą z nierówności:
2
2
2
ax  bx  c  0 , ax  bx  c  0 lub ax  bx  c  0
gdzie a , b , c  R oraz a  0 .
SPIS TREŚCI

7. Równania i nierówności kwadratowe z parametrem.
Przykład

Zbadajmy liczbę rozwiązań równania:

m

2

 1  x   m  1  x  1  0
2

z parametrem m . Narysujmy wykres funkcji y  g (m ) ,
która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje
liczbę rozwiązań powyższego równania. Rozważmy dwa
przypadki.
Przypadek 1.
m  1  0  m  1m  1  0  m  1  0  m  1  0 
2

 m  1  m  1
C.D.

Jeśli m  1 lub m   1 , to współczynnik przy x 2 jest równy
zeru. Wówczas równanie jest liniowe. Dla m  1
otrzymujemy równanie liniowe 2 x  1  0 , które ma jedno
rozwiązanie. Dla m   1 otrzymujemy równanie liniowe
sprzeczne.

Przypadek 2.

Jeśli m  R   1,1 , to rozważane równanie jest
równaniem kwadratowym i liczba jego rozwiązań zależy od
 . Obliczmy  . Otrzymujemy:
   m  1   4 m  1   1   m  1  m  1   4  m  1  m  1  
2

2

  m  1   3 m  5 

C.D.

Zatem:
• Równanie ma jedno rozwiązanie 

   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2

  m   1  m  1   m  R   1,1  m  1
3
3

• Równanie ma dwa różne rozwiązania 
   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2


 m    1,1   m  R   1,1  m    1,1    1,1 
3
3


• Równanie nie ma rozwiązań 
   0  m  R   1,1 
 2

 m     ,  1    1 ,    m  R   1,1 
 3

 2

 m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Podsumujmy otrzymane wyniki:
Równanie kwadratowe,
dwa rozwiązania

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

-1

1

1

2

m

3

Równanie liniowe, nie
ma rozwiązań

Równanie liniowe,
jedno rozwiązanie

Równanie liniowe, jedno
rozwiązanie

Rysunek pokazuje, że rozpatrzyliśmy wszystkie wartości m
mR

C.D.

Nasze rozważania możemy zapisać krótko w następujący
sposób:

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

a) ma dwa rozwiązania wtedy, gdy

2

m    1,1    1,1 
3


b) ma jedno rozwiązanie wtedy, gry

 2
m   1,1 
 3

c) nie ma rozwiązań wtedy, gdy

 2

m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Stąd wzór szukanej funkcji y  g  m  , która każdej liczbie
rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę rozwiązań
równania :

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

ma postać:

2


g m    1


0


dla
dla
dla

2

m    1,1    1,1 
3

 2
m  1,1 
 3

 2

m     ,  1   1 ,  
 3


C.D.

Wykres funkcji g:

y

y  g (m )

1
1

1 12 2

m

3

SPIS TREŚCI


Slide 7

FUNKCJA
KWADRATOWA
Autorzy:
Kamil Tutro
Paweł Ochałek

Kamil Krajewski
Andrzej Ogorzałek

Uczniowie klasy 2d LO Kołaczyce

1. Jednomian stopnia drugiego.
2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
4. Wzory Viete’a.

5. Równania kwadratowe.
6. Nierówności kwadratowe.
7. Równania i nierówności kwadratowe z
parametrem.

1. Jednomianem stopnia drugiego.
nazywamy funkcję:

y  ax

2

gdzie x  R , natomiast a jest stałą liczbą rzeczywistą
różną od zera.
Przykładowe wykresy:
y

y

a0
x

a 0
x
C.D.

Własności funkcji
1. D f  R , ZW

f

y  ax

2

x R

a 0

 0 ,  )

2. Funkcja ma jedno miejsce zerowe

x0

3. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla
x  (  , 0 )  ( 0 ,  ) .Nie przyjmuje wartości ujemnych.

4. Funkcja:
Jest malejąca w zbiorze ( , 0 )
Jest rosnąca w zbiorze

( 0 ,  )

5. Funkcja jest parzysta (sprawdź !!!).
6. Funkcja nie jest różnowartościowa.

C.D.

7. Funkcja osiąga najmniejszą wartość równą 0, dla
argumentu 0. Nie przyjmuje wartości największej.
Zbiór wartości funkcji jest ograniczony z dołu; nie jest
ograniczony z góry.

SPIS TREŚCI

2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
Nazywamy funkcję

y  ax  bx  c
2

gdzie a , b , c  R oraz a  0 , x  R , nazywamy funkcją
kwadratową (trójmianem kwadratowym) w postaci
ogólnej.
Def.

Funkcję y  a ( x  p )  q , a  0 , x  R
2

, nazywamy
funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) w
postaci kanonicznej.

gdzie
p

b
2a

b  4 ac
2

q

4a
C.D.

Tw.

Wykres funkcji y  a ( x  p )  q , a  0 , powstaje w wyniku
2
y

ax
, a  0, x  R
przesunięcia równoległego jednomianu
o wektor v  [ p , q ].
2

Tw.

Funkcję kwadratową postaci ogólnej:
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  a(x  p)  q
2

C.D.

Dowód

Ponieważ a  0 , więc mamy:
2
2 

b
b
b




2
2
y  ax  bx  c  a  x  x   c  a   x 
c
 
2 
a 
2a 
4 a 

 
2

2

2

2

2

b 
b
b 
b
b 



 a x 
 c  a x 
 c  a x 
 a
 
 
2
2a 
4a
2a 
4a
2a 




b
4 ac
 

4a
 4a
2

2

2

b
b
 4 ac


  a x 
 

2a 
4a



Stąd:
p

b

b  4 ac
2

q

2a

4a

Co kończy dowód twierdzenia.
C.D.

2
UWAGA: dla funkcji kwadratowej y  ax  bx  c , a  0
2
liczbę b  4 ac
oznaczamy symbolem  (delta) i
nazywamy ją wyróżnikiem trójmianu kwadratowego.

y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

Mamy więc:
  b  4 ac
2

Wniosek

Funkcję kwadratową w postacie ogólnej
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  ax  p   q
2

C.D.

gdzie
p

b

q



2a

4a

Wniosek

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

ma współrzędne
xw  

b
2a

yw 


4a

SPIS TREŚCI

3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
Liczba miejsc zerowych trójmianu kwadratowego
y  ax  bx  c , a  0
2

jest równa liczbie punktów wspólnych wykresu tej funkcji i
osi OX.

Niech a będzie liczbą dodatni. Wówczas są trzy możliwe
przypadki.

( p, q)

x

( p, q)

x

x
( p, q)

C.D.

Zauważmy, że trójmian nie ma miejsc zerowych
(przypadek 1) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
Ale q 



.

4a

Mamy więc:
q0 ia0



 0 i a  0     0 i a  0    0 ia  0 

4a

Trójmian kwadratowy ma tylko jedno miejsce zerowe
(przypadek 2) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

Trójmian kwadratowy ma dwa różne miejsca zerowe
(przypadek 3) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

C.D.

Nasze rozważania prowadzą do następującego twierdzenia:
Dany jest trójmian y  ax  bx  c , a  0 . Wówczas:
2

1.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a  x  x1  x  x 2 , a  0

gdzie
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Liczby x1 , x 2 są miejscami zerowymi trójmianu.

C.D.

2.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a x  x0  , a  0
2

gdzie
x0 

b
2a

Liczba x 0 jest (podwójnym) miejscem zerowym trójmianu.
3.   0 Wtedy i tylko wtedy, gdy trójmianu nie można
przedstawić w postaci iloczynowej. Trójmian nie ma miejsc
zerowych.

SPIS TREŚCI

4. Wzory Viete’a.
Wiesz, że trójmian kwadratowy y  ax  bx  c , a  0
ma miejsca zerowe tylko wtedy, gdy   0 . Jeśli   0 , b
to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe x 0  
jeśli natomiast   0 , to funkcja kwadratowa ma dwa 2 a
2

różne miejsca zerowe:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Załóżmy, że   0 , a następnie obliczmy sumę i iloczyn
miejsc zerowych trójmianu kwadratowego. Obliczenia
przeprowadzimy w następujący sposób:

C.D.

b

x1  x 2 



b



2a





b

2a

 b





 b 



4a

2

 b  b  4 ac
2



 

2

b 
2



4a

2

4a

2



2

4 ac
4a

2

2





b  b  4 ac
2

4a





2a

b   b  
b




x1  x 2 






2a
2a

 

2



2



  b
4a

2

 2b
 2a





b
a





c
a
C.D.

Twierdzenie Viete’a
Jeśli x1 , x 2 są różnymi miejscami zerowymi trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to zachodzą związki:
x1  x 2  

b
a

x1  x 2 

c
a

Jeśli x 0 jest jednym miejscem
zerowym trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to:

2 x0  

b
a

2

x0 

c
a

SPIS TREŚCI

5. Równania kwadratowe.
Def.

Równanie ax  bx  c  0 , gdzie a , b , c  R i a  0 ,
2

nazywamy równaniem kwadratowym.
W zależności od wartości współczynników a , b , c równania
2
y

ax
 bx  c , a  0 , dzielimy na zupełne i
kwadratowe
niezupełne. Równania kwadratowe zupełne to takie, w
których wszystkie współczynniki a , b , c są różne od zera,
np. równania:
x  2x 1  0
2

3x  5x  7  0
2

 0 ,5 x  9 x  11  0
2

Równanie kwadratowe niezupełne to takie, w których
współczynnik a  0 , ale przynajmniej jeden ze
współczynników b, c jest zerem, np. równania:
3x  x  0
2

5x  1  0
2

 1, 2 x  0
2

C.D.

Wniosek
2
Równanie kwadratowe ax  bx  c  0 , gdzie a  0 :

1) nie ma rozwiązań, jeśli   0

2) ma jedno rozwiązanie, jeśli   0 ; rozwiązanie ma
postać :
x0  

b
2a

3) ma dwa różne rozwiązania, jeśli   0 ; w tej sytuacji te
rozwiązania mają postać:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

SPIS TREŚCI

6. Nierówności kwadratowe.
Przykład

Wyznaczmy dwie liczby naturalne różniące się 1, których
iloczyn jest mniejszy od potrojonej liczby mniejszej.
Niech x oznacza liczbę mniejszą, natomiast x  1 -liczbę
większą, x  N . Iloczyn liczb opisuje wyrażenie x  x  1  ,
a potrojoną liczbę mniejszą – wyrażenie 3 x . Z treści
zadania wynika, że
x  x  1  3 x  x  N  x  x  3 x  x  N 
2

 x  2 x  0  x  N  xx  2  0  x  N
2

C.D.

Iloczyn liczb x oraz x  2 jest ujemny tylko wtedy, gdy liczby
te są przeciwnych znaków. Na tej podstawie stwierdzimy, że:
 x  0


  x  2  0

 x0 
  x  N  x  0 , 2   x  N  x  1

 x  2  0 

Szukana liczba to 1.

Sprawdzimy. Iloczyn liczb wynosi 2, potrojona zaś liczba
mniejsza to 3. Zachodzi zatem nierówność, bo 2 < 3.
Def.

Nierównością kwadratową nazywamy każdą z nierówności:
2
2
2
ax  bx  c  0 , ax  bx  c  0 lub ax  bx  c  0
gdzie a , b , c  R oraz a  0 .
SPIS TREŚCI

7. Równania i nierówności kwadratowe z parametrem.
Przykład

Zbadajmy liczbę rozwiązań równania:

m

2

 1  x   m  1  x  1  0
2

z parametrem m . Narysujmy wykres funkcji y  g (m ) ,
która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje
liczbę rozwiązań powyższego równania. Rozważmy dwa
przypadki.
Przypadek 1.
m  1  0  m  1m  1  0  m  1  0  m  1  0 
2

 m  1  m  1
C.D.

Jeśli m  1 lub m   1 , to współczynnik przy x 2 jest równy
zeru. Wówczas równanie jest liniowe. Dla m  1
otrzymujemy równanie liniowe 2 x  1  0 , które ma jedno
rozwiązanie. Dla m   1 otrzymujemy równanie liniowe
sprzeczne.

Przypadek 2.

Jeśli m  R   1,1 , to rozważane równanie jest
równaniem kwadratowym i liczba jego rozwiązań zależy od
 . Obliczmy  . Otrzymujemy:
   m  1   4 m  1   1   m  1  m  1   4  m  1  m  1  
2

2

  m  1   3 m  5 

C.D.

Zatem:
• Równanie ma jedno rozwiązanie 

   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2

  m   1  m  1   m  R   1,1  m  1
3
3

• Równanie ma dwa różne rozwiązania 
   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2


 m    1,1   m  R   1,1  m    1,1    1,1 
3
3


• Równanie nie ma rozwiązań 
   0  m  R   1,1 
 2

 m     ,  1    1 ,    m  R   1,1 
 3

 2

 m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Podsumujmy otrzymane wyniki:
Równanie kwadratowe,
dwa rozwiązania

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

-1

1

1

2

m

3

Równanie liniowe, nie
ma rozwiązań

Równanie liniowe,
jedno rozwiązanie

Równanie liniowe, jedno
rozwiązanie

Rysunek pokazuje, że rozpatrzyliśmy wszystkie wartości m
mR

C.D.

Nasze rozważania możemy zapisać krótko w następujący
sposób:

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

a) ma dwa rozwiązania wtedy, gdy

2

m    1,1    1,1 
3


b) ma jedno rozwiązanie wtedy, gry

 2
m   1,1 
 3

c) nie ma rozwiązań wtedy, gdy

 2

m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Stąd wzór szukanej funkcji y  g  m  , która każdej liczbie
rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę rozwiązań
równania :

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

ma postać:

2


g m    1


0


dla
dla
dla

2

m    1,1    1,1 
3

 2
m  1,1 
 3

 2

m     ,  1   1 ,  
 3


C.D.

Wykres funkcji g:

y

y  g (m )

1
1

1 12 2

m

3

SPIS TREŚCI


Slide 8

FUNKCJA
KWADRATOWA
Autorzy:
Kamil Tutro
Paweł Ochałek

Kamil Krajewski
Andrzej Ogorzałek

Uczniowie klasy 2d LO Kołaczyce

1. Jednomian stopnia drugiego.
2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
4. Wzory Viete’a.

5. Równania kwadratowe.
6. Nierówności kwadratowe.
7. Równania i nierówności kwadratowe z
parametrem.

1. Jednomianem stopnia drugiego.
nazywamy funkcję:

y  ax

2

gdzie x  R , natomiast a jest stałą liczbą rzeczywistą
różną od zera.
Przykładowe wykresy:
y

y

a0
x

a 0
x
C.D.

Własności funkcji
1. D f  R , ZW

f

y  ax

2

x R

a 0

 0 ,  )

2. Funkcja ma jedno miejsce zerowe

x0

3. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla
x  (  , 0 )  ( 0 ,  ) .Nie przyjmuje wartości ujemnych.

4. Funkcja:
Jest malejąca w zbiorze ( , 0 )
Jest rosnąca w zbiorze

( 0 ,  )

5. Funkcja jest parzysta (sprawdź !!!).
6. Funkcja nie jest różnowartościowa.

C.D.

7. Funkcja osiąga najmniejszą wartość równą 0, dla
argumentu 0. Nie przyjmuje wartości największej.
Zbiór wartości funkcji jest ograniczony z dołu; nie jest
ograniczony z góry.

SPIS TREŚCI

2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
Nazywamy funkcję

y  ax  bx  c
2

gdzie a , b , c  R oraz a  0 , x  R , nazywamy funkcją
kwadratową (trójmianem kwadratowym) w postaci
ogólnej.
Def.

Funkcję y  a ( x  p )  q , a  0 , x  R
2

, nazywamy
funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) w
postaci kanonicznej.

gdzie
p

b
2a

b  4 ac
2

q

4a
C.D.

Tw.

Wykres funkcji y  a ( x  p )  q , a  0 , powstaje w wyniku
2
y

ax
, a  0, x  R
przesunięcia równoległego jednomianu
o wektor v  [ p , q ].
2

Tw.

Funkcję kwadratową postaci ogólnej:
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  a(x  p)  q
2

C.D.

Dowód

Ponieważ a  0 , więc mamy:
2
2 

b
b
b




2
2
y  ax  bx  c  a  x  x   c  a   x 
c
 
2 
a 
2a 
4 a 

 
2

2

2

2

2

b 
b
b 
b
b 



 a x 
 c  a x 
 c  a x 
 a
 
 
2
2a 
4a
2a 
4a
2a 




b
4 ac
 

4a
 4a
2

2

2

b
b
 4 ac


  a x 
 

2a 
4a



Stąd:
p

b

b  4 ac
2

q

2a

4a

Co kończy dowód twierdzenia.
C.D.

2
UWAGA: dla funkcji kwadratowej y  ax  bx  c , a  0
2
liczbę b  4 ac
oznaczamy symbolem  (delta) i
nazywamy ją wyróżnikiem trójmianu kwadratowego.

y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

Mamy więc:
  b  4 ac
2

Wniosek

Funkcję kwadratową w postacie ogólnej
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  ax  p   q
2

C.D.

gdzie
p

b

q



2a

4a

Wniosek

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

ma współrzędne
xw  

b
2a

yw 


4a

SPIS TREŚCI

3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
Liczba miejsc zerowych trójmianu kwadratowego
y  ax  bx  c , a  0
2

jest równa liczbie punktów wspólnych wykresu tej funkcji i
osi OX.

Niech a będzie liczbą dodatni. Wówczas są trzy możliwe
przypadki.

( p, q)

x

( p, q)

x

x
( p, q)

C.D.

Zauważmy, że trójmian nie ma miejsc zerowych
(przypadek 1) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
Ale q 



.

4a

Mamy więc:
q0 ia0



 0 i a  0     0 i a  0    0 ia  0 

4a

Trójmian kwadratowy ma tylko jedno miejsce zerowe
(przypadek 2) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

Trójmian kwadratowy ma dwa różne miejsca zerowe
(przypadek 3) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

C.D.

Nasze rozważania prowadzą do następującego twierdzenia:
Dany jest trójmian y  ax  bx  c , a  0 . Wówczas:
2

1.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a  x  x1  x  x 2 , a  0

gdzie
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Liczby x1 , x 2 są miejscami zerowymi trójmianu.

C.D.

2.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a x  x0  , a  0
2

gdzie
x0 

b
2a

Liczba x 0 jest (podwójnym) miejscem zerowym trójmianu.
3.   0 Wtedy i tylko wtedy, gdy trójmianu nie można
przedstawić w postaci iloczynowej. Trójmian nie ma miejsc
zerowych.

SPIS TREŚCI

4. Wzory Viete’a.
Wiesz, że trójmian kwadratowy y  ax  bx  c , a  0
ma miejsca zerowe tylko wtedy, gdy   0 . Jeśli   0 , b
to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe x 0  
jeśli natomiast   0 , to funkcja kwadratowa ma dwa 2 a
2

różne miejsca zerowe:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Załóżmy, że   0 , a następnie obliczmy sumę i iloczyn
miejsc zerowych trójmianu kwadratowego. Obliczenia
przeprowadzimy w następujący sposób:

C.D.

b

x1  x 2 



b



2a





b

2a

 b





 b 



4a

2

 b  b  4 ac
2



 

2

b 
2



4a

2

4a

2



2

4 ac
4a

2

2





b  b  4 ac
2

4a





2a

b   b  
b




x1  x 2 






2a
2a

 

2



2



  b
4a

2

 2b
 2a





b
a





c
a
C.D.

Twierdzenie Viete’a
Jeśli x1 , x 2 są różnymi miejscami zerowymi trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to zachodzą związki:
x1  x 2  

b
a

x1  x 2 

c
a

Jeśli x 0 jest jednym miejscem
zerowym trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to:

2 x0  

b
a

2

x0 

c
a

SPIS TREŚCI

5. Równania kwadratowe.
Def.

Równanie ax  bx  c  0 , gdzie a , b , c  R i a  0 ,
2

nazywamy równaniem kwadratowym.
W zależności od wartości współczynników a , b , c równania
2
y

ax
 bx  c , a  0 , dzielimy na zupełne i
kwadratowe
niezupełne. Równania kwadratowe zupełne to takie, w
których wszystkie współczynniki a , b , c są różne od zera,
np. równania:
x  2x 1  0
2

3x  5x  7  0
2

 0 ,5 x  9 x  11  0
2

Równanie kwadratowe niezupełne to takie, w których
współczynnik a  0 , ale przynajmniej jeden ze
współczynników b, c jest zerem, np. równania:
3x  x  0
2

5x  1  0
2

 1, 2 x  0
2

C.D.

Wniosek
2
Równanie kwadratowe ax  bx  c  0 , gdzie a  0 :

1) nie ma rozwiązań, jeśli   0

2) ma jedno rozwiązanie, jeśli   0 ; rozwiązanie ma
postać :
x0  

b
2a

3) ma dwa różne rozwiązania, jeśli   0 ; w tej sytuacji te
rozwiązania mają postać:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

SPIS TREŚCI

6. Nierówności kwadratowe.
Przykład

Wyznaczmy dwie liczby naturalne różniące się 1, których
iloczyn jest mniejszy od potrojonej liczby mniejszej.
Niech x oznacza liczbę mniejszą, natomiast x  1 -liczbę
większą, x  N . Iloczyn liczb opisuje wyrażenie x  x  1  ,
a potrojoną liczbę mniejszą – wyrażenie 3 x . Z treści
zadania wynika, że
x  x  1  3 x  x  N  x  x  3 x  x  N 
2

 x  2 x  0  x  N  xx  2  0  x  N
2

C.D.

Iloczyn liczb x oraz x  2 jest ujemny tylko wtedy, gdy liczby
te są przeciwnych znaków. Na tej podstawie stwierdzimy, że:
 x  0


  x  2  0

 x0 
  x  N  x  0 , 2   x  N  x  1

 x  2  0 

Szukana liczba to 1.

Sprawdzimy. Iloczyn liczb wynosi 2, potrojona zaś liczba
mniejsza to 3. Zachodzi zatem nierówność, bo 2 < 3.
Def.

Nierównością kwadratową nazywamy każdą z nierówności:
2
2
2
ax  bx  c  0 , ax  bx  c  0 lub ax  bx  c  0
gdzie a , b , c  R oraz a  0 .
SPIS TREŚCI

7. Równania i nierówności kwadratowe z parametrem.
Przykład

Zbadajmy liczbę rozwiązań równania:

m

2

 1  x   m  1  x  1  0
2

z parametrem m . Narysujmy wykres funkcji y  g (m ) ,
która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje
liczbę rozwiązań powyższego równania. Rozważmy dwa
przypadki.
Przypadek 1.
m  1  0  m  1m  1  0  m  1  0  m  1  0 
2

 m  1  m  1
C.D.

Jeśli m  1 lub m   1 , to współczynnik przy x 2 jest równy
zeru. Wówczas równanie jest liniowe. Dla m  1
otrzymujemy równanie liniowe 2 x  1  0 , które ma jedno
rozwiązanie. Dla m   1 otrzymujemy równanie liniowe
sprzeczne.

Przypadek 2.

Jeśli m  R   1,1 , to rozważane równanie jest
równaniem kwadratowym i liczba jego rozwiązań zależy od
 . Obliczmy  . Otrzymujemy:
   m  1   4 m  1   1   m  1  m  1   4  m  1  m  1  
2

2

  m  1   3 m  5 

C.D.

Zatem:
• Równanie ma jedno rozwiązanie 

   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2

  m   1  m  1   m  R   1,1  m  1
3
3

• Równanie ma dwa różne rozwiązania 
   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2


 m    1,1   m  R   1,1  m    1,1    1,1 
3
3


• Równanie nie ma rozwiązań 
   0  m  R   1,1 
 2

 m     ,  1    1 ,    m  R   1,1 
 3

 2

 m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Podsumujmy otrzymane wyniki:
Równanie kwadratowe,
dwa rozwiązania

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

-1

1

1

2

m

3

Równanie liniowe, nie
ma rozwiązań

Równanie liniowe,
jedno rozwiązanie

Równanie liniowe, jedno
rozwiązanie

Rysunek pokazuje, że rozpatrzyliśmy wszystkie wartości m
mR

C.D.

Nasze rozważania możemy zapisać krótko w następujący
sposób:

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

a) ma dwa rozwiązania wtedy, gdy

2

m    1,1    1,1 
3


b) ma jedno rozwiązanie wtedy, gry

 2
m   1,1 
 3

c) nie ma rozwiązań wtedy, gdy

 2

m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Stąd wzór szukanej funkcji y  g  m  , która każdej liczbie
rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę rozwiązań
równania :

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

ma postać:

2


g m    1


0


dla
dla
dla

2

m    1,1    1,1 
3

 2
m  1,1 
 3

 2

m     ,  1   1 ,  
 3


C.D.

Wykres funkcji g:

y

y  g (m )

1
1

1 12 2

m

3

SPIS TREŚCI


Slide 9

FUNKCJA
KWADRATOWA
Autorzy:
Kamil Tutro
Paweł Ochałek

Kamil Krajewski
Andrzej Ogorzałek

Uczniowie klasy 2d LO Kołaczyce

1. Jednomian stopnia drugiego.
2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
4. Wzory Viete’a.

5. Równania kwadratowe.
6. Nierówności kwadratowe.
7. Równania i nierówności kwadratowe z
parametrem.

1. Jednomianem stopnia drugiego.
nazywamy funkcję:

y  ax

2

gdzie x  R , natomiast a jest stałą liczbą rzeczywistą
różną od zera.
Przykładowe wykresy:
y

y

a0
x

a 0
x
C.D.

Własności funkcji
1. D f  R , ZW

f

y  ax

2

x R

a 0

 0 ,  )

2. Funkcja ma jedno miejsce zerowe

x0

3. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla
x  (  , 0 )  ( 0 ,  ) .Nie przyjmuje wartości ujemnych.

4. Funkcja:
Jest malejąca w zbiorze ( , 0 )
Jest rosnąca w zbiorze

( 0 ,  )

5. Funkcja jest parzysta (sprawdź !!!).
6. Funkcja nie jest różnowartościowa.

C.D.

7. Funkcja osiąga najmniejszą wartość równą 0, dla
argumentu 0. Nie przyjmuje wartości największej.
Zbiór wartości funkcji jest ograniczony z dołu; nie jest
ograniczony z góry.

SPIS TREŚCI

2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
Nazywamy funkcję

y  ax  bx  c
2

gdzie a , b , c  R oraz a  0 , x  R , nazywamy funkcją
kwadratową (trójmianem kwadratowym) w postaci
ogólnej.
Def.

Funkcję y  a ( x  p )  q , a  0 , x  R
2

, nazywamy
funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) w
postaci kanonicznej.

gdzie
p

b
2a

b  4 ac
2

q

4a
C.D.

Tw.

Wykres funkcji y  a ( x  p )  q , a  0 , powstaje w wyniku
2
y

ax
, a  0, x  R
przesunięcia równoległego jednomianu
o wektor v  [ p , q ].
2

Tw.

Funkcję kwadratową postaci ogólnej:
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  a(x  p)  q
2

C.D.

Dowód

Ponieważ a  0 , więc mamy:
2
2 

b
b
b




2
2
y  ax  bx  c  a  x  x   c  a   x 
c
 
2 
a 
2a 
4 a 

 
2

2

2

2

2

b 
b
b 
b
b 



 a x 
 c  a x 
 c  a x 
 a
 
 
2
2a 
4a
2a 
4a
2a 




b
4 ac
 

4a
 4a
2

2

2

b
b
 4 ac


  a x 
 

2a 
4a



Stąd:
p

b

b  4 ac
2

q

2a

4a

Co kończy dowód twierdzenia.
C.D.

2
UWAGA: dla funkcji kwadratowej y  ax  bx  c , a  0
2
liczbę b  4 ac
oznaczamy symbolem  (delta) i
nazywamy ją wyróżnikiem trójmianu kwadratowego.

y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

Mamy więc:
  b  4 ac
2

Wniosek

Funkcję kwadratową w postacie ogólnej
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  ax  p   q
2

C.D.

gdzie
p

b

q



2a

4a

Wniosek

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

ma współrzędne
xw  

b
2a

yw 


4a

SPIS TREŚCI

3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
Liczba miejsc zerowych trójmianu kwadratowego
y  ax  bx  c , a  0
2

jest równa liczbie punktów wspólnych wykresu tej funkcji i
osi OX.

Niech a będzie liczbą dodatni. Wówczas są trzy możliwe
przypadki.

( p, q)

x

( p, q)

x

x
( p, q)

C.D.

Zauważmy, że trójmian nie ma miejsc zerowych
(przypadek 1) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
Ale q 



.

4a

Mamy więc:
q0 ia0



 0 i a  0     0 i a  0    0 ia  0 

4a

Trójmian kwadratowy ma tylko jedno miejsce zerowe
(przypadek 2) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

Trójmian kwadratowy ma dwa różne miejsca zerowe
(przypadek 3) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

C.D.

Nasze rozważania prowadzą do następującego twierdzenia:
Dany jest trójmian y  ax  bx  c , a  0 . Wówczas:
2

1.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a  x  x1  x  x 2 , a  0

gdzie
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Liczby x1 , x 2 są miejscami zerowymi trójmianu.

C.D.

2.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a x  x0  , a  0
2

gdzie
x0 

b
2a

Liczba x 0 jest (podwójnym) miejscem zerowym trójmianu.
3.   0 Wtedy i tylko wtedy, gdy trójmianu nie można
przedstawić w postaci iloczynowej. Trójmian nie ma miejsc
zerowych.

SPIS TREŚCI

4. Wzory Viete’a.
Wiesz, że trójmian kwadratowy y  ax  bx  c , a  0
ma miejsca zerowe tylko wtedy, gdy   0 . Jeśli   0 , b
to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe x 0  
jeśli natomiast   0 , to funkcja kwadratowa ma dwa 2 a
2

różne miejsca zerowe:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Załóżmy, że   0 , a następnie obliczmy sumę i iloczyn
miejsc zerowych trójmianu kwadratowego. Obliczenia
przeprowadzimy w następujący sposób:

C.D.

b

x1  x 2 



b



2a





b

2a

 b





 b 



4a

2

 b  b  4 ac
2



 

2

b 
2



4a

2

4a

2



2

4 ac
4a

2

2





b  b  4 ac
2

4a





2a

b   b  
b




x1  x 2 






2a
2a

 

2



2



  b
4a

2

 2b
 2a





b
a





c
a
C.D.

Twierdzenie Viete’a
Jeśli x1 , x 2 są różnymi miejscami zerowymi trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to zachodzą związki:
x1  x 2  

b
a

x1  x 2 

c
a

Jeśli x 0 jest jednym miejscem
zerowym trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to:

2 x0  

b
a

2

x0 

c
a

SPIS TREŚCI

5. Równania kwadratowe.
Def.

Równanie ax  bx  c  0 , gdzie a , b , c  R i a  0 ,
2

nazywamy równaniem kwadratowym.
W zależności od wartości współczynników a , b , c równania
2
y

ax
 bx  c , a  0 , dzielimy na zupełne i
kwadratowe
niezupełne. Równania kwadratowe zupełne to takie, w
których wszystkie współczynniki a , b , c są różne od zera,
np. równania:
x  2x 1  0
2

3x  5x  7  0
2

 0 ,5 x  9 x  11  0
2

Równanie kwadratowe niezupełne to takie, w których
współczynnik a  0 , ale przynajmniej jeden ze
współczynników b, c jest zerem, np. równania:
3x  x  0
2

5x  1  0
2

 1, 2 x  0
2

C.D.

Wniosek
2
Równanie kwadratowe ax  bx  c  0 , gdzie a  0 :

1) nie ma rozwiązań, jeśli   0

2) ma jedno rozwiązanie, jeśli   0 ; rozwiązanie ma
postać :
x0  

b
2a

3) ma dwa różne rozwiązania, jeśli   0 ; w tej sytuacji te
rozwiązania mają postać:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

SPIS TREŚCI

6. Nierówności kwadratowe.
Przykład

Wyznaczmy dwie liczby naturalne różniące się 1, których
iloczyn jest mniejszy od potrojonej liczby mniejszej.
Niech x oznacza liczbę mniejszą, natomiast x  1 -liczbę
większą, x  N . Iloczyn liczb opisuje wyrażenie x  x  1  ,
a potrojoną liczbę mniejszą – wyrażenie 3 x . Z treści
zadania wynika, że
x  x  1  3 x  x  N  x  x  3 x  x  N 
2

 x  2 x  0  x  N  xx  2  0  x  N
2

C.D.

Iloczyn liczb x oraz x  2 jest ujemny tylko wtedy, gdy liczby
te są przeciwnych znaków. Na tej podstawie stwierdzimy, że:
 x  0


  x  2  0

 x0 
  x  N  x  0 , 2   x  N  x  1

 x  2  0 

Szukana liczba to 1.

Sprawdzimy. Iloczyn liczb wynosi 2, potrojona zaś liczba
mniejsza to 3. Zachodzi zatem nierówność, bo 2 < 3.
Def.

Nierównością kwadratową nazywamy każdą z nierówności:
2
2
2
ax  bx  c  0 , ax  bx  c  0 lub ax  bx  c  0
gdzie a , b , c  R oraz a  0 .
SPIS TREŚCI

7. Równania i nierówności kwadratowe z parametrem.
Przykład

Zbadajmy liczbę rozwiązań równania:

m

2

 1  x   m  1  x  1  0
2

z parametrem m . Narysujmy wykres funkcji y  g (m ) ,
która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje
liczbę rozwiązań powyższego równania. Rozważmy dwa
przypadki.
Przypadek 1.
m  1  0  m  1m  1  0  m  1  0  m  1  0 
2

 m  1  m  1
C.D.

Jeśli m  1 lub m   1 , to współczynnik przy x 2 jest równy
zeru. Wówczas równanie jest liniowe. Dla m  1
otrzymujemy równanie liniowe 2 x  1  0 , które ma jedno
rozwiązanie. Dla m   1 otrzymujemy równanie liniowe
sprzeczne.

Przypadek 2.

Jeśli m  R   1,1 , to rozważane równanie jest
równaniem kwadratowym i liczba jego rozwiązań zależy od
 . Obliczmy  . Otrzymujemy:
   m  1   4 m  1   1   m  1  m  1   4  m  1  m  1  
2

2

  m  1   3 m  5 

C.D.

Zatem:
• Równanie ma jedno rozwiązanie 

   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2

  m   1  m  1   m  R   1,1  m  1
3
3

• Równanie ma dwa różne rozwiązania 
   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2


 m    1,1   m  R   1,1  m    1,1    1,1 
3
3


• Równanie nie ma rozwiązań 
   0  m  R   1,1 
 2

 m     ,  1    1 ,    m  R   1,1 
 3

 2

 m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Podsumujmy otrzymane wyniki:
Równanie kwadratowe,
dwa rozwiązania

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

-1

1

1

2

m

3

Równanie liniowe, nie
ma rozwiązań

Równanie liniowe,
jedno rozwiązanie

Równanie liniowe, jedno
rozwiązanie

Rysunek pokazuje, że rozpatrzyliśmy wszystkie wartości m
mR

C.D.

Nasze rozważania możemy zapisać krótko w następujący
sposób:

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

a) ma dwa rozwiązania wtedy, gdy

2

m    1,1    1,1 
3


b) ma jedno rozwiązanie wtedy, gry

 2
m   1,1 
 3

c) nie ma rozwiązań wtedy, gdy

 2

m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Stąd wzór szukanej funkcji y  g  m  , która każdej liczbie
rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę rozwiązań
równania :

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

ma postać:

2


g m    1


0


dla
dla
dla

2

m    1,1    1,1 
3

 2
m  1,1 
 3

 2

m     ,  1   1 ,  
 3


C.D.

Wykres funkcji g:

y

y  g (m )

1
1

1 12 2

m

3

SPIS TREŚCI


Slide 10

FUNKCJA
KWADRATOWA
Autorzy:
Kamil Tutro
Paweł Ochałek

Kamil Krajewski
Andrzej Ogorzałek

Uczniowie klasy 2d LO Kołaczyce

1. Jednomian stopnia drugiego.
2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
4. Wzory Viete’a.

5. Równania kwadratowe.
6. Nierówności kwadratowe.
7. Równania i nierówności kwadratowe z
parametrem.

1. Jednomianem stopnia drugiego.
nazywamy funkcję:

y  ax

2

gdzie x  R , natomiast a jest stałą liczbą rzeczywistą
różną od zera.
Przykładowe wykresy:
y

y

a0
x

a 0
x
C.D.

Własności funkcji
1. D f  R , ZW

f

y  ax

2

x R

a 0

 0 ,  )

2. Funkcja ma jedno miejsce zerowe

x0

3. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla
x  (  , 0 )  ( 0 ,  ) .Nie przyjmuje wartości ujemnych.

4. Funkcja:
Jest malejąca w zbiorze ( , 0 )
Jest rosnąca w zbiorze

( 0 ,  )

5. Funkcja jest parzysta (sprawdź !!!).
6. Funkcja nie jest różnowartościowa.

C.D.

7. Funkcja osiąga najmniejszą wartość równą 0, dla
argumentu 0. Nie przyjmuje wartości największej.
Zbiór wartości funkcji jest ograniczony z dołu; nie jest
ograniczony z góry.

SPIS TREŚCI

2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
Nazywamy funkcję

y  ax  bx  c
2

gdzie a , b , c  R oraz a  0 , x  R , nazywamy funkcją
kwadratową (trójmianem kwadratowym) w postaci
ogólnej.
Def.

Funkcję y  a ( x  p )  q , a  0 , x  R
2

, nazywamy
funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) w
postaci kanonicznej.

gdzie
p

b
2a

b  4 ac
2

q

4a
C.D.

Tw.

Wykres funkcji y  a ( x  p )  q , a  0 , powstaje w wyniku
2
y

ax
, a  0, x  R
przesunięcia równoległego jednomianu
o wektor v  [ p , q ].
2

Tw.

Funkcję kwadratową postaci ogólnej:
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  a(x  p)  q
2

C.D.

Dowód

Ponieważ a  0 , więc mamy:
2
2 

b
b
b




2
2
y  ax  bx  c  a  x  x   c  a   x 
c
 
2 
a 
2a 
4 a 

 
2

2

2

2

2

b 
b
b 
b
b 



 a x 
 c  a x 
 c  a x 
 a
 
 
2
2a 
4a
2a 
4a
2a 




b
4 ac
 

4a
 4a
2

2

2

b
b
 4 ac


  a x 
 

2a 
4a



Stąd:
p

b

b  4 ac
2

q

2a

4a

Co kończy dowód twierdzenia.
C.D.

2
UWAGA: dla funkcji kwadratowej y  ax  bx  c , a  0
2
liczbę b  4 ac
oznaczamy symbolem  (delta) i
nazywamy ją wyróżnikiem trójmianu kwadratowego.

y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

Mamy więc:
  b  4 ac
2

Wniosek

Funkcję kwadratową w postacie ogólnej
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  ax  p   q
2

C.D.

gdzie
p

b

q



2a

4a

Wniosek

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

ma współrzędne
xw  

b
2a

yw 


4a

SPIS TREŚCI

3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
Liczba miejsc zerowych trójmianu kwadratowego
y  ax  bx  c , a  0
2

jest równa liczbie punktów wspólnych wykresu tej funkcji i
osi OX.

Niech a będzie liczbą dodatni. Wówczas są trzy możliwe
przypadki.

( p, q)

x

( p, q)

x

x
( p, q)

C.D.

Zauważmy, że trójmian nie ma miejsc zerowych
(przypadek 1) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
Ale q 



.

4a

Mamy więc:
q0 ia0



 0 i a  0     0 i a  0    0 ia  0 

4a

Trójmian kwadratowy ma tylko jedno miejsce zerowe
(przypadek 2) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

Trójmian kwadratowy ma dwa różne miejsca zerowe
(przypadek 3) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

C.D.

Nasze rozważania prowadzą do następującego twierdzenia:
Dany jest trójmian y  ax  bx  c , a  0 . Wówczas:
2

1.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a  x  x1  x  x 2 , a  0

gdzie
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Liczby x1 , x 2 są miejscami zerowymi trójmianu.

C.D.

2.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a x  x0  , a  0
2

gdzie
x0 

b
2a

Liczba x 0 jest (podwójnym) miejscem zerowym trójmianu.
3.   0 Wtedy i tylko wtedy, gdy trójmianu nie można
przedstawić w postaci iloczynowej. Trójmian nie ma miejsc
zerowych.

SPIS TREŚCI

4. Wzory Viete’a.
Wiesz, że trójmian kwadratowy y  ax  bx  c , a  0
ma miejsca zerowe tylko wtedy, gdy   0 . Jeśli   0 , b
to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe x 0  
jeśli natomiast   0 , to funkcja kwadratowa ma dwa 2 a
2

różne miejsca zerowe:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Załóżmy, że   0 , a następnie obliczmy sumę i iloczyn
miejsc zerowych trójmianu kwadratowego. Obliczenia
przeprowadzimy w następujący sposób:

C.D.

b

x1  x 2 



b



2a





b

2a

 b





 b 



4a

2

 b  b  4 ac
2



 

2

b 
2



4a

2

4a

2



2

4 ac
4a

2

2





b  b  4 ac
2

4a





2a

b   b  
b




x1  x 2 






2a
2a

 

2



2



  b
4a

2

 2b
 2a





b
a





c
a
C.D.

Twierdzenie Viete’a
Jeśli x1 , x 2 są różnymi miejscami zerowymi trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to zachodzą związki:
x1  x 2  

b
a

x1  x 2 

c
a

Jeśli x 0 jest jednym miejscem
zerowym trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to:

2 x0  

b
a

2

x0 

c
a

SPIS TREŚCI

5. Równania kwadratowe.
Def.

Równanie ax  bx  c  0 , gdzie a , b , c  R i a  0 ,
2

nazywamy równaniem kwadratowym.
W zależności od wartości współczynników a , b , c równania
2
y

ax
 bx  c , a  0 , dzielimy na zupełne i
kwadratowe
niezupełne. Równania kwadratowe zupełne to takie, w
których wszystkie współczynniki a , b , c są różne od zera,
np. równania:
x  2x 1  0
2

3x  5x  7  0
2

 0 ,5 x  9 x  11  0
2

Równanie kwadratowe niezupełne to takie, w których
współczynnik a  0 , ale przynajmniej jeden ze
współczynników b, c jest zerem, np. równania:
3x  x  0
2

5x  1  0
2

 1, 2 x  0
2

C.D.

Wniosek
2
Równanie kwadratowe ax  bx  c  0 , gdzie a  0 :

1) nie ma rozwiązań, jeśli   0

2) ma jedno rozwiązanie, jeśli   0 ; rozwiązanie ma
postać :
x0  

b
2a

3) ma dwa różne rozwiązania, jeśli   0 ; w tej sytuacji te
rozwiązania mają postać:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

SPIS TREŚCI

6. Nierówności kwadratowe.
Przykład

Wyznaczmy dwie liczby naturalne różniące się 1, których
iloczyn jest mniejszy od potrojonej liczby mniejszej.
Niech x oznacza liczbę mniejszą, natomiast x  1 -liczbę
większą, x  N . Iloczyn liczb opisuje wyrażenie x  x  1  ,
a potrojoną liczbę mniejszą – wyrażenie 3 x . Z treści
zadania wynika, że
x  x  1  3 x  x  N  x  x  3 x  x  N 
2

 x  2 x  0  x  N  xx  2  0  x  N
2

C.D.

Iloczyn liczb x oraz x  2 jest ujemny tylko wtedy, gdy liczby
te są przeciwnych znaków. Na tej podstawie stwierdzimy, że:
 x  0


  x  2  0

 x0 
  x  N  x  0 , 2   x  N  x  1

 x  2  0 

Szukana liczba to 1.

Sprawdzimy. Iloczyn liczb wynosi 2, potrojona zaś liczba
mniejsza to 3. Zachodzi zatem nierówność, bo 2 < 3.
Def.

Nierównością kwadratową nazywamy każdą z nierówności:
2
2
2
ax  bx  c  0 , ax  bx  c  0 lub ax  bx  c  0
gdzie a , b , c  R oraz a  0 .
SPIS TREŚCI

7. Równania i nierówności kwadratowe z parametrem.
Przykład

Zbadajmy liczbę rozwiązań równania:

m

2

 1  x   m  1  x  1  0
2

z parametrem m . Narysujmy wykres funkcji y  g (m ) ,
która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje
liczbę rozwiązań powyższego równania. Rozważmy dwa
przypadki.
Przypadek 1.
m  1  0  m  1m  1  0  m  1  0  m  1  0 
2

 m  1  m  1
C.D.

Jeśli m  1 lub m   1 , to współczynnik przy x 2 jest równy
zeru. Wówczas równanie jest liniowe. Dla m  1
otrzymujemy równanie liniowe 2 x  1  0 , które ma jedno
rozwiązanie. Dla m   1 otrzymujemy równanie liniowe
sprzeczne.

Przypadek 2.

Jeśli m  R   1,1 , to rozważane równanie jest
równaniem kwadratowym i liczba jego rozwiązań zależy od
 . Obliczmy  . Otrzymujemy:
   m  1   4 m  1   1   m  1  m  1   4  m  1  m  1  
2

2

  m  1   3 m  5 

C.D.

Zatem:
• Równanie ma jedno rozwiązanie 

   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2

  m   1  m  1   m  R   1,1  m  1
3
3

• Równanie ma dwa różne rozwiązania 
   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2


 m    1,1   m  R   1,1  m    1,1    1,1 
3
3


• Równanie nie ma rozwiązań 
   0  m  R   1,1 
 2

 m     ,  1    1 ,    m  R   1,1 
 3

 2

 m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Podsumujmy otrzymane wyniki:
Równanie kwadratowe,
dwa rozwiązania

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

-1

1

1

2

m

3

Równanie liniowe, nie
ma rozwiązań

Równanie liniowe,
jedno rozwiązanie

Równanie liniowe, jedno
rozwiązanie

Rysunek pokazuje, że rozpatrzyliśmy wszystkie wartości m
mR

C.D.

Nasze rozważania możemy zapisać krótko w następujący
sposób:

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

a) ma dwa rozwiązania wtedy, gdy

2

m    1,1    1,1 
3


b) ma jedno rozwiązanie wtedy, gry

 2
m   1,1 
 3

c) nie ma rozwiązań wtedy, gdy

 2

m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Stąd wzór szukanej funkcji y  g  m  , która każdej liczbie
rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę rozwiązań
równania :

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

ma postać:

2


g m    1


0


dla
dla
dla

2

m    1,1    1,1 
3

 2
m  1,1 
 3

 2

m     ,  1   1 ,  
 3


C.D.

Wykres funkcji g:

y

y  g (m )

1
1

1 12 2

m

3

SPIS TREŚCI


Slide 11

FUNKCJA
KWADRATOWA
Autorzy:
Kamil Tutro
Paweł Ochałek

Kamil Krajewski
Andrzej Ogorzałek

Uczniowie klasy 2d LO Kołaczyce

1. Jednomian stopnia drugiego.
2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
4. Wzory Viete’a.

5. Równania kwadratowe.
6. Nierówności kwadratowe.
7. Równania i nierówności kwadratowe z
parametrem.

1. Jednomianem stopnia drugiego.
nazywamy funkcję:

y  ax

2

gdzie x  R , natomiast a jest stałą liczbą rzeczywistą
różną od zera.
Przykładowe wykresy:
y

y

a0
x

a 0
x
C.D.

Własności funkcji
1. D f  R , ZW

f

y  ax

2

x R

a 0

 0 ,  )

2. Funkcja ma jedno miejsce zerowe

x0

3. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla
x  (  , 0 )  ( 0 ,  ) .Nie przyjmuje wartości ujemnych.

4. Funkcja:
Jest malejąca w zbiorze ( , 0 )
Jest rosnąca w zbiorze

( 0 ,  )

5. Funkcja jest parzysta (sprawdź !!!).
6. Funkcja nie jest różnowartościowa.

C.D.

7. Funkcja osiąga najmniejszą wartość równą 0, dla
argumentu 0. Nie przyjmuje wartości największej.
Zbiór wartości funkcji jest ograniczony z dołu; nie jest
ograniczony z góry.

SPIS TREŚCI

2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
Nazywamy funkcję

y  ax  bx  c
2

gdzie a , b , c  R oraz a  0 , x  R , nazywamy funkcją
kwadratową (trójmianem kwadratowym) w postaci
ogólnej.
Def.

Funkcję y  a ( x  p )  q , a  0 , x  R
2

, nazywamy
funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) w
postaci kanonicznej.

gdzie
p

b
2a

b  4 ac
2

q

4a
C.D.

Tw.

Wykres funkcji y  a ( x  p )  q , a  0 , powstaje w wyniku
2
y

ax
, a  0, x  R
przesunięcia równoległego jednomianu
o wektor v  [ p , q ].
2

Tw.

Funkcję kwadratową postaci ogólnej:
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  a(x  p)  q
2

C.D.

Dowód

Ponieważ a  0 , więc mamy:
2
2 

b
b
b




2
2
y  ax  bx  c  a  x  x   c  a   x 
c
 
2 
a 
2a 
4 a 

 
2

2

2

2

2

b 
b
b 
b
b 



 a x 
 c  a x 
 c  a x 
 a
 
 
2
2a 
4a
2a 
4a
2a 




b
4 ac
 

4a
 4a
2

2

2

b
b
 4 ac


  a x 
 

2a 
4a



Stąd:
p

b

b  4 ac
2

q

2a

4a

Co kończy dowód twierdzenia.
C.D.

2
UWAGA: dla funkcji kwadratowej y  ax  bx  c , a  0
2
liczbę b  4 ac
oznaczamy symbolem  (delta) i
nazywamy ją wyróżnikiem trójmianu kwadratowego.

y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

Mamy więc:
  b  4 ac
2

Wniosek

Funkcję kwadratową w postacie ogólnej
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  ax  p   q
2

C.D.

gdzie
p

b

q



2a

4a

Wniosek

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

ma współrzędne
xw  

b
2a

yw 


4a

SPIS TREŚCI

3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
Liczba miejsc zerowych trójmianu kwadratowego
y  ax  bx  c , a  0
2

jest równa liczbie punktów wspólnych wykresu tej funkcji i
osi OX.

Niech a będzie liczbą dodatni. Wówczas są trzy możliwe
przypadki.

( p, q)

x

( p, q)

x

x
( p, q)

C.D.

Zauważmy, że trójmian nie ma miejsc zerowych
(przypadek 1) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
Ale q 



.

4a

Mamy więc:
q0 ia0



 0 i a  0     0 i a  0    0 ia  0 

4a

Trójmian kwadratowy ma tylko jedno miejsce zerowe
(przypadek 2) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

Trójmian kwadratowy ma dwa różne miejsca zerowe
(przypadek 3) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

C.D.

Nasze rozważania prowadzą do następującego twierdzenia:
Dany jest trójmian y  ax  bx  c , a  0 . Wówczas:
2

1.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a  x  x1  x  x 2 , a  0

gdzie
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Liczby x1 , x 2 są miejscami zerowymi trójmianu.

C.D.

2.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a x  x0  , a  0
2

gdzie
x0 

b
2a

Liczba x 0 jest (podwójnym) miejscem zerowym trójmianu.
3.   0 Wtedy i tylko wtedy, gdy trójmianu nie można
przedstawić w postaci iloczynowej. Trójmian nie ma miejsc
zerowych.

SPIS TREŚCI

4. Wzory Viete’a.
Wiesz, że trójmian kwadratowy y  ax  bx  c , a  0
ma miejsca zerowe tylko wtedy, gdy   0 . Jeśli   0 , b
to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe x 0  
jeśli natomiast   0 , to funkcja kwadratowa ma dwa 2 a
2

różne miejsca zerowe:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Załóżmy, że   0 , a następnie obliczmy sumę i iloczyn
miejsc zerowych trójmianu kwadratowego. Obliczenia
przeprowadzimy w następujący sposób:

C.D.

b

x1  x 2 



b



2a





b

2a

 b





 b 



4a

2

 b  b  4 ac
2



 

2

b 
2



4a

2

4a

2



2

4 ac
4a

2

2





b  b  4 ac
2

4a





2a

b   b  
b




x1  x 2 






2a
2a

 

2



2



  b
4a

2

 2b
 2a





b
a





c
a
C.D.

Twierdzenie Viete’a
Jeśli x1 , x 2 są różnymi miejscami zerowymi trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to zachodzą związki:
x1  x 2  

b
a

x1  x 2 

c
a

Jeśli x 0 jest jednym miejscem
zerowym trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to:

2 x0  

b
a

2

x0 

c
a

SPIS TREŚCI

5. Równania kwadratowe.
Def.

Równanie ax  bx  c  0 , gdzie a , b , c  R i a  0 ,
2

nazywamy równaniem kwadratowym.
W zależności od wartości współczynników a , b , c równania
2
y

ax
 bx  c , a  0 , dzielimy na zupełne i
kwadratowe
niezupełne. Równania kwadratowe zupełne to takie, w
których wszystkie współczynniki a , b , c są różne od zera,
np. równania:
x  2x 1  0
2

3x  5x  7  0
2

 0 ,5 x  9 x  11  0
2

Równanie kwadratowe niezupełne to takie, w których
współczynnik a  0 , ale przynajmniej jeden ze
współczynników b, c jest zerem, np. równania:
3x  x  0
2

5x  1  0
2

 1, 2 x  0
2

C.D.

Wniosek
2
Równanie kwadratowe ax  bx  c  0 , gdzie a  0 :

1) nie ma rozwiązań, jeśli   0

2) ma jedno rozwiązanie, jeśli   0 ; rozwiązanie ma
postać :
x0  

b
2a

3) ma dwa różne rozwiązania, jeśli   0 ; w tej sytuacji te
rozwiązania mają postać:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

SPIS TREŚCI

6. Nierówności kwadratowe.
Przykład

Wyznaczmy dwie liczby naturalne różniące się 1, których
iloczyn jest mniejszy od potrojonej liczby mniejszej.
Niech x oznacza liczbę mniejszą, natomiast x  1 -liczbę
większą, x  N . Iloczyn liczb opisuje wyrażenie x  x  1  ,
a potrojoną liczbę mniejszą – wyrażenie 3 x . Z treści
zadania wynika, że
x  x  1  3 x  x  N  x  x  3 x  x  N 
2

 x  2 x  0  x  N  xx  2  0  x  N
2

C.D.

Iloczyn liczb x oraz x  2 jest ujemny tylko wtedy, gdy liczby
te są przeciwnych znaków. Na tej podstawie stwierdzimy, że:
 x  0


  x  2  0

 x0 
  x  N  x  0 , 2   x  N  x  1

 x  2  0 

Szukana liczba to 1.

Sprawdzimy. Iloczyn liczb wynosi 2, potrojona zaś liczba
mniejsza to 3. Zachodzi zatem nierówność, bo 2 < 3.
Def.

Nierównością kwadratową nazywamy każdą z nierówności:
2
2
2
ax  bx  c  0 , ax  bx  c  0 lub ax  bx  c  0
gdzie a , b , c  R oraz a  0 .
SPIS TREŚCI

7. Równania i nierówności kwadratowe z parametrem.
Przykład

Zbadajmy liczbę rozwiązań równania:

m

2

 1  x   m  1  x  1  0
2

z parametrem m . Narysujmy wykres funkcji y  g (m ) ,
która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje
liczbę rozwiązań powyższego równania. Rozważmy dwa
przypadki.
Przypadek 1.
m  1  0  m  1m  1  0  m  1  0  m  1  0 
2

 m  1  m  1
C.D.

Jeśli m  1 lub m   1 , to współczynnik przy x 2 jest równy
zeru. Wówczas równanie jest liniowe. Dla m  1
otrzymujemy równanie liniowe 2 x  1  0 , które ma jedno
rozwiązanie. Dla m   1 otrzymujemy równanie liniowe
sprzeczne.

Przypadek 2.

Jeśli m  R   1,1 , to rozważane równanie jest
równaniem kwadratowym i liczba jego rozwiązań zależy od
 . Obliczmy  . Otrzymujemy:
   m  1   4 m  1   1   m  1  m  1   4  m  1  m  1  
2

2

  m  1   3 m  5 

C.D.

Zatem:
• Równanie ma jedno rozwiązanie 

   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2

  m   1  m  1   m  R   1,1  m  1
3
3

• Równanie ma dwa różne rozwiązania 
   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2


 m    1,1   m  R   1,1  m    1,1    1,1 
3
3


• Równanie nie ma rozwiązań 
   0  m  R   1,1 
 2

 m     ,  1    1 ,    m  R   1,1 
 3

 2

 m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Podsumujmy otrzymane wyniki:
Równanie kwadratowe,
dwa rozwiązania

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

-1

1

1

2

m

3

Równanie liniowe, nie
ma rozwiązań

Równanie liniowe,
jedno rozwiązanie

Równanie liniowe, jedno
rozwiązanie

Rysunek pokazuje, że rozpatrzyliśmy wszystkie wartości m
mR

C.D.

Nasze rozważania możemy zapisać krótko w następujący
sposób:

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

a) ma dwa rozwiązania wtedy, gdy

2

m    1,1    1,1 
3


b) ma jedno rozwiązanie wtedy, gry

 2
m   1,1 
 3

c) nie ma rozwiązań wtedy, gdy

 2

m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Stąd wzór szukanej funkcji y  g  m  , która każdej liczbie
rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę rozwiązań
równania :

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

ma postać:

2


g m    1


0


dla
dla
dla

2

m    1,1    1,1 
3

 2
m  1,1 
 3

 2

m     ,  1   1 ,  
 3


C.D.

Wykres funkcji g:

y

y  g (m )

1
1

1 12 2

m

3

SPIS TREŚCI


Slide 12

FUNKCJA
KWADRATOWA
Autorzy:
Kamil Tutro
Paweł Ochałek

Kamil Krajewski
Andrzej Ogorzałek

Uczniowie klasy 2d LO Kołaczyce

1. Jednomian stopnia drugiego.
2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
4. Wzory Viete’a.

5. Równania kwadratowe.
6. Nierówności kwadratowe.
7. Równania i nierówności kwadratowe z
parametrem.

1. Jednomianem stopnia drugiego.
nazywamy funkcję:

y  ax

2

gdzie x  R , natomiast a jest stałą liczbą rzeczywistą
różną od zera.
Przykładowe wykresy:
y

y

a0
x

a 0
x
C.D.

Własności funkcji
1. D f  R , ZW

f

y  ax

2

x R

a 0

 0 ,  )

2. Funkcja ma jedno miejsce zerowe

x0

3. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla
x  (  , 0 )  ( 0 ,  ) .Nie przyjmuje wartości ujemnych.

4. Funkcja:
Jest malejąca w zbiorze ( , 0 )
Jest rosnąca w zbiorze

( 0 ,  )

5. Funkcja jest parzysta (sprawdź !!!).
6. Funkcja nie jest różnowartościowa.

C.D.

7. Funkcja osiąga najmniejszą wartość równą 0, dla
argumentu 0. Nie przyjmuje wartości największej.
Zbiór wartości funkcji jest ograniczony z dołu; nie jest
ograniczony z góry.

SPIS TREŚCI

2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
Nazywamy funkcję

y  ax  bx  c
2

gdzie a , b , c  R oraz a  0 , x  R , nazywamy funkcją
kwadratową (trójmianem kwadratowym) w postaci
ogólnej.
Def.

Funkcję y  a ( x  p )  q , a  0 , x  R
2

, nazywamy
funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) w
postaci kanonicznej.

gdzie
p

b
2a

b  4 ac
2

q

4a
C.D.

Tw.

Wykres funkcji y  a ( x  p )  q , a  0 , powstaje w wyniku
2
y

ax
, a  0, x  R
przesunięcia równoległego jednomianu
o wektor v  [ p , q ].
2

Tw.

Funkcję kwadratową postaci ogólnej:
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  a(x  p)  q
2

C.D.

Dowód

Ponieważ a  0 , więc mamy:
2
2 

b
b
b




2
2
y  ax  bx  c  a  x  x   c  a   x 
c
 
2 
a 
2a 
4 a 

 
2

2

2

2

2

b 
b
b 
b
b 



 a x 
 c  a x 
 c  a x 
 a
 
 
2
2a 
4a
2a 
4a
2a 




b
4 ac
 

4a
 4a
2

2

2

b
b
 4 ac


  a x 
 

2a 
4a



Stąd:
p

b

b  4 ac
2

q

2a

4a

Co kończy dowód twierdzenia.
C.D.

2
UWAGA: dla funkcji kwadratowej y  ax  bx  c , a  0
2
liczbę b  4 ac
oznaczamy symbolem  (delta) i
nazywamy ją wyróżnikiem trójmianu kwadratowego.

y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

Mamy więc:
  b  4 ac
2

Wniosek

Funkcję kwadratową w postacie ogólnej
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  ax  p   q
2

C.D.

gdzie
p

b

q



2a

4a

Wniosek

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

ma współrzędne
xw  

b
2a

yw 


4a

SPIS TREŚCI

3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
Liczba miejsc zerowych trójmianu kwadratowego
y  ax  bx  c , a  0
2

jest równa liczbie punktów wspólnych wykresu tej funkcji i
osi OX.

Niech a będzie liczbą dodatni. Wówczas są trzy możliwe
przypadki.

( p, q)

x

( p, q)

x

x
( p, q)

C.D.

Zauważmy, że trójmian nie ma miejsc zerowych
(przypadek 1) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
Ale q 



.

4a

Mamy więc:
q0 ia0



 0 i a  0     0 i a  0    0 ia  0 

4a

Trójmian kwadratowy ma tylko jedno miejsce zerowe
(przypadek 2) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

Trójmian kwadratowy ma dwa różne miejsca zerowe
(przypadek 3) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

C.D.

Nasze rozważania prowadzą do następującego twierdzenia:
Dany jest trójmian y  ax  bx  c , a  0 . Wówczas:
2

1.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a  x  x1  x  x 2 , a  0

gdzie
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Liczby x1 , x 2 są miejscami zerowymi trójmianu.

C.D.

2.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a x  x0  , a  0
2

gdzie
x0 

b
2a

Liczba x 0 jest (podwójnym) miejscem zerowym trójmianu.
3.   0 Wtedy i tylko wtedy, gdy trójmianu nie można
przedstawić w postaci iloczynowej. Trójmian nie ma miejsc
zerowych.

SPIS TREŚCI

4. Wzory Viete’a.
Wiesz, że trójmian kwadratowy y  ax  bx  c , a  0
ma miejsca zerowe tylko wtedy, gdy   0 . Jeśli   0 , b
to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe x 0  
jeśli natomiast   0 , to funkcja kwadratowa ma dwa 2 a
2

różne miejsca zerowe:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Załóżmy, że   0 , a następnie obliczmy sumę i iloczyn
miejsc zerowych trójmianu kwadratowego. Obliczenia
przeprowadzimy w następujący sposób:

C.D.

b

x1  x 2 



b



2a





b

2a

 b





 b 



4a

2

 b  b  4 ac
2



 

2

b 
2



4a

2

4a

2



2

4 ac
4a

2

2





b  b  4 ac
2

4a





2a

b   b  
b




x1  x 2 






2a
2a

 

2



2



  b
4a

2

 2b
 2a





b
a





c
a
C.D.

Twierdzenie Viete’a
Jeśli x1 , x 2 są różnymi miejscami zerowymi trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to zachodzą związki:
x1  x 2  

b
a

x1  x 2 

c
a

Jeśli x 0 jest jednym miejscem
zerowym trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to:

2 x0  

b
a

2

x0 

c
a

SPIS TREŚCI

5. Równania kwadratowe.
Def.

Równanie ax  bx  c  0 , gdzie a , b , c  R i a  0 ,
2

nazywamy równaniem kwadratowym.
W zależności od wartości współczynników a , b , c równania
2
y

ax
 bx  c , a  0 , dzielimy na zupełne i
kwadratowe
niezupełne. Równania kwadratowe zupełne to takie, w
których wszystkie współczynniki a , b , c są różne od zera,
np. równania:
x  2x 1  0
2

3x  5x  7  0
2

 0 ,5 x  9 x  11  0
2

Równanie kwadratowe niezupełne to takie, w których
współczynnik a  0 , ale przynajmniej jeden ze
współczynników b, c jest zerem, np. równania:
3x  x  0
2

5x  1  0
2

 1, 2 x  0
2

C.D.

Wniosek
2
Równanie kwadratowe ax  bx  c  0 , gdzie a  0 :

1) nie ma rozwiązań, jeśli   0

2) ma jedno rozwiązanie, jeśli   0 ; rozwiązanie ma
postać :
x0  

b
2a

3) ma dwa różne rozwiązania, jeśli   0 ; w tej sytuacji te
rozwiązania mają postać:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

SPIS TREŚCI

6. Nierówności kwadratowe.
Przykład

Wyznaczmy dwie liczby naturalne różniące się 1, których
iloczyn jest mniejszy od potrojonej liczby mniejszej.
Niech x oznacza liczbę mniejszą, natomiast x  1 -liczbę
większą, x  N . Iloczyn liczb opisuje wyrażenie x  x  1  ,
a potrojoną liczbę mniejszą – wyrażenie 3 x . Z treści
zadania wynika, że
x  x  1  3 x  x  N  x  x  3 x  x  N 
2

 x  2 x  0  x  N  xx  2  0  x  N
2

C.D.

Iloczyn liczb x oraz x  2 jest ujemny tylko wtedy, gdy liczby
te są przeciwnych znaków. Na tej podstawie stwierdzimy, że:
 x  0


  x  2  0

 x0 
  x  N  x  0 , 2   x  N  x  1

 x  2  0 

Szukana liczba to 1.

Sprawdzimy. Iloczyn liczb wynosi 2, potrojona zaś liczba
mniejsza to 3. Zachodzi zatem nierówność, bo 2 < 3.
Def.

Nierównością kwadratową nazywamy każdą z nierówności:
2
2
2
ax  bx  c  0 , ax  bx  c  0 lub ax  bx  c  0
gdzie a , b , c  R oraz a  0 .
SPIS TREŚCI

7. Równania i nierówności kwadratowe z parametrem.
Przykład

Zbadajmy liczbę rozwiązań równania:

m

2

 1  x   m  1  x  1  0
2

z parametrem m . Narysujmy wykres funkcji y  g (m ) ,
która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje
liczbę rozwiązań powyższego równania. Rozważmy dwa
przypadki.
Przypadek 1.
m  1  0  m  1m  1  0  m  1  0  m  1  0 
2

 m  1  m  1
C.D.

Jeśli m  1 lub m   1 , to współczynnik przy x 2 jest równy
zeru. Wówczas równanie jest liniowe. Dla m  1
otrzymujemy równanie liniowe 2 x  1  0 , które ma jedno
rozwiązanie. Dla m   1 otrzymujemy równanie liniowe
sprzeczne.

Przypadek 2.

Jeśli m  R   1,1 , to rozważane równanie jest
równaniem kwadratowym i liczba jego rozwiązań zależy od
 . Obliczmy  . Otrzymujemy:
   m  1   4 m  1   1   m  1  m  1   4  m  1  m  1  
2

2

  m  1   3 m  5 

C.D.

Zatem:
• Równanie ma jedno rozwiązanie 

   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2

  m   1  m  1   m  R   1,1  m  1
3
3

• Równanie ma dwa różne rozwiązania 
   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2


 m    1,1   m  R   1,1  m    1,1    1,1 
3
3


• Równanie nie ma rozwiązań 
   0  m  R   1,1 
 2

 m     ,  1    1 ,    m  R   1,1 
 3

 2

 m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Podsumujmy otrzymane wyniki:
Równanie kwadratowe,
dwa rozwiązania

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

-1

1

1

2

m

3

Równanie liniowe, nie
ma rozwiązań

Równanie liniowe,
jedno rozwiązanie

Równanie liniowe, jedno
rozwiązanie

Rysunek pokazuje, że rozpatrzyliśmy wszystkie wartości m
mR

C.D.

Nasze rozważania możemy zapisać krótko w następujący
sposób:

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

a) ma dwa rozwiązania wtedy, gdy

2

m    1,1    1,1 
3


b) ma jedno rozwiązanie wtedy, gry

 2
m   1,1 
 3

c) nie ma rozwiązań wtedy, gdy

 2

m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Stąd wzór szukanej funkcji y  g  m  , która każdej liczbie
rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę rozwiązań
równania :

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

ma postać:

2


g m    1


0


dla
dla
dla

2

m    1,1    1,1 
3

 2
m  1,1 
 3

 2

m     ,  1   1 ,  
 3


C.D.

Wykres funkcji g:

y

y  g (m )

1
1

1 12 2

m

3

SPIS TREŚCI


Slide 13

FUNKCJA
KWADRATOWA
Autorzy:
Kamil Tutro
Paweł Ochałek

Kamil Krajewski
Andrzej Ogorzałek

Uczniowie klasy 2d LO Kołaczyce

1. Jednomian stopnia drugiego.
2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
4. Wzory Viete’a.

5. Równania kwadratowe.
6. Nierówności kwadratowe.
7. Równania i nierówności kwadratowe z
parametrem.

1. Jednomianem stopnia drugiego.
nazywamy funkcję:

y  ax

2

gdzie x  R , natomiast a jest stałą liczbą rzeczywistą
różną od zera.
Przykładowe wykresy:
y

y

a0
x

a 0
x
C.D.

Własności funkcji
1. D f  R , ZW

f

y  ax

2

x R

a 0

 0 ,  )

2. Funkcja ma jedno miejsce zerowe

x0

3. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla
x  (  , 0 )  ( 0 ,  ) .Nie przyjmuje wartości ujemnych.

4. Funkcja:
Jest malejąca w zbiorze ( , 0 )
Jest rosnąca w zbiorze

( 0 ,  )

5. Funkcja jest parzysta (sprawdź !!!).
6. Funkcja nie jest różnowartościowa.

C.D.

7. Funkcja osiąga najmniejszą wartość równą 0, dla
argumentu 0. Nie przyjmuje wartości największej.
Zbiór wartości funkcji jest ograniczony z dołu; nie jest
ograniczony z góry.

SPIS TREŚCI

2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
Nazywamy funkcję

y  ax  bx  c
2

gdzie a , b , c  R oraz a  0 , x  R , nazywamy funkcją
kwadratową (trójmianem kwadratowym) w postaci
ogólnej.
Def.

Funkcję y  a ( x  p )  q , a  0 , x  R
2

, nazywamy
funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) w
postaci kanonicznej.

gdzie
p

b
2a

b  4 ac
2

q

4a
C.D.

Tw.

Wykres funkcji y  a ( x  p )  q , a  0 , powstaje w wyniku
2
y

ax
, a  0, x  R
przesunięcia równoległego jednomianu
o wektor v  [ p , q ].
2

Tw.

Funkcję kwadratową postaci ogólnej:
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  a(x  p)  q
2

C.D.

Dowód

Ponieważ a  0 , więc mamy:
2
2 

b
b
b




2
2
y  ax  bx  c  a  x  x   c  a   x 
c
 
2 
a 
2a 
4 a 

 
2

2

2

2

2

b 
b
b 
b
b 



 a x 
 c  a x 
 c  a x 
 a
 
 
2
2a 
4a
2a 
4a
2a 




b
4 ac
 

4a
 4a
2

2

2

b
b
 4 ac


  a x 
 

2a 
4a



Stąd:
p

b

b  4 ac
2

q

2a

4a

Co kończy dowód twierdzenia.
C.D.

2
UWAGA: dla funkcji kwadratowej y  ax  bx  c , a  0
2
liczbę b  4 ac
oznaczamy symbolem  (delta) i
nazywamy ją wyróżnikiem trójmianu kwadratowego.

y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

Mamy więc:
  b  4 ac
2

Wniosek

Funkcję kwadratową w postacie ogólnej
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  ax  p   q
2

C.D.

gdzie
p

b

q



2a

4a

Wniosek

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

ma współrzędne
xw  

b
2a

yw 


4a

SPIS TREŚCI

3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
Liczba miejsc zerowych trójmianu kwadratowego
y  ax  bx  c , a  0
2

jest równa liczbie punktów wspólnych wykresu tej funkcji i
osi OX.

Niech a będzie liczbą dodatni. Wówczas są trzy możliwe
przypadki.

( p, q)

x

( p, q)

x

x
( p, q)

C.D.

Zauważmy, że trójmian nie ma miejsc zerowych
(przypadek 1) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
Ale q 



.

4a

Mamy więc:
q0 ia0



 0 i a  0     0 i a  0    0 ia  0 

4a

Trójmian kwadratowy ma tylko jedno miejsce zerowe
(przypadek 2) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

Trójmian kwadratowy ma dwa różne miejsca zerowe
(przypadek 3) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

C.D.

Nasze rozważania prowadzą do następującego twierdzenia:
Dany jest trójmian y  ax  bx  c , a  0 . Wówczas:
2

1.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a  x  x1  x  x 2 , a  0

gdzie
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Liczby x1 , x 2 są miejscami zerowymi trójmianu.

C.D.

2.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a x  x0  , a  0
2

gdzie
x0 

b
2a

Liczba x 0 jest (podwójnym) miejscem zerowym trójmianu.
3.   0 Wtedy i tylko wtedy, gdy trójmianu nie można
przedstawić w postaci iloczynowej. Trójmian nie ma miejsc
zerowych.

SPIS TREŚCI

4. Wzory Viete’a.
Wiesz, że trójmian kwadratowy y  ax  bx  c , a  0
ma miejsca zerowe tylko wtedy, gdy   0 . Jeśli   0 , b
to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe x 0  
jeśli natomiast   0 , to funkcja kwadratowa ma dwa 2 a
2

różne miejsca zerowe:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Załóżmy, że   0 , a następnie obliczmy sumę i iloczyn
miejsc zerowych trójmianu kwadratowego. Obliczenia
przeprowadzimy w następujący sposób:

C.D.

b

x1  x 2 



b



2a





b

2a

 b





 b 



4a

2

 b  b  4 ac
2



 

2

b 
2



4a

2

4a

2



2

4 ac
4a

2

2





b  b  4 ac
2

4a





2a

b   b  
b




x1  x 2 






2a
2a

 

2



2



  b
4a

2

 2b
 2a





b
a





c
a
C.D.

Twierdzenie Viete’a
Jeśli x1 , x 2 są różnymi miejscami zerowymi trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to zachodzą związki:
x1  x 2  

b
a

x1  x 2 

c
a

Jeśli x 0 jest jednym miejscem
zerowym trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to:

2 x0  

b
a

2

x0 

c
a

SPIS TREŚCI

5. Równania kwadratowe.
Def.

Równanie ax  bx  c  0 , gdzie a , b , c  R i a  0 ,
2

nazywamy równaniem kwadratowym.
W zależności od wartości współczynników a , b , c równania
2
y

ax
 bx  c , a  0 , dzielimy na zupełne i
kwadratowe
niezupełne. Równania kwadratowe zupełne to takie, w
których wszystkie współczynniki a , b , c są różne od zera,
np. równania:
x  2x 1  0
2

3x  5x  7  0
2

 0 ,5 x  9 x  11  0
2

Równanie kwadratowe niezupełne to takie, w których
współczynnik a  0 , ale przynajmniej jeden ze
współczynników b, c jest zerem, np. równania:
3x  x  0
2

5x  1  0
2

 1, 2 x  0
2

C.D.

Wniosek
2
Równanie kwadratowe ax  bx  c  0 , gdzie a  0 :

1) nie ma rozwiązań, jeśli   0

2) ma jedno rozwiązanie, jeśli   0 ; rozwiązanie ma
postać :
x0  

b
2a

3) ma dwa różne rozwiązania, jeśli   0 ; w tej sytuacji te
rozwiązania mają postać:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

SPIS TREŚCI

6. Nierówności kwadratowe.
Przykład

Wyznaczmy dwie liczby naturalne różniące się 1, których
iloczyn jest mniejszy od potrojonej liczby mniejszej.
Niech x oznacza liczbę mniejszą, natomiast x  1 -liczbę
większą, x  N . Iloczyn liczb opisuje wyrażenie x  x  1  ,
a potrojoną liczbę mniejszą – wyrażenie 3 x . Z treści
zadania wynika, że
x  x  1  3 x  x  N  x  x  3 x  x  N 
2

 x  2 x  0  x  N  xx  2  0  x  N
2

C.D.

Iloczyn liczb x oraz x  2 jest ujemny tylko wtedy, gdy liczby
te są przeciwnych znaków. Na tej podstawie stwierdzimy, że:
 x  0


  x  2  0

 x0 
  x  N  x  0 , 2   x  N  x  1

 x  2  0 

Szukana liczba to 1.

Sprawdzimy. Iloczyn liczb wynosi 2, potrojona zaś liczba
mniejsza to 3. Zachodzi zatem nierówność, bo 2 < 3.
Def.

Nierównością kwadratową nazywamy każdą z nierówności:
2
2
2
ax  bx  c  0 , ax  bx  c  0 lub ax  bx  c  0
gdzie a , b , c  R oraz a  0 .
SPIS TREŚCI

7. Równania i nierówności kwadratowe z parametrem.
Przykład

Zbadajmy liczbę rozwiązań równania:

m

2

 1  x   m  1  x  1  0
2

z parametrem m . Narysujmy wykres funkcji y  g (m ) ,
która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje
liczbę rozwiązań powyższego równania. Rozważmy dwa
przypadki.
Przypadek 1.
m  1  0  m  1m  1  0  m  1  0  m  1  0 
2

 m  1  m  1
C.D.

Jeśli m  1 lub m   1 , to współczynnik przy x 2 jest równy
zeru. Wówczas równanie jest liniowe. Dla m  1
otrzymujemy równanie liniowe 2 x  1  0 , które ma jedno
rozwiązanie. Dla m   1 otrzymujemy równanie liniowe
sprzeczne.

Przypadek 2.

Jeśli m  R   1,1 , to rozważane równanie jest
równaniem kwadratowym i liczba jego rozwiązań zależy od
 . Obliczmy  . Otrzymujemy:
   m  1   4 m  1   1   m  1  m  1   4  m  1  m  1  
2

2

  m  1   3 m  5 

C.D.

Zatem:
• Równanie ma jedno rozwiązanie 

   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2

  m   1  m  1   m  R   1,1  m  1
3
3

• Równanie ma dwa różne rozwiązania 
   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2


 m    1,1   m  R   1,1  m    1,1    1,1 
3
3


• Równanie nie ma rozwiązań 
   0  m  R   1,1 
 2

 m     ,  1    1 ,    m  R   1,1 
 3

 2

 m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Podsumujmy otrzymane wyniki:
Równanie kwadratowe,
dwa rozwiązania

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

-1

1

1

2

m

3

Równanie liniowe, nie
ma rozwiązań

Równanie liniowe,
jedno rozwiązanie

Równanie liniowe, jedno
rozwiązanie

Rysunek pokazuje, że rozpatrzyliśmy wszystkie wartości m
mR

C.D.

Nasze rozważania możemy zapisać krótko w następujący
sposób:

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

a) ma dwa rozwiązania wtedy, gdy

2

m    1,1    1,1 
3


b) ma jedno rozwiązanie wtedy, gry

 2
m   1,1 
 3

c) nie ma rozwiązań wtedy, gdy

 2

m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Stąd wzór szukanej funkcji y  g  m  , która każdej liczbie
rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę rozwiązań
równania :

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

ma postać:

2


g m    1


0


dla
dla
dla

2

m    1,1    1,1 
3

 2
m  1,1 
 3

 2

m     ,  1   1 ,  
 3


C.D.

Wykres funkcji g:

y

y  g (m )

1
1

1 12 2

m

3

SPIS TREŚCI


Slide 14

FUNKCJA
KWADRATOWA
Autorzy:
Kamil Tutro
Paweł Ochałek

Kamil Krajewski
Andrzej Ogorzałek

Uczniowie klasy 2d LO Kołaczyce

1. Jednomian stopnia drugiego.
2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
4. Wzory Viete’a.

5. Równania kwadratowe.
6. Nierówności kwadratowe.
7. Równania i nierówności kwadratowe z
parametrem.

1. Jednomianem stopnia drugiego.
nazywamy funkcję:

y  ax

2

gdzie x  R , natomiast a jest stałą liczbą rzeczywistą
różną od zera.
Przykładowe wykresy:
y

y

a0
x

a 0
x
C.D.

Własności funkcji
1. D f  R , ZW

f

y  ax

2

x R

a 0

 0 ,  )

2. Funkcja ma jedno miejsce zerowe

x0

3. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla
x  (  , 0 )  ( 0 ,  ) .Nie przyjmuje wartości ujemnych.

4. Funkcja:
Jest malejąca w zbiorze ( , 0 )
Jest rosnąca w zbiorze

( 0 ,  )

5. Funkcja jest parzysta (sprawdź !!!).
6. Funkcja nie jest różnowartościowa.

C.D.

7. Funkcja osiąga najmniejszą wartość równą 0, dla
argumentu 0. Nie przyjmuje wartości największej.
Zbiór wartości funkcji jest ograniczony z dołu; nie jest
ograniczony z góry.

SPIS TREŚCI

2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
Nazywamy funkcję

y  ax  bx  c
2

gdzie a , b , c  R oraz a  0 , x  R , nazywamy funkcją
kwadratową (trójmianem kwadratowym) w postaci
ogólnej.
Def.

Funkcję y  a ( x  p )  q , a  0 , x  R
2

, nazywamy
funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) w
postaci kanonicznej.

gdzie
p

b
2a

b  4 ac
2

q

4a
C.D.

Tw.

Wykres funkcji y  a ( x  p )  q , a  0 , powstaje w wyniku
2
y

ax
, a  0, x  R
przesunięcia równoległego jednomianu
o wektor v  [ p , q ].
2

Tw.

Funkcję kwadratową postaci ogólnej:
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  a(x  p)  q
2

C.D.

Dowód

Ponieważ a  0 , więc mamy:
2
2 

b
b
b




2
2
y  ax  bx  c  a  x  x   c  a   x 
c
 
2 
a 
2a 
4 a 

 
2

2

2

2

2

b 
b
b 
b
b 



 a x 
 c  a x 
 c  a x 
 a
 
 
2
2a 
4a
2a 
4a
2a 




b
4 ac
 

4a
 4a
2

2

2

b
b
 4 ac


  a x 
 

2a 
4a



Stąd:
p

b

b  4 ac
2

q

2a

4a

Co kończy dowód twierdzenia.
C.D.

2
UWAGA: dla funkcji kwadratowej y  ax  bx  c , a  0
2
liczbę b  4 ac
oznaczamy symbolem  (delta) i
nazywamy ją wyróżnikiem trójmianu kwadratowego.

y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

Mamy więc:
  b  4 ac
2

Wniosek

Funkcję kwadratową w postacie ogólnej
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  ax  p   q
2

C.D.

gdzie
p

b

q



2a

4a

Wniosek

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

ma współrzędne
xw  

b
2a

yw 


4a

SPIS TREŚCI

3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
Liczba miejsc zerowych trójmianu kwadratowego
y  ax  bx  c , a  0
2

jest równa liczbie punktów wspólnych wykresu tej funkcji i
osi OX.

Niech a będzie liczbą dodatni. Wówczas są trzy możliwe
przypadki.

( p, q)

x

( p, q)

x

x
( p, q)

C.D.

Zauważmy, że trójmian nie ma miejsc zerowych
(przypadek 1) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
Ale q 



.

4a

Mamy więc:
q0 ia0



 0 i a  0     0 i a  0    0 ia  0 

4a

Trójmian kwadratowy ma tylko jedno miejsce zerowe
(przypadek 2) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

Trójmian kwadratowy ma dwa różne miejsca zerowe
(przypadek 3) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

C.D.

Nasze rozważania prowadzą do następującego twierdzenia:
Dany jest trójmian y  ax  bx  c , a  0 . Wówczas:
2

1.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a  x  x1  x  x 2 , a  0

gdzie
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Liczby x1 , x 2 są miejscami zerowymi trójmianu.

C.D.

2.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a x  x0  , a  0
2

gdzie
x0 

b
2a

Liczba x 0 jest (podwójnym) miejscem zerowym trójmianu.
3.   0 Wtedy i tylko wtedy, gdy trójmianu nie można
przedstawić w postaci iloczynowej. Trójmian nie ma miejsc
zerowych.

SPIS TREŚCI

4. Wzory Viete’a.
Wiesz, że trójmian kwadratowy y  ax  bx  c , a  0
ma miejsca zerowe tylko wtedy, gdy   0 . Jeśli   0 , b
to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe x 0  
jeśli natomiast   0 , to funkcja kwadratowa ma dwa 2 a
2

różne miejsca zerowe:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Załóżmy, że   0 , a następnie obliczmy sumę i iloczyn
miejsc zerowych trójmianu kwadratowego. Obliczenia
przeprowadzimy w następujący sposób:

C.D.

b

x1  x 2 



b



2a





b

2a

 b





 b 



4a

2

 b  b  4 ac
2



 

2

b 
2



4a

2

4a

2



2

4 ac
4a

2

2





b  b  4 ac
2

4a





2a

b   b  
b




x1  x 2 






2a
2a

 

2



2



  b
4a

2

 2b
 2a





b
a





c
a
C.D.

Twierdzenie Viete’a
Jeśli x1 , x 2 są różnymi miejscami zerowymi trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to zachodzą związki:
x1  x 2  

b
a

x1  x 2 

c
a

Jeśli x 0 jest jednym miejscem
zerowym trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to:

2 x0  

b
a

2

x0 

c
a

SPIS TREŚCI

5. Równania kwadratowe.
Def.

Równanie ax  bx  c  0 , gdzie a , b , c  R i a  0 ,
2

nazywamy równaniem kwadratowym.
W zależności od wartości współczynników a , b , c równania
2
y

ax
 bx  c , a  0 , dzielimy na zupełne i
kwadratowe
niezupełne. Równania kwadratowe zupełne to takie, w
których wszystkie współczynniki a , b , c są różne od zera,
np. równania:
x  2x 1  0
2

3x  5x  7  0
2

 0 ,5 x  9 x  11  0
2

Równanie kwadratowe niezupełne to takie, w których
współczynnik a  0 , ale przynajmniej jeden ze
współczynników b, c jest zerem, np. równania:
3x  x  0
2

5x  1  0
2

 1, 2 x  0
2

C.D.

Wniosek
2
Równanie kwadratowe ax  bx  c  0 , gdzie a  0 :

1) nie ma rozwiązań, jeśli   0

2) ma jedno rozwiązanie, jeśli   0 ; rozwiązanie ma
postać :
x0  

b
2a

3) ma dwa różne rozwiązania, jeśli   0 ; w tej sytuacji te
rozwiązania mają postać:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

SPIS TREŚCI

6. Nierówności kwadratowe.
Przykład

Wyznaczmy dwie liczby naturalne różniące się 1, których
iloczyn jest mniejszy od potrojonej liczby mniejszej.
Niech x oznacza liczbę mniejszą, natomiast x  1 -liczbę
większą, x  N . Iloczyn liczb opisuje wyrażenie x  x  1  ,
a potrojoną liczbę mniejszą – wyrażenie 3 x . Z treści
zadania wynika, że
x  x  1  3 x  x  N  x  x  3 x  x  N 
2

 x  2 x  0  x  N  xx  2  0  x  N
2

C.D.

Iloczyn liczb x oraz x  2 jest ujemny tylko wtedy, gdy liczby
te są przeciwnych znaków. Na tej podstawie stwierdzimy, że:
 x  0


  x  2  0

 x0 
  x  N  x  0 , 2   x  N  x  1

 x  2  0 

Szukana liczba to 1.

Sprawdzimy. Iloczyn liczb wynosi 2, potrojona zaś liczba
mniejsza to 3. Zachodzi zatem nierówność, bo 2 < 3.
Def.

Nierównością kwadratową nazywamy każdą z nierówności:
2
2
2
ax  bx  c  0 , ax  bx  c  0 lub ax  bx  c  0
gdzie a , b , c  R oraz a  0 .
SPIS TREŚCI

7. Równania i nierówności kwadratowe z parametrem.
Przykład

Zbadajmy liczbę rozwiązań równania:

m

2

 1  x   m  1  x  1  0
2

z parametrem m . Narysujmy wykres funkcji y  g (m ) ,
która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje
liczbę rozwiązań powyższego równania. Rozważmy dwa
przypadki.
Przypadek 1.
m  1  0  m  1m  1  0  m  1  0  m  1  0 
2

 m  1  m  1
C.D.

Jeśli m  1 lub m   1 , to współczynnik przy x 2 jest równy
zeru. Wówczas równanie jest liniowe. Dla m  1
otrzymujemy równanie liniowe 2 x  1  0 , które ma jedno
rozwiązanie. Dla m   1 otrzymujemy równanie liniowe
sprzeczne.

Przypadek 2.

Jeśli m  R   1,1 , to rozważane równanie jest
równaniem kwadratowym i liczba jego rozwiązań zależy od
 . Obliczmy  . Otrzymujemy:
   m  1   4 m  1   1   m  1  m  1   4  m  1  m  1  
2

2

  m  1   3 m  5 

C.D.

Zatem:
• Równanie ma jedno rozwiązanie 

   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2

  m   1  m  1   m  R   1,1  m  1
3
3

• Równanie ma dwa różne rozwiązania 
   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2


 m    1,1   m  R   1,1  m    1,1    1,1 
3
3


• Równanie nie ma rozwiązań 
   0  m  R   1,1 
 2

 m     ,  1    1 ,    m  R   1,1 
 3

 2

 m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Podsumujmy otrzymane wyniki:
Równanie kwadratowe,
dwa rozwiązania

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

-1

1

1

2

m

3

Równanie liniowe, nie
ma rozwiązań

Równanie liniowe,
jedno rozwiązanie

Równanie liniowe, jedno
rozwiązanie

Rysunek pokazuje, że rozpatrzyliśmy wszystkie wartości m
mR

C.D.

Nasze rozważania możemy zapisać krótko w następujący
sposób:

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

a) ma dwa rozwiązania wtedy, gdy

2

m    1,1    1,1 
3


b) ma jedno rozwiązanie wtedy, gry

 2
m   1,1 
 3

c) nie ma rozwiązań wtedy, gdy

 2

m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Stąd wzór szukanej funkcji y  g  m  , która każdej liczbie
rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę rozwiązań
równania :

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

ma postać:

2


g m    1


0


dla
dla
dla

2

m    1,1    1,1 
3

 2
m  1,1 
 3

 2

m     ,  1   1 ,  
 3


C.D.

Wykres funkcji g:

y

y  g (m )

1
1

1 12 2

m

3

SPIS TREŚCI


Slide 15

FUNKCJA
KWADRATOWA
Autorzy:
Kamil Tutro
Paweł Ochałek

Kamil Krajewski
Andrzej Ogorzałek

Uczniowie klasy 2d LO Kołaczyce

1. Jednomian stopnia drugiego.
2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
4. Wzory Viete’a.

5. Równania kwadratowe.
6. Nierówności kwadratowe.
7. Równania i nierówności kwadratowe z
parametrem.

1. Jednomianem stopnia drugiego.
nazywamy funkcję:

y  ax

2

gdzie x  R , natomiast a jest stałą liczbą rzeczywistą
różną od zera.
Przykładowe wykresy:
y

y

a0
x

a 0
x
C.D.

Własności funkcji
1. D f  R , ZW

f

y  ax

2

x R

a 0

 0 ,  )

2. Funkcja ma jedno miejsce zerowe

x0

3. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla
x  (  , 0 )  ( 0 ,  ) .Nie przyjmuje wartości ujemnych.

4. Funkcja:
Jest malejąca w zbiorze ( , 0 )
Jest rosnąca w zbiorze

( 0 ,  )

5. Funkcja jest parzysta (sprawdź !!!).
6. Funkcja nie jest różnowartościowa.

C.D.

7. Funkcja osiąga najmniejszą wartość równą 0, dla
argumentu 0. Nie przyjmuje wartości największej.
Zbiór wartości funkcji jest ograniczony z dołu; nie jest
ograniczony z góry.

SPIS TREŚCI

2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
Nazywamy funkcję

y  ax  bx  c
2

gdzie a , b , c  R oraz a  0 , x  R , nazywamy funkcją
kwadratową (trójmianem kwadratowym) w postaci
ogólnej.
Def.

Funkcję y  a ( x  p )  q , a  0 , x  R
2

, nazywamy
funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) w
postaci kanonicznej.

gdzie
p

b
2a

b  4 ac
2

q

4a
C.D.

Tw.

Wykres funkcji y  a ( x  p )  q , a  0 , powstaje w wyniku
2
y

ax
, a  0, x  R
przesunięcia równoległego jednomianu
o wektor v  [ p , q ].
2

Tw.

Funkcję kwadratową postaci ogólnej:
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  a(x  p)  q
2

C.D.

Dowód

Ponieważ a  0 , więc mamy:
2
2 

b
b
b




2
2
y  ax  bx  c  a  x  x   c  a   x 
c
 
2 
a 
2a 
4 a 

 
2

2

2

2

2

b 
b
b 
b
b 



 a x 
 c  a x 
 c  a x 
 a
 
 
2
2a 
4a
2a 
4a
2a 




b
4 ac
 

4a
 4a
2

2

2

b
b
 4 ac


  a x 
 

2a 
4a



Stąd:
p

b

b  4 ac
2

q

2a

4a

Co kończy dowód twierdzenia.
C.D.

2
UWAGA: dla funkcji kwadratowej y  ax  bx  c , a  0
2
liczbę b  4 ac
oznaczamy symbolem  (delta) i
nazywamy ją wyróżnikiem trójmianu kwadratowego.

y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

Mamy więc:
  b  4 ac
2

Wniosek

Funkcję kwadratową w postacie ogólnej
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  ax  p   q
2

C.D.

gdzie
p

b

q



2a

4a

Wniosek

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

ma współrzędne
xw  

b
2a

yw 


4a

SPIS TREŚCI

3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
Liczba miejsc zerowych trójmianu kwadratowego
y  ax  bx  c , a  0
2

jest równa liczbie punktów wspólnych wykresu tej funkcji i
osi OX.

Niech a będzie liczbą dodatni. Wówczas są trzy możliwe
przypadki.

( p, q)

x

( p, q)

x

x
( p, q)

C.D.

Zauważmy, że trójmian nie ma miejsc zerowych
(przypadek 1) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
Ale q 



.

4a

Mamy więc:
q0 ia0



 0 i a  0     0 i a  0    0 ia  0 

4a

Trójmian kwadratowy ma tylko jedno miejsce zerowe
(przypadek 2) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

Trójmian kwadratowy ma dwa różne miejsca zerowe
(przypadek 3) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

C.D.

Nasze rozważania prowadzą do następującego twierdzenia:
Dany jest trójmian y  ax  bx  c , a  0 . Wówczas:
2

1.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a  x  x1  x  x 2 , a  0

gdzie
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Liczby x1 , x 2 są miejscami zerowymi trójmianu.

C.D.

2.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a x  x0  , a  0
2

gdzie
x0 

b
2a

Liczba x 0 jest (podwójnym) miejscem zerowym trójmianu.
3.   0 Wtedy i tylko wtedy, gdy trójmianu nie można
przedstawić w postaci iloczynowej. Trójmian nie ma miejsc
zerowych.

SPIS TREŚCI

4. Wzory Viete’a.
Wiesz, że trójmian kwadratowy y  ax  bx  c , a  0
ma miejsca zerowe tylko wtedy, gdy   0 . Jeśli   0 , b
to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe x 0  
jeśli natomiast   0 , to funkcja kwadratowa ma dwa 2 a
2

różne miejsca zerowe:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Załóżmy, że   0 , a następnie obliczmy sumę i iloczyn
miejsc zerowych trójmianu kwadratowego. Obliczenia
przeprowadzimy w następujący sposób:

C.D.

b

x1  x 2 



b



2a





b

2a

 b





 b 



4a

2

 b  b  4 ac
2



 

2

b 
2



4a

2

4a

2



2

4 ac
4a

2

2





b  b  4 ac
2

4a





2a

b   b  
b




x1  x 2 






2a
2a

 

2



2



  b
4a

2

 2b
 2a





b
a





c
a
C.D.

Twierdzenie Viete’a
Jeśli x1 , x 2 są różnymi miejscami zerowymi trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to zachodzą związki:
x1  x 2  

b
a

x1  x 2 

c
a

Jeśli x 0 jest jednym miejscem
zerowym trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to:

2 x0  

b
a

2

x0 

c
a

SPIS TREŚCI

5. Równania kwadratowe.
Def.

Równanie ax  bx  c  0 , gdzie a , b , c  R i a  0 ,
2

nazywamy równaniem kwadratowym.
W zależności od wartości współczynników a , b , c równania
2
y

ax
 bx  c , a  0 , dzielimy na zupełne i
kwadratowe
niezupełne. Równania kwadratowe zupełne to takie, w
których wszystkie współczynniki a , b , c są różne od zera,
np. równania:
x  2x 1  0
2

3x  5x  7  0
2

 0 ,5 x  9 x  11  0
2

Równanie kwadratowe niezupełne to takie, w których
współczynnik a  0 , ale przynajmniej jeden ze
współczynników b, c jest zerem, np. równania:
3x  x  0
2

5x  1  0
2

 1, 2 x  0
2

C.D.

Wniosek
2
Równanie kwadratowe ax  bx  c  0 , gdzie a  0 :

1) nie ma rozwiązań, jeśli   0

2) ma jedno rozwiązanie, jeśli   0 ; rozwiązanie ma
postać :
x0  

b
2a

3) ma dwa różne rozwiązania, jeśli   0 ; w tej sytuacji te
rozwiązania mają postać:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

SPIS TREŚCI

6. Nierówności kwadratowe.
Przykład

Wyznaczmy dwie liczby naturalne różniące się 1, których
iloczyn jest mniejszy od potrojonej liczby mniejszej.
Niech x oznacza liczbę mniejszą, natomiast x  1 -liczbę
większą, x  N . Iloczyn liczb opisuje wyrażenie x  x  1  ,
a potrojoną liczbę mniejszą – wyrażenie 3 x . Z treści
zadania wynika, że
x  x  1  3 x  x  N  x  x  3 x  x  N 
2

 x  2 x  0  x  N  xx  2  0  x  N
2

C.D.

Iloczyn liczb x oraz x  2 jest ujemny tylko wtedy, gdy liczby
te są przeciwnych znaków. Na tej podstawie stwierdzimy, że:
 x  0


  x  2  0

 x0 
  x  N  x  0 , 2   x  N  x  1

 x  2  0 

Szukana liczba to 1.

Sprawdzimy. Iloczyn liczb wynosi 2, potrojona zaś liczba
mniejsza to 3. Zachodzi zatem nierówność, bo 2 < 3.
Def.

Nierównością kwadratową nazywamy każdą z nierówności:
2
2
2
ax  bx  c  0 , ax  bx  c  0 lub ax  bx  c  0
gdzie a , b , c  R oraz a  0 .
SPIS TREŚCI

7. Równania i nierówności kwadratowe z parametrem.
Przykład

Zbadajmy liczbę rozwiązań równania:

m

2

 1  x   m  1  x  1  0
2

z parametrem m . Narysujmy wykres funkcji y  g (m ) ,
która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje
liczbę rozwiązań powyższego równania. Rozważmy dwa
przypadki.
Przypadek 1.
m  1  0  m  1m  1  0  m  1  0  m  1  0 
2

 m  1  m  1
C.D.

Jeśli m  1 lub m   1 , to współczynnik przy x 2 jest równy
zeru. Wówczas równanie jest liniowe. Dla m  1
otrzymujemy równanie liniowe 2 x  1  0 , które ma jedno
rozwiązanie. Dla m   1 otrzymujemy równanie liniowe
sprzeczne.

Przypadek 2.

Jeśli m  R   1,1 , to rozważane równanie jest
równaniem kwadratowym i liczba jego rozwiązań zależy od
 . Obliczmy  . Otrzymujemy:
   m  1   4 m  1   1   m  1  m  1   4  m  1  m  1  
2

2

  m  1   3 m  5 

C.D.

Zatem:
• Równanie ma jedno rozwiązanie 

   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2

  m   1  m  1   m  R   1,1  m  1
3
3

• Równanie ma dwa różne rozwiązania 
   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2


 m    1,1   m  R   1,1  m    1,1    1,1 
3
3


• Równanie nie ma rozwiązań 
   0  m  R   1,1 
 2

 m     ,  1    1 ,    m  R   1,1 
 3

 2

 m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Podsumujmy otrzymane wyniki:
Równanie kwadratowe,
dwa rozwiązania

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

-1

1

1

2

m

3

Równanie liniowe, nie
ma rozwiązań

Równanie liniowe,
jedno rozwiązanie

Równanie liniowe, jedno
rozwiązanie

Rysunek pokazuje, że rozpatrzyliśmy wszystkie wartości m
mR

C.D.

Nasze rozważania możemy zapisać krótko w następujący
sposób:

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

a) ma dwa rozwiązania wtedy, gdy

2

m    1,1    1,1 
3


b) ma jedno rozwiązanie wtedy, gry

 2
m   1,1 
 3

c) nie ma rozwiązań wtedy, gdy

 2

m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Stąd wzór szukanej funkcji y  g  m  , która każdej liczbie
rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę rozwiązań
równania :

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

ma postać:

2


g m    1


0


dla
dla
dla

2

m    1,1    1,1 
3

 2
m  1,1 
 3

 2

m     ,  1   1 ,  
 3


C.D.

Wykres funkcji g:

y

y  g (m )

1
1

1 12 2

m

3

SPIS TREŚCI


Slide 16

FUNKCJA
KWADRATOWA
Autorzy:
Kamil Tutro
Paweł Ochałek

Kamil Krajewski
Andrzej Ogorzałek

Uczniowie klasy 2d LO Kołaczyce

1. Jednomian stopnia drugiego.
2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
4. Wzory Viete’a.

5. Równania kwadratowe.
6. Nierówności kwadratowe.
7. Równania i nierówności kwadratowe z
parametrem.

1. Jednomianem stopnia drugiego.
nazywamy funkcję:

y  ax

2

gdzie x  R , natomiast a jest stałą liczbą rzeczywistą
różną od zera.
Przykładowe wykresy:
y

y

a0
x

a 0
x
C.D.

Własności funkcji
1. D f  R , ZW

f

y  ax

2

x R

a 0

 0 ,  )

2. Funkcja ma jedno miejsce zerowe

x0

3. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla
x  (  , 0 )  ( 0 ,  ) .Nie przyjmuje wartości ujemnych.

4. Funkcja:
Jest malejąca w zbiorze ( , 0 )
Jest rosnąca w zbiorze

( 0 ,  )

5. Funkcja jest parzysta (sprawdź !!!).
6. Funkcja nie jest różnowartościowa.

C.D.

7. Funkcja osiąga najmniejszą wartość równą 0, dla
argumentu 0. Nie przyjmuje wartości największej.
Zbiór wartości funkcji jest ograniczony z dołu; nie jest
ograniczony z góry.

SPIS TREŚCI

2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
Nazywamy funkcję

y  ax  bx  c
2

gdzie a , b , c  R oraz a  0 , x  R , nazywamy funkcją
kwadratową (trójmianem kwadratowym) w postaci
ogólnej.
Def.

Funkcję y  a ( x  p )  q , a  0 , x  R
2

, nazywamy
funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) w
postaci kanonicznej.

gdzie
p

b
2a

b  4 ac
2

q

4a
C.D.

Tw.

Wykres funkcji y  a ( x  p )  q , a  0 , powstaje w wyniku
2
y

ax
, a  0, x  R
przesunięcia równoległego jednomianu
o wektor v  [ p , q ].
2

Tw.

Funkcję kwadratową postaci ogólnej:
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  a(x  p)  q
2

C.D.

Dowód

Ponieważ a  0 , więc mamy:
2
2 

b
b
b




2
2
y  ax  bx  c  a  x  x   c  a   x 
c
 
2 
a 
2a 
4 a 

 
2

2

2

2

2

b 
b
b 
b
b 



 a x 
 c  a x 
 c  a x 
 a
 
 
2
2a 
4a
2a 
4a
2a 




b
4 ac
 

4a
 4a
2

2

2

b
b
 4 ac


  a x 
 

2a 
4a



Stąd:
p

b

b  4 ac
2

q

2a

4a

Co kończy dowód twierdzenia.
C.D.

2
UWAGA: dla funkcji kwadratowej y  ax  bx  c , a  0
2
liczbę b  4 ac
oznaczamy symbolem  (delta) i
nazywamy ją wyróżnikiem trójmianu kwadratowego.

y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

Mamy więc:
  b  4 ac
2

Wniosek

Funkcję kwadratową w postacie ogólnej
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  ax  p   q
2

C.D.

gdzie
p

b

q



2a

4a

Wniosek

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

ma współrzędne
xw  

b
2a

yw 


4a

SPIS TREŚCI

3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
Liczba miejsc zerowych trójmianu kwadratowego
y  ax  bx  c , a  0
2

jest równa liczbie punktów wspólnych wykresu tej funkcji i
osi OX.

Niech a będzie liczbą dodatni. Wówczas są trzy możliwe
przypadki.

( p, q)

x

( p, q)

x

x
( p, q)

C.D.

Zauważmy, że trójmian nie ma miejsc zerowych
(przypadek 1) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
Ale q 



.

4a

Mamy więc:
q0 ia0



 0 i a  0     0 i a  0    0 ia  0 

4a

Trójmian kwadratowy ma tylko jedno miejsce zerowe
(przypadek 2) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

Trójmian kwadratowy ma dwa różne miejsca zerowe
(przypadek 3) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

C.D.

Nasze rozważania prowadzą do następującego twierdzenia:
Dany jest trójmian y  ax  bx  c , a  0 . Wówczas:
2

1.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a  x  x1  x  x 2 , a  0

gdzie
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Liczby x1 , x 2 są miejscami zerowymi trójmianu.

C.D.

2.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a x  x0  , a  0
2

gdzie
x0 

b
2a

Liczba x 0 jest (podwójnym) miejscem zerowym trójmianu.
3.   0 Wtedy i tylko wtedy, gdy trójmianu nie można
przedstawić w postaci iloczynowej. Trójmian nie ma miejsc
zerowych.

SPIS TREŚCI

4. Wzory Viete’a.
Wiesz, że trójmian kwadratowy y  ax  bx  c , a  0
ma miejsca zerowe tylko wtedy, gdy   0 . Jeśli   0 , b
to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe x 0  
jeśli natomiast   0 , to funkcja kwadratowa ma dwa 2 a
2

różne miejsca zerowe:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Załóżmy, że   0 , a następnie obliczmy sumę i iloczyn
miejsc zerowych trójmianu kwadratowego. Obliczenia
przeprowadzimy w następujący sposób:

C.D.

b

x1  x 2 



b



2a





b

2a

 b





 b 



4a

2

 b  b  4 ac
2



 

2

b 
2



4a

2

4a

2



2

4 ac
4a

2

2





b  b  4 ac
2

4a





2a

b   b  
b




x1  x 2 






2a
2a

 

2



2



  b
4a

2

 2b
 2a





b
a





c
a
C.D.

Twierdzenie Viete’a
Jeśli x1 , x 2 są różnymi miejscami zerowymi trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to zachodzą związki:
x1  x 2  

b
a

x1  x 2 

c
a

Jeśli x 0 jest jednym miejscem
zerowym trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to:

2 x0  

b
a

2

x0 

c
a

SPIS TREŚCI

5. Równania kwadratowe.
Def.

Równanie ax  bx  c  0 , gdzie a , b , c  R i a  0 ,
2

nazywamy równaniem kwadratowym.
W zależności od wartości współczynników a , b , c równania
2
y

ax
 bx  c , a  0 , dzielimy na zupełne i
kwadratowe
niezupełne. Równania kwadratowe zupełne to takie, w
których wszystkie współczynniki a , b , c są różne od zera,
np. równania:
x  2x 1  0
2

3x  5x  7  0
2

 0 ,5 x  9 x  11  0
2

Równanie kwadratowe niezupełne to takie, w których
współczynnik a  0 , ale przynajmniej jeden ze
współczynników b, c jest zerem, np. równania:
3x  x  0
2

5x  1  0
2

 1, 2 x  0
2

C.D.

Wniosek
2
Równanie kwadratowe ax  bx  c  0 , gdzie a  0 :

1) nie ma rozwiązań, jeśli   0

2) ma jedno rozwiązanie, jeśli   0 ; rozwiązanie ma
postać :
x0  

b
2a

3) ma dwa różne rozwiązania, jeśli   0 ; w tej sytuacji te
rozwiązania mają postać:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

SPIS TREŚCI

6. Nierówności kwadratowe.
Przykład

Wyznaczmy dwie liczby naturalne różniące się 1, których
iloczyn jest mniejszy od potrojonej liczby mniejszej.
Niech x oznacza liczbę mniejszą, natomiast x  1 -liczbę
większą, x  N . Iloczyn liczb opisuje wyrażenie x  x  1  ,
a potrojoną liczbę mniejszą – wyrażenie 3 x . Z treści
zadania wynika, że
x  x  1  3 x  x  N  x  x  3 x  x  N 
2

 x  2 x  0  x  N  xx  2  0  x  N
2

C.D.

Iloczyn liczb x oraz x  2 jest ujemny tylko wtedy, gdy liczby
te są przeciwnych znaków. Na tej podstawie stwierdzimy, że:
 x  0


  x  2  0

 x0 
  x  N  x  0 , 2   x  N  x  1

 x  2  0 

Szukana liczba to 1.

Sprawdzimy. Iloczyn liczb wynosi 2, potrojona zaś liczba
mniejsza to 3. Zachodzi zatem nierówność, bo 2 < 3.
Def.

Nierównością kwadratową nazywamy każdą z nierówności:
2
2
2
ax  bx  c  0 , ax  bx  c  0 lub ax  bx  c  0
gdzie a , b , c  R oraz a  0 .
SPIS TREŚCI

7. Równania i nierówności kwadratowe z parametrem.
Przykład

Zbadajmy liczbę rozwiązań równania:

m

2

 1  x   m  1  x  1  0
2

z parametrem m . Narysujmy wykres funkcji y  g (m ) ,
która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje
liczbę rozwiązań powyższego równania. Rozważmy dwa
przypadki.
Przypadek 1.
m  1  0  m  1m  1  0  m  1  0  m  1  0 
2

 m  1  m  1
C.D.

Jeśli m  1 lub m   1 , to współczynnik przy x 2 jest równy
zeru. Wówczas równanie jest liniowe. Dla m  1
otrzymujemy równanie liniowe 2 x  1  0 , które ma jedno
rozwiązanie. Dla m   1 otrzymujemy równanie liniowe
sprzeczne.

Przypadek 2.

Jeśli m  R   1,1 , to rozważane równanie jest
równaniem kwadratowym i liczba jego rozwiązań zależy od
 . Obliczmy  . Otrzymujemy:
   m  1   4 m  1   1   m  1  m  1   4  m  1  m  1  
2

2

  m  1   3 m  5 

C.D.

Zatem:
• Równanie ma jedno rozwiązanie 

   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2

  m   1  m  1   m  R   1,1  m  1
3
3

• Równanie ma dwa różne rozwiązania 
   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2


 m    1,1   m  R   1,1  m    1,1    1,1 
3
3


• Równanie nie ma rozwiązań 
   0  m  R   1,1 
 2

 m     ,  1    1 ,    m  R   1,1 
 3

 2

 m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Podsumujmy otrzymane wyniki:
Równanie kwadratowe,
dwa rozwiązania

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

-1

1

1

2

m

3

Równanie liniowe, nie
ma rozwiązań

Równanie liniowe,
jedno rozwiązanie

Równanie liniowe, jedno
rozwiązanie

Rysunek pokazuje, że rozpatrzyliśmy wszystkie wartości m
mR

C.D.

Nasze rozważania możemy zapisać krótko w następujący
sposób:

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

a) ma dwa rozwiązania wtedy, gdy

2

m    1,1    1,1 
3


b) ma jedno rozwiązanie wtedy, gry

 2
m   1,1 
 3

c) nie ma rozwiązań wtedy, gdy

 2

m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Stąd wzór szukanej funkcji y  g  m  , która każdej liczbie
rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę rozwiązań
równania :

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

ma postać:

2


g m    1


0


dla
dla
dla

2

m    1,1    1,1 
3

 2
m  1,1 
 3

 2

m     ,  1   1 ,  
 3


C.D.

Wykres funkcji g:

y

y  g (m )

1
1

1 12 2

m

3

SPIS TREŚCI


Slide 17

FUNKCJA
KWADRATOWA
Autorzy:
Kamil Tutro
Paweł Ochałek

Kamil Krajewski
Andrzej Ogorzałek

Uczniowie klasy 2d LO Kołaczyce

1. Jednomian stopnia drugiego.
2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
4. Wzory Viete’a.

5. Równania kwadratowe.
6. Nierówności kwadratowe.
7. Równania i nierówności kwadratowe z
parametrem.

1. Jednomianem stopnia drugiego.
nazywamy funkcję:

y  ax

2

gdzie x  R , natomiast a jest stałą liczbą rzeczywistą
różną od zera.
Przykładowe wykresy:
y

y

a0
x

a 0
x
C.D.

Własności funkcji
1. D f  R , ZW

f

y  ax

2

x R

a 0

 0 ,  )

2. Funkcja ma jedno miejsce zerowe

x0

3. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla
x  (  , 0 )  ( 0 ,  ) .Nie przyjmuje wartości ujemnych.

4. Funkcja:
Jest malejąca w zbiorze ( , 0 )
Jest rosnąca w zbiorze

( 0 ,  )

5. Funkcja jest parzysta (sprawdź !!!).
6. Funkcja nie jest różnowartościowa.

C.D.

7. Funkcja osiąga najmniejszą wartość równą 0, dla
argumentu 0. Nie przyjmuje wartości największej.
Zbiór wartości funkcji jest ograniczony z dołu; nie jest
ograniczony z góry.

SPIS TREŚCI

2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
Nazywamy funkcję

y  ax  bx  c
2

gdzie a , b , c  R oraz a  0 , x  R , nazywamy funkcją
kwadratową (trójmianem kwadratowym) w postaci
ogólnej.
Def.

Funkcję y  a ( x  p )  q , a  0 , x  R
2

, nazywamy
funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) w
postaci kanonicznej.

gdzie
p

b
2a

b  4 ac
2

q

4a
C.D.

Tw.

Wykres funkcji y  a ( x  p )  q , a  0 , powstaje w wyniku
2
y

ax
, a  0, x  R
przesunięcia równoległego jednomianu
o wektor v  [ p , q ].
2

Tw.

Funkcję kwadratową postaci ogólnej:
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  a(x  p)  q
2

C.D.

Dowód

Ponieważ a  0 , więc mamy:
2
2 

b
b
b




2
2
y  ax  bx  c  a  x  x   c  a   x 
c
 
2 
a 
2a 
4 a 

 
2

2

2

2

2

b 
b
b 
b
b 



 a x 
 c  a x 
 c  a x 
 a
 
 
2
2a 
4a
2a 
4a
2a 




b
4 ac
 

4a
 4a
2

2

2

b
b
 4 ac


  a x 
 

2a 
4a



Stąd:
p

b

b  4 ac
2

q

2a

4a

Co kończy dowód twierdzenia.
C.D.

2
UWAGA: dla funkcji kwadratowej y  ax  bx  c , a  0
2
liczbę b  4 ac
oznaczamy symbolem  (delta) i
nazywamy ją wyróżnikiem trójmianu kwadratowego.

y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

Mamy więc:
  b  4 ac
2

Wniosek

Funkcję kwadratową w postacie ogólnej
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  ax  p   q
2

C.D.

gdzie
p

b

q



2a

4a

Wniosek

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

ma współrzędne
xw  

b
2a

yw 


4a

SPIS TREŚCI

3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
Liczba miejsc zerowych trójmianu kwadratowego
y  ax  bx  c , a  0
2

jest równa liczbie punktów wspólnych wykresu tej funkcji i
osi OX.

Niech a będzie liczbą dodatni. Wówczas są trzy możliwe
przypadki.

( p, q)

x

( p, q)

x

x
( p, q)

C.D.

Zauważmy, że trójmian nie ma miejsc zerowych
(przypadek 1) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
Ale q 



.

4a

Mamy więc:
q0 ia0



 0 i a  0     0 i a  0    0 ia  0 

4a

Trójmian kwadratowy ma tylko jedno miejsce zerowe
(przypadek 2) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

Trójmian kwadratowy ma dwa różne miejsca zerowe
(przypadek 3) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

C.D.

Nasze rozważania prowadzą do następującego twierdzenia:
Dany jest trójmian y  ax  bx  c , a  0 . Wówczas:
2

1.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a  x  x1  x  x 2 , a  0

gdzie
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Liczby x1 , x 2 są miejscami zerowymi trójmianu.

C.D.

2.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a x  x0  , a  0
2

gdzie
x0 

b
2a

Liczba x 0 jest (podwójnym) miejscem zerowym trójmianu.
3.   0 Wtedy i tylko wtedy, gdy trójmianu nie można
przedstawić w postaci iloczynowej. Trójmian nie ma miejsc
zerowych.

SPIS TREŚCI

4. Wzory Viete’a.
Wiesz, że trójmian kwadratowy y  ax  bx  c , a  0
ma miejsca zerowe tylko wtedy, gdy   0 . Jeśli   0 , b
to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe x 0  
jeśli natomiast   0 , to funkcja kwadratowa ma dwa 2 a
2

różne miejsca zerowe:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Załóżmy, że   0 , a następnie obliczmy sumę i iloczyn
miejsc zerowych trójmianu kwadratowego. Obliczenia
przeprowadzimy w następujący sposób:

C.D.

b

x1  x 2 



b



2a





b

2a

 b





 b 



4a

2

 b  b  4 ac
2



 

2

b 
2



4a

2

4a

2



2

4 ac
4a

2

2





b  b  4 ac
2

4a





2a

b   b  
b




x1  x 2 






2a
2a

 

2



2



  b
4a

2

 2b
 2a





b
a





c
a
C.D.

Twierdzenie Viete’a
Jeśli x1 , x 2 są różnymi miejscami zerowymi trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to zachodzą związki:
x1  x 2  

b
a

x1  x 2 

c
a

Jeśli x 0 jest jednym miejscem
zerowym trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to:

2 x0  

b
a

2

x0 

c
a

SPIS TREŚCI

5. Równania kwadratowe.
Def.

Równanie ax  bx  c  0 , gdzie a , b , c  R i a  0 ,
2

nazywamy równaniem kwadratowym.
W zależności od wartości współczynników a , b , c równania
2
y

ax
 bx  c , a  0 , dzielimy na zupełne i
kwadratowe
niezupełne. Równania kwadratowe zupełne to takie, w
których wszystkie współczynniki a , b , c są różne od zera,
np. równania:
x  2x 1  0
2

3x  5x  7  0
2

 0 ,5 x  9 x  11  0
2

Równanie kwadratowe niezupełne to takie, w których
współczynnik a  0 , ale przynajmniej jeden ze
współczynników b, c jest zerem, np. równania:
3x  x  0
2

5x  1  0
2

 1, 2 x  0
2

C.D.

Wniosek
2
Równanie kwadratowe ax  bx  c  0 , gdzie a  0 :

1) nie ma rozwiązań, jeśli   0

2) ma jedno rozwiązanie, jeśli   0 ; rozwiązanie ma
postać :
x0  

b
2a

3) ma dwa różne rozwiązania, jeśli   0 ; w tej sytuacji te
rozwiązania mają postać:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

SPIS TREŚCI

6. Nierówności kwadratowe.
Przykład

Wyznaczmy dwie liczby naturalne różniące się 1, których
iloczyn jest mniejszy od potrojonej liczby mniejszej.
Niech x oznacza liczbę mniejszą, natomiast x  1 -liczbę
większą, x  N . Iloczyn liczb opisuje wyrażenie x  x  1  ,
a potrojoną liczbę mniejszą – wyrażenie 3 x . Z treści
zadania wynika, że
x  x  1  3 x  x  N  x  x  3 x  x  N 
2

 x  2 x  0  x  N  xx  2  0  x  N
2

C.D.

Iloczyn liczb x oraz x  2 jest ujemny tylko wtedy, gdy liczby
te są przeciwnych znaków. Na tej podstawie stwierdzimy, że:
 x  0


  x  2  0

 x0 
  x  N  x  0 , 2   x  N  x  1

 x  2  0 

Szukana liczba to 1.

Sprawdzimy. Iloczyn liczb wynosi 2, potrojona zaś liczba
mniejsza to 3. Zachodzi zatem nierówność, bo 2 < 3.
Def.

Nierównością kwadratową nazywamy każdą z nierówności:
2
2
2
ax  bx  c  0 , ax  bx  c  0 lub ax  bx  c  0
gdzie a , b , c  R oraz a  0 .
SPIS TREŚCI

7. Równania i nierówności kwadratowe z parametrem.
Przykład

Zbadajmy liczbę rozwiązań równania:

m

2

 1  x   m  1  x  1  0
2

z parametrem m . Narysujmy wykres funkcji y  g (m ) ,
która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje
liczbę rozwiązań powyższego równania. Rozważmy dwa
przypadki.
Przypadek 1.
m  1  0  m  1m  1  0  m  1  0  m  1  0 
2

 m  1  m  1
C.D.

Jeśli m  1 lub m   1 , to współczynnik przy x 2 jest równy
zeru. Wówczas równanie jest liniowe. Dla m  1
otrzymujemy równanie liniowe 2 x  1  0 , które ma jedno
rozwiązanie. Dla m   1 otrzymujemy równanie liniowe
sprzeczne.

Przypadek 2.

Jeśli m  R   1,1 , to rozważane równanie jest
równaniem kwadratowym i liczba jego rozwiązań zależy od
 . Obliczmy  . Otrzymujemy:
   m  1   4 m  1   1   m  1  m  1   4  m  1  m  1  
2

2

  m  1   3 m  5 

C.D.

Zatem:
• Równanie ma jedno rozwiązanie 

   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2

  m   1  m  1   m  R   1,1  m  1
3
3

• Równanie ma dwa różne rozwiązania 
   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2


 m    1,1   m  R   1,1  m    1,1    1,1 
3
3


• Równanie nie ma rozwiązań 
   0  m  R   1,1 
 2

 m     ,  1    1 ,    m  R   1,1 
 3

 2

 m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Podsumujmy otrzymane wyniki:
Równanie kwadratowe,
dwa rozwiązania

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

-1

1

1

2

m

3

Równanie liniowe, nie
ma rozwiązań

Równanie liniowe,
jedno rozwiązanie

Równanie liniowe, jedno
rozwiązanie

Rysunek pokazuje, że rozpatrzyliśmy wszystkie wartości m
mR

C.D.

Nasze rozważania możemy zapisać krótko w następujący
sposób:

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

a) ma dwa rozwiązania wtedy, gdy

2

m    1,1    1,1 
3


b) ma jedno rozwiązanie wtedy, gry

 2
m   1,1 
 3

c) nie ma rozwiązań wtedy, gdy

 2

m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Stąd wzór szukanej funkcji y  g  m  , która każdej liczbie
rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę rozwiązań
równania :

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

ma postać:

2


g m    1


0


dla
dla
dla

2

m    1,1    1,1 
3

 2
m  1,1 
 3

 2

m     ,  1   1 ,  
 3


C.D.

Wykres funkcji g:

y

y  g (m )

1
1

1 12 2

m

3

SPIS TREŚCI


Slide 18

FUNKCJA
KWADRATOWA
Autorzy:
Kamil Tutro
Paweł Ochałek

Kamil Krajewski
Andrzej Ogorzałek

Uczniowie klasy 2d LO Kołaczyce

1. Jednomian stopnia drugiego.
2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
4. Wzory Viete’a.

5. Równania kwadratowe.
6. Nierówności kwadratowe.
7. Równania i nierówności kwadratowe z
parametrem.

1. Jednomianem stopnia drugiego.
nazywamy funkcję:

y  ax

2

gdzie x  R , natomiast a jest stałą liczbą rzeczywistą
różną od zera.
Przykładowe wykresy:
y

y

a0
x

a 0
x
C.D.

Własności funkcji
1. D f  R , ZW

f

y  ax

2

x R

a 0

 0 ,  )

2. Funkcja ma jedno miejsce zerowe

x0

3. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla
x  (  , 0 )  ( 0 ,  ) .Nie przyjmuje wartości ujemnych.

4. Funkcja:
Jest malejąca w zbiorze ( , 0 )
Jest rosnąca w zbiorze

( 0 ,  )

5. Funkcja jest parzysta (sprawdź !!!).
6. Funkcja nie jest różnowartościowa.

C.D.

7. Funkcja osiąga najmniejszą wartość równą 0, dla
argumentu 0. Nie przyjmuje wartości największej.
Zbiór wartości funkcji jest ograniczony z dołu; nie jest
ograniczony z góry.

SPIS TREŚCI

2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
Nazywamy funkcję

y  ax  bx  c
2

gdzie a , b , c  R oraz a  0 , x  R , nazywamy funkcją
kwadratową (trójmianem kwadratowym) w postaci
ogólnej.
Def.

Funkcję y  a ( x  p )  q , a  0 , x  R
2

, nazywamy
funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) w
postaci kanonicznej.

gdzie
p

b
2a

b  4 ac
2

q

4a
C.D.

Tw.

Wykres funkcji y  a ( x  p )  q , a  0 , powstaje w wyniku
2
y

ax
, a  0, x  R
przesunięcia równoległego jednomianu
o wektor v  [ p , q ].
2

Tw.

Funkcję kwadratową postaci ogólnej:
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  a(x  p)  q
2

C.D.

Dowód

Ponieważ a  0 , więc mamy:
2
2 

b
b
b




2
2
y  ax  bx  c  a  x  x   c  a   x 
c
 
2 
a 
2a 
4 a 

 
2

2

2

2

2

b 
b
b 
b
b 



 a x 
 c  a x 
 c  a x 
 a
 
 
2
2a 
4a
2a 
4a
2a 




b
4 ac
 

4a
 4a
2

2

2

b
b
 4 ac


  a x 
 

2a 
4a



Stąd:
p

b

b  4 ac
2

q

2a

4a

Co kończy dowód twierdzenia.
C.D.

2
UWAGA: dla funkcji kwadratowej y  ax  bx  c , a  0
2
liczbę b  4 ac
oznaczamy symbolem  (delta) i
nazywamy ją wyróżnikiem trójmianu kwadratowego.

y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

Mamy więc:
  b  4 ac
2

Wniosek

Funkcję kwadratową w postacie ogólnej
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  ax  p   q
2

C.D.

gdzie
p

b

q



2a

4a

Wniosek

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

ma współrzędne
xw  

b
2a

yw 


4a

SPIS TREŚCI

3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
Liczba miejsc zerowych trójmianu kwadratowego
y  ax  bx  c , a  0
2

jest równa liczbie punktów wspólnych wykresu tej funkcji i
osi OX.

Niech a będzie liczbą dodatni. Wówczas są trzy możliwe
przypadki.

( p, q)

x

( p, q)

x

x
( p, q)

C.D.

Zauważmy, że trójmian nie ma miejsc zerowych
(przypadek 1) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
Ale q 



.

4a

Mamy więc:
q0 ia0



 0 i a  0     0 i a  0    0 ia  0 

4a

Trójmian kwadratowy ma tylko jedno miejsce zerowe
(przypadek 2) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

Trójmian kwadratowy ma dwa różne miejsca zerowe
(przypadek 3) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

C.D.

Nasze rozważania prowadzą do następującego twierdzenia:
Dany jest trójmian y  ax  bx  c , a  0 . Wówczas:
2

1.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a  x  x1  x  x 2 , a  0

gdzie
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Liczby x1 , x 2 są miejscami zerowymi trójmianu.

C.D.

2.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a x  x0  , a  0
2

gdzie
x0 

b
2a

Liczba x 0 jest (podwójnym) miejscem zerowym trójmianu.
3.   0 Wtedy i tylko wtedy, gdy trójmianu nie można
przedstawić w postaci iloczynowej. Trójmian nie ma miejsc
zerowych.

SPIS TREŚCI

4. Wzory Viete’a.
Wiesz, że trójmian kwadratowy y  ax  bx  c , a  0
ma miejsca zerowe tylko wtedy, gdy   0 . Jeśli   0 , b
to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe x 0  
jeśli natomiast   0 , to funkcja kwadratowa ma dwa 2 a
2

różne miejsca zerowe:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Załóżmy, że   0 , a następnie obliczmy sumę i iloczyn
miejsc zerowych trójmianu kwadratowego. Obliczenia
przeprowadzimy w następujący sposób:

C.D.

b

x1  x 2 



b



2a





b

2a

 b





 b 



4a

2

 b  b  4 ac
2



 

2

b 
2



4a

2

4a

2



2

4 ac
4a

2

2





b  b  4 ac
2

4a





2a

b   b  
b




x1  x 2 






2a
2a

 

2



2



  b
4a

2

 2b
 2a





b
a





c
a
C.D.

Twierdzenie Viete’a
Jeśli x1 , x 2 są różnymi miejscami zerowymi trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to zachodzą związki:
x1  x 2  

b
a

x1  x 2 

c
a

Jeśli x 0 jest jednym miejscem
zerowym trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to:

2 x0  

b
a

2

x0 

c
a

SPIS TREŚCI

5. Równania kwadratowe.
Def.

Równanie ax  bx  c  0 , gdzie a , b , c  R i a  0 ,
2

nazywamy równaniem kwadratowym.
W zależności od wartości współczynników a , b , c równania
2
y

ax
 bx  c , a  0 , dzielimy na zupełne i
kwadratowe
niezupełne. Równania kwadratowe zupełne to takie, w
których wszystkie współczynniki a , b , c są różne od zera,
np. równania:
x  2x 1  0
2

3x  5x  7  0
2

 0 ,5 x  9 x  11  0
2

Równanie kwadratowe niezupełne to takie, w których
współczynnik a  0 , ale przynajmniej jeden ze
współczynników b, c jest zerem, np. równania:
3x  x  0
2

5x  1  0
2

 1, 2 x  0
2

C.D.

Wniosek
2
Równanie kwadratowe ax  bx  c  0 , gdzie a  0 :

1) nie ma rozwiązań, jeśli   0

2) ma jedno rozwiązanie, jeśli   0 ; rozwiązanie ma
postać :
x0  

b
2a

3) ma dwa różne rozwiązania, jeśli   0 ; w tej sytuacji te
rozwiązania mają postać:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

SPIS TREŚCI

6. Nierówności kwadratowe.
Przykład

Wyznaczmy dwie liczby naturalne różniące się 1, których
iloczyn jest mniejszy od potrojonej liczby mniejszej.
Niech x oznacza liczbę mniejszą, natomiast x  1 -liczbę
większą, x  N . Iloczyn liczb opisuje wyrażenie x  x  1  ,
a potrojoną liczbę mniejszą – wyrażenie 3 x . Z treści
zadania wynika, że
x  x  1  3 x  x  N  x  x  3 x  x  N 
2

 x  2 x  0  x  N  xx  2  0  x  N
2

C.D.

Iloczyn liczb x oraz x  2 jest ujemny tylko wtedy, gdy liczby
te są przeciwnych znaków. Na tej podstawie stwierdzimy, że:
 x  0


  x  2  0

 x0 
  x  N  x  0 , 2   x  N  x  1

 x  2  0 

Szukana liczba to 1.

Sprawdzimy. Iloczyn liczb wynosi 2, potrojona zaś liczba
mniejsza to 3. Zachodzi zatem nierówność, bo 2 < 3.
Def.

Nierównością kwadratową nazywamy każdą z nierówności:
2
2
2
ax  bx  c  0 , ax  bx  c  0 lub ax  bx  c  0
gdzie a , b , c  R oraz a  0 .
SPIS TREŚCI

7. Równania i nierówności kwadratowe z parametrem.
Przykład

Zbadajmy liczbę rozwiązań równania:

m

2

 1  x   m  1  x  1  0
2

z parametrem m . Narysujmy wykres funkcji y  g (m ) ,
która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje
liczbę rozwiązań powyższego równania. Rozważmy dwa
przypadki.
Przypadek 1.
m  1  0  m  1m  1  0  m  1  0  m  1  0 
2

 m  1  m  1
C.D.

Jeśli m  1 lub m   1 , to współczynnik przy x 2 jest równy
zeru. Wówczas równanie jest liniowe. Dla m  1
otrzymujemy równanie liniowe 2 x  1  0 , które ma jedno
rozwiązanie. Dla m   1 otrzymujemy równanie liniowe
sprzeczne.

Przypadek 2.

Jeśli m  R   1,1 , to rozważane równanie jest
równaniem kwadratowym i liczba jego rozwiązań zależy od
 . Obliczmy  . Otrzymujemy:
   m  1   4 m  1   1   m  1  m  1   4  m  1  m  1  
2

2

  m  1   3 m  5 

C.D.

Zatem:
• Równanie ma jedno rozwiązanie 

   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2

  m   1  m  1   m  R   1,1  m  1
3
3

• Równanie ma dwa różne rozwiązania 
   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2


 m    1,1   m  R   1,1  m    1,1    1,1 
3
3


• Równanie nie ma rozwiązań 
   0  m  R   1,1 
 2

 m     ,  1    1 ,    m  R   1,1 
 3

 2

 m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Podsumujmy otrzymane wyniki:
Równanie kwadratowe,
dwa rozwiązania

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

-1

1

1

2

m

3

Równanie liniowe, nie
ma rozwiązań

Równanie liniowe,
jedno rozwiązanie

Równanie liniowe, jedno
rozwiązanie

Rysunek pokazuje, że rozpatrzyliśmy wszystkie wartości m
mR

C.D.

Nasze rozważania możemy zapisać krótko w następujący
sposób:

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

a) ma dwa rozwiązania wtedy, gdy

2

m    1,1    1,1 
3


b) ma jedno rozwiązanie wtedy, gry

 2
m   1,1 
 3

c) nie ma rozwiązań wtedy, gdy

 2

m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Stąd wzór szukanej funkcji y  g  m  , która każdej liczbie
rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę rozwiązań
równania :

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

ma postać:

2


g m    1


0


dla
dla
dla

2

m    1,1    1,1 
3

 2
m  1,1 
 3

 2

m     ,  1   1 ,  
 3


C.D.

Wykres funkcji g:

y

y  g (m )

1
1

1 12 2

m

3

SPIS TREŚCI


Slide 19

FUNKCJA
KWADRATOWA
Autorzy:
Kamil Tutro
Paweł Ochałek

Kamil Krajewski
Andrzej Ogorzałek

Uczniowie klasy 2d LO Kołaczyce

1. Jednomian stopnia drugiego.
2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
4. Wzory Viete’a.

5. Równania kwadratowe.
6. Nierówności kwadratowe.
7. Równania i nierówności kwadratowe z
parametrem.

1. Jednomianem stopnia drugiego.
nazywamy funkcję:

y  ax

2

gdzie x  R , natomiast a jest stałą liczbą rzeczywistą
różną od zera.
Przykładowe wykresy:
y

y

a0
x

a 0
x
C.D.

Własności funkcji
1. D f  R , ZW

f

y  ax

2

x R

a 0

 0 ,  )

2. Funkcja ma jedno miejsce zerowe

x0

3. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla
x  (  , 0 )  ( 0 ,  ) .Nie przyjmuje wartości ujemnych.

4. Funkcja:
Jest malejąca w zbiorze ( , 0 )
Jest rosnąca w zbiorze

( 0 ,  )

5. Funkcja jest parzysta (sprawdź !!!).
6. Funkcja nie jest różnowartościowa.

C.D.

7. Funkcja osiąga najmniejszą wartość równą 0, dla
argumentu 0. Nie przyjmuje wartości największej.
Zbiór wartości funkcji jest ograniczony z dołu; nie jest
ograniczony z góry.

SPIS TREŚCI

2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
Nazywamy funkcję

y  ax  bx  c
2

gdzie a , b , c  R oraz a  0 , x  R , nazywamy funkcją
kwadratową (trójmianem kwadratowym) w postaci
ogólnej.
Def.

Funkcję y  a ( x  p )  q , a  0 , x  R
2

, nazywamy
funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) w
postaci kanonicznej.

gdzie
p

b
2a

b  4 ac
2

q

4a
C.D.

Tw.

Wykres funkcji y  a ( x  p )  q , a  0 , powstaje w wyniku
2
y

ax
, a  0, x  R
przesunięcia równoległego jednomianu
o wektor v  [ p , q ].
2

Tw.

Funkcję kwadratową postaci ogólnej:
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  a(x  p)  q
2

C.D.

Dowód

Ponieważ a  0 , więc mamy:
2
2 

b
b
b




2
2
y  ax  bx  c  a  x  x   c  a   x 
c
 
2 
a 
2a 
4 a 

 
2

2

2

2

2

b 
b
b 
b
b 



 a x 
 c  a x 
 c  a x 
 a
 
 
2
2a 
4a
2a 
4a
2a 




b
4 ac
 

4a
 4a
2

2

2

b
b
 4 ac


  a x 
 

2a 
4a



Stąd:
p

b

b  4 ac
2

q

2a

4a

Co kończy dowód twierdzenia.
C.D.

2
UWAGA: dla funkcji kwadratowej y  ax  bx  c , a  0
2
liczbę b  4 ac
oznaczamy symbolem  (delta) i
nazywamy ją wyróżnikiem trójmianu kwadratowego.

y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

Mamy więc:
  b  4 ac
2

Wniosek

Funkcję kwadratową w postacie ogólnej
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  ax  p   q
2

C.D.

gdzie
p

b

q



2a

4a

Wniosek

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

ma współrzędne
xw  

b
2a

yw 


4a

SPIS TREŚCI

3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
Liczba miejsc zerowych trójmianu kwadratowego
y  ax  bx  c , a  0
2

jest równa liczbie punktów wspólnych wykresu tej funkcji i
osi OX.

Niech a będzie liczbą dodatni. Wówczas są trzy możliwe
przypadki.

( p, q)

x

( p, q)

x

x
( p, q)

C.D.

Zauważmy, że trójmian nie ma miejsc zerowych
(przypadek 1) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
Ale q 



.

4a

Mamy więc:
q0 ia0



 0 i a  0     0 i a  0    0 ia  0 

4a

Trójmian kwadratowy ma tylko jedno miejsce zerowe
(przypadek 2) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

Trójmian kwadratowy ma dwa różne miejsca zerowe
(przypadek 3) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

C.D.

Nasze rozważania prowadzą do następującego twierdzenia:
Dany jest trójmian y  ax  bx  c , a  0 . Wówczas:
2

1.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a  x  x1  x  x 2 , a  0

gdzie
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Liczby x1 , x 2 są miejscami zerowymi trójmianu.

C.D.

2.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a x  x0  , a  0
2

gdzie
x0 

b
2a

Liczba x 0 jest (podwójnym) miejscem zerowym trójmianu.
3.   0 Wtedy i tylko wtedy, gdy trójmianu nie można
przedstawić w postaci iloczynowej. Trójmian nie ma miejsc
zerowych.

SPIS TREŚCI

4. Wzory Viete’a.
Wiesz, że trójmian kwadratowy y  ax  bx  c , a  0
ma miejsca zerowe tylko wtedy, gdy   0 . Jeśli   0 , b
to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe x 0  
jeśli natomiast   0 , to funkcja kwadratowa ma dwa 2 a
2

różne miejsca zerowe:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Załóżmy, że   0 , a następnie obliczmy sumę i iloczyn
miejsc zerowych trójmianu kwadratowego. Obliczenia
przeprowadzimy w następujący sposób:

C.D.

b

x1  x 2 



b



2a





b

2a

 b





 b 



4a

2

 b  b  4 ac
2



 

2

b 
2



4a

2

4a

2



2

4 ac
4a

2

2





b  b  4 ac
2

4a





2a

b   b  
b




x1  x 2 






2a
2a

 

2



2



  b
4a

2

 2b
 2a





b
a





c
a
C.D.

Twierdzenie Viete’a
Jeśli x1 , x 2 są różnymi miejscami zerowymi trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to zachodzą związki:
x1  x 2  

b
a

x1  x 2 

c
a

Jeśli x 0 jest jednym miejscem
zerowym trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to:

2 x0  

b
a

2

x0 

c
a

SPIS TREŚCI

5. Równania kwadratowe.
Def.

Równanie ax  bx  c  0 , gdzie a , b , c  R i a  0 ,
2

nazywamy równaniem kwadratowym.
W zależności od wartości współczynników a , b , c równania
2
y

ax
 bx  c , a  0 , dzielimy na zupełne i
kwadratowe
niezupełne. Równania kwadratowe zupełne to takie, w
których wszystkie współczynniki a , b , c są różne od zera,
np. równania:
x  2x 1  0
2

3x  5x  7  0
2

 0 ,5 x  9 x  11  0
2

Równanie kwadratowe niezupełne to takie, w których
współczynnik a  0 , ale przynajmniej jeden ze
współczynników b, c jest zerem, np. równania:
3x  x  0
2

5x  1  0
2

 1, 2 x  0
2

C.D.

Wniosek
2
Równanie kwadratowe ax  bx  c  0 , gdzie a  0 :

1) nie ma rozwiązań, jeśli   0

2) ma jedno rozwiązanie, jeśli   0 ; rozwiązanie ma
postać :
x0  

b
2a

3) ma dwa różne rozwiązania, jeśli   0 ; w tej sytuacji te
rozwiązania mają postać:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

SPIS TREŚCI

6. Nierówności kwadratowe.
Przykład

Wyznaczmy dwie liczby naturalne różniące się 1, których
iloczyn jest mniejszy od potrojonej liczby mniejszej.
Niech x oznacza liczbę mniejszą, natomiast x  1 -liczbę
większą, x  N . Iloczyn liczb opisuje wyrażenie x  x  1  ,
a potrojoną liczbę mniejszą – wyrażenie 3 x . Z treści
zadania wynika, że
x  x  1  3 x  x  N  x  x  3 x  x  N 
2

 x  2 x  0  x  N  xx  2  0  x  N
2

C.D.

Iloczyn liczb x oraz x  2 jest ujemny tylko wtedy, gdy liczby
te są przeciwnych znaków. Na tej podstawie stwierdzimy, że:
 x  0


  x  2  0

 x0 
  x  N  x  0 , 2   x  N  x  1

 x  2  0 

Szukana liczba to 1.

Sprawdzimy. Iloczyn liczb wynosi 2, potrojona zaś liczba
mniejsza to 3. Zachodzi zatem nierówność, bo 2 < 3.
Def.

Nierównością kwadratową nazywamy każdą z nierówności:
2
2
2
ax  bx  c  0 , ax  bx  c  0 lub ax  bx  c  0
gdzie a , b , c  R oraz a  0 .
SPIS TREŚCI

7. Równania i nierówności kwadratowe z parametrem.
Przykład

Zbadajmy liczbę rozwiązań równania:

m

2

 1  x   m  1  x  1  0
2

z parametrem m . Narysujmy wykres funkcji y  g (m ) ,
która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje
liczbę rozwiązań powyższego równania. Rozważmy dwa
przypadki.
Przypadek 1.
m  1  0  m  1m  1  0  m  1  0  m  1  0 
2

 m  1  m  1
C.D.

Jeśli m  1 lub m   1 , to współczynnik przy x 2 jest równy
zeru. Wówczas równanie jest liniowe. Dla m  1
otrzymujemy równanie liniowe 2 x  1  0 , które ma jedno
rozwiązanie. Dla m   1 otrzymujemy równanie liniowe
sprzeczne.

Przypadek 2.

Jeśli m  R   1,1 , to rozważane równanie jest
równaniem kwadratowym i liczba jego rozwiązań zależy od
 . Obliczmy  . Otrzymujemy:
   m  1   4 m  1   1   m  1  m  1   4  m  1  m  1  
2

2

  m  1   3 m  5 

C.D.

Zatem:
• Równanie ma jedno rozwiązanie 

   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2

  m   1  m  1   m  R   1,1  m  1
3
3

• Równanie ma dwa różne rozwiązania 
   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2


 m    1,1   m  R   1,1  m    1,1    1,1 
3
3


• Równanie nie ma rozwiązań 
   0  m  R   1,1 
 2

 m     ,  1    1 ,    m  R   1,1 
 3

 2

 m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Podsumujmy otrzymane wyniki:
Równanie kwadratowe,
dwa rozwiązania

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

-1

1

1

2

m

3

Równanie liniowe, nie
ma rozwiązań

Równanie liniowe,
jedno rozwiązanie

Równanie liniowe, jedno
rozwiązanie

Rysunek pokazuje, że rozpatrzyliśmy wszystkie wartości m
mR

C.D.

Nasze rozważania możemy zapisać krótko w następujący
sposób:

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

a) ma dwa rozwiązania wtedy, gdy

2

m    1,1    1,1 
3


b) ma jedno rozwiązanie wtedy, gry

 2
m   1,1 
 3

c) nie ma rozwiązań wtedy, gdy

 2

m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Stąd wzór szukanej funkcji y  g  m  , która każdej liczbie
rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę rozwiązań
równania :

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

ma postać:

2


g m    1


0


dla
dla
dla

2

m    1,1    1,1 
3

 2
m  1,1 
 3

 2

m     ,  1   1 ,  
 3


C.D.

Wykres funkcji g:

y

y  g (m )

1
1

1 12 2

m

3

SPIS TREŚCI


Slide 20

FUNKCJA
KWADRATOWA
Autorzy:
Kamil Tutro
Paweł Ochałek

Kamil Krajewski
Andrzej Ogorzałek

Uczniowie klasy 2d LO Kołaczyce

1. Jednomian stopnia drugiego.
2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
4. Wzory Viete’a.

5. Równania kwadratowe.
6. Nierówności kwadratowe.
7. Równania i nierówności kwadratowe z
parametrem.

1. Jednomianem stopnia drugiego.
nazywamy funkcję:

y  ax

2

gdzie x  R , natomiast a jest stałą liczbą rzeczywistą
różną od zera.
Przykładowe wykresy:
y

y

a0
x

a 0
x
C.D.

Własności funkcji
1. D f  R , ZW

f

y  ax

2

x R

a 0

 0 ,  )

2. Funkcja ma jedno miejsce zerowe

x0

3. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla
x  (  , 0 )  ( 0 ,  ) .Nie przyjmuje wartości ujemnych.

4. Funkcja:
Jest malejąca w zbiorze ( , 0 )
Jest rosnąca w zbiorze

( 0 ,  )

5. Funkcja jest parzysta (sprawdź !!!).
6. Funkcja nie jest różnowartościowa.

C.D.

7. Funkcja osiąga najmniejszą wartość równą 0, dla
argumentu 0. Nie przyjmuje wartości największej.
Zbiór wartości funkcji jest ograniczony z dołu; nie jest
ograniczony z góry.

SPIS TREŚCI

2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
Nazywamy funkcję

y  ax  bx  c
2

gdzie a , b , c  R oraz a  0 , x  R , nazywamy funkcją
kwadratową (trójmianem kwadratowym) w postaci
ogólnej.
Def.

Funkcję y  a ( x  p )  q , a  0 , x  R
2

, nazywamy
funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) w
postaci kanonicznej.

gdzie
p

b
2a

b  4 ac
2

q

4a
C.D.

Tw.

Wykres funkcji y  a ( x  p )  q , a  0 , powstaje w wyniku
2
y

ax
, a  0, x  R
przesunięcia równoległego jednomianu
o wektor v  [ p , q ].
2

Tw.

Funkcję kwadratową postaci ogólnej:
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  a(x  p)  q
2

C.D.

Dowód

Ponieważ a  0 , więc mamy:
2
2 

b
b
b




2
2
y  ax  bx  c  a  x  x   c  a   x 
c
 
2 
a 
2a 
4 a 

 
2

2

2

2

2

b 
b
b 
b
b 



 a x 
 c  a x 
 c  a x 
 a
 
 
2
2a 
4a
2a 
4a
2a 




b
4 ac
 

4a
 4a
2

2

2

b
b
 4 ac


  a x 
 

2a 
4a



Stąd:
p

b

b  4 ac
2

q

2a

4a

Co kończy dowód twierdzenia.
C.D.

2
UWAGA: dla funkcji kwadratowej y  ax  bx  c , a  0
2
liczbę b  4 ac
oznaczamy symbolem  (delta) i
nazywamy ją wyróżnikiem trójmianu kwadratowego.

y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

Mamy więc:
  b  4 ac
2

Wniosek

Funkcję kwadratową w postacie ogólnej
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  ax  p   q
2

C.D.

gdzie
p

b

q



2a

4a

Wniosek

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

ma współrzędne
xw  

b
2a

yw 


4a

SPIS TREŚCI

3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
Liczba miejsc zerowych trójmianu kwadratowego
y  ax  bx  c , a  0
2

jest równa liczbie punktów wspólnych wykresu tej funkcji i
osi OX.

Niech a będzie liczbą dodatni. Wówczas są trzy możliwe
przypadki.

( p, q)

x

( p, q)

x

x
( p, q)

C.D.

Zauważmy, że trójmian nie ma miejsc zerowych
(przypadek 1) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
Ale q 



.

4a

Mamy więc:
q0 ia0



 0 i a  0     0 i a  0    0 ia  0 

4a

Trójmian kwadratowy ma tylko jedno miejsce zerowe
(przypadek 2) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

Trójmian kwadratowy ma dwa różne miejsca zerowe
(przypadek 3) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

C.D.

Nasze rozważania prowadzą do następującego twierdzenia:
Dany jest trójmian y  ax  bx  c , a  0 . Wówczas:
2

1.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a  x  x1  x  x 2 , a  0

gdzie
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Liczby x1 , x 2 są miejscami zerowymi trójmianu.

C.D.

2.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a x  x0  , a  0
2

gdzie
x0 

b
2a

Liczba x 0 jest (podwójnym) miejscem zerowym trójmianu.
3.   0 Wtedy i tylko wtedy, gdy trójmianu nie można
przedstawić w postaci iloczynowej. Trójmian nie ma miejsc
zerowych.

SPIS TREŚCI

4. Wzory Viete’a.
Wiesz, że trójmian kwadratowy y  ax  bx  c , a  0
ma miejsca zerowe tylko wtedy, gdy   0 . Jeśli   0 , b
to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe x 0  
jeśli natomiast   0 , to funkcja kwadratowa ma dwa 2 a
2

różne miejsca zerowe:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Załóżmy, że   0 , a następnie obliczmy sumę i iloczyn
miejsc zerowych trójmianu kwadratowego. Obliczenia
przeprowadzimy w następujący sposób:

C.D.

b

x1  x 2 



b



2a





b

2a

 b





 b 



4a

2

 b  b  4 ac
2



 

2

b 
2



4a

2

4a

2



2

4 ac
4a

2

2





b  b  4 ac
2

4a





2a

b   b  
b




x1  x 2 






2a
2a

 

2



2



  b
4a

2

 2b
 2a





b
a





c
a
C.D.

Twierdzenie Viete’a
Jeśli x1 , x 2 są różnymi miejscami zerowymi trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to zachodzą związki:
x1  x 2  

b
a

x1  x 2 

c
a

Jeśli x 0 jest jednym miejscem
zerowym trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to:

2 x0  

b
a

2

x0 

c
a

SPIS TREŚCI

5. Równania kwadratowe.
Def.

Równanie ax  bx  c  0 , gdzie a , b , c  R i a  0 ,
2

nazywamy równaniem kwadratowym.
W zależności od wartości współczynników a , b , c równania
2
y

ax
 bx  c , a  0 , dzielimy na zupełne i
kwadratowe
niezupełne. Równania kwadratowe zupełne to takie, w
których wszystkie współczynniki a , b , c są różne od zera,
np. równania:
x  2x 1  0
2

3x  5x  7  0
2

 0 ,5 x  9 x  11  0
2

Równanie kwadratowe niezupełne to takie, w których
współczynnik a  0 , ale przynajmniej jeden ze
współczynników b, c jest zerem, np. równania:
3x  x  0
2

5x  1  0
2

 1, 2 x  0
2

C.D.

Wniosek
2
Równanie kwadratowe ax  bx  c  0 , gdzie a  0 :

1) nie ma rozwiązań, jeśli   0

2) ma jedno rozwiązanie, jeśli   0 ; rozwiązanie ma
postać :
x0  

b
2a

3) ma dwa różne rozwiązania, jeśli   0 ; w tej sytuacji te
rozwiązania mają postać:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

SPIS TREŚCI

6. Nierówności kwadratowe.
Przykład

Wyznaczmy dwie liczby naturalne różniące się 1, których
iloczyn jest mniejszy od potrojonej liczby mniejszej.
Niech x oznacza liczbę mniejszą, natomiast x  1 -liczbę
większą, x  N . Iloczyn liczb opisuje wyrażenie x  x  1  ,
a potrojoną liczbę mniejszą – wyrażenie 3 x . Z treści
zadania wynika, że
x  x  1  3 x  x  N  x  x  3 x  x  N 
2

 x  2 x  0  x  N  xx  2  0  x  N
2

C.D.

Iloczyn liczb x oraz x  2 jest ujemny tylko wtedy, gdy liczby
te są przeciwnych znaków. Na tej podstawie stwierdzimy, że:
 x  0


  x  2  0

 x0 
  x  N  x  0 , 2   x  N  x  1

 x  2  0 

Szukana liczba to 1.

Sprawdzimy. Iloczyn liczb wynosi 2, potrojona zaś liczba
mniejsza to 3. Zachodzi zatem nierówność, bo 2 < 3.
Def.

Nierównością kwadratową nazywamy każdą z nierówności:
2
2
2
ax  bx  c  0 , ax  bx  c  0 lub ax  bx  c  0
gdzie a , b , c  R oraz a  0 .
SPIS TREŚCI

7. Równania i nierówności kwadratowe z parametrem.
Przykład

Zbadajmy liczbę rozwiązań równania:

m

2

 1  x   m  1  x  1  0
2

z parametrem m . Narysujmy wykres funkcji y  g (m ) ,
która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje
liczbę rozwiązań powyższego równania. Rozważmy dwa
przypadki.
Przypadek 1.
m  1  0  m  1m  1  0  m  1  0  m  1  0 
2

 m  1  m  1
C.D.

Jeśli m  1 lub m   1 , to współczynnik przy x 2 jest równy
zeru. Wówczas równanie jest liniowe. Dla m  1
otrzymujemy równanie liniowe 2 x  1  0 , które ma jedno
rozwiązanie. Dla m   1 otrzymujemy równanie liniowe
sprzeczne.

Przypadek 2.

Jeśli m  R   1,1 , to rozważane równanie jest
równaniem kwadratowym i liczba jego rozwiązań zależy od
 . Obliczmy  . Otrzymujemy:
   m  1   4 m  1   1   m  1  m  1   4  m  1  m  1  
2

2

  m  1   3 m  5 

C.D.

Zatem:
• Równanie ma jedno rozwiązanie 

   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2

  m   1  m  1   m  R   1,1  m  1
3
3

• Równanie ma dwa różne rozwiązania 
   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2


 m    1,1   m  R   1,1  m    1,1    1,1 
3
3


• Równanie nie ma rozwiązań 
   0  m  R   1,1 
 2

 m     ,  1    1 ,    m  R   1,1 
 3

 2

 m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Podsumujmy otrzymane wyniki:
Równanie kwadratowe,
dwa rozwiązania

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

-1

1

1

2

m

3

Równanie liniowe, nie
ma rozwiązań

Równanie liniowe,
jedno rozwiązanie

Równanie liniowe, jedno
rozwiązanie

Rysunek pokazuje, że rozpatrzyliśmy wszystkie wartości m
mR

C.D.

Nasze rozważania możemy zapisać krótko w następujący
sposób:

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

a) ma dwa rozwiązania wtedy, gdy

2

m    1,1    1,1 
3


b) ma jedno rozwiązanie wtedy, gry

 2
m   1,1 
 3

c) nie ma rozwiązań wtedy, gdy

 2

m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Stąd wzór szukanej funkcji y  g  m  , która każdej liczbie
rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę rozwiązań
równania :

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

ma postać:

2


g m    1


0


dla
dla
dla

2

m    1,1    1,1 
3

 2
m  1,1 
 3

 2

m     ,  1   1 ,  
 3


C.D.

Wykres funkcji g:

y

y  g (m )

1
1

1 12 2

m

3

SPIS TREŚCI


Slide 21

FUNKCJA
KWADRATOWA
Autorzy:
Kamil Tutro
Paweł Ochałek

Kamil Krajewski
Andrzej Ogorzałek

Uczniowie klasy 2d LO Kołaczyce

1. Jednomian stopnia drugiego.
2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
4. Wzory Viete’a.

5. Równania kwadratowe.
6. Nierówności kwadratowe.
7. Równania i nierówności kwadratowe z
parametrem.

1. Jednomianem stopnia drugiego.
nazywamy funkcję:

y  ax

2

gdzie x  R , natomiast a jest stałą liczbą rzeczywistą
różną od zera.
Przykładowe wykresy:
y

y

a0
x

a 0
x
C.D.

Własności funkcji
1. D f  R , ZW

f

y  ax

2

x R

a 0

 0 ,  )

2. Funkcja ma jedno miejsce zerowe

x0

3. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla
x  (  , 0 )  ( 0 ,  ) .Nie przyjmuje wartości ujemnych.

4. Funkcja:
Jest malejąca w zbiorze ( , 0 )
Jest rosnąca w zbiorze

( 0 ,  )

5. Funkcja jest parzysta (sprawdź !!!).
6. Funkcja nie jest różnowartościowa.

C.D.

7. Funkcja osiąga najmniejszą wartość równą 0, dla
argumentu 0. Nie przyjmuje wartości największej.
Zbiór wartości funkcji jest ograniczony z dołu; nie jest
ograniczony z góry.

SPIS TREŚCI

2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
Nazywamy funkcję

y  ax  bx  c
2

gdzie a , b , c  R oraz a  0 , x  R , nazywamy funkcją
kwadratową (trójmianem kwadratowym) w postaci
ogólnej.
Def.

Funkcję y  a ( x  p )  q , a  0 , x  R
2

, nazywamy
funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) w
postaci kanonicznej.

gdzie
p

b
2a

b  4 ac
2

q

4a
C.D.

Tw.

Wykres funkcji y  a ( x  p )  q , a  0 , powstaje w wyniku
2
y

ax
, a  0, x  R
przesunięcia równoległego jednomianu
o wektor v  [ p , q ].
2

Tw.

Funkcję kwadratową postaci ogólnej:
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  a(x  p)  q
2

C.D.

Dowód

Ponieważ a  0 , więc mamy:
2
2 

b
b
b




2
2
y  ax  bx  c  a  x  x   c  a   x 
c
 
2 
a 
2a 
4 a 

 
2

2

2

2

2

b 
b
b 
b
b 



 a x 
 c  a x 
 c  a x 
 a
 
 
2
2a 
4a
2a 
4a
2a 




b
4 ac
 

4a
 4a
2

2

2

b
b
 4 ac


  a x 
 

2a 
4a



Stąd:
p

b

b  4 ac
2

q

2a

4a

Co kończy dowód twierdzenia.
C.D.

2
UWAGA: dla funkcji kwadratowej y  ax  bx  c , a  0
2
liczbę b  4 ac
oznaczamy symbolem  (delta) i
nazywamy ją wyróżnikiem trójmianu kwadratowego.

y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

Mamy więc:
  b  4 ac
2

Wniosek

Funkcję kwadratową w postacie ogólnej
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  ax  p   q
2

C.D.

gdzie
p

b

q



2a

4a

Wniosek

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

ma współrzędne
xw  

b
2a

yw 


4a

SPIS TREŚCI

3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
Liczba miejsc zerowych trójmianu kwadratowego
y  ax  bx  c , a  0
2

jest równa liczbie punktów wspólnych wykresu tej funkcji i
osi OX.

Niech a będzie liczbą dodatni. Wówczas są trzy możliwe
przypadki.

( p, q)

x

( p, q)

x

x
( p, q)

C.D.

Zauważmy, że trójmian nie ma miejsc zerowych
(przypadek 1) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
Ale q 



.

4a

Mamy więc:
q0 ia0



 0 i a  0     0 i a  0    0 ia  0 

4a

Trójmian kwadratowy ma tylko jedno miejsce zerowe
(przypadek 2) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

Trójmian kwadratowy ma dwa różne miejsca zerowe
(przypadek 3) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

C.D.

Nasze rozważania prowadzą do następującego twierdzenia:
Dany jest trójmian y  ax  bx  c , a  0 . Wówczas:
2

1.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a  x  x1  x  x 2 , a  0

gdzie
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Liczby x1 , x 2 są miejscami zerowymi trójmianu.

C.D.

2.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a x  x0  , a  0
2

gdzie
x0 

b
2a

Liczba x 0 jest (podwójnym) miejscem zerowym trójmianu.
3.   0 Wtedy i tylko wtedy, gdy trójmianu nie można
przedstawić w postaci iloczynowej. Trójmian nie ma miejsc
zerowych.

SPIS TREŚCI

4. Wzory Viete’a.
Wiesz, że trójmian kwadratowy y  ax  bx  c , a  0
ma miejsca zerowe tylko wtedy, gdy   0 . Jeśli   0 , b
to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe x 0  
jeśli natomiast   0 , to funkcja kwadratowa ma dwa 2 a
2

różne miejsca zerowe:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Załóżmy, że   0 , a następnie obliczmy sumę i iloczyn
miejsc zerowych trójmianu kwadratowego. Obliczenia
przeprowadzimy w następujący sposób:

C.D.

b

x1  x 2 



b



2a





b

2a

 b





 b 



4a

2

 b  b  4 ac
2



 

2

b 
2



4a

2

4a

2



2

4 ac
4a

2

2





b  b  4 ac
2

4a





2a

b   b  
b




x1  x 2 






2a
2a

 

2



2



  b
4a

2

 2b
 2a





b
a





c
a
C.D.

Twierdzenie Viete’a
Jeśli x1 , x 2 są różnymi miejscami zerowymi trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to zachodzą związki:
x1  x 2  

b
a

x1  x 2 

c
a

Jeśli x 0 jest jednym miejscem
zerowym trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to:

2 x0  

b
a

2

x0 

c
a

SPIS TREŚCI

5. Równania kwadratowe.
Def.

Równanie ax  bx  c  0 , gdzie a , b , c  R i a  0 ,
2

nazywamy równaniem kwadratowym.
W zależności od wartości współczynników a , b , c równania
2
y

ax
 bx  c , a  0 , dzielimy na zupełne i
kwadratowe
niezupełne. Równania kwadratowe zupełne to takie, w
których wszystkie współczynniki a , b , c są różne od zera,
np. równania:
x  2x 1  0
2

3x  5x  7  0
2

 0 ,5 x  9 x  11  0
2

Równanie kwadratowe niezupełne to takie, w których
współczynnik a  0 , ale przynajmniej jeden ze
współczynników b, c jest zerem, np. równania:
3x  x  0
2

5x  1  0
2

 1, 2 x  0
2

C.D.

Wniosek
2
Równanie kwadratowe ax  bx  c  0 , gdzie a  0 :

1) nie ma rozwiązań, jeśli   0

2) ma jedno rozwiązanie, jeśli   0 ; rozwiązanie ma
postać :
x0  

b
2a

3) ma dwa różne rozwiązania, jeśli   0 ; w tej sytuacji te
rozwiązania mają postać:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

SPIS TREŚCI

6. Nierówności kwadratowe.
Przykład

Wyznaczmy dwie liczby naturalne różniące się 1, których
iloczyn jest mniejszy od potrojonej liczby mniejszej.
Niech x oznacza liczbę mniejszą, natomiast x  1 -liczbę
większą, x  N . Iloczyn liczb opisuje wyrażenie x  x  1  ,
a potrojoną liczbę mniejszą – wyrażenie 3 x . Z treści
zadania wynika, że
x  x  1  3 x  x  N  x  x  3 x  x  N 
2

 x  2 x  0  x  N  xx  2  0  x  N
2

C.D.

Iloczyn liczb x oraz x  2 jest ujemny tylko wtedy, gdy liczby
te są przeciwnych znaków. Na tej podstawie stwierdzimy, że:
 x  0


  x  2  0

 x0 
  x  N  x  0 , 2   x  N  x  1

 x  2  0 

Szukana liczba to 1.

Sprawdzimy. Iloczyn liczb wynosi 2, potrojona zaś liczba
mniejsza to 3. Zachodzi zatem nierówność, bo 2 < 3.
Def.

Nierównością kwadratową nazywamy każdą z nierówności:
2
2
2
ax  bx  c  0 , ax  bx  c  0 lub ax  bx  c  0
gdzie a , b , c  R oraz a  0 .
SPIS TREŚCI

7. Równania i nierówności kwadratowe z parametrem.
Przykład

Zbadajmy liczbę rozwiązań równania:

m

2

 1  x   m  1  x  1  0
2

z parametrem m . Narysujmy wykres funkcji y  g (m ) ,
która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje
liczbę rozwiązań powyższego równania. Rozważmy dwa
przypadki.
Przypadek 1.
m  1  0  m  1m  1  0  m  1  0  m  1  0 
2

 m  1  m  1
C.D.

Jeśli m  1 lub m   1 , to współczynnik przy x 2 jest równy
zeru. Wówczas równanie jest liniowe. Dla m  1
otrzymujemy równanie liniowe 2 x  1  0 , które ma jedno
rozwiązanie. Dla m   1 otrzymujemy równanie liniowe
sprzeczne.

Przypadek 2.

Jeśli m  R   1,1 , to rozważane równanie jest
równaniem kwadratowym i liczba jego rozwiązań zależy od
 . Obliczmy  . Otrzymujemy:
   m  1   4 m  1   1   m  1  m  1   4  m  1  m  1  
2

2

  m  1   3 m  5 

C.D.

Zatem:
• Równanie ma jedno rozwiązanie 

   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2

  m   1  m  1   m  R   1,1  m  1
3
3

• Równanie ma dwa różne rozwiązania 
   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2


 m    1,1   m  R   1,1  m    1,1    1,1 
3
3


• Równanie nie ma rozwiązań 
   0  m  R   1,1 
 2

 m     ,  1    1 ,    m  R   1,1 
 3

 2

 m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Podsumujmy otrzymane wyniki:
Równanie kwadratowe,
dwa rozwiązania

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

-1

1

1

2

m

3

Równanie liniowe, nie
ma rozwiązań

Równanie liniowe,
jedno rozwiązanie

Równanie liniowe, jedno
rozwiązanie

Rysunek pokazuje, że rozpatrzyliśmy wszystkie wartości m
mR

C.D.

Nasze rozważania możemy zapisać krótko w następujący
sposób:

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

a) ma dwa rozwiązania wtedy, gdy

2

m    1,1    1,1 
3


b) ma jedno rozwiązanie wtedy, gry

 2
m   1,1 
 3

c) nie ma rozwiązań wtedy, gdy

 2

m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Stąd wzór szukanej funkcji y  g  m  , która każdej liczbie
rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę rozwiązań
równania :

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

ma postać:

2


g m    1


0


dla
dla
dla

2

m    1,1    1,1 
3

 2
m  1,1 
 3

 2

m     ,  1   1 ,  
 3


C.D.

Wykres funkcji g:

y

y  g (m )

1
1

1 12 2

m

3

SPIS TREŚCI


Slide 22

FUNKCJA
KWADRATOWA
Autorzy:
Kamil Tutro
Paweł Ochałek

Kamil Krajewski
Andrzej Ogorzałek

Uczniowie klasy 2d LO Kołaczyce

1. Jednomian stopnia drugiego.
2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
4. Wzory Viete’a.

5. Równania kwadratowe.
6. Nierówności kwadratowe.
7. Równania i nierówności kwadratowe z
parametrem.

1. Jednomianem stopnia drugiego.
nazywamy funkcję:

y  ax

2

gdzie x  R , natomiast a jest stałą liczbą rzeczywistą
różną od zera.
Przykładowe wykresy:
y

y

a0
x

a 0
x
C.D.

Własności funkcji
1. D f  R , ZW

f

y  ax

2

x R

a 0

 0 ,  )

2. Funkcja ma jedno miejsce zerowe

x0

3. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla
x  (  , 0 )  ( 0 ,  ) .Nie przyjmuje wartości ujemnych.

4. Funkcja:
Jest malejąca w zbiorze ( , 0 )
Jest rosnąca w zbiorze

( 0 ,  )

5. Funkcja jest parzysta (sprawdź !!!).
6. Funkcja nie jest różnowartościowa.

C.D.

7. Funkcja osiąga najmniejszą wartość równą 0, dla
argumentu 0. Nie przyjmuje wartości największej.
Zbiór wartości funkcji jest ograniczony z dołu; nie jest
ograniczony z góry.

SPIS TREŚCI

2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
Nazywamy funkcję

y  ax  bx  c
2

gdzie a , b , c  R oraz a  0 , x  R , nazywamy funkcją
kwadratową (trójmianem kwadratowym) w postaci
ogólnej.
Def.

Funkcję y  a ( x  p )  q , a  0 , x  R
2

, nazywamy
funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) w
postaci kanonicznej.

gdzie
p

b
2a

b  4 ac
2

q

4a
C.D.

Tw.

Wykres funkcji y  a ( x  p )  q , a  0 , powstaje w wyniku
2
y

ax
, a  0, x  R
przesunięcia równoległego jednomianu
o wektor v  [ p , q ].
2

Tw.

Funkcję kwadratową postaci ogólnej:
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  a(x  p)  q
2

C.D.

Dowód

Ponieważ a  0 , więc mamy:
2
2 

b
b
b




2
2
y  ax  bx  c  a  x  x   c  a   x 
c
 
2 
a 
2a 
4 a 

 
2

2

2

2

2

b 
b
b 
b
b 



 a x 
 c  a x 
 c  a x 
 a
 
 
2
2a 
4a
2a 
4a
2a 




b
4 ac
 

4a
 4a
2

2

2

b
b
 4 ac


  a x 
 

2a 
4a



Stąd:
p

b

b  4 ac
2

q

2a

4a

Co kończy dowód twierdzenia.
C.D.

2
UWAGA: dla funkcji kwadratowej y  ax  bx  c , a  0
2
liczbę b  4 ac
oznaczamy symbolem  (delta) i
nazywamy ją wyróżnikiem trójmianu kwadratowego.

y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

Mamy więc:
  b  4 ac
2

Wniosek

Funkcję kwadratową w postacie ogólnej
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  ax  p   q
2

C.D.

gdzie
p

b

q



2a

4a

Wniosek

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

ma współrzędne
xw  

b
2a

yw 


4a

SPIS TREŚCI

3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
Liczba miejsc zerowych trójmianu kwadratowego
y  ax  bx  c , a  0
2

jest równa liczbie punktów wspólnych wykresu tej funkcji i
osi OX.

Niech a będzie liczbą dodatni. Wówczas są trzy możliwe
przypadki.

( p, q)

x

( p, q)

x

x
( p, q)

C.D.

Zauważmy, że trójmian nie ma miejsc zerowych
(przypadek 1) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
Ale q 



.

4a

Mamy więc:
q0 ia0



 0 i a  0     0 i a  0    0 ia  0 

4a

Trójmian kwadratowy ma tylko jedno miejsce zerowe
(przypadek 2) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

Trójmian kwadratowy ma dwa różne miejsca zerowe
(przypadek 3) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

C.D.

Nasze rozważania prowadzą do następującego twierdzenia:
Dany jest trójmian y  ax  bx  c , a  0 . Wówczas:
2

1.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a  x  x1  x  x 2 , a  0

gdzie
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Liczby x1 , x 2 są miejscami zerowymi trójmianu.

C.D.

2.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a x  x0  , a  0
2

gdzie
x0 

b
2a

Liczba x 0 jest (podwójnym) miejscem zerowym trójmianu.
3.   0 Wtedy i tylko wtedy, gdy trójmianu nie można
przedstawić w postaci iloczynowej. Trójmian nie ma miejsc
zerowych.

SPIS TREŚCI

4. Wzory Viete’a.
Wiesz, że trójmian kwadratowy y  ax  bx  c , a  0
ma miejsca zerowe tylko wtedy, gdy   0 . Jeśli   0 , b
to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe x 0  
jeśli natomiast   0 , to funkcja kwadratowa ma dwa 2 a
2

różne miejsca zerowe:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Załóżmy, że   0 , a następnie obliczmy sumę i iloczyn
miejsc zerowych trójmianu kwadratowego. Obliczenia
przeprowadzimy w następujący sposób:

C.D.

b

x1  x 2 



b



2a





b

2a

 b





 b 



4a

2

 b  b  4 ac
2



 

2

b 
2



4a

2

4a

2



2

4 ac
4a

2

2





b  b  4 ac
2

4a





2a

b   b  
b




x1  x 2 






2a
2a

 

2



2



  b
4a

2

 2b
 2a





b
a





c
a
C.D.

Twierdzenie Viete’a
Jeśli x1 , x 2 są różnymi miejscami zerowymi trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to zachodzą związki:
x1  x 2  

b
a

x1  x 2 

c
a

Jeśli x 0 jest jednym miejscem
zerowym trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to:

2 x0  

b
a

2

x0 

c
a

SPIS TREŚCI

5. Równania kwadratowe.
Def.

Równanie ax  bx  c  0 , gdzie a , b , c  R i a  0 ,
2

nazywamy równaniem kwadratowym.
W zależności od wartości współczynników a , b , c równania
2
y

ax
 bx  c , a  0 , dzielimy na zupełne i
kwadratowe
niezupełne. Równania kwadratowe zupełne to takie, w
których wszystkie współczynniki a , b , c są różne od zera,
np. równania:
x  2x 1  0
2

3x  5x  7  0
2

 0 ,5 x  9 x  11  0
2

Równanie kwadratowe niezupełne to takie, w których
współczynnik a  0 , ale przynajmniej jeden ze
współczynników b, c jest zerem, np. równania:
3x  x  0
2

5x  1  0
2

 1, 2 x  0
2

C.D.

Wniosek
2
Równanie kwadratowe ax  bx  c  0 , gdzie a  0 :

1) nie ma rozwiązań, jeśli   0

2) ma jedno rozwiązanie, jeśli   0 ; rozwiązanie ma
postać :
x0  

b
2a

3) ma dwa różne rozwiązania, jeśli   0 ; w tej sytuacji te
rozwiązania mają postać:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

SPIS TREŚCI

6. Nierówności kwadratowe.
Przykład

Wyznaczmy dwie liczby naturalne różniące się 1, których
iloczyn jest mniejszy od potrojonej liczby mniejszej.
Niech x oznacza liczbę mniejszą, natomiast x  1 -liczbę
większą, x  N . Iloczyn liczb opisuje wyrażenie x  x  1  ,
a potrojoną liczbę mniejszą – wyrażenie 3 x . Z treści
zadania wynika, że
x  x  1  3 x  x  N  x  x  3 x  x  N 
2

 x  2 x  0  x  N  xx  2  0  x  N
2

C.D.

Iloczyn liczb x oraz x  2 jest ujemny tylko wtedy, gdy liczby
te są przeciwnych znaków. Na tej podstawie stwierdzimy, że:
 x  0


  x  2  0

 x0 
  x  N  x  0 , 2   x  N  x  1

 x  2  0 

Szukana liczba to 1.

Sprawdzimy. Iloczyn liczb wynosi 2, potrojona zaś liczba
mniejsza to 3. Zachodzi zatem nierówność, bo 2 < 3.
Def.

Nierównością kwadratową nazywamy każdą z nierówności:
2
2
2
ax  bx  c  0 , ax  bx  c  0 lub ax  bx  c  0
gdzie a , b , c  R oraz a  0 .
SPIS TREŚCI

7. Równania i nierówności kwadratowe z parametrem.
Przykład

Zbadajmy liczbę rozwiązań równania:

m

2

 1  x   m  1  x  1  0
2

z parametrem m . Narysujmy wykres funkcji y  g (m ) ,
która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje
liczbę rozwiązań powyższego równania. Rozważmy dwa
przypadki.
Przypadek 1.
m  1  0  m  1m  1  0  m  1  0  m  1  0 
2

 m  1  m  1
C.D.

Jeśli m  1 lub m   1 , to współczynnik przy x 2 jest równy
zeru. Wówczas równanie jest liniowe. Dla m  1
otrzymujemy równanie liniowe 2 x  1  0 , które ma jedno
rozwiązanie. Dla m   1 otrzymujemy równanie liniowe
sprzeczne.

Przypadek 2.

Jeśli m  R   1,1 , to rozważane równanie jest
równaniem kwadratowym i liczba jego rozwiązań zależy od
 . Obliczmy  . Otrzymujemy:
   m  1   4 m  1   1   m  1  m  1   4  m  1  m  1  
2

2

  m  1   3 m  5 

C.D.

Zatem:
• Równanie ma jedno rozwiązanie 

   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2

  m   1  m  1   m  R   1,1  m  1
3
3

• Równanie ma dwa różne rozwiązania 
   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2


 m    1,1   m  R   1,1  m    1,1    1,1 
3
3


• Równanie nie ma rozwiązań 
   0  m  R   1,1 
 2

 m     ,  1    1 ,    m  R   1,1 
 3

 2

 m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Podsumujmy otrzymane wyniki:
Równanie kwadratowe,
dwa rozwiązania

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

-1

1

1

2

m

3

Równanie liniowe, nie
ma rozwiązań

Równanie liniowe,
jedno rozwiązanie

Równanie liniowe, jedno
rozwiązanie

Rysunek pokazuje, że rozpatrzyliśmy wszystkie wartości m
mR

C.D.

Nasze rozważania możemy zapisać krótko w następujący
sposób:

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

a) ma dwa rozwiązania wtedy, gdy

2

m    1,1    1,1 
3


b) ma jedno rozwiązanie wtedy, gry

 2
m   1,1 
 3

c) nie ma rozwiązań wtedy, gdy

 2

m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Stąd wzór szukanej funkcji y  g  m  , która każdej liczbie
rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę rozwiązań
równania :

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

ma postać:

2


g m    1


0


dla
dla
dla

2

m    1,1    1,1 
3

 2
m  1,1 
 3

 2

m     ,  1   1 ,  
 3


C.D.

Wykres funkcji g:

y

y  g (m )

1
1

1 12 2

m

3

SPIS TREŚCI


Slide 23

FUNKCJA
KWADRATOWA
Autorzy:
Kamil Tutro
Paweł Ochałek

Kamil Krajewski
Andrzej Ogorzałek

Uczniowie klasy 2d LO Kołaczyce

1. Jednomian stopnia drugiego.
2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
4. Wzory Viete’a.

5. Równania kwadratowe.
6. Nierówności kwadratowe.
7. Równania i nierówności kwadratowe z
parametrem.

1. Jednomianem stopnia drugiego.
nazywamy funkcję:

y  ax

2

gdzie x  R , natomiast a jest stałą liczbą rzeczywistą
różną od zera.
Przykładowe wykresy:
y

y

a0
x

a 0
x
C.D.

Własności funkcji
1. D f  R , ZW

f

y  ax

2

x R

a 0

 0 ,  )

2. Funkcja ma jedno miejsce zerowe

x0

3. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla
x  (  , 0 )  ( 0 ,  ) .Nie przyjmuje wartości ujemnych.

4. Funkcja:
Jest malejąca w zbiorze ( , 0 )
Jest rosnąca w zbiorze

( 0 ,  )

5. Funkcja jest parzysta (sprawdź !!!).
6. Funkcja nie jest różnowartościowa.

C.D.

7. Funkcja osiąga najmniejszą wartość równą 0, dla
argumentu 0. Nie przyjmuje wartości największej.
Zbiór wartości funkcji jest ograniczony z dołu; nie jest
ograniczony z góry.

SPIS TREŚCI

2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
Nazywamy funkcję

y  ax  bx  c
2

gdzie a , b , c  R oraz a  0 , x  R , nazywamy funkcją
kwadratową (trójmianem kwadratowym) w postaci
ogólnej.
Def.

Funkcję y  a ( x  p )  q , a  0 , x  R
2

, nazywamy
funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) w
postaci kanonicznej.

gdzie
p

b
2a

b  4 ac
2

q

4a
C.D.

Tw.

Wykres funkcji y  a ( x  p )  q , a  0 , powstaje w wyniku
2
y

ax
, a  0, x  R
przesunięcia równoległego jednomianu
o wektor v  [ p , q ].
2

Tw.

Funkcję kwadratową postaci ogólnej:
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  a(x  p)  q
2

C.D.

Dowód

Ponieważ a  0 , więc mamy:
2
2 

b
b
b




2
2
y  ax  bx  c  a  x  x   c  a   x 
c
 
2 
a 
2a 
4 a 

 
2

2

2

2

2

b 
b
b 
b
b 



 a x 
 c  a x 
 c  a x 
 a
 
 
2
2a 
4a
2a 
4a
2a 




b
4 ac
 

4a
 4a
2

2

2

b
b
 4 ac


  a x 
 

2a 
4a



Stąd:
p

b

b  4 ac
2

q

2a

4a

Co kończy dowód twierdzenia.
C.D.

2
UWAGA: dla funkcji kwadratowej y  ax  bx  c , a  0
2
liczbę b  4 ac
oznaczamy symbolem  (delta) i
nazywamy ją wyróżnikiem trójmianu kwadratowego.

y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

Mamy więc:
  b  4 ac
2

Wniosek

Funkcję kwadratową w postacie ogólnej
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  ax  p   q
2

C.D.

gdzie
p

b

q



2a

4a

Wniosek

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

ma współrzędne
xw  

b
2a

yw 


4a

SPIS TREŚCI

3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
Liczba miejsc zerowych trójmianu kwadratowego
y  ax  bx  c , a  0
2

jest równa liczbie punktów wspólnych wykresu tej funkcji i
osi OX.

Niech a będzie liczbą dodatni. Wówczas są trzy możliwe
przypadki.

( p, q)

x

( p, q)

x

x
( p, q)

C.D.

Zauważmy, że trójmian nie ma miejsc zerowych
(przypadek 1) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
Ale q 



.

4a

Mamy więc:
q0 ia0



 0 i a  0     0 i a  0    0 ia  0 

4a

Trójmian kwadratowy ma tylko jedno miejsce zerowe
(przypadek 2) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

Trójmian kwadratowy ma dwa różne miejsca zerowe
(przypadek 3) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

C.D.

Nasze rozważania prowadzą do następującego twierdzenia:
Dany jest trójmian y  ax  bx  c , a  0 . Wówczas:
2

1.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a  x  x1  x  x 2 , a  0

gdzie
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Liczby x1 , x 2 są miejscami zerowymi trójmianu.

C.D.

2.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a x  x0  , a  0
2

gdzie
x0 

b
2a

Liczba x 0 jest (podwójnym) miejscem zerowym trójmianu.
3.   0 Wtedy i tylko wtedy, gdy trójmianu nie można
przedstawić w postaci iloczynowej. Trójmian nie ma miejsc
zerowych.

SPIS TREŚCI

4. Wzory Viete’a.
Wiesz, że trójmian kwadratowy y  ax  bx  c , a  0
ma miejsca zerowe tylko wtedy, gdy   0 . Jeśli   0 , b
to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe x 0  
jeśli natomiast   0 , to funkcja kwadratowa ma dwa 2 a
2

różne miejsca zerowe:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Załóżmy, że   0 , a następnie obliczmy sumę i iloczyn
miejsc zerowych trójmianu kwadratowego. Obliczenia
przeprowadzimy w następujący sposób:

C.D.

b

x1  x 2 



b



2a





b

2a

 b





 b 



4a

2

 b  b  4 ac
2



 

2

b 
2



4a

2

4a

2



2

4 ac
4a

2

2





b  b  4 ac
2

4a





2a

b   b  
b




x1  x 2 






2a
2a

 

2



2



  b
4a

2

 2b
 2a





b
a





c
a
C.D.

Twierdzenie Viete’a
Jeśli x1 , x 2 są różnymi miejscami zerowymi trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to zachodzą związki:
x1  x 2  

b
a

x1  x 2 

c
a

Jeśli x 0 jest jednym miejscem
zerowym trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to:

2 x0  

b
a

2

x0 

c
a

SPIS TREŚCI

5. Równania kwadratowe.
Def.

Równanie ax  bx  c  0 , gdzie a , b , c  R i a  0 ,
2

nazywamy równaniem kwadratowym.
W zależności od wartości współczynników a , b , c równania
2
y

ax
 bx  c , a  0 , dzielimy na zupełne i
kwadratowe
niezupełne. Równania kwadratowe zupełne to takie, w
których wszystkie współczynniki a , b , c są różne od zera,
np. równania:
x  2x 1  0
2

3x  5x  7  0
2

 0 ,5 x  9 x  11  0
2

Równanie kwadratowe niezupełne to takie, w których
współczynnik a  0 , ale przynajmniej jeden ze
współczynników b, c jest zerem, np. równania:
3x  x  0
2

5x  1  0
2

 1, 2 x  0
2

C.D.

Wniosek
2
Równanie kwadratowe ax  bx  c  0 , gdzie a  0 :

1) nie ma rozwiązań, jeśli   0

2) ma jedno rozwiązanie, jeśli   0 ; rozwiązanie ma
postać :
x0  

b
2a

3) ma dwa różne rozwiązania, jeśli   0 ; w tej sytuacji te
rozwiązania mają postać:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

SPIS TREŚCI

6. Nierówności kwadratowe.
Przykład

Wyznaczmy dwie liczby naturalne różniące się 1, których
iloczyn jest mniejszy od potrojonej liczby mniejszej.
Niech x oznacza liczbę mniejszą, natomiast x  1 -liczbę
większą, x  N . Iloczyn liczb opisuje wyrażenie x  x  1  ,
a potrojoną liczbę mniejszą – wyrażenie 3 x . Z treści
zadania wynika, że
x  x  1  3 x  x  N  x  x  3 x  x  N 
2

 x  2 x  0  x  N  xx  2  0  x  N
2

C.D.

Iloczyn liczb x oraz x  2 jest ujemny tylko wtedy, gdy liczby
te są przeciwnych znaków. Na tej podstawie stwierdzimy, że:
 x  0


  x  2  0

 x0 
  x  N  x  0 , 2   x  N  x  1

 x  2  0 

Szukana liczba to 1.

Sprawdzimy. Iloczyn liczb wynosi 2, potrojona zaś liczba
mniejsza to 3. Zachodzi zatem nierówność, bo 2 < 3.
Def.

Nierównością kwadratową nazywamy każdą z nierówności:
2
2
2
ax  bx  c  0 , ax  bx  c  0 lub ax  bx  c  0
gdzie a , b , c  R oraz a  0 .
SPIS TREŚCI

7. Równania i nierówności kwadratowe z parametrem.
Przykład

Zbadajmy liczbę rozwiązań równania:

m

2

 1  x   m  1  x  1  0
2

z parametrem m . Narysujmy wykres funkcji y  g (m ) ,
która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje
liczbę rozwiązań powyższego równania. Rozważmy dwa
przypadki.
Przypadek 1.
m  1  0  m  1m  1  0  m  1  0  m  1  0 
2

 m  1  m  1
C.D.

Jeśli m  1 lub m   1 , to współczynnik przy x 2 jest równy
zeru. Wówczas równanie jest liniowe. Dla m  1
otrzymujemy równanie liniowe 2 x  1  0 , które ma jedno
rozwiązanie. Dla m   1 otrzymujemy równanie liniowe
sprzeczne.

Przypadek 2.

Jeśli m  R   1,1 , to rozważane równanie jest
równaniem kwadratowym i liczba jego rozwiązań zależy od
 . Obliczmy  . Otrzymujemy:
   m  1   4 m  1   1   m  1  m  1   4  m  1  m  1  
2

2

  m  1   3 m  5 

C.D.

Zatem:
• Równanie ma jedno rozwiązanie 

   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2

  m   1  m  1   m  R   1,1  m  1
3
3

• Równanie ma dwa różne rozwiązania 
   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2


 m    1,1   m  R   1,1  m    1,1    1,1 
3
3


• Równanie nie ma rozwiązań 
   0  m  R   1,1 
 2

 m     ,  1    1 ,    m  R   1,1 
 3

 2

 m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Podsumujmy otrzymane wyniki:
Równanie kwadratowe,
dwa rozwiązania

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

-1

1

1

2

m

3

Równanie liniowe, nie
ma rozwiązań

Równanie liniowe,
jedno rozwiązanie

Równanie liniowe, jedno
rozwiązanie

Rysunek pokazuje, że rozpatrzyliśmy wszystkie wartości m
mR

C.D.

Nasze rozważania możemy zapisać krótko w następujący
sposób:

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

a) ma dwa rozwiązania wtedy, gdy

2

m    1,1    1,1 
3


b) ma jedno rozwiązanie wtedy, gry

 2
m   1,1 
 3

c) nie ma rozwiązań wtedy, gdy

 2

m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Stąd wzór szukanej funkcji y  g  m  , która każdej liczbie
rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę rozwiązań
równania :

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

ma postać:

2


g m    1


0


dla
dla
dla

2

m    1,1    1,1 
3

 2
m  1,1 
 3

 2

m     ,  1   1 ,  
 3


C.D.

Wykres funkcji g:

y

y  g (m )

1
1

1 12 2

m

3

SPIS TREŚCI


Slide 24

FUNKCJA
KWADRATOWA
Autorzy:
Kamil Tutro
Paweł Ochałek

Kamil Krajewski
Andrzej Ogorzałek

Uczniowie klasy 2d LO Kołaczyce

1. Jednomian stopnia drugiego.
2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
4. Wzory Viete’a.

5. Równania kwadratowe.
6. Nierówności kwadratowe.
7. Równania i nierówności kwadratowe z
parametrem.

1. Jednomianem stopnia drugiego.
nazywamy funkcję:

y  ax

2

gdzie x  R , natomiast a jest stałą liczbą rzeczywistą
różną od zera.
Przykładowe wykresy:
y

y

a0
x

a 0
x
C.D.

Własności funkcji
1. D f  R , ZW

f

y  ax

2

x R

a 0

 0 ,  )

2. Funkcja ma jedno miejsce zerowe

x0

3. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla
x  (  , 0 )  ( 0 ,  ) .Nie przyjmuje wartości ujemnych.

4. Funkcja:
Jest malejąca w zbiorze ( , 0 )
Jest rosnąca w zbiorze

( 0 ,  )

5. Funkcja jest parzysta (sprawdź !!!).
6. Funkcja nie jest różnowartościowa.

C.D.

7. Funkcja osiąga najmniejszą wartość równą 0, dla
argumentu 0. Nie przyjmuje wartości największej.
Zbiór wartości funkcji jest ograniczony z dołu; nie jest
ograniczony z góry.

SPIS TREŚCI

2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
Nazywamy funkcję

y  ax  bx  c
2

gdzie a , b , c  R oraz a  0 , x  R , nazywamy funkcją
kwadratową (trójmianem kwadratowym) w postaci
ogólnej.
Def.

Funkcję y  a ( x  p )  q , a  0 , x  R
2

, nazywamy
funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) w
postaci kanonicznej.

gdzie
p

b
2a

b  4 ac
2

q

4a
C.D.

Tw.

Wykres funkcji y  a ( x  p )  q , a  0 , powstaje w wyniku
2
y

ax
, a  0, x  R
przesunięcia równoległego jednomianu
o wektor v  [ p , q ].
2

Tw.

Funkcję kwadratową postaci ogólnej:
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  a(x  p)  q
2

C.D.

Dowód

Ponieważ a  0 , więc mamy:
2
2 

b
b
b




2
2
y  ax  bx  c  a  x  x   c  a   x 
c
 
2 
a 
2a 
4 a 

 
2

2

2

2

2

b 
b
b 
b
b 



 a x 
 c  a x 
 c  a x 
 a
 
 
2
2a 
4a
2a 
4a
2a 




b
4 ac
 

4a
 4a
2

2

2

b
b
 4 ac


  a x 
 

2a 
4a



Stąd:
p

b

b  4 ac
2

q

2a

4a

Co kończy dowód twierdzenia.
C.D.

2
UWAGA: dla funkcji kwadratowej y  ax  bx  c , a  0
2
liczbę b  4 ac
oznaczamy symbolem  (delta) i
nazywamy ją wyróżnikiem trójmianu kwadratowego.

y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

Mamy więc:
  b  4 ac
2

Wniosek

Funkcję kwadratową w postacie ogólnej
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  ax  p   q
2

C.D.

gdzie
p

b

q



2a

4a

Wniosek

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

ma współrzędne
xw  

b
2a

yw 


4a

SPIS TREŚCI

3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
Liczba miejsc zerowych trójmianu kwadratowego
y  ax  bx  c , a  0
2

jest równa liczbie punktów wspólnych wykresu tej funkcji i
osi OX.

Niech a będzie liczbą dodatni. Wówczas są trzy możliwe
przypadki.

( p, q)

x

( p, q)

x

x
( p, q)

C.D.

Zauważmy, że trójmian nie ma miejsc zerowych
(przypadek 1) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
Ale q 



.

4a

Mamy więc:
q0 ia0



 0 i a  0     0 i a  0    0 ia  0 

4a

Trójmian kwadratowy ma tylko jedno miejsce zerowe
(przypadek 2) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

Trójmian kwadratowy ma dwa różne miejsca zerowe
(przypadek 3) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

C.D.

Nasze rozważania prowadzą do następującego twierdzenia:
Dany jest trójmian y  ax  bx  c , a  0 . Wówczas:
2

1.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a  x  x1  x  x 2 , a  0

gdzie
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Liczby x1 , x 2 są miejscami zerowymi trójmianu.

C.D.

2.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a x  x0  , a  0
2

gdzie
x0 

b
2a

Liczba x 0 jest (podwójnym) miejscem zerowym trójmianu.
3.   0 Wtedy i tylko wtedy, gdy trójmianu nie można
przedstawić w postaci iloczynowej. Trójmian nie ma miejsc
zerowych.

SPIS TREŚCI

4. Wzory Viete’a.
Wiesz, że trójmian kwadratowy y  ax  bx  c , a  0
ma miejsca zerowe tylko wtedy, gdy   0 . Jeśli   0 , b
to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe x 0  
jeśli natomiast   0 , to funkcja kwadratowa ma dwa 2 a
2

różne miejsca zerowe:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Załóżmy, że   0 , a następnie obliczmy sumę i iloczyn
miejsc zerowych trójmianu kwadratowego. Obliczenia
przeprowadzimy w następujący sposób:

C.D.

b

x1  x 2 



b



2a





b

2a

 b





 b 



4a

2

 b  b  4 ac
2



 

2

b 
2



4a

2

4a

2



2

4 ac
4a

2

2





b  b  4 ac
2

4a





2a

b   b  
b




x1  x 2 






2a
2a

 

2



2



  b
4a

2

 2b
 2a





b
a





c
a
C.D.

Twierdzenie Viete’a
Jeśli x1 , x 2 są różnymi miejscami zerowymi trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to zachodzą związki:
x1  x 2  

b
a

x1  x 2 

c
a

Jeśli x 0 jest jednym miejscem
zerowym trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to:

2 x0  

b
a

2

x0 

c
a

SPIS TREŚCI

5. Równania kwadratowe.
Def.

Równanie ax  bx  c  0 , gdzie a , b , c  R i a  0 ,
2

nazywamy równaniem kwadratowym.
W zależności od wartości współczynników a , b , c równania
2
y

ax
 bx  c , a  0 , dzielimy na zupełne i
kwadratowe
niezupełne. Równania kwadratowe zupełne to takie, w
których wszystkie współczynniki a , b , c są różne od zera,
np. równania:
x  2x 1  0
2

3x  5x  7  0
2

 0 ,5 x  9 x  11  0
2

Równanie kwadratowe niezupełne to takie, w których
współczynnik a  0 , ale przynajmniej jeden ze
współczynników b, c jest zerem, np. równania:
3x  x  0
2

5x  1  0
2

 1, 2 x  0
2

C.D.

Wniosek
2
Równanie kwadratowe ax  bx  c  0 , gdzie a  0 :

1) nie ma rozwiązań, jeśli   0

2) ma jedno rozwiązanie, jeśli   0 ; rozwiązanie ma
postać :
x0  

b
2a

3) ma dwa różne rozwiązania, jeśli   0 ; w tej sytuacji te
rozwiązania mają postać:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

SPIS TREŚCI

6. Nierówności kwadratowe.
Przykład

Wyznaczmy dwie liczby naturalne różniące się 1, których
iloczyn jest mniejszy od potrojonej liczby mniejszej.
Niech x oznacza liczbę mniejszą, natomiast x  1 -liczbę
większą, x  N . Iloczyn liczb opisuje wyrażenie x  x  1  ,
a potrojoną liczbę mniejszą – wyrażenie 3 x . Z treści
zadania wynika, że
x  x  1  3 x  x  N  x  x  3 x  x  N 
2

 x  2 x  0  x  N  xx  2  0  x  N
2

C.D.

Iloczyn liczb x oraz x  2 jest ujemny tylko wtedy, gdy liczby
te są przeciwnych znaków. Na tej podstawie stwierdzimy, że:
 x  0


  x  2  0

 x0 
  x  N  x  0 , 2   x  N  x  1

 x  2  0 

Szukana liczba to 1.

Sprawdzimy. Iloczyn liczb wynosi 2, potrojona zaś liczba
mniejsza to 3. Zachodzi zatem nierówność, bo 2 < 3.
Def.

Nierównością kwadratową nazywamy każdą z nierówności:
2
2
2
ax  bx  c  0 , ax  bx  c  0 lub ax  bx  c  0
gdzie a , b , c  R oraz a  0 .
SPIS TREŚCI

7. Równania i nierówności kwadratowe z parametrem.
Przykład

Zbadajmy liczbę rozwiązań równania:

m

2

 1  x   m  1  x  1  0
2

z parametrem m . Narysujmy wykres funkcji y  g (m ) ,
która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje
liczbę rozwiązań powyższego równania. Rozważmy dwa
przypadki.
Przypadek 1.
m  1  0  m  1m  1  0  m  1  0  m  1  0 
2

 m  1  m  1
C.D.

Jeśli m  1 lub m   1 , to współczynnik przy x 2 jest równy
zeru. Wówczas równanie jest liniowe. Dla m  1
otrzymujemy równanie liniowe 2 x  1  0 , które ma jedno
rozwiązanie. Dla m   1 otrzymujemy równanie liniowe
sprzeczne.

Przypadek 2.

Jeśli m  R   1,1 , to rozważane równanie jest
równaniem kwadratowym i liczba jego rozwiązań zależy od
 . Obliczmy  . Otrzymujemy:
   m  1   4 m  1   1   m  1  m  1   4  m  1  m  1  
2

2

  m  1   3 m  5 

C.D.

Zatem:
• Równanie ma jedno rozwiązanie 

   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2

  m   1  m  1   m  R   1,1  m  1
3
3

• Równanie ma dwa różne rozwiązania 
   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2


 m    1,1   m  R   1,1  m    1,1    1,1 
3
3


• Równanie nie ma rozwiązań 
   0  m  R   1,1 
 2

 m     ,  1    1 ,    m  R   1,1 
 3

 2

 m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Podsumujmy otrzymane wyniki:
Równanie kwadratowe,
dwa rozwiązania

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

-1

1

1

2

m

3

Równanie liniowe, nie
ma rozwiązań

Równanie liniowe,
jedno rozwiązanie

Równanie liniowe, jedno
rozwiązanie

Rysunek pokazuje, że rozpatrzyliśmy wszystkie wartości m
mR

C.D.

Nasze rozważania możemy zapisać krótko w następujący
sposób:

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

a) ma dwa rozwiązania wtedy, gdy

2

m    1,1    1,1 
3


b) ma jedno rozwiązanie wtedy, gry

 2
m   1,1 
 3

c) nie ma rozwiązań wtedy, gdy

 2

m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Stąd wzór szukanej funkcji y  g  m  , która każdej liczbie
rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę rozwiązań
równania :

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

ma postać:

2


g m    1


0


dla
dla
dla

2

m    1,1    1,1 
3

 2
m  1,1 
 3

 2

m     ,  1   1 ,  
 3


C.D.

Wykres funkcji g:

y

y  g (m )

1
1

1 12 2

m

3

SPIS TREŚCI


Slide 25

FUNKCJA
KWADRATOWA
Autorzy:
Kamil Tutro
Paweł Ochałek

Kamil Krajewski
Andrzej Ogorzałek

Uczniowie klasy 2d LO Kołaczyce

1. Jednomian stopnia drugiego.
2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
4. Wzory Viete’a.

5. Równania kwadratowe.
6. Nierówności kwadratowe.
7. Równania i nierówności kwadratowe z
parametrem.

1. Jednomianem stopnia drugiego.
nazywamy funkcję:

y  ax

2

gdzie x  R , natomiast a jest stałą liczbą rzeczywistą
różną od zera.
Przykładowe wykresy:
y

y

a0
x

a 0
x
C.D.

Własności funkcji
1. D f  R , ZW

f

y  ax

2

x R

a 0

 0 ,  )

2. Funkcja ma jedno miejsce zerowe

x0

3. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla
x  (  , 0 )  ( 0 ,  ) .Nie przyjmuje wartości ujemnych.

4. Funkcja:
Jest malejąca w zbiorze ( , 0 )
Jest rosnąca w zbiorze

( 0 ,  )

5. Funkcja jest parzysta (sprawdź !!!).
6. Funkcja nie jest różnowartościowa.

C.D.

7. Funkcja osiąga najmniejszą wartość równą 0, dla
argumentu 0. Nie przyjmuje wartości największej.
Zbiór wartości funkcji jest ograniczony z dołu; nie jest
ograniczony z góry.

SPIS TREŚCI

2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
Nazywamy funkcję

y  ax  bx  c
2

gdzie a , b , c  R oraz a  0 , x  R , nazywamy funkcją
kwadratową (trójmianem kwadratowym) w postaci
ogólnej.
Def.

Funkcję y  a ( x  p )  q , a  0 , x  R
2

, nazywamy
funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) w
postaci kanonicznej.

gdzie
p

b
2a

b  4 ac
2

q

4a
C.D.

Tw.

Wykres funkcji y  a ( x  p )  q , a  0 , powstaje w wyniku
2
y

ax
, a  0, x  R
przesunięcia równoległego jednomianu
o wektor v  [ p , q ].
2

Tw.

Funkcję kwadratową postaci ogólnej:
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  a(x  p)  q
2

C.D.

Dowód

Ponieważ a  0 , więc mamy:
2
2 

b
b
b




2
2
y  ax  bx  c  a  x  x   c  a   x 
c
 
2 
a 
2a 
4 a 

 
2

2

2

2

2

b 
b
b 
b
b 



 a x 
 c  a x 
 c  a x 
 a
 
 
2
2a 
4a
2a 
4a
2a 




b
4 ac
 

4a
 4a
2

2

2

b
b
 4 ac


  a x 
 

2a 
4a



Stąd:
p

b

b  4 ac
2

q

2a

4a

Co kończy dowód twierdzenia.
C.D.

2
UWAGA: dla funkcji kwadratowej y  ax  bx  c , a  0
2
liczbę b  4 ac
oznaczamy symbolem  (delta) i
nazywamy ją wyróżnikiem trójmianu kwadratowego.

y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

Mamy więc:
  b  4 ac
2

Wniosek

Funkcję kwadratową w postacie ogólnej
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  ax  p   q
2

C.D.

gdzie
p

b

q



2a

4a

Wniosek

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

ma współrzędne
xw  

b
2a

yw 


4a

SPIS TREŚCI

3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
Liczba miejsc zerowych trójmianu kwadratowego
y  ax  bx  c , a  0
2

jest równa liczbie punktów wspólnych wykresu tej funkcji i
osi OX.

Niech a będzie liczbą dodatni. Wówczas są trzy możliwe
przypadki.

( p, q)

x

( p, q)

x

x
( p, q)

C.D.

Zauważmy, że trójmian nie ma miejsc zerowych
(przypadek 1) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
Ale q 



.

4a

Mamy więc:
q0 ia0



 0 i a  0     0 i a  0    0 ia  0 

4a

Trójmian kwadratowy ma tylko jedno miejsce zerowe
(przypadek 2) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

Trójmian kwadratowy ma dwa różne miejsca zerowe
(przypadek 3) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

C.D.

Nasze rozważania prowadzą do następującego twierdzenia:
Dany jest trójmian y  ax  bx  c , a  0 . Wówczas:
2

1.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a  x  x1  x  x 2 , a  0

gdzie
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Liczby x1 , x 2 są miejscami zerowymi trójmianu.

C.D.

2.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a x  x0  , a  0
2

gdzie
x0 

b
2a

Liczba x 0 jest (podwójnym) miejscem zerowym trójmianu.
3.   0 Wtedy i tylko wtedy, gdy trójmianu nie można
przedstawić w postaci iloczynowej. Trójmian nie ma miejsc
zerowych.

SPIS TREŚCI

4. Wzory Viete’a.
Wiesz, że trójmian kwadratowy y  ax  bx  c , a  0
ma miejsca zerowe tylko wtedy, gdy   0 . Jeśli   0 , b
to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe x 0  
jeśli natomiast   0 , to funkcja kwadratowa ma dwa 2 a
2

różne miejsca zerowe:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Załóżmy, że   0 , a następnie obliczmy sumę i iloczyn
miejsc zerowych trójmianu kwadratowego. Obliczenia
przeprowadzimy w następujący sposób:

C.D.

b

x1  x 2 



b



2a





b

2a

 b





 b 



4a

2

 b  b  4 ac
2



 

2

b 
2



4a

2

4a

2



2

4 ac
4a

2

2





b  b  4 ac
2

4a





2a

b   b  
b




x1  x 2 






2a
2a

 

2



2



  b
4a

2

 2b
 2a





b
a





c
a
C.D.

Twierdzenie Viete’a
Jeśli x1 , x 2 są różnymi miejscami zerowymi trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to zachodzą związki:
x1  x 2  

b
a

x1  x 2 

c
a

Jeśli x 0 jest jednym miejscem
zerowym trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to:

2 x0  

b
a

2

x0 

c
a

SPIS TREŚCI

5. Równania kwadratowe.
Def.

Równanie ax  bx  c  0 , gdzie a , b , c  R i a  0 ,
2

nazywamy równaniem kwadratowym.
W zależności od wartości współczynników a , b , c równania
2
y

ax
 bx  c , a  0 , dzielimy na zupełne i
kwadratowe
niezupełne. Równania kwadratowe zupełne to takie, w
których wszystkie współczynniki a , b , c są różne od zera,
np. równania:
x  2x 1  0
2

3x  5x  7  0
2

 0 ,5 x  9 x  11  0
2

Równanie kwadratowe niezupełne to takie, w których
współczynnik a  0 , ale przynajmniej jeden ze
współczynników b, c jest zerem, np. równania:
3x  x  0
2

5x  1  0
2

 1, 2 x  0
2

C.D.

Wniosek
2
Równanie kwadratowe ax  bx  c  0 , gdzie a  0 :

1) nie ma rozwiązań, jeśli   0

2) ma jedno rozwiązanie, jeśli   0 ; rozwiązanie ma
postać :
x0  

b
2a

3) ma dwa różne rozwiązania, jeśli   0 ; w tej sytuacji te
rozwiązania mają postać:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

SPIS TREŚCI

6. Nierówności kwadratowe.
Przykład

Wyznaczmy dwie liczby naturalne różniące się 1, których
iloczyn jest mniejszy od potrojonej liczby mniejszej.
Niech x oznacza liczbę mniejszą, natomiast x  1 -liczbę
większą, x  N . Iloczyn liczb opisuje wyrażenie x  x  1  ,
a potrojoną liczbę mniejszą – wyrażenie 3 x . Z treści
zadania wynika, że
x  x  1  3 x  x  N  x  x  3 x  x  N 
2

 x  2 x  0  x  N  xx  2  0  x  N
2

C.D.

Iloczyn liczb x oraz x  2 jest ujemny tylko wtedy, gdy liczby
te są przeciwnych znaków. Na tej podstawie stwierdzimy, że:
 x  0


  x  2  0

 x0 
  x  N  x  0 , 2   x  N  x  1

 x  2  0 

Szukana liczba to 1.

Sprawdzimy. Iloczyn liczb wynosi 2, potrojona zaś liczba
mniejsza to 3. Zachodzi zatem nierówność, bo 2 < 3.
Def.

Nierównością kwadratową nazywamy każdą z nierówności:
2
2
2
ax  bx  c  0 , ax  bx  c  0 lub ax  bx  c  0
gdzie a , b , c  R oraz a  0 .
SPIS TREŚCI

7. Równania i nierówności kwadratowe z parametrem.
Przykład

Zbadajmy liczbę rozwiązań równania:

m

2

 1  x   m  1  x  1  0
2

z parametrem m . Narysujmy wykres funkcji y  g (m ) ,
która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje
liczbę rozwiązań powyższego równania. Rozważmy dwa
przypadki.
Przypadek 1.
m  1  0  m  1m  1  0  m  1  0  m  1  0 
2

 m  1  m  1
C.D.

Jeśli m  1 lub m   1 , to współczynnik przy x 2 jest równy
zeru. Wówczas równanie jest liniowe. Dla m  1
otrzymujemy równanie liniowe 2 x  1  0 , które ma jedno
rozwiązanie. Dla m   1 otrzymujemy równanie liniowe
sprzeczne.

Przypadek 2.

Jeśli m  R   1,1 , to rozważane równanie jest
równaniem kwadratowym i liczba jego rozwiązań zależy od
 . Obliczmy  . Otrzymujemy:
   m  1   4 m  1   1   m  1  m  1   4  m  1  m  1  
2

2

  m  1   3 m  5 

C.D.

Zatem:
• Równanie ma jedno rozwiązanie 

   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2

  m   1  m  1   m  R   1,1  m  1
3
3

• Równanie ma dwa różne rozwiązania 
   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2


 m    1,1   m  R   1,1  m    1,1    1,1 
3
3


• Równanie nie ma rozwiązań 
   0  m  R   1,1 
 2

 m     ,  1    1 ,    m  R   1,1 
 3

 2

 m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Podsumujmy otrzymane wyniki:
Równanie kwadratowe,
dwa rozwiązania

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

-1

1

1

2

m

3

Równanie liniowe, nie
ma rozwiązań

Równanie liniowe,
jedno rozwiązanie

Równanie liniowe, jedno
rozwiązanie

Rysunek pokazuje, że rozpatrzyliśmy wszystkie wartości m
mR

C.D.

Nasze rozważania możemy zapisać krótko w następujący
sposób:

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

a) ma dwa rozwiązania wtedy, gdy

2

m    1,1    1,1 
3


b) ma jedno rozwiązanie wtedy, gry

 2
m   1,1 
 3

c) nie ma rozwiązań wtedy, gdy

 2

m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Stąd wzór szukanej funkcji y  g  m  , która każdej liczbie
rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę rozwiązań
równania :

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

ma postać:

2


g m    1


0


dla
dla
dla

2

m    1,1    1,1 
3

 2
m  1,1 
 3

 2

m     ,  1   1 ,  
 3


C.D.

Wykres funkcji g:

y

y  g (m )

1
1

1 12 2

m

3

SPIS TREŚCI


Slide 26

FUNKCJA
KWADRATOWA
Autorzy:
Kamil Tutro
Paweł Ochałek

Kamil Krajewski
Andrzej Ogorzałek

Uczniowie klasy 2d LO Kołaczyce

1. Jednomian stopnia drugiego.
2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
4. Wzory Viete’a.

5. Równania kwadratowe.
6. Nierówności kwadratowe.
7. Równania i nierówności kwadratowe z
parametrem.

1. Jednomianem stopnia drugiego.
nazywamy funkcję:

y  ax

2

gdzie x  R , natomiast a jest stałą liczbą rzeczywistą
różną od zera.
Przykładowe wykresy:
y

y

a0
x

a 0
x
C.D.

Własności funkcji
1. D f  R , ZW

f

y  ax

2

x R

a 0

 0 ,  )

2. Funkcja ma jedno miejsce zerowe

x0

3. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla
x  (  , 0 )  ( 0 ,  ) .Nie przyjmuje wartości ujemnych.

4. Funkcja:
Jest malejąca w zbiorze ( , 0 )
Jest rosnąca w zbiorze

( 0 ,  )

5. Funkcja jest parzysta (sprawdź !!!).
6. Funkcja nie jest różnowartościowa.

C.D.

7. Funkcja osiąga najmniejszą wartość równą 0, dla
argumentu 0. Nie przyjmuje wartości największej.
Zbiór wartości funkcji jest ograniczony z dołu; nie jest
ograniczony z góry.

SPIS TREŚCI

2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
Nazywamy funkcję

y  ax  bx  c
2

gdzie a , b , c  R oraz a  0 , x  R , nazywamy funkcją
kwadratową (trójmianem kwadratowym) w postaci
ogólnej.
Def.

Funkcję y  a ( x  p )  q , a  0 , x  R
2

, nazywamy
funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) w
postaci kanonicznej.

gdzie
p

b
2a

b  4 ac
2

q

4a
C.D.

Tw.

Wykres funkcji y  a ( x  p )  q , a  0 , powstaje w wyniku
2
y

ax
, a  0, x  R
przesunięcia równoległego jednomianu
o wektor v  [ p , q ].
2

Tw.

Funkcję kwadratową postaci ogólnej:
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  a(x  p)  q
2

C.D.

Dowód

Ponieważ a  0 , więc mamy:
2
2 

b
b
b




2
2
y  ax  bx  c  a  x  x   c  a   x 
c
 
2 
a 
2a 
4 a 

 
2

2

2

2

2

b 
b
b 
b
b 



 a x 
 c  a x 
 c  a x 
 a
 
 
2
2a 
4a
2a 
4a
2a 




b
4 ac
 

4a
 4a
2

2

2

b
b
 4 ac


  a x 
 

2a 
4a



Stąd:
p

b

b  4 ac
2

q

2a

4a

Co kończy dowód twierdzenia.
C.D.

2
UWAGA: dla funkcji kwadratowej y  ax  bx  c , a  0
2
liczbę b  4 ac
oznaczamy symbolem  (delta) i
nazywamy ją wyróżnikiem trójmianu kwadratowego.

y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

Mamy więc:
  b  4 ac
2

Wniosek

Funkcję kwadratową w postacie ogólnej
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  ax  p   q
2

C.D.

gdzie
p

b

q



2a

4a

Wniosek

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

ma współrzędne
xw  

b
2a

yw 


4a

SPIS TREŚCI

3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
Liczba miejsc zerowych trójmianu kwadratowego
y  ax  bx  c , a  0
2

jest równa liczbie punktów wspólnych wykresu tej funkcji i
osi OX.

Niech a będzie liczbą dodatni. Wówczas są trzy możliwe
przypadki.

( p, q)

x

( p, q)

x

x
( p, q)

C.D.

Zauważmy, że trójmian nie ma miejsc zerowych
(przypadek 1) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
Ale q 



.

4a

Mamy więc:
q0 ia0



 0 i a  0     0 i a  0    0 ia  0 

4a

Trójmian kwadratowy ma tylko jedno miejsce zerowe
(przypadek 2) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

Trójmian kwadratowy ma dwa różne miejsca zerowe
(przypadek 3) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

C.D.

Nasze rozważania prowadzą do następującego twierdzenia:
Dany jest trójmian y  ax  bx  c , a  0 . Wówczas:
2

1.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a  x  x1  x  x 2 , a  0

gdzie
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Liczby x1 , x 2 są miejscami zerowymi trójmianu.

C.D.

2.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a x  x0  , a  0
2

gdzie
x0 

b
2a

Liczba x 0 jest (podwójnym) miejscem zerowym trójmianu.
3.   0 Wtedy i tylko wtedy, gdy trójmianu nie można
przedstawić w postaci iloczynowej. Trójmian nie ma miejsc
zerowych.

SPIS TREŚCI

4. Wzory Viete’a.
Wiesz, że trójmian kwadratowy y  ax  bx  c , a  0
ma miejsca zerowe tylko wtedy, gdy   0 . Jeśli   0 , b
to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe x 0  
jeśli natomiast   0 , to funkcja kwadratowa ma dwa 2 a
2

różne miejsca zerowe:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Załóżmy, że   0 , a następnie obliczmy sumę i iloczyn
miejsc zerowych trójmianu kwadratowego. Obliczenia
przeprowadzimy w następujący sposób:

C.D.

b

x1  x 2 



b



2a





b

2a

 b





 b 



4a

2

 b  b  4 ac
2



 

2

b 
2



4a

2

4a

2



2

4 ac
4a

2

2





b  b  4 ac
2

4a





2a

b   b  
b




x1  x 2 






2a
2a

 

2



2



  b
4a

2

 2b
 2a





b
a





c
a
C.D.

Twierdzenie Viete’a
Jeśli x1 , x 2 są różnymi miejscami zerowymi trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to zachodzą związki:
x1  x 2  

b
a

x1  x 2 

c
a

Jeśli x 0 jest jednym miejscem
zerowym trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to:

2 x0  

b
a

2

x0 

c
a

SPIS TREŚCI

5. Równania kwadratowe.
Def.

Równanie ax  bx  c  0 , gdzie a , b , c  R i a  0 ,
2

nazywamy równaniem kwadratowym.
W zależności od wartości współczynników a , b , c równania
2
y

ax
 bx  c , a  0 , dzielimy na zupełne i
kwadratowe
niezupełne. Równania kwadratowe zupełne to takie, w
których wszystkie współczynniki a , b , c są różne od zera,
np. równania:
x  2x 1  0
2

3x  5x  7  0
2

 0 ,5 x  9 x  11  0
2

Równanie kwadratowe niezupełne to takie, w których
współczynnik a  0 , ale przynajmniej jeden ze
współczynników b, c jest zerem, np. równania:
3x  x  0
2

5x  1  0
2

 1, 2 x  0
2

C.D.

Wniosek
2
Równanie kwadratowe ax  bx  c  0 , gdzie a  0 :

1) nie ma rozwiązań, jeśli   0

2) ma jedno rozwiązanie, jeśli   0 ; rozwiązanie ma
postać :
x0  

b
2a

3) ma dwa różne rozwiązania, jeśli   0 ; w tej sytuacji te
rozwiązania mają postać:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

SPIS TREŚCI

6. Nierówności kwadratowe.
Przykład

Wyznaczmy dwie liczby naturalne różniące się 1, których
iloczyn jest mniejszy od potrojonej liczby mniejszej.
Niech x oznacza liczbę mniejszą, natomiast x  1 -liczbę
większą, x  N . Iloczyn liczb opisuje wyrażenie x  x  1  ,
a potrojoną liczbę mniejszą – wyrażenie 3 x . Z treści
zadania wynika, że
x  x  1  3 x  x  N  x  x  3 x  x  N 
2

 x  2 x  0  x  N  xx  2  0  x  N
2

C.D.

Iloczyn liczb x oraz x  2 jest ujemny tylko wtedy, gdy liczby
te są przeciwnych znaków. Na tej podstawie stwierdzimy, że:
 x  0


  x  2  0

 x0 
  x  N  x  0 , 2   x  N  x  1

 x  2  0 

Szukana liczba to 1.

Sprawdzimy. Iloczyn liczb wynosi 2, potrojona zaś liczba
mniejsza to 3. Zachodzi zatem nierówność, bo 2 < 3.
Def.

Nierównością kwadratową nazywamy każdą z nierówności:
2
2
2
ax  bx  c  0 , ax  bx  c  0 lub ax  bx  c  0
gdzie a , b , c  R oraz a  0 .
SPIS TREŚCI

7. Równania i nierówności kwadratowe z parametrem.
Przykład

Zbadajmy liczbę rozwiązań równania:

m

2

 1  x   m  1  x  1  0
2

z parametrem m . Narysujmy wykres funkcji y  g (m ) ,
która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje
liczbę rozwiązań powyższego równania. Rozważmy dwa
przypadki.
Przypadek 1.
m  1  0  m  1m  1  0  m  1  0  m  1  0 
2

 m  1  m  1
C.D.

Jeśli m  1 lub m   1 , to współczynnik przy x 2 jest równy
zeru. Wówczas równanie jest liniowe. Dla m  1
otrzymujemy równanie liniowe 2 x  1  0 , które ma jedno
rozwiązanie. Dla m   1 otrzymujemy równanie liniowe
sprzeczne.

Przypadek 2.

Jeśli m  R   1,1 , to rozważane równanie jest
równaniem kwadratowym i liczba jego rozwiązań zależy od
 . Obliczmy  . Otrzymujemy:
   m  1   4 m  1   1   m  1  m  1   4  m  1  m  1  
2

2

  m  1   3 m  5 

C.D.

Zatem:
• Równanie ma jedno rozwiązanie 

   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2

  m   1  m  1   m  R   1,1  m  1
3
3

• Równanie ma dwa różne rozwiązania 
   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2


 m    1,1   m  R   1,1  m    1,1    1,1 
3
3


• Równanie nie ma rozwiązań 
   0  m  R   1,1 
 2

 m     ,  1    1 ,    m  R   1,1 
 3

 2

 m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Podsumujmy otrzymane wyniki:
Równanie kwadratowe,
dwa rozwiązania

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

-1

1

1

2

m

3

Równanie liniowe, nie
ma rozwiązań

Równanie liniowe,
jedno rozwiązanie

Równanie liniowe, jedno
rozwiązanie

Rysunek pokazuje, że rozpatrzyliśmy wszystkie wartości m
mR

C.D.

Nasze rozważania możemy zapisać krótko w następujący
sposób:

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

a) ma dwa rozwiązania wtedy, gdy

2

m    1,1    1,1 
3


b) ma jedno rozwiązanie wtedy, gry

 2
m   1,1 
 3

c) nie ma rozwiązań wtedy, gdy

 2

m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Stąd wzór szukanej funkcji y  g  m  , która każdej liczbie
rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę rozwiązań
równania :

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

ma postać:

2


g m    1


0


dla
dla
dla

2

m    1,1    1,1 
3

 2
m  1,1 
 3

 2

m     ,  1   1 ,  
 3


C.D.

Wykres funkcji g:

y

y  g (m )

1
1

1 12 2

m

3

SPIS TREŚCI


Slide 27

FUNKCJA
KWADRATOWA
Autorzy:
Kamil Tutro
Paweł Ochałek

Kamil Krajewski
Andrzej Ogorzałek

Uczniowie klasy 2d LO Kołaczyce

1. Jednomian stopnia drugiego.
2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
4. Wzory Viete’a.

5. Równania kwadratowe.
6. Nierówności kwadratowe.
7. Równania i nierówności kwadratowe z
parametrem.

1. Jednomianem stopnia drugiego.
nazywamy funkcję:

y  ax

2

gdzie x  R , natomiast a jest stałą liczbą rzeczywistą
różną od zera.
Przykładowe wykresy:
y

y

a0
x

a 0
x
C.D.

Własności funkcji
1. D f  R , ZW

f

y  ax

2

x R

a 0

 0 ,  )

2. Funkcja ma jedno miejsce zerowe

x0

3. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla
x  (  , 0 )  ( 0 ,  ) .Nie przyjmuje wartości ujemnych.

4. Funkcja:
Jest malejąca w zbiorze ( , 0 )
Jest rosnąca w zbiorze

( 0 ,  )

5. Funkcja jest parzysta (sprawdź !!!).
6. Funkcja nie jest różnowartościowa.

C.D.

7. Funkcja osiąga najmniejszą wartość równą 0, dla
argumentu 0. Nie przyjmuje wartości największej.
Zbiór wartości funkcji jest ograniczony z dołu; nie jest
ograniczony z góry.

SPIS TREŚCI

2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
Nazywamy funkcję

y  ax  bx  c
2

gdzie a , b , c  R oraz a  0 , x  R , nazywamy funkcją
kwadratową (trójmianem kwadratowym) w postaci
ogólnej.
Def.

Funkcję y  a ( x  p )  q , a  0 , x  R
2

, nazywamy
funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) w
postaci kanonicznej.

gdzie
p

b
2a

b  4 ac
2

q

4a
C.D.

Tw.

Wykres funkcji y  a ( x  p )  q , a  0 , powstaje w wyniku
2
y

ax
, a  0, x  R
przesunięcia równoległego jednomianu
o wektor v  [ p , q ].
2

Tw.

Funkcję kwadratową postaci ogólnej:
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  a(x  p)  q
2

C.D.

Dowód

Ponieważ a  0 , więc mamy:
2
2 

b
b
b




2
2
y  ax  bx  c  a  x  x   c  a   x 
c
 
2 
a 
2a 
4 a 

 
2

2

2

2

2

b 
b
b 
b
b 



 a x 
 c  a x 
 c  a x 
 a
 
 
2
2a 
4a
2a 
4a
2a 




b
4 ac
 

4a
 4a
2

2

2

b
b
 4 ac


  a x 
 

2a 
4a



Stąd:
p

b

b  4 ac
2

q

2a

4a

Co kończy dowód twierdzenia.
C.D.

2
UWAGA: dla funkcji kwadratowej y  ax  bx  c , a  0
2
liczbę b  4 ac
oznaczamy symbolem  (delta) i
nazywamy ją wyróżnikiem trójmianu kwadratowego.

y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

Mamy więc:
  b  4 ac
2

Wniosek

Funkcję kwadratową w postacie ogólnej
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  ax  p   q
2

C.D.

gdzie
p

b

q



2a

4a

Wniosek

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

ma współrzędne
xw  

b
2a

yw 


4a

SPIS TREŚCI

3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
Liczba miejsc zerowych trójmianu kwadratowego
y  ax  bx  c , a  0
2

jest równa liczbie punktów wspólnych wykresu tej funkcji i
osi OX.

Niech a będzie liczbą dodatni. Wówczas są trzy możliwe
przypadki.

( p, q)

x

( p, q)

x

x
( p, q)

C.D.

Zauważmy, że trójmian nie ma miejsc zerowych
(przypadek 1) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
Ale q 



.

4a

Mamy więc:
q0 ia0



 0 i a  0     0 i a  0    0 ia  0 

4a

Trójmian kwadratowy ma tylko jedno miejsce zerowe
(przypadek 2) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

Trójmian kwadratowy ma dwa różne miejsca zerowe
(przypadek 3) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

C.D.

Nasze rozważania prowadzą do następującego twierdzenia:
Dany jest trójmian y  ax  bx  c , a  0 . Wówczas:
2

1.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a  x  x1  x  x 2 , a  0

gdzie
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Liczby x1 , x 2 są miejscami zerowymi trójmianu.

C.D.

2.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a x  x0  , a  0
2

gdzie
x0 

b
2a

Liczba x 0 jest (podwójnym) miejscem zerowym trójmianu.
3.   0 Wtedy i tylko wtedy, gdy trójmianu nie można
przedstawić w postaci iloczynowej. Trójmian nie ma miejsc
zerowych.

SPIS TREŚCI

4. Wzory Viete’a.
Wiesz, że trójmian kwadratowy y  ax  bx  c , a  0
ma miejsca zerowe tylko wtedy, gdy   0 . Jeśli   0 , b
to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe x 0  
jeśli natomiast   0 , to funkcja kwadratowa ma dwa 2 a
2

różne miejsca zerowe:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Załóżmy, że   0 , a następnie obliczmy sumę i iloczyn
miejsc zerowych trójmianu kwadratowego. Obliczenia
przeprowadzimy w następujący sposób:

C.D.

b

x1  x 2 



b



2a





b

2a

 b





 b 



4a

2

 b  b  4 ac
2



 

2

b 
2



4a

2

4a

2



2

4 ac
4a

2

2





b  b  4 ac
2

4a





2a

b   b  
b




x1  x 2 






2a
2a

 

2



2



  b
4a

2

 2b
 2a





b
a





c
a
C.D.

Twierdzenie Viete’a
Jeśli x1 , x 2 są różnymi miejscami zerowymi trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to zachodzą związki:
x1  x 2  

b
a

x1  x 2 

c
a

Jeśli x 0 jest jednym miejscem
zerowym trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to:

2 x0  

b
a

2

x0 

c
a

SPIS TREŚCI

5. Równania kwadratowe.
Def.

Równanie ax  bx  c  0 , gdzie a , b , c  R i a  0 ,
2

nazywamy równaniem kwadratowym.
W zależności od wartości współczynników a , b , c równania
2
y

ax
 bx  c , a  0 , dzielimy na zupełne i
kwadratowe
niezupełne. Równania kwadratowe zupełne to takie, w
których wszystkie współczynniki a , b , c są różne od zera,
np. równania:
x  2x 1  0
2

3x  5x  7  0
2

 0 ,5 x  9 x  11  0
2

Równanie kwadratowe niezupełne to takie, w których
współczynnik a  0 , ale przynajmniej jeden ze
współczynników b, c jest zerem, np. równania:
3x  x  0
2

5x  1  0
2

 1, 2 x  0
2

C.D.

Wniosek
2
Równanie kwadratowe ax  bx  c  0 , gdzie a  0 :

1) nie ma rozwiązań, jeśli   0

2) ma jedno rozwiązanie, jeśli   0 ; rozwiązanie ma
postać :
x0  

b
2a

3) ma dwa różne rozwiązania, jeśli   0 ; w tej sytuacji te
rozwiązania mają postać:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

SPIS TREŚCI

6. Nierówności kwadratowe.
Przykład

Wyznaczmy dwie liczby naturalne różniące się 1, których
iloczyn jest mniejszy od potrojonej liczby mniejszej.
Niech x oznacza liczbę mniejszą, natomiast x  1 -liczbę
większą, x  N . Iloczyn liczb opisuje wyrażenie x  x  1  ,
a potrojoną liczbę mniejszą – wyrażenie 3 x . Z treści
zadania wynika, że
x  x  1  3 x  x  N  x  x  3 x  x  N 
2

 x  2 x  0  x  N  xx  2  0  x  N
2

C.D.

Iloczyn liczb x oraz x  2 jest ujemny tylko wtedy, gdy liczby
te są przeciwnych znaków. Na tej podstawie stwierdzimy, że:
 x  0


  x  2  0

 x0 
  x  N  x  0 , 2   x  N  x  1

 x  2  0 

Szukana liczba to 1.

Sprawdzimy. Iloczyn liczb wynosi 2, potrojona zaś liczba
mniejsza to 3. Zachodzi zatem nierówność, bo 2 < 3.
Def.

Nierównością kwadratową nazywamy każdą z nierówności:
2
2
2
ax  bx  c  0 , ax  bx  c  0 lub ax  bx  c  0
gdzie a , b , c  R oraz a  0 .
SPIS TREŚCI

7. Równania i nierówności kwadratowe z parametrem.
Przykład

Zbadajmy liczbę rozwiązań równania:

m

2

 1  x   m  1  x  1  0
2

z parametrem m . Narysujmy wykres funkcji y  g (m ) ,
która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje
liczbę rozwiązań powyższego równania. Rozważmy dwa
przypadki.
Przypadek 1.
m  1  0  m  1m  1  0  m  1  0  m  1  0 
2

 m  1  m  1
C.D.

Jeśli m  1 lub m   1 , to współczynnik przy x 2 jest równy
zeru. Wówczas równanie jest liniowe. Dla m  1
otrzymujemy równanie liniowe 2 x  1  0 , które ma jedno
rozwiązanie. Dla m   1 otrzymujemy równanie liniowe
sprzeczne.

Przypadek 2.

Jeśli m  R   1,1 , to rozważane równanie jest
równaniem kwadratowym i liczba jego rozwiązań zależy od
 . Obliczmy  . Otrzymujemy:
   m  1   4 m  1   1   m  1  m  1   4  m  1  m  1  
2

2

  m  1   3 m  5 

C.D.

Zatem:
• Równanie ma jedno rozwiązanie 

   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2

  m   1  m  1   m  R   1,1  m  1
3
3

• Równanie ma dwa różne rozwiązania 
   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2


 m    1,1   m  R   1,1  m    1,1    1,1 
3
3


• Równanie nie ma rozwiązań 
   0  m  R   1,1 
 2

 m     ,  1    1 ,    m  R   1,1 
 3

 2

 m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Podsumujmy otrzymane wyniki:
Równanie kwadratowe,
dwa rozwiązania

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

-1

1

1

2

m

3

Równanie liniowe, nie
ma rozwiązań

Równanie liniowe,
jedno rozwiązanie

Równanie liniowe, jedno
rozwiązanie

Rysunek pokazuje, że rozpatrzyliśmy wszystkie wartości m
mR

C.D.

Nasze rozważania możemy zapisać krótko w następujący
sposób:

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

a) ma dwa rozwiązania wtedy, gdy

2

m    1,1    1,1 
3


b) ma jedno rozwiązanie wtedy, gry

 2
m   1,1 
 3

c) nie ma rozwiązań wtedy, gdy

 2

m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Stąd wzór szukanej funkcji y  g  m  , która każdej liczbie
rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę rozwiązań
równania :

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

ma postać:

2


g m    1


0


dla
dla
dla

2

m    1,1    1,1 
3

 2
m  1,1 
 3

 2

m     ,  1   1 ,  
 3


C.D.

Wykres funkcji g:

y

y  g (m )

1
1

1 12 2

m

3

SPIS TREŚCI


Slide 28

FUNKCJA
KWADRATOWA
Autorzy:
Kamil Tutro
Paweł Ochałek

Kamil Krajewski
Andrzej Ogorzałek

Uczniowie klasy 2d LO Kołaczyce

1. Jednomian stopnia drugiego.
2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
4. Wzory Viete’a.

5. Równania kwadratowe.
6. Nierówności kwadratowe.
7. Równania i nierówności kwadratowe z
parametrem.

1. Jednomianem stopnia drugiego.
nazywamy funkcję:

y  ax

2

gdzie x  R , natomiast a jest stałą liczbą rzeczywistą
różną od zera.
Przykładowe wykresy:
y

y

a0
x

a 0
x
C.D.

Własności funkcji
1. D f  R , ZW

f

y  ax

2

x R

a 0

 0 ,  )

2. Funkcja ma jedno miejsce zerowe

x0

3. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla
x  (  , 0 )  ( 0 ,  ) .Nie przyjmuje wartości ujemnych.

4. Funkcja:
Jest malejąca w zbiorze ( , 0 )
Jest rosnąca w zbiorze

( 0 ,  )

5. Funkcja jest parzysta (sprawdź !!!).
6. Funkcja nie jest różnowartościowa.

C.D.

7. Funkcja osiąga najmniejszą wartość równą 0, dla
argumentu 0. Nie przyjmuje wartości największej.
Zbiór wartości funkcji jest ograniczony z dołu; nie jest
ograniczony z góry.

SPIS TREŚCI

2. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej.
Nazywamy funkcję

y  ax  bx  c
2

gdzie a , b , c  R oraz a  0 , x  R , nazywamy funkcją
kwadratową (trójmianem kwadratowym) w postaci
ogólnej.
Def.

Funkcję y  a ( x  p )  q , a  0 , x  R
2

, nazywamy
funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) w
postaci kanonicznej.

gdzie
p

b
2a

b  4 ac
2

q

4a
C.D.

Tw.

Wykres funkcji y  a ( x  p )  q , a  0 , powstaje w wyniku
2
y

ax
, a  0, x  R
przesunięcia równoległego jednomianu
o wektor v  [ p , q ].
2

Tw.

Funkcję kwadratową postaci ogólnej:
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  a(x  p)  q
2

C.D.

Dowód

Ponieważ a  0 , więc mamy:
2
2 

b
b
b




2
2
y  ax  bx  c  a  x  x   c  a   x 
c
 
2 
a 
2a 
4 a 

 
2

2

2

2

2

b 
b
b 
b
b 



 a x 
 c  a x 
 c  a x 
 a
 
 
2
2a 
4a
2a 
4a
2a 




b
4 ac
 

4a
 4a
2

2

2

b
b
 4 ac


  a x 
 

2a 
4a



Stąd:
p

b

b  4 ac
2

q

2a

4a

Co kończy dowód twierdzenia.
C.D.

2
UWAGA: dla funkcji kwadratowej y  ax  bx  c , a  0
2
liczbę b  4 ac
oznaczamy symbolem  (delta) i
nazywamy ją wyróżnikiem trójmianu kwadratowego.

y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

Mamy więc:
  b  4 ac
2

Wniosek

Funkcję kwadratową w postacie ogólnej
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

można przedstawić w postaci kanonicznej
y  ax  p   q
2

C.D.

gdzie
p

b

q



2a

4a

Wniosek

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji
y  ax  bx  c , a  0 , x  R
2

ma współrzędne
xw  

b
2a

yw 


4a

SPIS TREŚCI

3. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu
kwadratowego.
Liczba miejsc zerowych trójmianu kwadratowego
y  ax  bx  c , a  0
2

jest równa liczbie punktów wspólnych wykresu tej funkcji i
osi OX.

Niech a będzie liczbą dodatni. Wówczas są trzy możliwe
przypadki.

( p, q)

x

( p, q)

x

x
( p, q)

C.D.

Zauważmy, że trójmian nie ma miejsc zerowych
(przypadek 1) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
Ale q 



.

4a

Mamy więc:
q0 ia0



 0 i a  0     0 i a  0    0 ia  0 

4a

Trójmian kwadratowy ma tylko jedno miejsce zerowe
(przypadek 2) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

Trójmian kwadratowy ma dwa różne miejsca zerowe
(przypadek 3) wtedy i tylko wtedy, gdy q  0 .
q  0 ia  0 


4a

 0 i a  0    0 ia  0 

C.D.

Nasze rozważania prowadzą do następującego twierdzenia:
Dany jest trójmian y  ax  bx  c , a  0 . Wówczas:
2

1.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a  x  x1  x  x 2 , a  0

gdzie
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Liczby x1 , x 2 są miejscami zerowymi trójmianu.

C.D.

2.   0 wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian można przedstawić
w postaci iloczynowej
y  a x  x0  , a  0
2

gdzie
x0 

b
2a

Liczba x 0 jest (podwójnym) miejscem zerowym trójmianu.
3.   0 Wtedy i tylko wtedy, gdy trójmianu nie można
przedstawić w postaci iloczynowej. Trójmian nie ma miejsc
zerowych.

SPIS TREŚCI

4. Wzory Viete’a.
Wiesz, że trójmian kwadratowy y  ax  bx  c , a  0
ma miejsca zerowe tylko wtedy, gdy   0 . Jeśli   0 , b
to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe x 0  
jeśli natomiast   0 , to funkcja kwadratowa ma dwa 2 a
2

różne miejsca zerowe:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

Załóżmy, że   0 , a następnie obliczmy sumę i iloczyn
miejsc zerowych trójmianu kwadratowego. Obliczenia
przeprowadzimy w następujący sposób:

C.D.

b

x1  x 2 



b



2a





b

2a

 b





 b 



4a

2

 b  b  4 ac
2



 

2

b 
2



4a

2

4a

2



2

4 ac
4a

2

2





b  b  4 ac
2

4a





2a

b   b  
b




x1  x 2 






2a
2a

 

2



2



  b
4a

2

 2b
 2a





b
a





c
a
C.D.

Twierdzenie Viete’a
Jeśli x1 , x 2 są różnymi miejscami zerowymi trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to zachodzą związki:
x1  x 2  

b
a

x1  x 2 

c
a

Jeśli x 0 jest jednym miejscem
zerowym trójmianu
2
kwadratowego y  ax  bx  c , a  0 , to:

2 x0  

b
a

2

x0 

c
a

SPIS TREŚCI

5. Równania kwadratowe.
Def.

Równanie ax  bx  c  0 , gdzie a , b , c  R i a  0 ,
2

nazywamy równaniem kwadratowym.
W zależności od wartości współczynników a , b , c równania
2
y

ax
 bx  c , a  0 , dzielimy na zupełne i
kwadratowe
niezupełne. Równania kwadratowe zupełne to takie, w
których wszystkie współczynniki a , b , c są różne od zera,
np. równania:
x  2x 1  0
2

3x  5x  7  0
2

 0 ,5 x  9 x  11  0
2

Równanie kwadratowe niezupełne to takie, w których
współczynnik a  0 , ale przynajmniej jeden ze
współczynników b, c jest zerem, np. równania:
3x  x  0
2

5x  1  0
2

 1, 2 x  0
2

C.D.

Wniosek
2
Równanie kwadratowe ax  bx  c  0 , gdzie a  0 :

1) nie ma rozwiązań, jeśli   0

2) ma jedno rozwiązanie, jeśli   0 ; rozwiązanie ma
postać :
x0  

b
2a

3) ma dwa różne rozwiązania, jeśli   0 ; w tej sytuacji te
rozwiązania mają postać:
x1 

b
2a



x2 

b



2a

SPIS TREŚCI

6. Nierówności kwadratowe.
Przykład

Wyznaczmy dwie liczby naturalne różniące się 1, których
iloczyn jest mniejszy od potrojonej liczby mniejszej.
Niech x oznacza liczbę mniejszą, natomiast x  1 -liczbę
większą, x  N . Iloczyn liczb opisuje wyrażenie x  x  1  ,
a potrojoną liczbę mniejszą – wyrażenie 3 x . Z treści
zadania wynika, że
x  x  1  3 x  x  N  x  x  3 x  x  N 
2

 x  2 x  0  x  N  xx  2  0  x  N
2

C.D.

Iloczyn liczb x oraz x  2 jest ujemny tylko wtedy, gdy liczby
te są przeciwnych znaków. Na tej podstawie stwierdzimy, że:
 x  0


  x  2  0

 x0 
  x  N  x  0 , 2   x  N  x  1

 x  2  0 

Szukana liczba to 1.

Sprawdzimy. Iloczyn liczb wynosi 2, potrojona zaś liczba
mniejsza to 3. Zachodzi zatem nierówność, bo 2 < 3.
Def.

Nierównością kwadratową nazywamy każdą z nierówności:
2
2
2
ax  bx  c  0 , ax  bx  c  0 lub ax  bx  c  0
gdzie a , b , c  R oraz a  0 .
SPIS TREŚCI

7. Równania i nierówności kwadratowe z parametrem.
Przykład

Zbadajmy liczbę rozwiązań równania:

m

2

 1  x   m  1  x  1  0
2

z parametrem m . Narysujmy wykres funkcji y  g (m ) ,
która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje
liczbę rozwiązań powyższego równania. Rozważmy dwa
przypadki.
Przypadek 1.
m  1  0  m  1m  1  0  m  1  0  m  1  0 
2

 m  1  m  1
C.D.

Jeśli m  1 lub m   1 , to współczynnik przy x 2 jest równy
zeru. Wówczas równanie jest liniowe. Dla m  1
otrzymujemy równanie liniowe 2 x  1  0 , które ma jedno
rozwiązanie. Dla m   1 otrzymujemy równanie liniowe
sprzeczne.

Przypadek 2.

Jeśli m  R   1,1 , to rozważane równanie jest
równaniem kwadratowym i liczba jego rozwiązań zależy od
 . Obliczmy  . Otrzymujemy:
   m  1   4 m  1   1   m  1  m  1   4  m  1  m  1  
2

2

  m  1   3 m  5 

C.D.

Zatem:
• Równanie ma jedno rozwiązanie 

   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2

  m   1  m  1   m  R   1,1  m  1
3
3

• Równanie ma dwa różne rozwiązania 
   0  m  R   1,1   m  1   3 m  5   0  m  R   1,1 
2
2


 m    1,1   m  R   1,1  m    1,1    1,1 
3
3


• Równanie nie ma rozwiązań 
   0  m  R   1,1 
 2

 m     ,  1    1 ,    m  R   1,1 
 3

 2

 m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Podsumujmy otrzymane wyniki:
Równanie kwadratowe,
dwa rozwiązania

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

Równanie kwadratowe,
nie ma rozwiązań

-1

1

1

2

m

3

Równanie liniowe, nie
ma rozwiązań

Równanie liniowe,
jedno rozwiązanie

Równanie liniowe, jedno
rozwiązanie

Rysunek pokazuje, że rozpatrzyliśmy wszystkie wartości m
mR

C.D.

Nasze rozważania możemy zapisać krótko w następujący
sposób:

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

a) ma dwa rozwiązania wtedy, gdy

2

m    1,1    1,1 
3


b) ma jedno rozwiązanie wtedy, gry

 2
m   1,1 
 3

c) nie ma rozwiązań wtedy, gdy

 2

m     ,  1    1 ,  
 3


C.D.

Stąd wzór szukanej funkcji y  g  m  , która każdej liczbie
rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę rozwiązań
równania :

m

2

 1x  m  1 x  1  0
2

ma postać:

2


g m    1


0


dla
dla
dla

2

m    1,1    1,1 
3

 2
m  1,1 
 3

 2

m     ,  1   1 ,  
 3


C.D.

Wykres funkcji g:

y

y  g (m )

1
1

1 12 2

m

3

SPIS TREŚCI