Transcript Paradoksy i sofizmaty - Instytut Informatyki

Paradoksy i sofizmaty
• Paradoks – twierdzenie prowadzące
do zaskakujących lub sprzecznych
wniosków.
• Sofizmat – rozumowanie świadomie
błędne, mające na celu oszukanie
słuchacza.
Twierdzenie. 1 = −1.
Dowód (przy wykorzystaniu liczb zespolonych):
−1 = −1
1
=
−1
−1
1
1
−1
−1
=
Długi w dobrym stanie
tanio sprzedam
1
1 ⋅ 1 = −1 ⋅ −1
1 = 𝑖2
1 = −1
Q.E.D.
Twierdzenie. 0 = 1.
Dowód (całkowanie przez części):
𝑑𝑥
=
𝑥 ln 𝑥
𝑑𝑥
(ln 𝑥)′
ln 𝑥
1
= ln 𝑥 ⋅
−
ln 𝑥
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 𝑔 𝑥 −
1
ln 𝑥
ln 𝑥
𝐹 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥
′
=1−
−1
1
ln 𝑥 ⋅
⋅ 𝑑𝑥
ln 𝑥 2 𝑥
=1+
𝑑𝑥
𝑥 ln 𝑥
𝑑𝑥
Q.E.D.
Nic nie ma!!!
Twierdzenie. Każdy niepusty, skończony zbiór ludzi zawiera
wyłącznie osoby tego samego wzrostu.
Dowód (indukcja):
1) Każdy jednoelementowy zbiór ludzi zawiera wyłącznie
osoby jednakowego wzrostu.
2) Załóżmy teraz, że dowolny 𝑛-elementowy zbiór ludzi
zawiera wyłącznie osoby tego samego wzrostu.
Niech {𝑜1 , … , 𝑜𝑛+1 } będzie dowolnym (𝑛 + 1)-elementowym
zbiorem ludzi.
Wtedy zbiór 𝑜1 , … , 𝑜𝑛 zawiera wyłącznie osoby tego samego
wzrostu; analogicznie zbiór 𝑜2 , … , 𝑜𝑛+1 .
Zatem osoba 𝑜𝑛+1 jest tego samego wzrostu co osoba 𝑜1 .
Q.E.D.
Prawdopodobieństwo, że w samolocie
pasażerskim jest bomba wynosi 1: 104 .
Wypożyczalnia
bomb pokładowych
Prawdopodobieństwo, że w samolocie są 2
bomby wynosi więc 1: 108 .
Zatem najlepiej, dla dobra swojego i pasażerów, wnieść
na pokład własną bombę, bowiem swojej nie odpalimy,
a prawdopodobieństwo, że na pokładzie jest jeszcze jedna
jest astronomicznie małe.
Q.E.D.
(nowojorski psychiatra L. Vosburgh Lyons)
60 cm2
58 cm2
59 cm2
Epimenides (VI w. p.n.e.):
Jako Kreteńczykowi,
uczciwość nakazuje mi
Państwa ostrzec, że
wszyscy Kreteńczycy to
kłamcy.
Eubulides (IV w. p.n.e.):
„To, co teraz mówię, jest kłamstwem.”
Czyli:
Z: zdanie Z jest fałszywe
„Cyrulik sewilski goli w Sewilli wszystkich tych i tylko tych,
którzy nie golą się sami.”
Czy cyrulik goli się sam?
Z = { X: X  X }. Czy ZZ ?
• Jeśli ZZ, to Z spełnia warunek należenia do Z, więc ZZ.
• Jeśli ZZ, to Z nie spełnia warunku należenia do Z, więc ZZ.
Zatem
ZZ  ZZ
Niestety na golenie
będzie musiał Pan jeszcze
trochę poczekać...
Właśnie ktoś udowodnił,
że w rzeczywistości
cyrulik nigdy nie istniał.
A może istnieje „trzecia możliwość logiczna”?
Może, na przykład, cyrulik jest kobietą...
Z: zdanie Z jest fałszywe lub zdanie Z
nie ma wartości logicznej
• Jeśli Z prawdziwe, to Z fałszywe lub
nie ma wartości logicznej.
Zatem antynomia:
Z prawdziwe  Z nie jest prawdziwe
• Jeśli Z fałszywe, to Z prawdziwe i ma
wartość logiczną. Zatem antynomia:
Z fałszywe  Z prawdziwe
• Jeśli Z nie ma wartości logicznej, to Z nie jest fałszywe.
Aksjomat wyboru: Dla każdej rodziny niepustych zbiorów
rozłącznych, można skonstruować zbiór (tzw. selektor) zawierający
dokładnie po jednym elemencie z każdego zbioru tej rodziny.
Paradoks Banacha-Tarskiego: Istnieje rozkład kuli w trójwymiarowej
przestrzeni euklidesowej na skończoną liczbę rozłącznych części,
z których można złożyć, korzystając jedynie z obrotów i translacji,
dwie kule o takich samych promieniach jak promień kuli wyjściowej.
Delfijczycy: W jaki sposób możemy uwolnić
się od zarazy?
Wyrocznia delficka: Powiększcie dwukrotnie
ołtarz Apolla, zachowując jego kształt
sześcianu.
Banach i Tarski: A czy możemy użyć
aksjomatu wyboru?