Transcript Funkcje eliptyczne
Slide 1
Funkcje eliptyczne
Krzysztof Głód
Slide 2
Plan
•
Ogólna definicja funkcji eliptycznych
•
Funkcje eliptyczne Weierstrassa
•
Funkcje eliptyczne Jacobiego
•
Przykład zastosowania funkcji eliptycznych
2
Slide 3
•
Def. Funkcja regularna w punkcie a - funkcja jednowartościowa, która w
otoczeniu punktu a posiada zbieżne rozwinięcie w szereg Taylora.
•
Def. Biegun (regularny punkt osobliwy) funkcji f - punkt izolowany a,
w otoczeniu którego funkcja f posiada rozwinięcie:
gdzie g jest funkcją regularną w punkcie a, Ai są stałymi. Liczba naturalna
n nazywana jest stopniem bieguna.
•
Def. Funkcja meromorficzna obszaru D - funkcja zespolona zmiennej
zespolonej, określona na otwartym podzbiorze D płaszczyzny zespolonej
poza zbiorem swoich biegunów, różniczkowalna w sensie zespolonym w
otoczeniu każdego punktu podzbioru D poza zbiorem swoich biegunów.
3
Slide 4
•
Def. Funkcja okresowa - funkcja f, dla której istnieje niezerowa stała P taka,
że:
•
Def. Funkcja n-okresowa - funkcja f, dla której istnieje n niewspółmiernych,
niezerowych stałych Pi takich, że:
•
Def. Dwie stałe zespolone P1 i P2 są niewspółmierne wtedy i tylko wtedy,
gdy:
4
Slide 5
•
Tw. Jednowartościowe funkcje meromorficzne płaszczyzny zespolonej
dzielą się na:
– nieokresowe,
– jednookresowe,
– dwuokresowe.
•
W szczególności nie istnieją tego typu funkcje trój i więcej okresowe.
5
Slide 6
•
Def. Funkcja algebraiczna - rozwiązanie równania:
gdzie ai są wielomianami.
•
Funkcje niebędące funkcjami algebraicznymi nazywane są funkcjami
przestępnymi.
6
Slide 7
•
Def. Funkcja posiadająca algebraiczne twierdzenie sumacyjne - funkcja f
taka, że dla każdego u, v z dziedziny funkcji f wielkość f(u+v) można
wyrazić w sposób algebraiczny poprzez wielkości f(u) i f(v).
•
Tw. Jeśli funkcja meromorficzna posiada algebraiczne twierdzenie
sumacyjne, to istnieje algebraiczny związek pomiędzy tą funkcją a jej
pierwszą pochodną w postaci zwyczajnego, autonomicznego równania
różniczkowego pierwszego rzędu (tzw. równanie eliminacyjne).
•
Tw. Jeśli funkcja meromorficzna posiada algebraiczne twierdzenie
sumacyjne o stałych współczynnikach, to funkcja do niej odwrotna daje się
przedstawić w postaci całki z funkcji algebraicznej.
7
Slide 8
•
Tw. Jeśli dana funkcja f jest jednowartościową funkcją meromorficzną,
posiadającą algebraiczne twierdzenie sumacyjne, to dla każdego u, v
z dziedziny funkcji f wielkość f(u+v) można wyrazić w sposób wymierny
poprzez wielkości f(u), f(v), f’(u) i f’(v).
•
Tw. Jednowartościowe funkcje meromorficzne płaszczyzny zespolonej,
posiadające algebraiczne twierdzenie sumacyjne dzielą się na:
– wymierne (w klasie nieokresowych),
– trygonometryczne (w klasie jednookresowych),
– eliptyczne (w klasie dwuokresowych).
•
Pierwsze dwa typy są zdegenerowanymi przypadkami trzeciego typu.
8
Slide 9
•
Podstawowy równoległobok okresowości:
P2
P1
•
Tw. Jeśli P1 i P2 są okresami funkcji eliptycznej, to są nimi również P1’ i P2’:
9
Slide 10
•
Funkcja dwuokresowa ograniczona wewnątrz podstawowego
równoległoboku okresowości jest stała (wniosek z twierdzenia Liouvillea).
•
Całka okrężna z funkcji dwuokresowej po brzegu podstawowego
równoległoboku okresowości znika. Funkcja dwuokresowa wewnątrz
podstawowego równoległoboku okresowości nie może więc posiadać
pojedynczego bieguna 1. stopnia (wniosek z twierdzenia o residuach).
•
Tw. Funkcja dwuokresowa wewnątrz podstawowego równoległoboku
okresowości posiada co najmniej:
– jeden biegun 2. stopnia (przypadek Weierstrassa) lub
– dwa bieguny 1. stopnia (przypadek Jacobiego).
10
Slide 11
Funkcje eliptyczne Weierstrassa
•
Funkcja P Weierstrassa (definicja poprzez funkcję odwrotną):
•
Wielkości g2, g3 nazywane są niezmiennikami. Gdy są one ustalone, to
można je pominąć, jeśli nie prowadzi to do niejednoznaczności.
•
Wielkości e1, e2, e3 są uporządkowanymi pierwiastkami wielomianu
4 z3 – g2 z – g3, związanymi z niezmiennikami w następujący sposób:
11
Slide 12
12
Slide 13
•
Pochodne funkcji P:
•
Funkcja P jest rozwiązaniem równania różniczkowego:
•
Zachowanie funkcji P przy skalowaniu argumentu:
13
Slide 14
•
Okresowość funkcji P (wielkości ω, ω’ nazywane są półokresami):
•
Funkcja P jest parzysta, natomiast funkcja P’ jest nieparzysta:
•
Algebraiczne twierdzenie sumacyjne dla funkcji P:
14
Slide 15
Funkcje eliptyczne Jacobiego
•
Sinus modularny (sinus amplitudy):
•
Wielkość m nazywana jest parametrem (kwadratem modułu). Stosując
odpowiednie transformacje skalujące, można zawsze sprawić, by 0 ≤ m ≤ 1.
•
Cosinus modularny (cosinus amplitudy):
•
Delta amplitudy:
15
Slide 16
16
Slide 17
17
Slide 18
•
Związki pomiędzy funkcjami sn, cn, dn:
•
Pochodne funkcji sn, cn, dn:
•
Funkcja sn jest rozwiązaniem równania różniczkowego:
18
Slide 19
•
Okresowość funkcji sn, cn, dn (wielkości K, K’ nazywane są
ćwierćokresami, wielkość K zupełną całką eliptyczną pierwszego rodzaju):
•
Funkcja sn jest nieparzysta, natomiast funkcje cn, dn są parzyste:
19
Slide 20
•
Algebraiczne twierdzenie sumacyjne dla funkcji sn:
•
Przejścia graniczne dla m = 0:
•
Przejścia graniczne dla m = 1:
20
Slide 21
Wahadło matematyczne
•
Punkt o masie m, umieszczony na
końcu nieważkiej nici o długości L,
waha się swobodnie wokół
położenia równowagi w
jednorodnym polu grawitacyjnym
o przyspieszeniu g.
•
Zakłada się, że chwili początkowej
t = 0 było:
21
Slide 22
•
Prędkość kątowa ω i prędkość styczna υ:
•
Energia kinetyczna EK i energia potencjalna EP:
•
Całkowita energia mechaniczna nie zależy od czasu:
22
Slide 23
•
Stąd otrzymujemy całkę:
która po przekształceniu przechodzi w rozwiązanie:
•
Okres ruchu wahadła T:
23
Slide 24
Literatura
•
H. Hancock, Theory of Elliptic Functions (Dover, New York, 1958)
•
A. G. Greenhill, The Applications of Elliptic Functions (Dover, New York,
1959)
•
F. Oberhettinger, W. Magnus, Zastosowania funkcji eliptycznych w fizyce i
technice (PWN, Warszawa, 1963)
•
P. F. Byrd, M. D. Friedman, Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and
Physicists (Springer, Berlin, 1954)
•
E. T. Whittaker, G. N. Watson, A Course of Modern Analysis (Cambridge
University Press, Cambridge, 1996)
24
Funkcje eliptyczne
Krzysztof Głód
Slide 2
Plan
•
Ogólna definicja funkcji eliptycznych
•
Funkcje eliptyczne Weierstrassa
•
Funkcje eliptyczne Jacobiego
•
Przykład zastosowania funkcji eliptycznych
2
Slide 3
•
Def. Funkcja regularna w punkcie a - funkcja jednowartościowa, która w
otoczeniu punktu a posiada zbieżne rozwinięcie w szereg Taylora.
•
Def. Biegun (regularny punkt osobliwy) funkcji f - punkt izolowany a,
w otoczeniu którego funkcja f posiada rozwinięcie:
gdzie g jest funkcją regularną w punkcie a, Ai są stałymi. Liczba naturalna
n nazywana jest stopniem bieguna.
•
Def. Funkcja meromorficzna obszaru D - funkcja zespolona zmiennej
zespolonej, określona na otwartym podzbiorze D płaszczyzny zespolonej
poza zbiorem swoich biegunów, różniczkowalna w sensie zespolonym w
otoczeniu każdego punktu podzbioru D poza zbiorem swoich biegunów.
3
Slide 4
•
Def. Funkcja okresowa - funkcja f, dla której istnieje niezerowa stała P taka,
że:
•
Def. Funkcja n-okresowa - funkcja f, dla której istnieje n niewspółmiernych,
niezerowych stałych Pi takich, że:
•
Def. Dwie stałe zespolone P1 i P2 są niewspółmierne wtedy i tylko wtedy,
gdy:
4
Slide 5
•
Tw. Jednowartościowe funkcje meromorficzne płaszczyzny zespolonej
dzielą się na:
– nieokresowe,
– jednookresowe,
– dwuokresowe.
•
W szczególności nie istnieją tego typu funkcje trój i więcej okresowe.
5
Slide 6
•
Def. Funkcja algebraiczna - rozwiązanie równania:
gdzie ai są wielomianami.
•
Funkcje niebędące funkcjami algebraicznymi nazywane są funkcjami
przestępnymi.
6
Slide 7
•
Def. Funkcja posiadająca algebraiczne twierdzenie sumacyjne - funkcja f
taka, że dla każdego u, v z dziedziny funkcji f wielkość f(u+v) można
wyrazić w sposób algebraiczny poprzez wielkości f(u) i f(v).
•
Tw. Jeśli funkcja meromorficzna posiada algebraiczne twierdzenie
sumacyjne, to istnieje algebraiczny związek pomiędzy tą funkcją a jej
pierwszą pochodną w postaci zwyczajnego, autonomicznego równania
różniczkowego pierwszego rzędu (tzw. równanie eliminacyjne).
•
Tw. Jeśli funkcja meromorficzna posiada algebraiczne twierdzenie
sumacyjne o stałych współczynnikach, to funkcja do niej odwrotna daje się
przedstawić w postaci całki z funkcji algebraicznej.
7
Slide 8
•
Tw. Jeśli dana funkcja f jest jednowartościową funkcją meromorficzną,
posiadającą algebraiczne twierdzenie sumacyjne, to dla każdego u, v
z dziedziny funkcji f wielkość f(u+v) można wyrazić w sposób wymierny
poprzez wielkości f(u), f(v), f’(u) i f’(v).
•
Tw. Jednowartościowe funkcje meromorficzne płaszczyzny zespolonej,
posiadające algebraiczne twierdzenie sumacyjne dzielą się na:
– wymierne (w klasie nieokresowych),
– trygonometryczne (w klasie jednookresowych),
– eliptyczne (w klasie dwuokresowych).
•
Pierwsze dwa typy są zdegenerowanymi przypadkami trzeciego typu.
8
Slide 9
•
Podstawowy równoległobok okresowości:
P2
P1
•
Tw. Jeśli P1 i P2 są okresami funkcji eliptycznej, to są nimi również P1’ i P2’:
9
Slide 10
•
Funkcja dwuokresowa ograniczona wewnątrz podstawowego
równoległoboku okresowości jest stała (wniosek z twierdzenia Liouvillea).
•
Całka okrężna z funkcji dwuokresowej po brzegu podstawowego
równoległoboku okresowości znika. Funkcja dwuokresowa wewnątrz
podstawowego równoległoboku okresowości nie może więc posiadać
pojedynczego bieguna 1. stopnia (wniosek z twierdzenia o residuach).
•
Tw. Funkcja dwuokresowa wewnątrz podstawowego równoległoboku
okresowości posiada co najmniej:
– jeden biegun 2. stopnia (przypadek Weierstrassa) lub
– dwa bieguny 1. stopnia (przypadek Jacobiego).
10
Slide 11
Funkcje eliptyczne Weierstrassa
•
Funkcja P Weierstrassa (definicja poprzez funkcję odwrotną):
•
Wielkości g2, g3 nazywane są niezmiennikami. Gdy są one ustalone, to
można je pominąć, jeśli nie prowadzi to do niejednoznaczności.
•
Wielkości e1, e2, e3 są uporządkowanymi pierwiastkami wielomianu
4 z3 – g2 z – g3, związanymi z niezmiennikami w następujący sposób:
11
Slide 12
12
Slide 13
•
Pochodne funkcji P:
•
Funkcja P jest rozwiązaniem równania różniczkowego:
•
Zachowanie funkcji P przy skalowaniu argumentu:
13
Slide 14
•
Okresowość funkcji P (wielkości ω, ω’ nazywane są półokresami):
•
Funkcja P jest parzysta, natomiast funkcja P’ jest nieparzysta:
•
Algebraiczne twierdzenie sumacyjne dla funkcji P:
14
Slide 15
Funkcje eliptyczne Jacobiego
•
Sinus modularny (sinus amplitudy):
•
Wielkość m nazywana jest parametrem (kwadratem modułu). Stosując
odpowiednie transformacje skalujące, można zawsze sprawić, by 0 ≤ m ≤ 1.
•
Cosinus modularny (cosinus amplitudy):
•
Delta amplitudy:
15
Slide 16
16
Slide 17
17
Slide 18
•
Związki pomiędzy funkcjami sn, cn, dn:
•
Pochodne funkcji sn, cn, dn:
•
Funkcja sn jest rozwiązaniem równania różniczkowego:
18
Slide 19
•
Okresowość funkcji sn, cn, dn (wielkości K, K’ nazywane są
ćwierćokresami, wielkość K zupełną całką eliptyczną pierwszego rodzaju):
•
Funkcja sn jest nieparzysta, natomiast funkcje cn, dn są parzyste:
19
Slide 20
•
Algebraiczne twierdzenie sumacyjne dla funkcji sn:
•
Przejścia graniczne dla m = 0:
•
Przejścia graniczne dla m = 1:
20
Slide 21
Wahadło matematyczne
•
Punkt o masie m, umieszczony na
końcu nieważkiej nici o długości L,
waha się swobodnie wokół
położenia równowagi w
jednorodnym polu grawitacyjnym
o przyspieszeniu g.
•
Zakłada się, że chwili początkowej
t = 0 było:
21
Slide 22
•
Prędkość kątowa ω i prędkość styczna υ:
•
Energia kinetyczna EK i energia potencjalna EP:
•
Całkowita energia mechaniczna nie zależy od czasu:
22
Slide 23
•
Stąd otrzymujemy całkę:
która po przekształceniu przechodzi w rozwiązanie:
•
Okres ruchu wahadła T:
23
Slide 24
Literatura
•
H. Hancock, Theory of Elliptic Functions (Dover, New York, 1958)
•
A. G. Greenhill, The Applications of Elliptic Functions (Dover, New York,
1959)
•
F. Oberhettinger, W. Magnus, Zastosowania funkcji eliptycznych w fizyce i
technice (PWN, Warszawa, 1963)
•
P. F. Byrd, M. D. Friedman, Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and
Physicists (Springer, Berlin, 1954)
•
E. T. Whittaker, G. N. Watson, A Course of Modern Analysis (Cambridge
University Press, Cambridge, 1996)
24