Zasada indukcji matematycznej. Zasada, twierdzenie czy aksjomat ? Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym. Indukcja matematyczna sposób dowodzenia pewnych twierdzeń, stosowany jedynie w matematyce. Kto.
Download ReportTranscript Zasada indukcji matematycznej. Zasada, twierdzenie czy aksjomat ? Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym. Indukcja matematyczna sposób dowodzenia pewnych twierdzeń, stosowany jedynie w matematyce. Kto.
Zasada indukcji matematycznej. Zasada, twierdzenie czy aksjomat ? Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym. 1 Indukcja matematyczna sposób dowodzenia pewnych twierdzeń, stosowany jedynie w matematyce. Kto nie zna indukcji matematycznej , nie może „ rozumieć ”, nie może „ czuć ” matematyki. Nie potrafię zrozumieć, jak nauczyciel matematyki omawiając w klasie matematycznej ciągi arytmetyczne, geometryczne może pominąć indukcję. Jak można „ pisać ” wzory, uzasadniać własności tych ciągów, bez indukcji matematycznej ( nauczyciele matematyki nie uczą indukcji matematycznej, lecz korzystają z indukcji, ale przyrodniczej , nazywanej indukcją niezupełną, w której teza jest prawdopodobna i nie możemy jej ufać na 100 % ). Ale są też tacy nauczyciele, którzy żadną indukcją ( np. przy okazji ciągów ), nie przejmują się, choć wcześniej o niej „ uczyli ”. Przesadzam ? Nie. Oto podana wiedza o ciągu geometrycznym, w zeszycie ucznia klasy matematycznej, renomowanego liceum, 2 którego uczył „ ulubiony ” przeze mnie nauczyciel ( o którym było głośno w ogólnopolskich mediach ) To cała teoria o ciągu geometrycznym. Nie wierzycie ? Ja też nie wierzyłem. Dysponuję zeszytem. Sprawdziłem, czy jego koledzy mają w zeszytach to samo. Po tym zapisie pojawiają się tylko zadania. Nie tylko nie ma tu matematyki, nie ma żadnej nauki ( współczuję uczniom, którzy muszą „ wkuwać to na blachę ” i podziwiam ich, że mają sukcesy w matematyce ). Wróćmy do indukcji, która w czasach pogoni za sukcesami maturzystów została „ wykreślona ” z programu liceum. 3 Aby „ poprawić ” wyniki maturalne z matematyki. min. Oświaty R. Giertych ( chodził do szkoły, więc zna się na oświacie ) i bezrefleksyjni wykonawcy jego pomysłów, „ wyrzucili ” z programu nauczania matematyki w liceum pojęcia : indukcji matematycznej, granicy ciągu, granicy funkcji , pochodnej funkcji, badanie przebiegu zmienności funkcji. O fatalnych skutkach tej decyzji mogą powiedzieć ci, którzy studiowali później na kierunkach politechnicznych. Wtedy na uczelniach pojawiło się dokształcanie, korepetycje z matematyki, zwane uczenie repetytorium ( co dla mnie zaskakujące, finansowane z funduszy europejskich ! ). Ci, którzy znają moje prezentacje, nie będą zdziwieni, gdy stwierdzę, że z indukcją ( w ograniczonym zakresie ? ) spotkali się wszyscy. Kto wraz z dziećmi nie oglądał pociągu towarowego, który akurat stał na przejeździe kolejowym. Czekaliśmy by pociąg ruszył i dzieci liczyły ilość wagonów. 4 Kiedy mogliśmy przejść przez przejazd kolejowy? Wtedy, gdy ruszyła lokomotywa, a potem wagony, które musiały być kolejno ze sobą spięte. Kto nie oglądał klipów o rekordach Guinessa w ilości przewracających się kostek domina. Kiedy próba pobicia rekordu w przewracaniu się kostek domina, powiodła się ? Gdy przewrócenie się każdej kostki sprawiła, że przewróciła się następna, czyli musiała być ustawiona w odpowiedniej odległości. 5 Kto nie oglądał na stadionie sportowym biegu sztafetowego, kto nie oglądał transmisji sztafety znicza olimpijskiego, Wyobraźmy sobie, że jesteśmy organizatorami sztafety. Trasa sztafety, miejsca przekazywania znicza znane, kolejność zawodników została już ustalona. Jakiej deklaracji oczekujemy od każdego zawodnika, aby być pewnym, że sztafeta zakończy się sukcesem. Deklaracja, która powinna być sformułowana po dyskusji. brzmiałaby : każdy zawodnik, jeżeli otrzyma pałeczkę sztafetową to przekaże ją następnemu. Odwołując się do sztafety, przypominam sobie, że polska lekkoatletka wszechczasów Irena Szewińska w swojej karierze miała „ wpadkę ” gubiąc pałeczkę, w wyniku czego „ sztafeta ” nie ukończyła biegu. Przyrzeczenie – deklarację muszą złożyć wszyscy zawodnicy. Czy po wystrzale startera, sztafeta przebiegnie bez zakłóceń ? 6 Nie, gdy organizatorzy zapomnieli pierwszemu zawodnikowi wręczyć pałeczkę. Wnioski z obserwacji doświadczeń : ruszającego pociągu, przewracających się kostek domina, biegu sztafetowego, są to prawie warunki indukcji. Jeżeli ilość wagonów, kostek domina, zawodników uczestników sztafety, zwiększymy tak, aby było ich tyle ile liczb naturalnych, to zaobserwowane w doświadczeniach warunki są założeniami indukcji matematycznej. Powyższe sformułowania, przetłumaczmy na język matematyki. Niech W (n) oznacza pewną własność mówiącą o liczbach naturalnych n. Aby udowodnić, że twierdzenie to jest prawdziwe dla każdej liczby naturalnej n wystarczy dowieść: 1o że jest ono prawdziwe dla liczby 1 7 Twierdzenie to jest prawdziwe dla każdej liczby naturalnej n , gdy 1o że jest ono prawdziwe dla liczby 1 2o dla każdej liczby naturalnej k nie mniejszej od 1 jeżeli twierdzenie jest prawdziwe dla liczby k ≥ 1 to jest ono prawdziwe dla k+1. Powyższą wypowiedź, nazywamy na ogół zasadą indukcji matematycznej. Zapiszmy ją symbolicznie : W (n) oznacza własność liczby naturalnej n. 1o W ( 1 ) 2o k N 1 є N ma własność W , ( W ( k ) W ( k 1 ) ) n N W (n) Warunek pierwszy ( 1 є N ma własność W ), 1o W ( 1 ) nazywany warunkiem początkowym 8 Warunek drugi 2o k N k 1 ( W ( k ) W ( k 1 ) ) proponuję nazwać warunkiem przekazywania własności. Zastosujmy sformułowaną zasadę w konkretnym przykładzie. n Gdy do wyrażenia 4 15n 1 w miejsce n podstawimy liczby naturalne, 1 , 2 , 3 ,4 , … uzyskamy liczby 18 , 45 , 108 , 315 , … …. które są podzielne przez 9. Czy każda liczba tej postaci, jest podzielna przez 9 ? Niektórzy zaproponują, by sprawdzić to w dalszych przypadkach. W dalszych przypadkach, tzn. w ilu ? W stu, czy w tysiącu, w milionie, a może miliardzie ? 9 Mowa tu jest o miliardzie sprawdzeń, ale warto uświadomić sobie, że chyba nikomu nie chciało by się badać, bez kalkulatora iż liczba 444 15 44 1 dzieli się przez 9. Mimo tych uwag załóżmy, że sprawdziliśmy podzielność w miliardzie przykładów. Czy możemy stwierdzić, że tak będzie zawsze, dla każdego naturalnego n ? Mam nadzieję, że wszyscy powiedzą , nie. W tym momencie „ dotykamy ” matematyki. Ale to „ czuje ” każdy przedszkolak. Miliard to „ pikuś ” wobec ilości liczb naturalnych. I tu „ widać ” różnicę między postępowaniem badaczy w naukach przyrodniczych a matematykami. Kto słyszał by fizyk, chemik, lekarz, ekonomista, socjolog, przeprowadził miliard doświadczeń, eksperymentów ( wtedy, nie dopuszczono by do obrotu lekarstw i farmaceutyków , które zagrażały zdrowiu i życiu ludzi ). 10 Czy 9 zawsze dzieli liczbę 4n 15n 1 ? Niestety, tego nie wiemy ! Wydaje się to, bardzo prawdopodobne. Ale jak to udowodnić. Jedną z dróg uzasadnienia wskazuje sformułowana zasada indukcji matematycznej. W (n) : 9 1o n = 1 2o W (1) : k N k 1 9 9 4 n 15 n 1 4 1 151 1 18 W ( 1 ) prawda ( W (k) W (k) ) 4 15 k 1 k 9 4 k 1 15 ( k 1 ) 1 Mamy dowieść prawdziwość tej implikacji W tym momencie warto przypomnieć uczniom ; po pierwsze, kiedy implikacja jest prawdziwa, ( również, gdy z fałszu wynika fałsz, z fałszu prawda ) po drugie podkreślić, że mamy wykazać że własność „ dzielę się przez 9 ” jest przechodnia. 11 9 4 15 k 1 k Poprzednik implikacji 9 9 4 k 1 15 ( k 1 ) 1 4 k 15 k 1 możemy przedstawić m N 4 n 15n 1 9 m Postać liczby 4 k 1 15 ( k 1) 1 przekształćmy tak, aby występowała w niej liczba z założenia. 4 k 1 15 ( k 1) 1 4 4 k 15 k 14 4 4 k 4 15 k 4 1 45k 18 4 ( 4 k 15 k 1 ) 9 ( 5 k 2 ) 4 9 m 9 ( 5 k 2 ) 9 ( 4 m 5 k 2 ) liczba calkowita k 1 Z postaci liczby 4 15 ( k 1) 1 9 ( 4 m 5 k 2 ) wynika, że 9 4 k 1 15 ( k 1 ) 1 czyli implikacja jest prawdziwa. Z zasady indukcji n N 9 4 n 15 n 1 Udowodniliśmy , że wszystkie liczby postaci 4 n 15n 1 gdzie n N są podzielne przez 9. Wykaż, że dla każdego naturalnego n 11 5 5 n 1 4 5n2 3 5n 12 Ćwiczenie z 2 – giej klasie szkoły podstawowej . „ strzałka ” oznacza „ dodaj 3 ” 17 14 > 2 35 11 32 < 8 < 29 > 20 5 Co tu widzi licealista ? 23 26 Ciąg liczbowy o przepisie : a n 3 a n1 dla n 1 , 2 , 3 , 4 ,....... ciąg arytmetyczny Nawet drugoklasista zauważy, że każdą liczbę ciągu można obliczyć tak a n1 2 3 n Również w ramach ćwiczeń drugoklasiści znajdą sposób obliczenia S 3 2 5 8 15 , S 5 2 5 8 11 14 40 , S 6 2 5 8 11 14 17 57 , ? ? ? 3 5 6 3 ( 2 8 ) : 2 15 5 ( 2 14 ) : 2 20 6 ( 2 17 ) : 2 57 wyników sum, za pomocą liczb w zielonych kółkach i ilości składników sumy S n n ( a1 a n ) : 2 13 ( a n ) ( 2 , 5 , 8 , 11, 14 , 17 , 20 , 23 , . . . . . . . . . ) ciąg arytmetyczny w którym a1 2 , r 3 a n r def .a n1 a n1 a1 n r S n n ( a1 a n ) : 2 Czy te wzory na pewno zachodzą ? Mam nadzieję, że wszyscy powiedzą, najprawdopodobniej, ale nie wiadomo. To trzeba udowodnić. Wzory te udowodnimy indukcyjnie. a n1 a1 n r 1o n = 1 L a 2 a1 r , P a ` 1 r LP Wzór dla n =1 jest prawdziwy ( we wzorze n = k ) 2o Bierzemy dowolne k N Wykażemy, że zachodzi warunek przekazywania własności „ jestem podzielna przez 9 ”, czyli prawdziwość implikacji : LTezy a k 1 a1 k r a k 2 a1 ( k 1) r a k 2 a k 1 r a1 k r r a1 ( k 1) r PTezy z założenia z definicji Zatem z indukcji n N a n1 a1 n r 14 1 ( a1 a n ) n 2 n=1 L S 1 a1 Sn 1o P L P 2o 1 ( a 1 a 1 ) 1 a1 2 Wzór jest prawdziwy dla n =1 ( we wzorze n = k ) Bierzemy dowolne k N Wykażemy, że zachodzi warunek przekazywania 1 własności „ sumę obliczamy w/g wzoru ( a 1 a n ) n " , 2 a n1 a k r czyli prawdziwość implikacji : a n1 a1 k r 1 1 Sk 2 ( a1 a k ) k S k 1 2 ( a 1 a k 1 ) ( k 1) k a1 k a k a k r a1 k r LTezy S k 1 S k a k 1 1 ( a 1 a k ) k a k 1 2 2 z określenia z założenia sumy ( k 1 ) a1 k ( a k r ) a k r ( k 1 ) a 1 k a k 1 a k 1 2 2 ( k 1 ) a 1 a k 1 ( k 1 ) ( k 1 ) ( a 1 a k 1 ) PTezy 2 2 Zatem z zasady indukcji matematycznej n N Sn 1 ( a1 a n ) n 2 15 Przeprowadziliśmy trzy dowody wzorów metodą indukcji matematycznej. Czy możemy powiedzieć, że poprawnie rozumiemy logiczną strukturę tej zasady ? Każdy, kto bacznie obserwuje i krytycznie patrzy na proces uczenia się, dostrzegł, że czasem wydaje nam się, że rozumiemy dane pojęcie, aż w pewnym momencie, w nowej nietypowej sytuacji dostrzegamy niejasności, luki w rozumieniu pojęcia. W dydaktyce nie tylko matematyki, takie przypadki, są szczególnie ciekawe i ważne. Ponowię pytanie ; Czy poprawnie rozumiemy zasadę indukcji ? Postawię ryzykowną dla mnie tezę : zdecydowana większość uczniów nie rozumie, bo …. wielu nauczycieli i internetowe źródła ( w tym Wikipedia ) nie formułują ją, jasno i precyzyjnie. Niejeden zareaguje słowami : jak śmiem tak twierdzić ! 16 Czy tylko w zeszycie ucznia ( klasy matematycznej ) mojego „ ulubionego ” nauczyciela, można znaleźć zapis : T(n) funkcja zdaniowa więc ma być wręcz odwrotnie ! od każdej liczby naturalnej k co to za liczba ? dowolna czy jakaś konkretna ? to tak można zadekretować, że coś jest prawdą ? Powtórzenie rozkazu masz wierzyć, że to prawda ! Na co zwróciłby uwagę dociekliwy uczeń ? Reasumując ; kupa niejasności i pseudo indukcja. 17 W Wikipedii każdy znajdzie zasadę indukcji matematycznej Wersja podstawowa Przypuśćmy, że P(n) jest pewnym wyrażeniem w którym jedyną zmienną wolną jest n i dziedzina tej zmiennej zawiera wszystkie liczby naturalne Załóżmy, że ( a ) P(1) jest zdaniem prawdziwym ( b ) dla każdego n є N zachodzi implikacja P ( n ) P ( n 1 ) wówczas P(n) jest prawdziwe dla każdej liczby naturalnej n. . Wstęp przegadany, w którym pojawił się termin, zmienna wolna ( czy jest zmienna związana ? ), nie znany przeciętnemu uczniowi. Krótko, węzłowato i zrozumiale P(n) funkcja zdaniowa, której D = N . Sądzę, że mamy satysfakcję, gdyż jest to prawie nasze sformułowanie zasady indukcji. 18 A zaraz w tejże Wikipedii mamy instrukcję, jak stosujemy indukcję. Jeśli P(n) oznacza pewne twierdzenie mówiące o liczbach naturalnych n, to aby udowodnić, że twierdzenie to jest prawdziwe dla każdej liczby naturalnej n , nie mniejszej od n0 ( samo n może być równe 1, albo inną ustaloną liczbą naturalną ), wystarczy dowieść, że : , 1o jest ono prawdziwe dla liczby n0 , to znaczy sprawdzić, że zachodzi P(n0), , . 2o dla każdej liczby naturalnej n nie mniejszej od n0 , wychodząc z założenia, że twierdzenie to jest prawdziwe dla liczby n , wyprowadzić, że jest ono prawdziwe dla n+1, chodzi bowiem o to, aby wykazać, że dla każdej liczby n nie mniejszej od n0 , prawdziwa jest implikacja : P ( n ) P ( n 1 ) Instrukcja chyba przegadana zaciemniająca pojęcie indukcji,,19 nie u matematyka ( mającego niejako automatyczną zdolność logicznego rozumowania ), ale w głowach myślących uczniów, których logiki mamy nauczyć ! Jestem świadomy reakcji prawie wszystkich nauczycieli, oburzonych wręcz moją insynuacją. Większość nauczycieli, w tym również ci, którzy studiowali na U.J. uczy tak, jak ich uczono. Ale to było dawno, rozwinęła się dydaktyka nauczania matematyki i część nowego pokolenia zmądrzała. Wybitna dydaktyk matematyki prof. Z. Krygowska, propagowała dydaktykę, której podmiotem jest uczeń, jego aktywność w stawianiu pytań i rozwiązywaniu problemów. Wróćmy do instrukcji indukcji. Co myśli uczeń, starając się zrozumieć instrukcję i analizuje ten jej fragment : . 2o dla każdej liczby naturalnej n nie mniejszej od n0 , wychodząc z założenia, że twierdzenie to jest prawdziwe dla liczby n , wyprowadzić, że jest ono prawdziwe dla n+1, 20 . 2o dla każdej liczby naturalnej n nie mniejszej od n0 , wychodząc z założenia, że twierdzenie to jest prawdziwe dla liczby n , wyprowadzić, że jest ono prawdziwe dla n+1, Co u licha jest tu do dowodzenia, skoro dla każdej liczby naturalnej n, twierdzenie to jest prawdziwe Ponieważ stwierdzamy, że dla każdej liczby naturalnej n, twierdzenie to jest prawdziwe to dowód mamy z głowy. Jak uczniowi wybić takie rozumowanie z głowy ? Czy wyjaśnienie ; taki pomysł jest nieuprawniony, załatwia problem ? Oczywiście, że nie, zwłaszcza, że w życiu publicznym, takie wyrywanie z kontekstu fragmentów wypowiedzi, zmieniający jej sens, jest stosowany na każdym kroku. Matematyk od razu zareaguje mówiąc ; tak nie można robić, ale uczeń, który dopiero uczy się logiki ma prawo popełniać takie błędy. 21 Problem w tym, że inaczej przebiega dyskusja z osobą, która swobodnie posługuje się wiedzą z logiki, niż z uczniem, który dopiero uczy się logiki. Szukając pomocy na stronie internetowej Uniwersytetu Śl. http://www.math.us.edu.pl/pgladki/faq/node67.html znajdziemy znaną zasadę indukcji i znowu instrukcja : Dowód przeprowadzony metodą indukcji matematycznej nazywamy dowodem indukcyjnym ; składa się on z dwóch etapów 1. sprawdzenia, że T(n0) jest prawdziwe, 2. dowodu, że dla każdego n ≥ n0 jeżeli T(n) jest prawdziwe, to T ( n + 1) jest prawdziwe. Jeszcze jedno potwierdzenie naszego sformułowania zasady, ale zaraz poniżej przykład : Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n ≥ 3 spełniona jest nierówność 2 n > 2n. 22 2n > 2n 1. Dla n = 3 nierówność jest prawdziwa, ponieważ 23 = 8 > 2 . 3 = 6 2. dla n ≥ 3 Stąd T ( 3 ) jest prawdą. Załóżmy, że nierówność 2n > 2n jest prawdziwa dla liczby naturalnej n ≥ 3. Czy to jest w założeniu indukcyjnym ? To się wręcz kłóci się z warunkiem indukcyjnym. Skoro zakładamy, że nierówność jest prawdziwa, dlaczego nie rozważamy sytuacji, kiedy byłaby fałszywa ? Zatem, należałoby ten przypadek rozpatrzyć, a tego się nie czynimy. Przykład ten świadczy, że praktyka stosowania odbiega od warunków zasady indukcji. Dokończmy indukcyjne uzasadnianie nierówności, zgodnie z naszą zasadą indukcji. 2. Bierzemy dowolne k є N Wykażemy prawdziwość implikacji 2 k 2 k 2 k 1 2 ( k 1 ) 23 2 k 2 k 2 k 1 2 ( k 1 ) dla k 3 Czy poprzednik jest prawdziwy ? Nie wiem ! Mamy dowieść prawdziwość implikacji ! Ltezy 2 k 1 2 k 2 2 k 2 2 k 2 2 ( k 1 ) Ptezy z założenia 2 n n 2 dla n 3 Ponieważ spełniony jest warunek początkowy i warunek „ przekazywania ” własności, więc wnosimy zgodnie z zasadą indukcji matematycznej, że dla każdej liczby naturalnej większej od 2 zachodzi 2 n 2 n dla n 3 Po tym przykładzie przypuszczam, że niektórzy zauważyli różnicę, między akademicką propozycją a naszą. Po pierwsze, widać ją w stosowanej symbolice przy zapisie ; u nas, n = k oraz n = k+1; w literaturze matematycznej, za n wstawiamy n+1 , by potem twierdzić, że zachodzi dla każdego n. W nauczaniu szkolnym w początkowym etapie stosowania indukcji, dla poprawnego rozumienia dowodu, 24 przy badaniu przechodniości własności, dla oznaczenia. dowolnej liczby naturalnej proponuję symbol k ( a nie n ) ( niewielka zmiana, a ułatwia uczniom zrozumienie indukcji ). Druga, ważniejsza różnica, to brak sformułowania : Załóżmy, że nierówność 2 n > 2n jest prawdziwa. Czy tylko ja i niektórzy uczniowie dostrzegają omawianą różnicę między podawaną zasadą indukcji a instrukcją w jej stosowaniu ? Otóż , autorzy niektórych podręczników akademickich przytaczaną dwukrotnie instrukcję uznają i słusznie za twierdzenie T. Traczyk Elementy matematyki wyższej 25 Jak z tego wynika, instrukcje nie realizują zasady indukcji, tylko twierdzenie z niej wynikające, którym posługuje się na ogół większość dowodzących indukcyjnie. Zatem sądzę, iż trudno się dziwić, że myślący uczeń może mieć wątpliwości w stosowaniu instrukcji realizującej „ niby zasadę ” indukcji. Wydaje mi się, że w matematycznej edukacji na poziomie średnim, dydaktycznie lepszym wyjściem jest wdrażanie „ czystej ” zasady indukcji. Sądzę, że następny przykład jest bardzo ciekawy. Wykaż, że 1 1 1 1 2 n 1 1 2 2 3 3 4 n ( n 1 ) n 1 Uczyńmy tak jak każe instrukcja : Załóżmy, że dla liczby naturalnej n równość Sn 1 1 1 1 2 n 1 1 2 2 3 3 4 n ( n 1 ) n 1 jest prawdziwa 26 Czy 1 1 1 1 2 n 1 1 2 2 3 3 4 n ( n 1 ) n 1 Instrukcja każe i założyliśmy, że dla liczby naturalnej n równość Sn 1 1 1 1 2 n 1 1 2 2 3 3 4 n ( n 1 ) n 1 jest prawdziwa Wykażemy prawdziwość implikacji 2 n 1 2n 3 Sn S n 1 n 1 n2 LTezy S n1 S n 2 n 1 1 1 n 1 ( n 1)( n 2 ) ( n 1)( n 2 ) z określenia 2sumy z założenia 2n 5 n 3 ( 2n 1)( n 2 ) 1 ( n 1)( 2 n 3 ) 2 n 3 P ( n 1)( n 2 ) ( n 1)( n 2 ) ( n 1)( n 2 ) n2 Wykazaliśmy, że implikacja jest prawdziwa. I co ? Czy wzór jest prawdziwy ? Niektórzy zauważą, że nie sprawdziliśmy warunku początkowego, do którego zaraz powrócimy. 27 Założyliśmy, że dla liczby naturalnej n równość Sn 1 1 1 1 2 n 1 1 2 2 3 3 4 n ( n 1 ) n 1 jest prawdziwa Wykazaliśmy prawdziwość implikacji Sn 2 n 1 n 1 S n 1 2n 3 n2 I co ? Czy wzór jest prawdziwy ? Niestety, nie. I to, nie tylko dlatego, że nie sprawdziliśmy warunku początkowego, ale również dlatego, że choć implikacja jest prawdziwa, to jej poprzednik i następnik są fałszywe ! Sprawdźcie to. Wbrew naszemu założeniu, równość Sn 1 1 1 1 2 n 1 1 2 2 3 3 4 n ( n 1 ) n 1 jest fałszywa ! Ten przykład wskazuje, że również warunek przechodniości omawianej własności, nie ma znaczenia, gdy nie jest spełniony, często przez uczniów niedoceniony ( bo widoczny ) warunek początkowy. 28 Jeszcze raz odwołam się do ilustracji, intuicyjnej zasady indukcji jakim jest sztafeta np. Paryż - Moskwa. Czy sztafeta przebiegnie prawidłowo, gdy każdy zawodnik zadeklaruje „ jeżeli dostanę pałeczkę, to przekażę ja następnemu zawodnikowi ” ? Nie, gdy organizatorzy pierwszemu zawodnikowi, nie dostarczyli pałeczki. Stąd jest oczywiste, że muszą być spełnione oba warunki ; warunek początkowy i warunek przekazywania własności. Gdy zapewnione są oba warunki, organizatorzy sztafety mogą spać spokojnie. Teraz najważniejsze pytanie : Czy na etapie organizowania sztafety , jest sens zakładać „ prawdą jest że ( nie tylko każdy, ale jakikolwiek ) zawodnik przekaże pałeczkę następnemu zawodnikowi ”. Jeżeli tak rozumujemy, to nie na podstawie indukcji, tylko wniosku z indukcji czyli na ogół stosowanego twierdzenia. 29 Mam nadzieję, że wyjaśniłem skąd moje wątpliwości ( które również mają prawdopodobnie uczniowie ) i obiekcje dotyczące poprawnego stosowania zasady indukcji matematycznej. Gdy licealista ma za zadanie wykazać, że zachodzi 1 3 5 ( 2n 1 ) n 2 pozbawiamy go satysfakcji i radości, w samodzielnym dostrzeżeniu tego związku w konkretnych przykładach 1 3 5 7 9 25 , 1 3 5 7 9 11 13 15 642 2 8 52 3 3 5 8 ale potrafi go już udowodnić korzystając z indukcji. 1 3 5 9 , 1o n = 1 L 1 , P 1 1 , 2 LP dla n =1 wzór jest prawdziwy ( we wzorze n = k ) 2o Bierzemy dowolne k N Wykażemy, że zachodzi warunek przekazywania czyli prawdziwość implikacji : 1 3 5 ( 2n 1 ) n 2 1 3 5 ( 2n 1 ) ( 2n 1 ) ( n 1 ) 2 30 Mamy wykazać prawdziwość implikacji : 1 3 5 ( 2n 1 ) n 2 1 3 5 ( 2n 1 ) ( 2n 1 ) ( n 1 ) 2 Ze względu na niewygodny zapis sumy skorzystajmy z matematycznej symboliki ( suma – sigma ) n ( 2 i 1 ) n n 1 i 1 2 n 1 ( 2 i 1 ) ( n 1) 2 i 1 n L Tezy ( 2 i 1 ) ( 2 i 1 ) 2 i 1 n2 2 n 1 ( n 1 ) 2 PTezy i 1 1 z założenia n+1 –wszyi składnik napiszmy osobno Z zasady indukcji matematycznej wnosimy, że n N n ( 2 i 1 ) n 2 i 1 Ci, którzy znają własności ciągu arytmetycznego, powyższy wzór uzasadnią natychmiast ( ze wzoru na sumę wyrazów ). 1 A przy wzorze 1 2 3 4 n n ( n 1 ) 2 warto również wspomnieć anegdotę o Gaussie. 31 Obliczając sumy sześcianów 13 23 33 36 1 2 3 6 1 2 3 4 n 13 23 33 43 53 225 1 2 3 4 5 15 1 n ( n 1 ) 2 13 23 33 43 53 63 441 1 2 3 4 5 6 21 każdy zauważy zależność 1 13 23 33 n3 ( 1 2 3 n )2 n 2 ( n 1 ) 2 co symbolicznie zapiszemy n i 1 4 1 i ( i ) n2 ( n 1 )2 4 i 1 n 3 2 Dowód indukcyjny przeprowadzimy posługując się symbolem sigmy. 1o 2o 1 1 L i 3 1 , P 12 (1 1 ) 2 1 , 4 i 1 L P dla n =1 wzór jest prawdziwy Bierzemy dowolne k N ( we wzorze n = k ) n=1 Wykażemy, że zachodzi warunek przekazywania czyli prawdziwość implikacji : n 1 i n 2 ( n 1) 2 4 i 1 3 n 1 n 1 i i 1 3 1 ( n 1) 2 ( n 2 ) 2 4 n 1 2 3 3 n ( n 1 ) 2 ( n 1)3 i ( n 1 ) 4 i 1 z założenia n+1 –wszy składnik napiszmy osobno L tezy i 3 i 1 32 n 1 1 2 1 2 3 i n ( n 1 ) i ( n 1) 2 ( n 2 ) 2 4 4 i 1 i 1 1 Ltezy n 2 ( n 1 ) 2 ( n 1)3 1 [ n 2 ( n 1 ) 2 4 ( n 1) 3 ] 4 4 1 1 [ ( n 1 ) 2 [ n 2 4 n 4 ] ( n 1 ) 2 ( n 2 ) 2 P tezy 4 4 n 3 Z zasady indukcji matematycznej wnosimy, że n N n 1 2 3 i n ( n 1) 2 4 i 1 Jak już wspomniałem, nie wyobrażam sobie, by określać własności ciągu arytmetycznego, geometrycznego nie korzystając z indukcji matematycznej. Chociaż wymienione wyżej ciągi maja trochę ciekawych własności, ale pod tym względem bije je ciąg Fibonacciego, określany rekurencyjnie f1 1 , f 2 1 , f n f n1 f n2 Uzasadnijmy jedną z kilkudziesięciu zależności : f1 f 2 f3 f n f n2 1 33 Ciąg Fibonacciego f1 1 , f 2 1 , f n f n1 f n2 Udowodnijmy równość f1 f 2 f3 f n f n2 1 którą zapiszemy symbolicznie f k 1 1 L f i f1 1 , 1o n = 1 n k f n2 1 P f 3 1 2 1 1 , i 1 LP dla n =1 wzór jest prawdziwy ( we wzorze n = k ) 2o Bierzemy dowolne k N Wykażemy, że zachodzi warunek przekazywania czyli prawdziwość implikacji : n f k 1 n 1 k f n2 1 n 1 f k 1 k f n 3 1 n L tezy f k f k f n 1 f n2 1 f n1 f n3 1 Ptezy k 1 k 1 z założenia n+1 –wszy składnik napiszmy osobno Z zasady indukcji matematycznej wnosimy, że n N n k 1 f k f n2 1 34 W matematyce dużą rolę odgrywają pewne nierówności a zwłaszcza nierówność Bernoulliego i jej uogólnienia. ( 1 x )n 1 n x dla x 1 1o n = 1 L (1 x ) 1 1 x , P 1 x , L P dla n =1 nierówność jest prawdziwa 2o Bierzemy dowolne k N ( we wzorze n = k ) Wykażemy, że zachodzi warunek przekazywania czyli prawdziwość implikacji : (1 x ) n 1 n x (1 x ) n1 1 ( n 1 ) x Ltezy (1 x ) n1 (1 x ) n (1 x ) (1 n x ) (1 x ) z poprzednika 1 x n x n x 2 1 (1 n ) x Ptezy , 2 n x 0 Ltezy Ptezy Wnioskiem z zasady indukcji matematycznej jest n N ( 1 x )n 1 n x dla x 1 35 W szkolnej edukacji jest wiele wzorów z algebry, geometrii, trygonometrii, które dowodzimy indukcyjnie, np. a 2 b2 ( a b )( a b ) , a3 b3 ( a b )( a 2 a b b2 ) , an bn ( a b )( an1 an2 b a n3b2 bn1 ) Zapiszmy ten wzór za pomocą sigmy n a b ( a b ) a ni bi 1 i uzasadnijmy go indukcyjnie. n 1o n 1 i 1 0 0 n = 1 L a b , P ( a b ) a11 b11 ( a b ) a b a b i 1 L P dla n =1 wzór jest prawdziwy ( we wzorze n = k ) 2o Bierzemy dowolne k N Wykażemy, że zachodzi warunek przekazywania czyli prawdziwość implikacji : k a b ( a b) a k k k i b i 1 a k 1 b k 1 i 1 k 1 ( a b ) a k 1i bi 1 i 1 k k k Ltezy ak 1 bk 1 a k 1 a k b a k b bk 1 a ( a b ) b ( a b ) wprowadźmy wyrażenia, które występują w założeniu k k z założenia a k ( a b ) b ( a b ) a k i bi 1 ( a b ) ( a k a k i bi ) i 1 i 1 36 n a b ( a b ) a ni b i 1 n n i 1 Mamy wykazać prawdziwość implikacji : k a b ( a b) a k k Wiemy już, że i 1 k i i 1 b a k 1 b k 1 k ( a b ) a k 1i b i 1 L tezy ( a b ) ( a k a k i b i ) ( a b ) i 1 k 1 i 1 k k i i a b i 0 ten składnik uzyskujemy gdy w sigmie za i podstawimy 0 k 1 k 1 z twierdzeń k 1i i 1 k ( i 1) i 1 ( a b ) a b Ptezy ( a b ) a b o sigmach i 1 i 1 kto nie wierzy, niech rozpisze Z zasady indukcji matematycznej wynika, że n N n a b ( a b ) a ni b i 1 n n i 1 W tej prezentacji poznaliśmy zasadę indukcji matematycznej. 37 Być może niektórzy zastanawiali się nad pytaniem, dlaczego używamy termin, dotychczas w matematyce chyba prawie nie spotykany ; zasada. Zasada, to reguła, twierdzenie, czy aksjomat ? Jak zwykle, w życiu i w matematyce, to zależy od …… Zasada, reguła, twierdzenie, z czegoś wynika ? Według naszego wprowadzenia tego pojęcia, należy uznać za aksjomat. Ale są aksjomaty z którymi każdy zgodzi się, ( np. do prostej należy nieskończenie wiele punktów ) ale są też takie, które napotykają na sprzeciw, w geometrii ; aksjomat Euklidesa ( geometrie nieeuklidesowe ), w teorii zbiorów ; aksjomat wyboru Zermelo-Fraenkla w teorii gier; aksjomat determinacji Banacha Czy zasadę indukcji można potraktować inaczej ? E. Zermelo ( 1871 – 1953 ) S. Banach ( 1892 – 1945 ) 38 Tak jak stosowanie wspomnianych aksjomatów : Euklidesa, wyboru, determinacji budziło opory wśród wielu wybitnych matematyków tak w pewnych teoriach nie uznają zasady indukcji jako aksjomatu. Nasze rozważania prowadziliśmy, odwołując się tylko do intuicyjnej logiki. Ale gdybyśmy poruszali się na gruncie teorii zbiorów, bez żadnych oporów przyjęlibyśmy aksjomat minimum : „ każdy niepusty podzbiór liczb naturalnych posiada element najmniejszy ” ( zwany znowu zasadą minimum ), i z niego wysnulibyśmy zasadę indukcji. Udowodnijmy twierdzenie ( zasadę indukcji matematycznej ) : Jeżeli A jest podzbiorem zbioru N takim, że : a) 1∈A b ) dla każdego n ∈ A istnieje ( n+1 ) ∈ A ( dla dowolnego elementu należącego do zbioru A 39 jego następnik również należy do zbioru A ), to A = N a) 1∈A b ) dla każdego n ∈ A istnieje ( n+1 ) ∈ A Ze względu na a ) 1 є A, zbiór A jest niepusty. Przypuśćmy tezę przeciwną tzn. pomimo spełnienia warunków a ) i b ) Oznaczmy B = N - A zachodzi A ≠ N. Zbiór B jest niepusty, więc na podstawie zasady minimum istnieje w nim element najmniejszy, który oznaczmy przez k. Liczba k-1 nie należy do zbioru B, musi więc należeć do zbioru A. Na podstawie b ) mamy, że ( k-1 ) +1 є A, co oznacza, że k ∈ A. Jest to sprzeczne z określeniem liczby k, jako najmniejszej liczby w zbiorze B. Pokazana sprzeczność dowodzi prawdziwości tezy A=N Warto nadmienić, że zasada indukcji matematycznej, zasada minimum, zasada maksimum są równoważne, 40 Treść zasady maksimum jest oczywista. W każdym niepustym i ograniczonym z góry podzbiorze zbioru liczb naturalnych jest element największy. W tej prezentacji sformułowaliśmy aksjomat indukcji matematycznej. Zwróciliśmy uwagę, że w praktyce dowodzenia indukcyjnego, wykorzystujemy na ogół, nie zasadę indukcji, tylko twierdzenie z niej wynikające, co nie jest oczywiste dla uczniów. Zapraszam do następnej prezentacji : @ Indukcja matematyczna w zadaniach @ Opr. WWWęgrzyn i-lo. tarnów. Bardzo proszę o krytyczne przeanalizowanie prezentacji i przekazanie uwag, by po korekcie, można było ją uznać za poprawną. Z góry dziękuję. Koniec prezentacji tel. 14 690 87 61 41 belferww@ op.pl