Transcript P=a 2

Witamy !
Zapraszamy do obejrzenia
prezentacji na temat :
Twierdzenia matematyczne,
o których warto pamiętać.
Pola figur
płaskich
W naszym otoczeniu jest wiele figur płaskich.
Praktycznie wszystko, co nas otacza, składa się z figur
płaskich. Wystarczy się tylko dobrze rozejrzeć.
KWADRAT
Pole kwadratu możemy obliczyć z wzoru:
2
P=a
a
a
Prostokąt
Pole prostokąta jest równe iloczynowi jego wymiarów.
P=a*b
Trójkąt
Znając długość boku trójkąta i wysokość opuszczoną na
ten bok możemy obliczyć jego pole korzystając ze
wzoru :
P= 12 a  h
c
b
h
.
a
Jeśli mamy podane boki trójkąta lecz nie znamy jego
wysokości, to pole możemy obliczyć, że Wzoru
Herona:
Równoległobok
Pole równoległoboku obliczamy, mając daną długość
boku i odpowiadającą mu wysokość.
Wzór:
P=a*h
b
h
.
a
Romb
Pole rombu możemy
obliczyć tak, jak pole
równoległoboku :
P=a*h
Jeśli dane są przekątne
rombu to pole możemy
obliczyć w taki sposób
P= d1 2d 2
1
h
²
.
²
1
a
Trapez
Obliczając pole trapezu musimy mieć dane długości
podstaw oraz jego wysokość.
a
Wzór:
h
.
b
Deltoid
Obliczając pole deltoidu musimy mieć dane długości
dwóch przekątnych.
Wzór: P= d1d 2
2
d1
.
d2
Koło
Pole koła jest równe:
P=πr2
π- w przybliżeniu 3,14
r - promień koła
r
A teraz kilka zadań, byś mógł
sprawdzić swoją wiedzę
oraz pamięć.
Zadanie 1
Narysuj kwadrat o boku równym 4 cm. Oblicz jego pole.
Dane:
Szukane:
a= 6 cm
P= ?
4cm
4cm
P=a2
P=42
P=16 cm2
Odp : Pole kwadratu wynosi 16 cm2
Zadanie 2
Obwód kwadratu wynosi 64 cm. Oblicz ile wynosi bok tego
kwadratu oraz ile wynosi jego pole.
Dane :
Szukane
Ob= 64 cm
P= ?
a= ?
Ob= 4*a
a= 64/4
a=16
P=a2
P= 162
P=256 cm2
Odp: Bok tego kwadratu wynosi 16 cm ,a jego pole 256 cm2
Zadanie 3
Narysuj prostokąt którego boki wynoszą 5 cm i 6 cm. Oblicz jego
pole.
Dane:
Szukane :
a= 5 cm
P= ?
b= 6 cm
5cm
6cm
P=a*b
P=5*6
P=30 cm2
Odp: Pole tego prostokąta wynosi 30 cm2
Zadanie 4
Pole prostokąta wynosi 70 cm2 . Jeden bok ma 7 cm. Oblicz ile
wynosi drugi bok tego prostokąta.
Dane:
Szukane:
P= 70cm2
b= ?
a= 7cm
Sprawdzenie:
P= a*b
P=a*b
702 =7*b
P=7*10
b=70/7
P=70 cm2
b=10cm
Odp : Bok prostokąta wynosi 10 cm .
Zadanie 5
Podstawa trójkąta wynosi 4 cm, zaś wysokość opuszczona
na tą podstawę ma 10 cm. Oblicz pole tego trójkąta i
narysuj go.
Dane :
Szukane:
a=4cm
h=10cm
P=?
P=1/2 a*h
P=1/2*4*10
P=20cm2
Odp : Pole tego trójkąta wynosi 20cm2
Zadanie 6
Narysuj trójkąt o wymiarach a=6 cm, zaś h=10cm. Oblicz
jego pole.
Dane :
Szukane:
a=6cm
h=10cm
P= ?
P=1/2 a*h
P=1/2*6*10
P=30cm2
Odp: Pole tego trójkąta wynosi 30cm2
Zadanie 7
Oblicz pole równoległoboku, którego wymiary to a=6cm,
h=7cm.
Dane:
Szukane:
a=6cm
h=7cm
P= ?
P=a*h
P=6*7
P=42cm2
Odp : Pole równoległoboku wynosi 42cm2
Zadanie 8
Oblicz pole równoległoboku którego wymiary to a=10cm i h=7
cm. Narysuj ten równoległobok.
Dane:
Szukane:
a=10cm
P=?
h=7cm
P=a*h
P=10*7
P=70cm2
Odp : Pole tego równoległoboku wynosi 70cm2
Zadanie 9
Wymiary rombu to a=10cm i h=7cm. Narysuj i oblicz pole
tego rombu.
Dane:
Szukane:
a=10cm
P= ?
h=7cm
P=a*h
P=10*7
P=70cm2
Zadanie 10
Przekątne rombu wynoszą równo 7 i 9 cm. Oblicz pole tego
rombu.
Dane:
Szukane:
e=7cm
P= ?
f=9cm
P=e*f/2
P=7*9/2
P=31,5 cm2
Odp : Pole rombu wynosi 31,5 cm2
Zadanie 11
Narysuj trapez o wymiarach a=6, b=10, h=12.
a=6cm
b=10cm
h=12cm
Zadanie 12
Przekątne deltoidu wynoszą 10 i 12 cm. Oblicz jego pole.
Dane:
Szukane :
e=10cm
f=12cm
P=?
P=e*f/2
P=10*12/2
P=60cm 2
Odp: Pole deltoidu wynosi 60cm 2
Zadanie 13
Pole deltoidu wynosi 30 cm2 zaś jedna z przekątnych 10 cm.
Oblicz ile wynosi druga przekątna. Narysuj ten deltoid.
Odpowiedz:
P= 30 cm2
f=6
e=10cm
Sprawdzenie:
P=e*f/2
30=10*f/2
30=5*f
f=30/5
P=e*f/2=10*6/2
P=30 cm2
Zadanie 14
Promień koła wynosi 10 cm. Narysuj te koło i oblicz ile
wynosi jego pole.
Dane:
Szukane:
r=10cm
P= ?
P=πr2
P102π
P=100 π
Odp: Pole koła wynosi 100 π
Zadanie 15
Obwód prostokąta wynosi 24 cm. Jeden z jego boków jest
trzy razy większy od drugiego. Oblicz boki i pole tego
prostokąta.
Dane:
Szukane:
x-długość jednego boku| 3 cm
a= ?
3x-długość drugiego boku | 3cm *3=9 cm
b= ?
P= ?
x+x+3x+3x = 24
8x=24 | :8
x=3
Zadanie 15
P= a*b
P = 3 cm * 9 cm
P = 21 cm2
Odp :Boki tego prostokąta wynoszą 9 cm i 3 cm a pole 21
cm2
Twierdzenie
Pitagorasa
Pitagoras
Pitagoras- matematyk i filozof grecki, żył w VI –V wieku p.n.e. Był
założycielem słynnej szkoły pitagorejskiej, twórcą kierunku filozoficznoreligijnego nazywanego pitagoreizmem. Pitagorejczycy szczególnie
znaczenie przypisywali liczbom. Ich mottem było : „wszystko jest liczbą”.
Od pitagorejczyków pochodzi podział na liczby parzyste i nieparzyste.
Opracowali również teorię wraz z twierdzeniem o sumie kątów trójkąta,
czworokąta i wielokątów foremnych. Pitagorejczycy odkryli wiele
właściwości liczb i można ich uznać za twórców początków teorii liczb. Oto
słynne twierdzenie Pitagorasa :
Twierdzenie Pitagorasa
TWIERDZENIE
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to kwadrat długości
przeciwprostokątnej c jest równy sumie kwadratów
długości jego przyprostokątnych a i b.
Twierdzenie Pitagorasa
Zadanie1
Oblicz długość przeciw prostokątnej trójkąta
prostokątnego jeżeli długości jego przyprostokątnych są
równe 15 cm i 20 cm
Rozwiązanie :
Twierdzenie odwrotne do
twierdzenie Pitagorasa
Jeżeli kwadrat długości najdłuższego
boku trójkąta jest równy sumie
kwadratów długości pozostałych
boków, to ten trójkąt jest prostokątny.
Twierdzenie odwrotne do
twierdzenie Pitagorasa
Zadanie 2 :
Oblicz długość jednej przyprostokątnej jeżeli dana jest długość
przeciw prostokątnej i długość drugiej przyprostokątnej : a =
13 cm , b = 12cm
Rozwiązanie :
Twierdzenie odwrotne do
twierdzenie Pitagorasa
Zadanie3
Oblicz długość przekątnej kwadratu którego obwód jest równy
28 cm.
Szukane:
Rozwiązanie
d= ?
Ob. = 28 cm
a = 28 cm : 4= 7 cm
Korzystamy ze wzoru na przekątną kwadratu
Odp : Przekątna kwadratu ma długość
cm
Zadanie 4 :
Oblicz promień okręgu wpisanego
w trójkąt równoboczny o boku 10 cm
 Rozwiązanie:
korzystamy ze wzoru na długość promienia okręgu
wpisanego w trójkąt równoboczny o boku a .
_____
6
____
6
__
Wzory
skróconego
mnożenia
Wzory skróconego mnożenia
 Kwadrat sumy:
Wzory skróconego mnożenia
 Kwadrat różnicy:
Wzory skróconego mnożenia
 Różnica kwadratów:
W matematyce występują
jeszcze inne wzory skróconego
mnożenia, lecz wykorzystywane są
one głównie w szkołach ponad
gimnazjalnych.
Zadanie 1.
Oblicz :
(20+3) = 20 +2*20*3+3=400+120+9=529
(30-1) =30 -2*30*1+1=900-60+1=841
(30+2) =30 +2*30*2+2=900+120+4=1024
(20-1) =20 -2*20*1+1=400-40+1=361
Do wykonania tych zadań skorzystaliśmy z kwadratu
sumy i kwadratu różnicy.
Zadanie 2.
Dane iloczyny przekształć na sumy:
a). (x-4) * (x+4)= x -4
b). (4x-2y) * (4x+2y)=4x -2y
c). (3ax+b) * (3ax-b)=3ax -b
Zadanie 3.
Dane sumy przekształć na iloczyny :
a). 2 - a = (2-a)*(2+a)
b). xz - 5 =(xz-5)*(xz+5)
c). 7 – 4x =(7-4x)*(7+4x)
Przekształcanie
wzorów
Aby przekształcić wzór należy, pomnożyć lub podzielić
w zależności jaki stoi znak obustronnie wszystkie
symbole.
Równanie, które powstanie po pomnożeniu lub
podzieleniu daje nam wzór, który jest nam potrzebny.
Pamiętaj!! Zawsze mnożymy przez odwrotny znak niż stoi
pomiędzy symbolami potrzebnymi do wyliczenia wzoru.
Przekształcanie wzorów
Oto kilka przykładowych przekształceń
wzorów.
V= s: t | *t
V* t= s
Aby otrzymać wzór potrzebny do obliczenia s, należy:
1. Pomnożyć obustronnie przez t.
2. Po stronie gdzie znajduje się V powstaje potrzebne
działanie, a po drugiej to co jest nam potrzebne.
Przekształcanie wzorów
F= m * g | :g
F : g= m
Aby przekształcić ten wzór tak aby otrzymać m, należy:
1.Podzielić obustronnie przez g, gdyż we wzorze
F= m *g jest mnożenie.
2. Powstaje nam potrzebny wzór na obliczenie m.
Przekształcanie wzorów
a= V : t | *t
a * t= V
Aby obliczyć V z tego wzoru, należy:
1. Pomnożyć obustronnie przez t, ponieważ w tym wzorze występuje
dzielenie .
2. Powstaje potrzebny wzór.
Przekształcanie wzorów
p= F : S | * S
p * S= F
Aby przekształcić wzór tak, aby obliczyć F, należy:
1. Pomnożyć obustronnie przez S.
2. Powstały wzór służy do obliczenia F.
QUIZ
1.Kto sformułował twierdzenie o trójkątach
prostokątnych ? :
a) Pitagorasa
b) Euklides
c) Kartezjusz
QUIZ
Poprawna odpowiedź to
a
QUIZ
2. Jaki jest wzór na pole równoległoboku ? :
a) (a+b) :2
b) P = a+ b
c) P=a*h
QUIZ
Poprawna odpowiedź to :
c
QUIZ
3.Wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów
to :
a)
b)
c)
QUIZ
Poprawna odpowiedz to :
b
QUIZ
4.Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta
jest równa :
a) 180°
b) 360°
c) 150°
QUIZ
Poprawna odpowiedź to
a
QUIZ
5 .Obwód prostokąta wynosi 24 cm. Jeden z jego
boków jest trzy razy większy od drugiego. Oblicz
boki i pole tego prostokąta
a) 3 cm
b) 5 cm
c ) 2 cm
QUIZ
Poprawna odpowiedź to
a
QUIZ
6. Ile wynosi długość jednej przyprostokątnej
jeżeli dana jest długość przeciw prostokątnej i
długość drugiej przyprostokątnej : a = 13 cm , b =
12cm ?
a) 10 cm
c) 3 cm
d) 5 cm
QUIZ
Poprawna odpowiedź to :
c
Źródła
 Podręcznik do matematyki „ Z Pitagorasem przez
gimnazjum 2 ”
Autorzy
Pracę wykonali:
Anna Krajewska
Andżelika Krajewska
Kinga Kuskowska
Kamil Jachymowski
Dziękujemy.