Transcript Rozwiązanie - Superszkolna.pl

Pitagoras żył na przełomie V i VI wieku
p.n.e. Był greckim matematykiem
filozofem
i
mistykiem.
Kojarzony
przede
wszystkim
ze
słynnym
twierdzeniem matematycznym. Był to
prawdopodobnie rezultat pracy wielu
uczonych, określanych powszechnie
mianem pitagorejczyków. Z literatury
filozoficznej
Greków
wynika,
że
Pitagoras jako pierwszy użył określenia
filozofia
w
rozumieniu
"miłość
mądrości", dla zaznaczenia, że mądrość
jest rzeczą boską, a jedynie umiłowanie
jej dostępne jest dla ludzi.
Twierdzenie Pitagorasa
I wersja
W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości
przyprostokątnych
jest
równa
kwadratowi
długości
przeciwprostokątnej tego trójkąta. Zgodnie z oznaczeniami na
rysunku obok zachodzi tożsamość
Twierdzenie Pitagorasa
II wersja
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych
jest
równa
kwadratowi
długości
przeciwprostokątnej.
Wyznaczanie kąta
prostego w terenie
Bierzemy sznurek o długości 12 jednostek (np.
metrów), odmierzamy na nim i zaznaczamy
kolejno odcinki o długościach 3, 4 i 5 jednostek.
Następnie tworzymy trójkąt o takich bokach. Kąt
prosty powinien zostać wyznaczony.
Zadanie 1.
Gdy wiał silny wiatr halny, drzewo o wysokości 20m złamało się
w ten sposób, że jego czubek dotknął ziemi w odległości 6m od pnia.
Oblicz, na jakiej wysokości od ziemi drzewo zostało złamane.
Rozwiązanie:
a² + 6² = b²
a + b = 20 m
(20-b)² + 6² =b²
400 – 40b + b² + 36² =b²
436 = 40b /:40
b=10,9m
a =20 - b
a =20m-10,9m=9,1m
Odp: Drzewo zostało złamane na
wysokości 9,1 m.
Zadanie 2.
Przystanek autobusowy znajduje sie przy prostokątnym skwerze.
Niektórzy pasażerowie skracają sobie drogę do przystanku niszcząc
przy tym trawnik (patrz rys.). Załóżmy, że osoba śpiesząca sie do
autobusu biegnie z prędkością 8 km/h (≈2,2 m/s). Ile czasu
zaoszczędzi wybierając drogę przez trawnik?
Rozwiązanie:
10²+12²=x²
x²=100+144
x²=244
x=√244
x=2√61
x≈2·7,8
x≈15,6m
Droga normalna = 10m+12m=22m
Droga na skróty = ok. 15,6m
Różnica drogi do przebycia = 22m-15,6m=6,4m
s=6,4m
v=2,2m/s
t = s/v
t=6,4/2,2=64/22=32/11=2 10/11≈3s
Odp: Zaoszczędzi ok. 3s.
Zadanie 3.
Smycz psa ma długość 6m. Kot położył się w odległości 7,5m od psa.
Czy kot może sie czuć bezpieczny?
Rozwiązanie:
a2 + 32 =62
a2 +9 =36
a2 =36 - 9
a = 𝟐𝟕
a=3 𝟑
a ≈ 5,2 m
Odp.: Kot może sie czuć
bezpiecznie.
Tales z Miletu żył na przełomie VI i VII
wieku p.n.e. Był greckim filozofem,
matematykiem i astronomem. Rozpoczął
systematyzowanie wiedzy geometrycznej.
Przypisuje mu się wiele twierdzeń (m.in.
twierdzenie Talesa, dzięki któremu miał
wyznaczyć wysokość piramidy). Uchodzi
za ojca matematyki. Znane mu były
zjawiska oddziaływania magnesu na
żelazo i elektryzowania się bursztynu.
Umiał też przewidzieć zaćmienia Słońca.
Uważany
za
pierwszego
greckiego
filozofa.
Jeżeli ramiona kąta przetniemy prostymi
równoległymi, to odcinki wyznaczone przez te
proste
na
jednym
ramieniu
kąta,
są
proporcjonalne do odpowiednich odcinków na
drugim ramieniu kąta.
Zadanie 1
Jacek i Wacek stoją na przeciwnych brzegach
Korzystając z danych na rysunku, oblicz
szerokość rzeki.
Rozwiązanie:
20
𝑥
=
rzeki.
8
5
(20 · 5):8=12,5
Odp.: Szerokość rzeki wynosi 12,5m.
Zadanie 2
Oblicz szerokość rzeki na podstawie danych zamieszczonych na
rysunku.
Rozwiązanie:
(3,2 · 32) : 2= 51,2
51,2 - 3,2 = 48
Odp.: Szerokość rzeki wynosi 48.
Zadanie 3
Oblicz wysokość drzewa na podstawie danych
zamieszczonych na rysunku.
Rozwiązanie:
( 48 · 2):12 = 8
Odp.: Wysokość drzewa wynosi 8.
Zadanie 4
Gdy w słoneczny dzień Ania ustawiła się tak, że koniec jej cienia
pokrywał się dokładnie z końcem cienia drzewa, okazało się, że Ania
stoi 20 m od drzewa. Ania ma 170 cm wzrostu, a jej cień miał
wówczas 2 m. Jaką wysokość ma drzewo, przed którym stanęła
Ania?
Rozwiązanie:
1,7
2
=
𝑥
22
2x = 1,7 · 22
2x = 37,4/: 2
x = 18,7
Odp.: Drzewo ma wysokość 18,7 m.
Zadanie 5
Z odległości 5 m wykonano zdjęcie człowieka mającego 170 cm
wzrostu, aparatem, którego długość obiektywu w chwili wykonania
zdjęcia była równa 0,1 m. Oblicz, jaką wysokość ma obraz tego
człowieka na fotografii.
Rozwiązanie:
500
10
=
170
𝑥
x = (170 · 10) : 500= 3,4
Odp.: Obraz tego człowieka na fotografii ma wysokość 3,4 cm.
Zadanie 6
Dom o szerokości 15 m sfotografowano aparatem, którego odległość
soczewki od błony fotograficznej jest równa 8 cm. Oblicz odległość
aparatu od domu, jeżeli szerokość domu na zdjęciu jest równa 10 cm.
Rozwiązanie:
15m - 1500cm
12000 = 10x /: 10
X = 1200cm => 12m
Odp.: Odległość aparatu od domu wynosi 12m.
Zadanie 7
Maszt wysokości 5 m rzuca cień długości 7,5 m. W tym samym
czasie w tej samej miejscowości pewien budynek rzuca cień
długości 36m. Jaką wysokość ma ten budynek?
Rozwiązanie:
x
5
36
7,5
x
5
=
36
7,5
7,5x = 5 · 36
7,5x = 180/: 7,5
x = 24
Odp.: Budynek ma wysokość 24m.
Zadanie 8
Drabina o długości 2,5 m po oparciu o ścianę domu sięga na
wysokość 2 m. Jaką długość ma drabina, jeśli ustawiona pod tym
samym kątem sięga na wysokość 1,8 m?
2,5
1,8
2
Rozwiązanie:
2,5
x
=
2
1,8
2x = 1,8 · 2,5
2x = 4,5 /: 2
x= 2,25
Odp.: Drabina ma długość 2,25m.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Bogumiła Chilczuk
Sylwester Stolarczyk
Piotr Bujnik
Hubert Adamiuk
Karol Pisarzewski
Piotr Samojluk
Dawid Sankowski
Jakub Niedźwiecki
Karol Pęcherz