Transcript TAJNIKI KOMBINATORYKI*
Slide 1
Slide 2
KOMBINATORYKA
Kombinatoryka to teoria obliczania liczby
elementów zbiorów skończonych. Do jej
elementów należą: permutacje, wariacje z
powtórzeniami, bez powtórzeń oraz
kombinacje.
…Kombinatoryka jest tajemniczą częścią
matematyki…
Zaczynamy……
Slide 3
POJĘCIE SILNI
Silnią liczby naturalnej n (w notacji
matematycznej n! co czytamy n silnia)
nazywamy iloczyn wszystkich liczb
naturalnych dodatnich nie większych niż n.
Oznaczenie n! wprowadził Christian Kramp.
Slide 4
PRZYKŁADY…
Wzór ogólny:
Przykłady:
Slide 5
PERMUTACJE
Permutacją zbioru skończonego
nazywamy każde ustawienie wszystkich
jego elementów w dowolnej kolejności.
Pn=n!
•
•
W permutacjach…
Ważna jest kolejność
Wszystkie elementy są istotne
Slide 6
ZABAWY PRZYJEMNE
I POŻYTECZNE
Trzy osoby stały obok siebie. Ile jest
różnych możliwości ustawień tych osób?
Odp.: Możliwości jest sześć
Slide 7
PERMUTACJE W SYTUACJI
PODBRAMKOWEJ
Slide 8
Slide 9
A TERAZ WYBIERAJ…
2
0
6
0
0
0
2
6
0
0
6
2
0
6
0
2
0
6
2
0
0
2
0
6
2
6
0
0
6
0
2
6
2
0
0
0
2
6
6
0
0
2
2
0
0
0
0
6
Slide 10
A TAK TO SIĘ OBLICZA:
Slide 11
WARIACJA BEZ
POWTÓRZEŃ
Wariacją bez powtórzeń k-wyrazową
zbioru n-elementowego nazywamy każdy
k-wyrazowy ciąg różnych elementów
tego zbioru.
Slide 12
Liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji
bez powtórzeń zbioru n-elementowego
wyraża się wzorem:
k- liczba elementów ciągu
n- liczba wszystkich elementów zbioru
V-wariacja bez powtórzeń
Slide 13
CECHY
CHARAKTERYSTYCZNE
WARIACJI BEZ POWTÓRZEŃ
- ważna jest kolejność!
- elementy nie mogą się powtarzać!
- nie koniecznie wszystkie elementy
bierzemy pod uwagę!
Slide 14
OLIMPIADA W VANCOUVER
Ile jest możliwości podziału trzech medali (złotego, srebrnego i
brązowego) pomiędzy 3 polskich zawodników?
Odp.: Możliwości jest sześć
Slide 15
WARIACJE Z KULAMI
W urnie są 4 kule ponumerowane liczbami:
11
12
13
14
Losujemy kolejno bez zwracania 2 kule.
Po każdym losowaniu zapisujemy numer kuli.
Ile jest możliwych wyników losowania?
Slide 16
ACH TE KULKI…
… jak widać można je ułożyć na 12 sposobów.
Slide 17
MATEMATYKA NA POLSKICH
DROGACH…
W miejscowości Kozieryje wójt Solejuk postanowił
zamontować dwa znaki drogowe. Ma do dyspozycji pięć
rodzajów znaków:
Pomóżmy mu je ustawić!
Jak to obliczyć!
Slide 18
JAK TO ZROBIĆ?
Wójt ma problem… musi wybrać 1 z 20 możliwości…
Ale dla takiego wójta to przecież drobnostka. Byle by były środki finansowe!
Slide 19
Wariacja z
powtórzeniami
Wariacją z powtórzeniami k-wyrazową
zbioru n-elementowego nazywamy każdy
k-wyrazowy ciąg elementów tego zbioru.
Dowolny element może wystąpić
wielokrotnie w ciągu.
Slide 20
Wzór:
wariacja z
powtórzeniami
liczba
elementów
w zbiorze
liczba wyrazów
ciągu elementów
zbioru
Slide 21
Cechy
charakterystyczne:
elementy mogą się powtarzać!
ważna jest kolejność!
niekoniecznie wszystkie elementy
bierzemy pod uwagę!
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
ROZWIKŁANIE
zaGADKI
n=10 (ilość możliwych cyfr)
k=3 ( ilość dostępnych miejsc)
Slide 28
Slide 29
ZWARIOWANE
LITERKI
3-wyrazowe wariacje z powtórzeniami ze
zbioru 2-elementowego: {a,b}
aaa
aab
aba
abb
baa
bab
bba
bbb
Slide 30
WARIACJE
Z OBRAZKAMI
2-wyrazowe wariacje z powtórzeniami ze zbioru
3-elementowego
Slide 31
Czas na pieniążki …
Rzucamy 3 monetami. Ile istnieje
wszystkich możliwych wyników?
Slide 32
A TERAZ
POKOMBINUJEMY
…………….
Slide 33
SYMBOL NEWTONA
Symbol Newtona (czytane n nad k, n po k lub
k z n) jest to funkcja dwóch argumentów
całkowitych nieujemnych,
zdefiniowana jako
Slide 34
WŁASNOŚCI SYMBOLU NEWTONA
1.
2.
3.
4.
5.
Slide 35
PRZYKŁADOWE OBLICZENIA
1.
2.
3.
4.
Slide 36
Kombinacją k - elementową zbioru
n – elementowego nazywamy każdy
k – elementowy podzbiór tego zbioru.
W kombinacjach nie jest ważna
kolejność!
Slide 37
Z cyfr od 1 do 49 skreślamy 6 okienek.
Ile jest wszystkich możliwych skreśleń?
n=49
k=6
Odp.: Wszystkich możliwych skreśleń jest 13 983 816.
Slide 38
ŻEBY WYGRAĆ TRZEBA PŁACIĆ…
Ilość
możliwych
skreśleń
Cena
kuponu
Kwota, którą
trzeba zapłacić
aby wygrać..
Slide 39
A CO NA DESER?
Z koszyka owoców: gruszka, jabłko, banan i
mandarynka wybieramy 3 owoce do sałatki
owocowej. Ile jest sposobów wyboru tych
owoców?
Slide 40
n- ilość wszystkich owoców = 4
k- ilość wybieranych owoców = 3
Odp. Są 4 sposoby wyboru owoców.
Slide 41
PROBLEM ŁAZIENKOWY…
Ile słów można utworzyć ze słowa WANNA
przestawiając dowolnie litery.
W A N N A
- litera W
- litera N
- litera A
Odp. Ze słowa WANNA można
utworzyć 30 dowolnych słów
(które nie koniecznie mają sens
polonistyczny).
Slide 42
MOŻE WPADNIESZ NA PARTYJKĘ?
Z talii 24 kart wybieramy losowo 5 kart, w których muszą się znaleźć 4
Asy i 1 Król. Ile jest wszystkich sposobów wyboru tych kart?
Odp.: Są 4 sposoby
wyboru tych kart.
Slide 43
Z talii 52 kart wybieramy losowo 5 kart. Ile jest
sposobów wyboru tych kart tak, aby były wśród
nich 3 trefle, 1 karo i 1 kier?
Odp. Istnieje 48 334 sposobów
wyboru tych kart.
Slide 44
A na koniec żarcik….
Kiedyś dawno, dawno temu
Ktoś powiedział bratu swemu
“Kombinować każdy może,
Ale mu to nie pomoże”.
Więc od dawien, dawna,
Przeważnie dziewczyna ładna,
Kombinować strasznie musi,
Slide 45
….cd żarciku
Aby z rodziców choć mały grosz wydusić.
Lecz nie tylko w życiu codziennym
Kombinatoryka przydać nam się może.
Dzięki niej możemy obliczyć ułożenie świni w oborze,
Lub jaki procent mamy,
Aby ustrzec się groźby mamy.
Jednak cała prawda o kombinowaniu
Jest widoczna w łamigłówek łamaniu
Slide 46
Slide 2
KOMBINATORYKA
Kombinatoryka to teoria obliczania liczby
elementów zbiorów skończonych. Do jej
elementów należą: permutacje, wariacje z
powtórzeniami, bez powtórzeń oraz
kombinacje.
…Kombinatoryka jest tajemniczą częścią
matematyki…
Zaczynamy……
Slide 3
POJĘCIE SILNI
Silnią liczby naturalnej n (w notacji
matematycznej n! co czytamy n silnia)
nazywamy iloczyn wszystkich liczb
naturalnych dodatnich nie większych niż n.
Oznaczenie n! wprowadził Christian Kramp.
Slide 4
PRZYKŁADY…
Wzór ogólny:
Przykłady:
Slide 5
PERMUTACJE
Permutacją zbioru skończonego
nazywamy każde ustawienie wszystkich
jego elementów w dowolnej kolejności.
Pn=n!
•
•
W permutacjach…
Ważna jest kolejność
Wszystkie elementy są istotne
Slide 6
ZABAWY PRZYJEMNE
I POŻYTECZNE
Trzy osoby stały obok siebie. Ile jest
różnych możliwości ustawień tych osób?
Odp.: Możliwości jest sześć
Slide 7
PERMUTACJE W SYTUACJI
PODBRAMKOWEJ
Slide 8
Slide 9
A TERAZ WYBIERAJ…
2
0
6
0
0
0
2
6
0
0
6
2
0
6
0
2
0
6
2
0
0
2
0
6
2
6
0
0
6
0
2
6
2
0
0
0
2
6
6
0
0
2
2
0
0
0
0
6
Slide 10
A TAK TO SIĘ OBLICZA:
Slide 11
WARIACJA BEZ
POWTÓRZEŃ
Wariacją bez powtórzeń k-wyrazową
zbioru n-elementowego nazywamy każdy
k-wyrazowy ciąg różnych elementów
tego zbioru.
Slide 12
Liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji
bez powtórzeń zbioru n-elementowego
wyraża się wzorem:
k- liczba elementów ciągu
n- liczba wszystkich elementów zbioru
V-wariacja bez powtórzeń
Slide 13
CECHY
CHARAKTERYSTYCZNE
WARIACJI BEZ POWTÓRZEŃ
- ważna jest kolejność!
- elementy nie mogą się powtarzać!
- nie koniecznie wszystkie elementy
bierzemy pod uwagę!
Slide 14
OLIMPIADA W VANCOUVER
Ile jest możliwości podziału trzech medali (złotego, srebrnego i
brązowego) pomiędzy 3 polskich zawodników?
Odp.: Możliwości jest sześć
Slide 15
WARIACJE Z KULAMI
W urnie są 4 kule ponumerowane liczbami:
11
12
13
14
Losujemy kolejno bez zwracania 2 kule.
Po każdym losowaniu zapisujemy numer kuli.
Ile jest możliwych wyników losowania?
Slide 16
ACH TE KULKI…
… jak widać można je ułożyć na 12 sposobów.
Slide 17
MATEMATYKA NA POLSKICH
DROGACH…
W miejscowości Kozieryje wójt Solejuk postanowił
zamontować dwa znaki drogowe. Ma do dyspozycji pięć
rodzajów znaków:
Pomóżmy mu je ustawić!
Jak to obliczyć!
Slide 18
JAK TO ZROBIĆ?
Wójt ma problem… musi wybrać 1 z 20 możliwości…
Ale dla takiego wójta to przecież drobnostka. Byle by były środki finansowe!
Slide 19
Wariacja z
powtórzeniami
Wariacją z powtórzeniami k-wyrazową
zbioru n-elementowego nazywamy każdy
k-wyrazowy ciąg elementów tego zbioru.
Dowolny element może wystąpić
wielokrotnie w ciągu.
Slide 20
Wzór:
wariacja z
powtórzeniami
liczba
elementów
w zbiorze
liczba wyrazów
ciągu elementów
zbioru
Slide 21
Cechy
charakterystyczne:
elementy mogą się powtarzać!
ważna jest kolejność!
niekoniecznie wszystkie elementy
bierzemy pod uwagę!
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
ROZWIKŁANIE
zaGADKI
n=10 (ilość możliwych cyfr)
k=3 ( ilość dostępnych miejsc)
Slide 28
Slide 29
ZWARIOWANE
LITERKI
3-wyrazowe wariacje z powtórzeniami ze
zbioru 2-elementowego: {a,b}
aaa
aab
aba
abb
baa
bab
bba
bbb
Slide 30
WARIACJE
Z OBRAZKAMI
2-wyrazowe wariacje z powtórzeniami ze zbioru
3-elementowego
Slide 31
Czas na pieniążki …
Rzucamy 3 monetami. Ile istnieje
wszystkich możliwych wyników?
Slide 32
A TERAZ
POKOMBINUJEMY
…………….
Slide 33
SYMBOL NEWTONA
Symbol Newtona (czytane n nad k, n po k lub
k z n) jest to funkcja dwóch argumentów
całkowitych nieujemnych,
zdefiniowana jako
Slide 34
WŁASNOŚCI SYMBOLU NEWTONA
1.
2.
3.
4.
5.
Slide 35
PRZYKŁADOWE OBLICZENIA
1.
2.
3.
4.
Slide 36
Kombinacją k - elementową zbioru
n – elementowego nazywamy każdy
k – elementowy podzbiór tego zbioru.
W kombinacjach nie jest ważna
kolejność!
Slide 37
Z cyfr od 1 do 49 skreślamy 6 okienek.
Ile jest wszystkich możliwych skreśleń?
n=49
k=6
Odp.: Wszystkich możliwych skreśleń jest 13 983 816.
Slide 38
ŻEBY WYGRAĆ TRZEBA PŁACIĆ…
Ilość
możliwych
skreśleń
Cena
kuponu
Kwota, którą
trzeba zapłacić
aby wygrać..
Slide 39
A CO NA DESER?
Z koszyka owoców: gruszka, jabłko, banan i
mandarynka wybieramy 3 owoce do sałatki
owocowej. Ile jest sposobów wyboru tych
owoców?
Slide 40
n- ilość wszystkich owoców = 4
k- ilość wybieranych owoców = 3
Odp. Są 4 sposoby wyboru owoców.
Slide 41
PROBLEM ŁAZIENKOWY…
Ile słów można utworzyć ze słowa WANNA
przestawiając dowolnie litery.
W A N N A
- litera W
- litera N
- litera A
Odp. Ze słowa WANNA można
utworzyć 30 dowolnych słów
(które nie koniecznie mają sens
polonistyczny).
Slide 42
MOŻE WPADNIESZ NA PARTYJKĘ?
Z talii 24 kart wybieramy losowo 5 kart, w których muszą się znaleźć 4
Asy i 1 Król. Ile jest wszystkich sposobów wyboru tych kart?
Odp.: Są 4 sposoby
wyboru tych kart.
Slide 43
Z talii 52 kart wybieramy losowo 5 kart. Ile jest
sposobów wyboru tych kart tak, aby były wśród
nich 3 trefle, 1 karo i 1 kier?
Odp. Istnieje 48 334 sposobów
wyboru tych kart.
Slide 44
A na koniec żarcik….
Kiedyś dawno, dawno temu
Ktoś powiedział bratu swemu
“Kombinować każdy może,
Ale mu to nie pomoże”.
Więc od dawien, dawna,
Przeważnie dziewczyna ładna,
Kombinować strasznie musi,
Slide 45
….cd żarciku
Aby z rodziców choć mały grosz wydusić.
Lecz nie tylko w życiu codziennym
Kombinatoryka przydać nam się może.
Dzięki niej możemy obliczyć ułożenie świni w oborze,
Lub jaki procent mamy,
Aby ustrzec się groźby mamy.
Jednak cała prawda o kombinowaniu
Jest widoczna w łamigłówek łamaniu
Slide 46