Transcript Kombinatoryka
Slide 1
KOMBINATORYKA
mgr Anna Walczyszewska
Slide 2
Kombinatoryka
Wyjście
Kombinatoryką nazywamy dział matematyki
zajmujący się wyznaczaniem liczby elementów zbiorów
skończonych utworzonych zgodnie z określonymi
zasadami.
PERMUTACJE
WARIACJE Z POWTÓRZENIAMI
WARIACJE BEZ POWTORZEŃ
KOMBINACJE
ZADANIA
PROGRAM – ELEMENTY KOMBINATORYKI
Slide 3
ZADANIA
Permutacją
zbioru n-elementowego nazywamy
każdy n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego
zbioru
Liczba wszystkich różnych permutacji
zbioru n-elementowego jest równa:
Pn n!
Przykład permutacji
zbioru trzyelementowego
Przykład permutacji zbioru
trzy-elementowego B={a, b, c}
A=
(a, b, c) (a, c, b) (c, b, a)
(b, a, c) (b, c, a) (c, a, b)
Slide 4
ZADANIA
Wariacją k-wyrazową z powtórzeniami
zbioru
n-elementowego nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg, którego
wyrazami są elementy danego zbioru
Liczba wszystkich różnych k-wyrazowych
wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego
jest równa:
W
k
n
n
k
Przykłady dwu-wyrazowej wariacji z powtórzeniami zbioru
trzy-elementowego
A=
B={a, b, c}
k=2,n=3
(a, a)
(a, b)
(a, c)
(b, a)
(b, b)
(b, c)
(c, a)
(c, b)
(c, c)
Slide 5
ZADANIA
Wariacją k-wyrazową bez powtórzeń
zbioru
n-elementowego nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg o nie
powtarzających się wyrazach, którego wyrazami są elementy
danego zbioru.
n!
k
Vn
Liczba wszystkich różnych k-wyrazowych
n k !
wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego
jest równa:
gdy k n
Przykłady dwu-wyrazowej wariacji bez powtórzeń zbioru
trzy-elementowego
A=
B={a, b, c}
k=2,n=3
(a, b)
(b, a)
(c, a)
(a, c)
(b, c)
(c, b)
Slide 6
ZADANIA
Kombinacją
k-elementową zbioru n – elementowego
nazywamy każdy podzbiór k-elementowy tego zbioru.
Liczba wszystkich różnych kombinacji
k-elementowych zbioru n-elementowego jest
równa:
C
k
n
gdy
n!
k ! n k !
k n
Przykłady dwu-elementowej kombinacji zbioru trzy- elementowego
A=
B={a, b, c}
k=2,n=3
{a, b}
{a, c}
{b, c}
Slide 7
PRZYKŁADOWE ZADANIA
PERMUTACJE
Zad.1 Na ile sposobów można posadzić 7 osób na 7 miejscach?
P7 7! 1 2 3 4 5 6 7 5040
Zad.2 Ile liczb róznocyfrowych większych od czterech tysięcy
można utworzyć z cyfr 1, 2, 3, 4?
Skoro mają to być liczby większe od 4000 to na pierwszym
miejscu musi wystąpić cyfra 4. Pozostałe trzy cyfry należy
rozłożyć na kolejnych trzech miejscach.
P3 3! 1 2 3 6
POWRÓT
Slide 8
PRZYKŁADOWE ZADANIA
WARIACJE Z POWTÓRZENIAMI
Zad.1 Rzucamy sześciokrotnie moneta. Ile jest możliwych wyników?
n = 2 ponieważ mamy do wyboru dwie możliwości orła albo reszkę
k = 6 ponieważ rzucamy moneta 6 razy
W
6
2
2 64
6
Zad.2 Pamiętam pierwsze trzy cyfry siedmiocyfrowego numeru telefonu
znajomego, zapomniałem pozostałe. Pamiętam jednak, że nie było
wśród nich zera ani piątki. Ile jest możliwych numerów telefonicznych
spełniający taki warunek
n = 8 ponieważ tyle cyfr pozostało poza zerem i piątką
k = 4 ponieważ tyle zostało miejsc w 7-cyfrowym numerze telefonu
W8 8
4
4
4096
POWRÓT
Slide 9
PRZYKŁADOWE ZADANIA
WARIACJE BEZ POWTÓRZEŃ
Zad.2 Dziesięć samochodów wjechało na parking, na którym było 15 wolnych miejsc.
Na ile sposobów można zaparkować te samochody?
n = 15 ponieważ tyle jest wolnych miejsc na parkingu
k = 10 ponieważ tyle jest samochodów
V15
15 !
5
15 5 !
15 !
10 ! 11 12 13 14 15
10 !
11 12 13 14 15 360360
10 !
Zad.1 Ile można wykonać trójkolorowych chorągiewek z sześciu kolorów.
n = 6 ponieważ tyle mamy kolorów
k = 3 ponieważ tworzymy chorągiewki z trzech kolorów
V
3
6
6!
6 3 !
6!
3!
3! 4 5 6
4 5 6 120
3!
POWRÓT
Slide 10
PRZYKŁADOWE ZADANIA KOMBINACJE
Zad.1 Spotkało się 20 przyjaciół i każdy z każdym wymienił uścisk dłoni.
Ile było takich uścisków?
n = 20 ponieważ tyle jest graczy
k = 2 ponieważ do uścisku dłoni potrzebne są dwie osoby
C
2
20
20 !
2! 20 2 !
20 !
2! 18 !
18 ! 19 20
1 2 18 !
19 20
19 10 190
2
Zad.2 Na okręgu wybrano sześć punktów. Ile czworokątów wyznaczają te punkty?
n = 6 ponieważ tyle mamy wybrać punków
k = 4 ponieważ tworzymy czworokąty
C
3
6
6!
4!6 4 !
6!
4! 2!
4! 5 6
4! 1 2
56
5 3 15
2
POWRÓT
Slide 11
ZADANIA
Następne
W turnieju szachowym brało udział 12 zawodników.
Każda partia szachów była rozgrywana nie więcej niż 10
min. Ile godzin potrzeba na cały turniej skoro rozgrywano
go w systemie każdy z każdym
ROZWIAZANIE
Ilu zawodników brało udział w turnieju szachowym, w
którym rozegrano 84 partie, jeśli dwaj zawodnicy wycofali się
po rozegraniu 3 partii, a pozostali grali do końca.
ROZWIAZANIE
Slide 12
ROZWIĄZANIE
n = 12 ponieważ tylu zawodników bierze udział w turnieju
k = 2 ponieważ do rozegrania jednej partii potrzeba 2 zawodników
C
2
12
12 !
2!12 2 !
10 ! 11 12
1 2 10 !
11 6 66
W całym turnieju rozegrano 66 partii szachowych. Każda z nich trwała nie
więcej niż 10 minut, więc cały turniej trwał 660 minut. Po przeliczeniu
minut na godziny otrzymujemy odpowiedź:
Na cały turniej szachowy potrzeba maksymalnie 11 godzin
POWRÓT
Slide 13
ROZWIĄZANIE
n N
n- ilość graczy w turnieju
n-2 – ilość graczy po rezygnacji dwóch
6 – ilość partii rozegranych przez dwóch zawodników, którzy się wycofali ( 2 3 partie )
84 – ilość partii rozegranych w całym turnieju
C n 2 6 84
2
n 2 !
2! n 2 2 !
6 84
84 6
78 / 2
2
n 3 n 2 156
2
n
2
b 5,
c 150
5 4 1 150
2
n 4 ! n 3 n 2
1 2 n 4 !
n 3 n 2
n
a 1,
2 n 3 n 6 156 0
5 n 150 0
25 600
625
n1
n2
5 25
2 1
25
5 25
2 1
Odp. W turnieju szachowym brało udział 15 graczy.
20
10
2
30
15
2
POWRÓT
Slide 14
ZADANIA
Strona główna
Ile jest różnych liczb czterocyfrowych, w których tylko
pierwsza i ostatnia cyfra jest takie same
ROZWIAZANIE
Ile jest różnych liczb czterocyfrowych, w których
żadna cyfra się nie powtarza
ROZWIAZANIE
Slide 15
ROZWIĄZANIE
Wszystkich cyfr jest 10
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Ponieważ mają to być liczby czterocyfrowe więc na
pierwszym i ostatnim miejscu nie może wystąpić cyfra zero.
W takim razie na pierwszym i ostatnim miejscy może
wystąpić jedna z pozostałych dziewięciu cyfr. Dwa
środkowe miejsca należy wypełnić nie powtarzającymi się
cyframi.
9 V
2
10
9
9!
9 2 !
Odp. Takich cyfr jest 648
9
9!
7!
9
7! 8 9
9 8 9 648
7!
POWRÓT
Slide 16
ROZWIĄZANIE
Wszystkich cyfr jest 10
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Skoro to maja być liczby czterocyfrowe to na pierwszym
miejscu nie może wystąpić cyfra zero
V
V
V
4
10
- liczba wszystkich czterowyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru
10 elementowego – wszystkie liczby czterocyfrowe razem z zerem na początku
4
10
- liczba wszystkich trzywyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru
9 elementowego – wszystkie liczby czterocyfrowe z zerem na początku
3
9
V
3
9
10 !
9!
10 4 ! 9 3 !
9! 9
6!
6! 7 8 9 9
10 !
6!
9!
6!
10 ! 9!
6!
9! 10 1
6!
7 8 9 9 4536
6!
Odp. Takich cyfr jest 4536
POWRÓT
KOMBINATORYKA
mgr Anna Walczyszewska
Slide 2
Kombinatoryka
Wyjście
Kombinatoryką nazywamy dział matematyki
zajmujący się wyznaczaniem liczby elementów zbiorów
skończonych utworzonych zgodnie z określonymi
zasadami.
PERMUTACJE
WARIACJE Z POWTÓRZENIAMI
WARIACJE BEZ POWTORZEŃ
KOMBINACJE
ZADANIA
PROGRAM – ELEMENTY KOMBINATORYKI
Slide 3
ZADANIA
Permutacją
zbioru n-elementowego nazywamy
każdy n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego
zbioru
Liczba wszystkich różnych permutacji
zbioru n-elementowego jest równa:
Pn n!
Przykład permutacji
zbioru trzyelementowego
Przykład permutacji zbioru
trzy-elementowego B={a, b, c}
A=
(a, b, c) (a, c, b) (c, b, a)
(b, a, c) (b, c, a) (c, a, b)
Slide 4
ZADANIA
Wariacją k-wyrazową z powtórzeniami
zbioru
n-elementowego nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg, którego
wyrazami są elementy danego zbioru
Liczba wszystkich różnych k-wyrazowych
wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego
jest równa:
W
k
n
n
k
Przykłady dwu-wyrazowej wariacji z powtórzeniami zbioru
trzy-elementowego
A=
B={a, b, c}
k=2,n=3
(a, a)
(a, b)
(a, c)
(b, a)
(b, b)
(b, c)
(c, a)
(c, b)
(c, c)
Slide 5
ZADANIA
Wariacją k-wyrazową bez powtórzeń
zbioru
n-elementowego nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg o nie
powtarzających się wyrazach, którego wyrazami są elementy
danego zbioru.
n!
k
Vn
Liczba wszystkich różnych k-wyrazowych
n k !
wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego
jest równa:
gdy k n
Przykłady dwu-wyrazowej wariacji bez powtórzeń zbioru
trzy-elementowego
A=
B={a, b, c}
k=2,n=3
(a, b)
(b, a)
(c, a)
(a, c)
(b, c)
(c, b)
Slide 6
ZADANIA
Kombinacją
k-elementową zbioru n – elementowego
nazywamy każdy podzbiór k-elementowy tego zbioru.
Liczba wszystkich różnych kombinacji
k-elementowych zbioru n-elementowego jest
równa:
C
k
n
gdy
n!
k ! n k !
k n
Przykłady dwu-elementowej kombinacji zbioru trzy- elementowego
A=
B={a, b, c}
k=2,n=3
{a, b}
{a, c}
{b, c}
Slide 7
PRZYKŁADOWE ZADANIA
PERMUTACJE
Zad.1 Na ile sposobów można posadzić 7 osób na 7 miejscach?
P7 7! 1 2 3 4 5 6 7 5040
Zad.2 Ile liczb róznocyfrowych większych od czterech tysięcy
można utworzyć z cyfr 1, 2, 3, 4?
Skoro mają to być liczby większe od 4000 to na pierwszym
miejscu musi wystąpić cyfra 4. Pozostałe trzy cyfry należy
rozłożyć na kolejnych trzech miejscach.
P3 3! 1 2 3 6
POWRÓT
Slide 8
PRZYKŁADOWE ZADANIA
WARIACJE Z POWTÓRZENIAMI
Zad.1 Rzucamy sześciokrotnie moneta. Ile jest możliwych wyników?
n = 2 ponieważ mamy do wyboru dwie możliwości orła albo reszkę
k = 6 ponieważ rzucamy moneta 6 razy
W
6
2
2 64
6
Zad.2 Pamiętam pierwsze trzy cyfry siedmiocyfrowego numeru telefonu
znajomego, zapomniałem pozostałe. Pamiętam jednak, że nie było
wśród nich zera ani piątki. Ile jest możliwych numerów telefonicznych
spełniający taki warunek
n = 8 ponieważ tyle cyfr pozostało poza zerem i piątką
k = 4 ponieważ tyle zostało miejsc w 7-cyfrowym numerze telefonu
W8 8
4
4
4096
POWRÓT
Slide 9
PRZYKŁADOWE ZADANIA
WARIACJE BEZ POWTÓRZEŃ
Zad.2 Dziesięć samochodów wjechało na parking, na którym było 15 wolnych miejsc.
Na ile sposobów można zaparkować te samochody?
n = 15 ponieważ tyle jest wolnych miejsc na parkingu
k = 10 ponieważ tyle jest samochodów
V15
15 !
5
15 5 !
15 !
10 ! 11 12 13 14 15
10 !
11 12 13 14 15 360360
10 !
Zad.1 Ile można wykonać trójkolorowych chorągiewek z sześciu kolorów.
n = 6 ponieważ tyle mamy kolorów
k = 3 ponieważ tworzymy chorągiewki z trzech kolorów
V
3
6
6!
6 3 !
6!
3!
3! 4 5 6
4 5 6 120
3!
POWRÓT
Slide 10
PRZYKŁADOWE ZADANIA KOMBINACJE
Zad.1 Spotkało się 20 przyjaciół i każdy z każdym wymienił uścisk dłoni.
Ile było takich uścisków?
n = 20 ponieważ tyle jest graczy
k = 2 ponieważ do uścisku dłoni potrzebne są dwie osoby
C
2
20
20 !
2! 20 2 !
20 !
2! 18 !
18 ! 19 20
1 2 18 !
19 20
19 10 190
2
Zad.2 Na okręgu wybrano sześć punktów. Ile czworokątów wyznaczają te punkty?
n = 6 ponieważ tyle mamy wybrać punków
k = 4 ponieważ tworzymy czworokąty
C
3
6
6!
4!6 4 !
6!
4! 2!
4! 5 6
4! 1 2
56
5 3 15
2
POWRÓT
Slide 11
ZADANIA
Następne
W turnieju szachowym brało udział 12 zawodników.
Każda partia szachów była rozgrywana nie więcej niż 10
min. Ile godzin potrzeba na cały turniej skoro rozgrywano
go w systemie każdy z każdym
ROZWIAZANIE
Ilu zawodników brało udział w turnieju szachowym, w
którym rozegrano 84 partie, jeśli dwaj zawodnicy wycofali się
po rozegraniu 3 partii, a pozostali grali do końca.
ROZWIAZANIE
Slide 12
ROZWIĄZANIE
n = 12 ponieważ tylu zawodników bierze udział w turnieju
k = 2 ponieważ do rozegrania jednej partii potrzeba 2 zawodników
C
2
12
12 !
2!12 2 !
10 ! 11 12
1 2 10 !
11 6 66
W całym turnieju rozegrano 66 partii szachowych. Każda z nich trwała nie
więcej niż 10 minut, więc cały turniej trwał 660 minut. Po przeliczeniu
minut na godziny otrzymujemy odpowiedź:
Na cały turniej szachowy potrzeba maksymalnie 11 godzin
POWRÓT
Slide 13
ROZWIĄZANIE
n N
n- ilość graczy w turnieju
n-2 – ilość graczy po rezygnacji dwóch
6 – ilość partii rozegranych przez dwóch zawodników, którzy się wycofali ( 2 3 partie )
84 – ilość partii rozegranych w całym turnieju
C n 2 6 84
2
n 2 !
2! n 2 2 !
6 84
84 6
78 / 2
2
n 3 n 2 156
2
n
2
b 5,
c 150
5 4 1 150
2
n 4 ! n 3 n 2
1 2 n 4 !
n 3 n 2
n
a 1,
2 n 3 n 6 156 0
5 n 150 0
25 600
625
n1
n2
5 25
2 1
25
5 25
2 1
Odp. W turnieju szachowym brało udział 15 graczy.
20
10
2
30
15
2
POWRÓT
Slide 14
ZADANIA
Strona główna
Ile jest różnych liczb czterocyfrowych, w których tylko
pierwsza i ostatnia cyfra jest takie same
ROZWIAZANIE
Ile jest różnych liczb czterocyfrowych, w których
żadna cyfra się nie powtarza
ROZWIAZANIE
Slide 15
ROZWIĄZANIE
Wszystkich cyfr jest 10
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Ponieważ mają to być liczby czterocyfrowe więc na
pierwszym i ostatnim miejscu nie może wystąpić cyfra zero.
W takim razie na pierwszym i ostatnim miejscy może
wystąpić jedna z pozostałych dziewięciu cyfr. Dwa
środkowe miejsca należy wypełnić nie powtarzającymi się
cyframi.
9 V
2
10
9
9!
9 2 !
Odp. Takich cyfr jest 648
9
9!
7!
9
7! 8 9
9 8 9 648
7!
POWRÓT
Slide 16
ROZWIĄZANIE
Wszystkich cyfr jest 10
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Skoro to maja być liczby czterocyfrowe to na pierwszym
miejscu nie może wystąpić cyfra zero
V
V
V
4
10
- liczba wszystkich czterowyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru
10 elementowego – wszystkie liczby czterocyfrowe razem z zerem na początku
4
10
- liczba wszystkich trzywyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru
9 elementowego – wszystkie liczby czterocyfrowe z zerem na początku
3
9
V
3
9
10 !
9!
10 4 ! 9 3 !
9! 9
6!
6! 7 8 9 9
10 !
6!
9!
6!
10 ! 9!
6!
9! 10 1
6!
7 8 9 9 4536
6!
Odp. Takich cyfr jest 4536
POWRÓT