Slide 1

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 2

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 3

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 4

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 5

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 6

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 7

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 8

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 9

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 10

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 11

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 12

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 13

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 14

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 15

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 16

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 17

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 18

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 19

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 20

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 21

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 22

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 23

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 24

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 25

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 26

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 27

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 28

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 29

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 30

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 31

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 32

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 33

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 34

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 35

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 36

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 37

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 38

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 39

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 40

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 41

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 42

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 43

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 44

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 45

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 46

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 47

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 48

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 49

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 50

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 51

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 52

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 53

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 54

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 55

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 56

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 57

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC


Slide 58

Konstrukcje geometryczne

10 listopada 2000

Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

MENU
Cele pracy

cele

Zdania
konstrukcyjne

zad. k.

Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych

k. g.

Konstrukcje
elementarne

k. el.

Wielokąty
foremne

Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa

okręgi

zast.

w. for.

KONIEC

CELE

PRACY

Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.

Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Konstrukcjami klasycznymi są np.



KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA



KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA

MENU

Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.

MENU

KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:





Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła

Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

MENU

PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.

MENU

MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.

Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y


x
y
b

a
MENU

x

Jeżeli a=2b, to

y

b
y=

Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.

b3 2

można

dokonać

TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.

„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.

MENU

KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:


każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach



można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]



można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów

Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.

MENU

Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.

h

b

c

d

h

a

½a

MENU

KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego

MENU

Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.

B

Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.

MENU

Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.

C

D

A
E

r
F

Szukany trójkąt

Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.

Przykłady




Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt



Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej



Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu

MENU

Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

symetralnej odcinka

Dany jest odcinek AB

Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)

C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów

A

B

r

r

D

Rysujemy prostą CD

MENU

Konstrukcja

dwusiecznej kąta

O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta

B’
A

Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną

C’

C

Dwusieczna kąta BAC
MENU

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej

przechodzącej przez dany punkt

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dana jest prosta k i punkt A

Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne

Otrzymujemy odcinek BC

A

k

B

C

Kreślimy symetralną odcinka
BC

Jest to szukana prosta

MENU

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k

w odległości a od tej prostej

O
P
I
S

Dana jest prosta k i odcinek a

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A

a

Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A

B1
a

Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2

k
A

Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2

Są to szukane proste
(2 rozwiązania)

a
B2
l
MENU

Konstrukcja stycznej do danego okręgu

przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu

B1

Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2

O1

O

A

B2

Kreślimy proste B1A i B2A.

Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny

Przykłady:

Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.

Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.

3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU

Kwadrat
konstrukcja

Pięciokąt foremny
konstrukcja

Sześciokąt foremny
konstrukcja

Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S

Dany jest odcinek o
długości a.

K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Rysujemy okrąg o(B,a)

C

Rysujemy okrąg o(A,a).

a

a

Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.

Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.

A

a

B

ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym

MENU

Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

o danym boku a

Dany jest odcinek AB o
długości a.

ABCD
szukany kwadrat

Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).

C

a

a

A

D
a

a

B

Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.

MENU

Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.

O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

ABCDE
szukany pięciokąt

D

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.

a

Kreślimy okrąg o(P,a).

a

E

Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.

C
a

A

Kreślimy proste RT i ST.

a

T

B

a

Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.

R

P

S

Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.

MENU

Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Dany jest odcinek o
długości a.

A

F

a

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

a

Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.

a
a

E

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.

ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a

a

a

C

a

D
MENU

Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany

r

r

pokaż

pokaż

MENU

Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:

Twierdzenie:

można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja

MENU

Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:

Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.

Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie

okręgiem
opisanym na
wielokącie.

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja

MENU

Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

C

Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC

Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
r

Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.

A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.

B
D

MENU

Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

B

Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.

E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.

r
A

S

C

Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD

D
MENU

Okrąg opisany na trójkącie.
C

Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy symetralne
boków AB i BC.

R

Otrzymujemy punkt
przecięcia S.

S
R

Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.

A

R
B

Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU

Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny

Trójkąt
prostokątny
r

r
r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.

r

Trójkąt
rozwartokątny

r
r

Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)

r

r

Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.

MENU

Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt przecięcia S.

D

Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.

C

Ar A A ASA A A A
A

B

Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU

Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.

 Twierdzenie Pitagorasa
 Twierdzenie Talesa
 Jednokładność i jej własności

MENU

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

ZAŁ.

b

c

TEZA:

2
a

+

2
b =

2
c

a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej

Zastosowanie
MENU

Konstrukcje odcinków o długościach

2

1
1

1

5

4

3

2

6
itd...

Z tw. Pitagorasa

12+12=(

3 itd...

1

1

1

2,

1

1

2 )2
MENU

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.

TEZA:

ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O

A1

A2

A

OA 1
OB 1

A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU

Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I

Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.

Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa

D3

Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.

D2
x

D1
x

Kreślimy prostą D5B.

Otrzymujemy 5
równych odcinków

x

D4

Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.

Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.

D5

A

y

x

y

E1

x

y

E2

y

y

E3

E4

B

y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU

Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s  0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że

OX’ = s  OX
X’
O

X

s  OX
Własności...
MENU

Własności jednokładności:


Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.



Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.



Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.



Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.

Zastosowanie
MENU

Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.

C

Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E  AB, G  AC
Kreślimy półprostą AF.

N

Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.

G

M
F

Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.

A

D

K

E

B
L

MENU

ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.

2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)

MENU

Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie

było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.

Konstrukcja i jej opis –

konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.

Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –

ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.

MENU

PRZYKŁADY
ZADAŃ

ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU

ZADANIE 1.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2

C

A

D

b

β
2

B

E

Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.

analiza

ZADANIE 1.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.1)

Dane
ABC

bABC

szukany trójkąt

b

h=CD

F
k

C

h

a =AB+BC

a
A

MENU

B

β
2

E

Opis konstrukcji
(zad. 1).

MENU

analiza

konstrukcja

dowód

ilość rozwiązań



Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a



Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .



Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.

 Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.

DABC jest szukanym trójkątem.

odcinek

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU

prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).

analiza

konstrukcja

opis

dowód

1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU

odcinka

CE

przecięła

bok

AE.

W

takim

przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.

ZADANIE 2.

konstrukcja

opis

ilość rozwiązań

dowód

Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.

ROZWIĄZANIE:
Analiza

MENU

Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.

A R
r

B
k

analiza

ZADANIE 2.

opis

dowód

ilość rozwiązań

Konstrukcja
(zad.2)

Szukane
okręgi

Dane
R
r

R

R+r

r
l1 B2
r

R

A

B1
r

r

k
r
l2
MENU

Opis konstrukcji
(zad. 2).

MENU

konstrukcja

analiza

dowód





Budujemy odcinek o długości R+r.



Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).



Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).

ilość rozwiązań

Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych

Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.

Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).

Konstrukcja

opis

analiza

ilość rozwiązań

Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU

prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.

Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).

konstrukcja

opis

dowód

analiza

0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU






Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania

Brak rozwiązań

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)

0

R+r
R

A

l1
MENU

k

r
r
l2

Jedno
rozwiązanie

konstrukcja

opis

dowód

analiza

Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)

1
R+r
A

R
l1

MENU

k

r
r
l2

Trzy
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

3 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

3
R+r
A
k
MENU

R

l1
r
r
l2

Cztery
rozwiązania

konstrukcja

opis

dowód

Suma prostych l1 i l2 ma

analiza

4 punkty

wspólne z okręgiem o(A, R+r)

4
R+r
k
MENU

A
R

l1

r
r
l2

KONIEC