Konstrukcje geometryczne 10 listopada 2000 Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie. MENU Cele pracy cele Zdania konstrukcyjne zad. k. Opis pracy O konstrukcjach geometrycznych k.
Download ReportTranscript Konstrukcje geometryczne 10 listopada 2000 Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie. MENU Cele pracy cele Zdania konstrukcyjne zad. k. Opis pracy O konstrukcjach geometrycznych k.
Slide 1
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 2
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 3
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 4
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 5
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 6
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 7
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 8
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 9
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 10
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 11
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 12
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 13
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 14
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 15
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 16
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 17
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 18
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 19
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 20
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 21
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 22
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 23
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 24
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 25
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 26
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 27
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 28
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 29
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 30
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 31
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 32
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 33
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 34
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 35
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 36
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 37
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 38
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 39
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 40
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 41
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 42
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 43
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 44
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 45
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 46
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 47
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 48
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 49
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 50
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 51
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 52
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 53
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 54
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 55
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 56
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 57
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 58
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 2
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 3
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 4
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 5
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 6
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 7
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 8
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 9
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 10
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 11
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 12
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 13
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 14
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 15
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 16
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 17
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 18
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 19
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 20
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 21
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 22
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 23
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 24
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 25
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 26
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 27
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 28
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 29
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 30
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 31
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 32
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 33
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 34
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 35
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 36
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 37
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 38
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 39
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 40
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 41
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 42
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 43
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 44
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 45
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 46
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 47
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 48
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 49
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 50
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 51
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 52
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 53
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 54
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 55
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 56
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 57
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC
Slide 58
Konstrukcje geometryczne
10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENU
Cele pracy
cele
Zdania
konstrukcyjne
zad. k.
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
k. g.
Konstrukcje
elementarne
k. el.
Wielokąty
foremne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
okręgi
zast.
w. for.
KONIEC
CELE
PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.
Poszczególne
slajdy
zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem
wszystkich
etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
poznają wielokąty foremne i ich własności
stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU
KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU
Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU
KONSTRUKCJE NIEWYKONALNE
Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
MENU
PODWOJENIE SZEŚCIANU
( problem delijski )
„Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a 3 2 , gdzie a jest
długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba 3 2 nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
MENU
MEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
a
x
y
x
y
b
a
MENU
x
Jeżeli a=2b, to
y
b
y=
Czyli za pomocą mezolabium
podwojenia sześcianu.
b3 2
można
dokonać
TRYSEKCJA KĄTA
Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
MENU
KWADRATURA KOŁA
Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
MENU
Kwadratura trójkąta
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
h
b
c
d
h
a
½a
MENU
KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia
linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym
promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i
wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że
prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU
Konstrukcja Mohra-Mascheroniego
„trójkąta równobocznego wpisanego w dany
Opis konstrukcji
okrąg o środku A”
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
B
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
MENU
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
C
D
A
E
r
F
Szukany trójkąt
Konstrukcje elementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.
Przykłady
Symetralna odcinka
Dwusieczna kąta
Prosta prostopadła do danej
prostej przechodząca przez dany
punkt
Prosta równoległa do danej prostej
w danej odległości od tej prostej
Styczna do danego okręgu
przechodząca przez dany punkt
leżący na zewnątrz okręgu
MENU
Konstrukcja
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
symetralnej odcinka
Dany jest odcinek AB
Symetralna odcinka AB
Wybieramy r >1/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
C
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
A
B
r
r
D
Rysujemy prostą CD
MENU
Konstrukcja
dwusiecznej kąta
O Dany jest kąt BAC
P
I
S Zakreślamy okrąg o
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
B’
A
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
C’
C
Dwusieczna kąta BAC
MENU
Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punkt
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
A
k
B
C
Kreślimy symetralną odcinka
BC
Jest to szukana prosta
MENU
Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostej
O
P
I
S
Dana jest prosta k i odcinek a
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
B1
a
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B 2
k
A
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
a
B2
l
MENU
Konstrukcja stycznej do danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręgu
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
B1
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
O1
O
A
B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny
Przykłady:
Jest to wielokąt, który ma wszystkie Trójkąt równoboczny
boki równej długości i wszystkie kąty
konstrukcja
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
MENU
Kwadrat
konstrukcja
Pięciokąt foremny
konstrukcja
Sześciokąt foremny
konstrukcja
Trójkąt równoboczny o danym boku a
O
P
I
S
Dany jest odcinek o
długości a.
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Rysujemy okrąg o(B,a)
C
Rysujemy okrąg o(A,a).
a
a
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
A
a
B
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
MENU
Kwadrat
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
o danym boku a
Dany jest odcinek AB o
długości a.
ABCD
szukany kwadrat
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
C
a
a
A
D
a
a
B
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
MENU
Pięciokąt foremny o danym boku a
Dany jest odcinek AB o długości a.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
ABCDE
szukany pięciokąt
D
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
a
Kreślimy okrąg o(P,a).
a
E
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
C
a
A
Kreślimy proste RT i ST.
a
T
B
a
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
R
P
S
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
MENU
Sześciokąt foremny o danym boku a
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest odcinek o
długości a.
A
F
a
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
a
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
a
a
E
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
B
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
a
a
C
a
D
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
Okrąg
opisany
Okrąg
wpisany
r
r
pokaż
pokaż
MENU
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja:
Twierdzenie:
można opisać na okręgu (okrąg można
Jeżeli każdy bok Wielokąt
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
wielokąta jest dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
styczny do
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
okręgu, to
wielokąt jest
W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
opisany na
konstrukcja
okręgu, a okrąg
nazywa się
Okrąg można wpisać w czworokąt
okręgiem
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
wpisanym w przeciwległych boków czworokąta są
równe.
wielokąt.
konstrukcja
MENU
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja:
Twierdzenie:
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego
wszystkie
wierzchołki należą
do pewnego
okręgu, nazywa się Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
wielokątem
konstrukcja
wpisanym w okrąg
, okrąg zaśOkrąg można opisać na czworokącie
okręgiem
opisanym na
wielokącie.
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
konstrukcja
MENU
Okrąg wpisany w trójkąt
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
C
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
r
Prowadzimy odcinek
SD ^ AB.
A
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
B
D
MENU
Okrąg wpisany w romb
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
B
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
E
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek
SE ^ AB.
r
A
S
C
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
D
MENU
Okrąg opisany na trójkącie.
C
Dany jest trójkąt ABC.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
R
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
S
R
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
A
R
B
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R =SA
=SB=SC
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
MENU
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
r
Trójkąt
rozwartokątny
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
MENU
Okrąg opisany na prostokącie.
Dany jest prostokąt ABCD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
D
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
C
Ar A A ASA A A A
A
B
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
MENU
Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Talesa
Jednokładność i jej własności
MENU
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
ZAŁ.
b
c
TEZA:
2
a
+
2
b =
2
c
a
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
Zastosowanie
MENU
Konstrukcje odcinków o długościach
2
1
1
1
5
4
3
2
6
itd...
Z tw. Pitagorasa
12+12=(
3 itd...
1
1
1
2,
1
1
2 )2
MENU
Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
TEZA:
ZAŁ. A1B1A2B2
B
B2
B1
O
A1
A2
A
OA 1
OB 1
A 1A 2 B1B2
Zastosowanie
MENU
Podział odcinka na 5 równych części
Dany jest odcinek AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
D3
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
D2
x
D1
x
Kreślimy prostą D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
x
D4
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
D5
A
y
x
y
E1
x
y
E2
y
y
E3
E4
B
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1/5AB
MENU
Jednokładność
Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s OX
X’
O
X
s OX
Własności...
MENU
Własności jednokładności:
Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1/s.
Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
Zastosowanie
MENU
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
C
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E AB, G AC
Kreślimy półprostą AF.
N
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
G
M
F
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
A
D
K
E
B
L
MENU
ZADANIE KONSTRUKCYJNE
1) Etapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.
2) Jak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)
MENU
Etapy rozwiązania:
Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis –
konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań –
ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
MENU
PRZYKŁADY
ZADAŃ
ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
MENU
ZADANIE 1.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków ABBCABC i
wysokość CD.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą ABi zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=ABBC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto CBE180- ABC
(bo CBE jest przyległy do ABC).
1
Stąd BCE= BEC
β.
2
C
A
D
b
β
2
B
E
Możemy
więc
narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
analiza
ZADANIE 1.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.1)
Dane
ABC
bABC
szukany trójkąt
b
h=CD
F
k
C
h
a =AB+BC
a
A
MENU
B
β
2
E
Opis konstrukcji
(zad. 1).
MENU
analiza
konstrukcja
dowód
ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze β i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E 2i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF .
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w
punkcie C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina
AE w punkcie B.
DABC jest szukanym trójkątem.
odcinek
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BCBE i AB+BCAB+BE=a. Trójkąt BEC jest
β
równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =
. Stąd
2
CBE = 180 - b. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
CBA = 180 - (180 - b) = b = ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
MENU
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).
analiza
konstrukcja
opis
dowód
1 lub 0
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna
MENU
odcinka
CE
przecięła
bok
AE.
W
takim
przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w
przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
ZADANIE 2.
konstrukcja
opis
ilość rozwiązań
dowód
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ROZWIĄZANIE:
Analiza
MENU
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
A R
r
B
k
analiza
ZADANIE 2.
opis
dowód
ilość rozwiązań
Konstrukcja
(zad.2)
Szukane
okręgi
Dane
R
r
R
R+r
r
l1 B2
r
R
A
B1
r
r
k
r
l2
MENU
Opis konstrukcji
(zad. 2).
MENU
konstrukcja
analiza
dowód
Budujemy odcinek o długości R+r.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
ilość rozwiązań
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
tych
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Dowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).
Konstrukcja
opis
analiza
ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
MENU
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Istnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).
konstrukcja
opis
dowód
analiza
0,1,2,3,4
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
MENU
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
Brak rozwiązań
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
R+r
R
A
l1
MENU
k
r
r
l2
Jedno
rozwiązanie
konstrukcja
opis
dowód
analiza
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
1
R+r
A
R
l1
MENU
k
r
r
l2
Trzy
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
3
R+r
A
k
MENU
R
l1
r
r
l2
Cztery
rozwiązania
konstrukcja
opis
dowód
Suma prostych l1 i l2 ma
analiza
4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
4
R+r
k
MENU
A
R
l1
r
r
l2
KONIEC