Transcript Geometrie nieeuklidesowe
Slide 1
Geometrie nieeuklidesowe
Agata Jagoda-Hacura
Slide 2
Geometria euklidesowa
Cztery postulaty Euklidesa:
I.
Przez każde dwa różne punkty można
poprowadzić jedną i tylko jedną linię
prostą.
II.
Każdy odcinek może być przedłużony do
nieskończoności, tworząc prostą.
III.
Odległość i punkt wyznaczają okrąg.
IV.
Wszystkie kąty proste są równe.
Slide 3
Piąty postulat Euklidesa
V.
Dwie proste, które przecinają trzecią w taki
sposób, że suma kątów wewnętrznych po
jednej stronie jest mniejsza od dwu kątów
prostych, przetną się z tej właśnie strony,
jeśli się je odpowiednio przedłuży.
Slide 4
Alternatywna forma piątego postulatu
V.
Przez każdy punkt nie leżący na danej
prostej można poprowadzić dokładnie jedną
prostą równoległą do danej.
Slide 5
Postulaty Euklidesa
I.
Przez każde dwa różne punkty można poprowadzić jedną i tylko jedną
linię prostą.
II.
Każdy odcinek może być przedłużony do nieskończoności, tworząc
prostą.
III.
Odległość i punkt wyznaczają okrąg.
IV.
Wszystkie kąty proste są równe.
V.
Przez każdy punkt nie leżący na danej prostej można poprowadzić
dokładnie jedną prostą równoległą do danej.
Slide 6
A gdyby tak zaprzeczyć V. postulatowi …?
Girolamo Saccheri (1733)
Twórcy geometrii
nieeuklidesowej
Carl Friedrich Gauss (1792)
Janos Bolyai (1823)
Nicolai Łobaczewski
(1826)
Slide 7
Trójkąt o wszystkich kątach prostych…
Trasa wycieczki podróżnika:
Bokote (Zair)
biegun południowy
Lerida (Kolumbia)
Slide 8
Geometrie nieeuklidesowe
Jest wiele geometrii nieeuklidesowych.
Wyróżniamy wśród nich m.in. :
• Geometrię sferyczną (eliptyczną)
• Geometrię hiperboliczną
• Geometrię Riemanna
Slide 9
Geometria sferyczna
Podstawowe pojęcia:
o Płaszczyzna – sfera (w pojęciu
euklidesowym)
o Punkt – para dwóch punktów
antypodycznych przestrzeni
euklidesowej: {A, A’}
o Odcinek AB – łuk wielkiego okręgu
łączący punkty A i B
o Prosta – wielki okrąg sfery
Slide 10
Przecięcie dwóch prostych
Każde dwie proste eliptyczne
przecinają się w dokładnie jednym
punkcie!
Proste rozłączne nie istnieją !
(Nie ma prostych równoległych !)
Slide 11
Inne własności w geometrii sferycznej
o Pole trójkąta ABC:
S ABC R ( A B C )
2
ABC 0
ABC
o Suma kątów w trójkącie jest większa od 180°
Slide 12
Inne własności w geometrii sferycznej
o Pole trójkąta ABC:
S ABC R ( A B C )
2
ABC 0
ABC
o Suma kątów w trójkącie jest większa od 180°
o Górne ograniczenie:
Suma kątów w trójkącie jest mniejsza od 3π = 540°
Slide 13
Geometria hiperboliczna
Podstawowe pojęcia:
o Płaszczyzna – koło bez brzegu
o Punkt – punkt płaszczyzny
o Prosta – łuk okręgu prostopadłego do
brzegu koła.
o Odcinek AB – fragment łuku okręgu
prostopadłego do brzegu koła zawarty
pomiędzy punktami A i B
Model Poincarego geometrii
hiperbolicznej
Slide 14
Proste przecinające się i proste równoległe
Przez punkt nie leżący na prostej
przechodzi
więcej
niż
prosta do niej równoległa!
jedna
Slide 15
Inne własności w geometrii hiperbolicznej
o Suma kątów w trójkącie jest mniejsza
od 180°.
o Dla dowolnego kąta istnieje prosta
równoległa do obu jego ramion.
o Istnieje trójkąt o kątach równych 0°.
W trójkącie tym wszystkie boki są do
siebie równoległe.
Slide 16
Geometria nieeuklidesowa w sztuce
Model Poincarego stał się inspiracją dla M.Eschera
Slide 17
Bibliografia
o W. Sadowski "FEMME FATALE. Trzy opowieści o królowej nauk"
o K.Ciesielski, Z.Pogoda „Bezmiar matematycznej wyobraźni”
o S. Kulczyński „Geometria nieeuklidesowa”
o www.wikipedia.pl
Geometrie nieeuklidesowe
Agata Jagoda-Hacura
Slide 2
Geometria euklidesowa
Cztery postulaty Euklidesa:
I.
Przez każde dwa różne punkty można
poprowadzić jedną i tylko jedną linię
prostą.
II.
Każdy odcinek może być przedłużony do
nieskończoności, tworząc prostą.
III.
Odległość i punkt wyznaczają okrąg.
IV.
Wszystkie kąty proste są równe.
Slide 3
Piąty postulat Euklidesa
V.
Dwie proste, które przecinają trzecią w taki
sposób, że suma kątów wewnętrznych po
jednej stronie jest mniejsza od dwu kątów
prostych, przetną się z tej właśnie strony,
jeśli się je odpowiednio przedłuży.
Slide 4
Alternatywna forma piątego postulatu
V.
Przez każdy punkt nie leżący na danej
prostej można poprowadzić dokładnie jedną
prostą równoległą do danej.
Slide 5
Postulaty Euklidesa
I.
Przez każde dwa różne punkty można poprowadzić jedną i tylko jedną
linię prostą.
II.
Każdy odcinek może być przedłużony do nieskończoności, tworząc
prostą.
III.
Odległość i punkt wyznaczają okrąg.
IV.
Wszystkie kąty proste są równe.
V.
Przez każdy punkt nie leżący na danej prostej można poprowadzić
dokładnie jedną prostą równoległą do danej.
Slide 6
A gdyby tak zaprzeczyć V. postulatowi …?
Girolamo Saccheri (1733)
Twórcy geometrii
nieeuklidesowej
Carl Friedrich Gauss (1792)
Janos Bolyai (1823)
Nicolai Łobaczewski
(1826)
Slide 7
Trójkąt o wszystkich kątach prostych…
Trasa wycieczki podróżnika:
Bokote (Zair)
biegun południowy
Lerida (Kolumbia)
Slide 8
Geometrie nieeuklidesowe
Jest wiele geometrii nieeuklidesowych.
Wyróżniamy wśród nich m.in. :
• Geometrię sferyczną (eliptyczną)
• Geometrię hiperboliczną
• Geometrię Riemanna
Slide 9
Geometria sferyczna
Podstawowe pojęcia:
o Płaszczyzna – sfera (w pojęciu
euklidesowym)
o Punkt – para dwóch punktów
antypodycznych przestrzeni
euklidesowej: {A, A’}
o Odcinek AB – łuk wielkiego okręgu
łączący punkty A i B
o Prosta – wielki okrąg sfery
Slide 10
Przecięcie dwóch prostych
Każde dwie proste eliptyczne
przecinają się w dokładnie jednym
punkcie!
Proste rozłączne nie istnieją !
(Nie ma prostych równoległych !)
Slide 11
Inne własności w geometrii sferycznej
o Pole trójkąta ABC:
S ABC R ( A B C )
2
ABC 0
ABC
o Suma kątów w trójkącie jest większa od 180°
Slide 12
Inne własności w geometrii sferycznej
o Pole trójkąta ABC:
S ABC R ( A B C )
2
ABC 0
ABC
o Suma kątów w trójkącie jest większa od 180°
o Górne ograniczenie:
Suma kątów w trójkącie jest mniejsza od 3π = 540°
Slide 13
Geometria hiperboliczna
Podstawowe pojęcia:
o Płaszczyzna – koło bez brzegu
o Punkt – punkt płaszczyzny
o Prosta – łuk okręgu prostopadłego do
brzegu koła.
o Odcinek AB – fragment łuku okręgu
prostopadłego do brzegu koła zawarty
pomiędzy punktami A i B
Model Poincarego geometrii
hiperbolicznej
Slide 14
Proste przecinające się i proste równoległe
Przez punkt nie leżący na prostej
przechodzi
więcej
niż
prosta do niej równoległa!
jedna
Slide 15
Inne własności w geometrii hiperbolicznej
o Suma kątów w trójkącie jest mniejsza
od 180°.
o Dla dowolnego kąta istnieje prosta
równoległa do obu jego ramion.
o Istnieje trójkąt o kątach równych 0°.
W trójkącie tym wszystkie boki są do
siebie równoległe.
Slide 16
Geometria nieeuklidesowa w sztuce
Model Poincarego stał się inspiracją dla M.Eschera
Slide 17
Bibliografia
o W. Sadowski "FEMME FATALE. Trzy opowieści o królowej nauk"
o K.Ciesielski, Z.Pogoda „Bezmiar matematycznej wyobraźni”
o S. Kulczyński „Geometria nieeuklidesowa”
o www.wikipedia.pl