Transcript MATEMATYKAAKYTAMETAM - Eszkola

MATEMATYKAAKYTAMETAM
TAM GDZIE PROSTE SĄ KRZYWE,
CZYLI GEOMETRIE NIEUKLIDESOWE.
Weronika Ulatowska
Andżelika Wysocka
GEOMETRIA EUKLIDESOWA
• Klasyczna odmiana geometrii opisana przez
Euklidesa.
• Geometria „przestrzeni płaskich”, czyli
takich o krzywiźnie zerowej.
• Euklides wyróżnił 5 pewników
płaszczyzny.
5 PEWNIKÓW PŁASZCZYZNY
1) Dowolne dwa punkty można połączyć
odcinkiem.
2) Dowolny odcinek można przedłużyć
nieograniczenie (uzyskując prostą).
3) Dla danego odcinka można zaznaczyć okrąg o
środku w jednym z jego końcowych punktów i
promieniu równym jego długości.
4) Wszystkie kąty proste są przystające.
5) Dwie proste, które przecinają trzecią w taki
sposób, że suma kątów wewnętrznych po jednej
stronie jest mniejsza od dwóch kątów prostych,
przetną się z tej właśnie strony.
POSTULAT RÓWNOLEGŁOŚCI
• Dla geometrii na płaszczyźnie piąty z
pewników, tzw. Postulat Euklidesa, można
sformułować: „przez dany punkt można
poprowadzić co najwyżej jedną prostą
rozłączną z daną prostą”.
„INNE” GEOMETRIE
• Piąty postulat spowodował powstanie wielu
niejasności.
• W XIX wieku okazało się, że jest on niezależny
od pozostałych, a zastąpienie go innymi daje inne
spójne geometrie.
• Dotychczas znaną geometrię nazwano
euklidesową, a nowe – nieeuklidesowymi.
• Można je sobie wyobrażać jako geometrie
przestrzeni „wypukłych” lub „wklęsłych”, tzn.
pierwsza z nich ma krzywiznę ujemną, druga –
dodatnią.
GEOMETRIA
NIEEUKLIDESOWA
• Geometria nieeuklidesowa – geometria, która nie
spełnia co najmniej jednego z pewników geometrii
euklidesowej.
• Przykłady geometrii nieeuklidesowych:
• Geometria hiperboliczna (siodła, Łobaczewskiego)
• Geometria sferyczna (eliptyczna)
GEOMETRIA
HIPERBOLICZNA
• Geometrię hiperboliczną otrzymuje się z
geometrii euklidesowej w wyniku
zastąpienia pewnika o prostych
równoległych postulatem hiperbolicznym:
"Przez dowolny punkt nieleżący na danej
prostej przechodzą co najmniej dwie
różne proste nie mające wspólnych
punktów z tą prostą."
FAKTY I TWIERDZENIA
• Przez punkt poza prostą można poprowadzić dwie,
a nawet nieskończenie wiele prostych nie
przecinających danej.
• Dla dowolnego kąta istnieje prosta równoległa do
obu jego ramion. Prosta ta nazywa się prostą
zagradzającą kąta.
• Suma rozwartości kątów trójkąta jest mniejsza niż
π.
• Trójkąty o kątach odpowiednio tej samej
rozwartości są do siebie przystające. W geometrii
euklidesowej spełnienie tego warunku gwarantuje
jedynie podobieństwo.
GEOMETRIA SFERYCZNA
• Rezygnacja z postulatu równoległości geometrii
euklidesowej daje możliwość przyjęcia, że przez
punkt nieleżący na danej prostej nie przechodzi
żadna prosta rozłączna z daną (drugą możliwością
jest przyjęcie, iż takich prostych może być więcej
niż jedna).
• W konsekwencji każde dwie proste przecinają się
w pewnym punkcie, przez co brak tu pojęcia
równoległości.
MODEL SFERYCZNY
• Punktem geometrii eliptycznej jest para dwóch
punktów leżących po przeciwnych stronach
wybranej sfery.
• Płaszczyzną jest zbiór wszystkich takich par.
• Prostą zbiór takich par na kole wielkim
przecinającym sferę.
• Odcinkiem, czyli najkrótszym łukiem między
dwoma punktami, jest zawsze łuk koła wielkiego ,
• Suma kątów w trójkącie sferycznym jest zawsze
większa od 180°.
RÓŻNE GEOMETRIE
PORÓWNANIE
DWIE PROSTE RÓWNOLEGŁE
GEOMETRIA
płaszczyzna
punkt
odcinek
kąt
EUKLIDESOWA SFERYCZNA
HIPERBOLICZNA
TRÓJKĄT W GEOMETRII:
EUKLIDESOWEJ
SFERYCZNEJ
HIPERBOLICZNEJ
KONIEC
ZA POMOC DZIĘKUJEMY:
•Wujkowi Google
•Cioci Wikipiedii
•i innym