Transcript do pobrania

GEOMETRIA
Euklidesa, Riemanna, Łobaczewskiego
Geo - Ziemia, metria - nauka o mierzeniu
geometria - nauka o pomiarach na Ziemi.
Notki biograficzne:
Tales z Miletu,
ur. ok. 620 pne, zm. ok. 540 pne. Grecki
filozof, astronom i matematyk, stworzył
podstawy do późniejszego rozwoju
geometrii w Grecji.
Pitagoras z Samos,
ur. ok. 580 pne, zm. ok. 496 pne.
Grecki matematyk i filozof, przyczynił się
znacznie do rozwoju matematyki
i astronomii, był twórcą kierunku
filozoficznego zwanego pitagoreizmem.
Euklides,
ur. ok. 365 pne, zm. ok. 300 pne.
Matematyk grecki, pochodzący z Aten,
przez większość życia działający w
Aleksandrii. Autor pierwszych prac
teoretycznych z matematyki. Główne jego
dzieło Elementy jest syntezą ówczesnej
wiedzy matematycznej zarówno w
dziedzinie geometrii, jak i w teorii liczb.
Elementy są pierwszą próbą
aksjomatycznego ujęcia geometrii i były
podstawowym podręcznikiem geometrii
do XIX wieku.
Riemann Georg Friedrich Bernhard
ur. 1826r., zm. 1866 r.
Matematyk niemiecki, twórca
wielowymiarowej geometrii metrycznej,
której zasady stanowią podstawę
ogólnej podstawy względności.
Zapoczątkował systematykę geometrii
nieeuklidesowych.
Łobaczewski Nikołaj
ur. 1792 r., zm. 1856 r.
Matematyk rosyjski, twórca pierwszej
geometrii nieeuklidesowej, zwanej też
geometrią Łobaczewskiego albo
geometrią hiperboliczną. Liczące się
rezultaty naukowe uzyskał przede
wszystkim w geometrii. Zyskały mu
one miano „Kopernika geometrii”.
W geometrii rozróżniamy:
 pewniki – czyli stwierdzenia oczywiste nie wymagające dowodu np. przez
dwa różne punkty przechodzi jedna i tylko jedna prosta
 pojęcia pierwotne, których nie definiujemy a ich istotę poznajemy w różnych
działaniach, np.: punkt, prosta,…
l
A
A należy do l (A Є l), B Є l
B
i
A ≠ B <=> l jest tylko jedna
pojęcie równoległości prostych:
dwie proste są równoległe l1 || l2 <=>
1. nigdzie się nie przecinają
2. odległość między nimi jest w każdym punkcie taka sama
l1
d1
=
d2
l2
 twierdzenia, z których przytoczymy jedno przydatne w dalszej części
wykładu
γ
β
α
δ
Jeśli dwie proste równoległe przetniemy trzecia prostą, to utworzone kąty
dają zależności:
α=β
kąty naprzemianległe wewnętrzne,
α=γ
kąty odpowiadające
α=δ
kąty wierzchołkowe
γ=δ
kąty naprzemianległe zewnętrzne
GEOMETRIA EUKLIDESA
Kluczowym pewnikiem jest dla Euklidesa stwierdzenie:
„przez punkt poza prostą przechodzi tylko jedna prosta do niej równoległa”.
A
l2
l1
A Є l1
Λ
A Є l2
Є = nie należy,
A - punkt,
Λ
l1 || l2
Λ = i,
l1, l2 - proste
<=>
Є należy,
l1 tylko jedna
|| są równoległe,
Opierając się na tym pewniku wykażemy, że suma kątów trójkąta tworzy kąt półpełny,
czyli kąt o mierze 1800.
C
α2
γ
β2
β1
α1
A
B
przez punkt C prowadzimy prostą równoległą do prostej łączącej punkty A i B
lAB - tylko jedna (pewnik)
lC - tylko jedna (pewnik)
Ponieważ kąty naprzemianległe wewnętrzne są równe,
to α1 = α2
Λ
β1 = β2
a zatem
suma kątów trójkąta = α1 + β1 + γ = α2 + γ + β2, czyli kąt 1800 - tworzy półprostą.
cnw
(Przez prawie 2 tysiące lat ludzkość wierzyła, że jest to „oczywista oczywistość”, tak
jak wierzono, że Ziemia jest niewątpliwie płaska.)
Geometria Riemanna
Łatwo zauważyć, że stwierdzenie o sumie kątów trójkąta na kuli nie jest prawdziwe.
C biegun
południki
A
równik
B
Trójkąt ABC ma w sumie więcej niż 1800:
Południki tworzą z równikiem kąt prosty (900)
i
kąt A + kąt B + kąt C = 900 + 900 + γ > 1800
I odkąd Kolumb przez swoją wyprawę, a właściwie Magelan, który opłynął świat,
wykazali, że Ziemia jest kulą, to geometria Euklidesa nie jest na niej prawdziwa.
Jeśli przyjąć, że na Ziemi „prostą” jest wielki południk, czyli linia opasująca całą kulę,
A
l
to przez punkt poza prostą nie przechodzi żadna prosta do niej równoległa.
A
B
C
Prosta przechodząca przez punkt A przetnie daną prostą dwa razy,
w punkcie B i C.
Zauważmy, że kulistość Ziemi powoduje poważne konsekwencje:
1. Pilot startujący z równika z bakiem paliwa na 4 tysiące kilometrów jeśli przebędzie
drogę: 1 tys. km na północ, 1 tys. km na wschód, 1 tys. km na połunie i 1 tys. km na
zachód – nie doleci do miejsca, z którego wystartował.
1000 km
1000 km
1000 km
1000 km
2. Ponieważ fale elektromagnetyczne rozchodzą się po liniach prostych, to zasięg
nadajnika w zależności od wysokości jego umieszczenia nie przekracza na ogół
30 km.
maszt
zasięg fal
pole martwe
Matody pomiarów w geometrii Euklidesa można stosować na Ziemi tylko na
„małych” odległościach, dla których błąd pomiaru spowodowany użyciem narzędzi
jest większy niż błąd spowodowany nieuwzględnieniem krzywizny Ziemi.
Imieniny Bogusława
Na imieninach pan A, geograf, tłumaczy przyczynę nieobecności na poprzednich
imieninach.
„Byłem na wyprawie naukowej. Równo ze wschodem słońca wyszedłem z namiotu,
poszedłem na północ, potem skręciłem na wschód i po jakimś czasie skręciłem na
południe. Szedłem ciągle w tym samym kierunku i okazało się, że wróciłem do namiotu
(czyli do miejsca wyjścia).”
Jak miał na imię solenizant?
-droga geografa
- wyjście równo ze wschodem
słońca w dniu imienin
Droga jaką geograf odbył w zadaniu jest możliwa jeśli punktem wyjścia był biegun
południowy.
Ponieważ wyjście na trasę nastąpiło „równo ze wschodem słońca” to łatwo ustalimy
datę dnia imienin, bo wschód słońca jest na biegunie południowym raz w roku, gdy
u nas jest jesienne zrównanie dnia z nocą czyli
23 września
imieniny obchodzą: Bogusław i Tekla
Geometria Łobaczewskiego
Euklides: przez punkt poza prostą
przechodzi tylko jedna prosta do niej równoległa.
Riemann: przez punkt poza prostą
nie przechodzi żadna prosta do niej równoległa.
Łobaczewski (Gauss): przez punkt poza prostą
przechodzi nieskończenie wiele prostych do niej równoległych.
Wyobraźmy sobie ograniczony obszar, w którym w środku jest ciepło, a im bliżej krańca
tym jest zimniej aż do zera bezwzględnego 0 K (zero Kelwina, czyli - 273,15 0C).
I niech przedmioty na tej „Ziemi” mają takie właściwości jak metale na „naszej Ziemi” –
pod wpływem zimna się kurczą, a pod wpływem ciepła się rozszerzają.
A
d1
d2
l
l1
2
Zauważmy, że proste l1 i l2 : nigdzie się nie przecinają i odległość między nimi też się
nie zmienia. Chociaż d2 jest dla nas mniejsze niż d1 , , ale na tamtym świecie o tym
nie wiedzą, bo wprawdzie odległość między nimi zmalała, ale zmalała również miara,
którą ta odległość jest mierzona, skurczyli się też ludzie, którzy tego pomiaru
dokonują.
Przyjmując pozostałe pewniki z geometrii Euklidesa Łobaczewski zbudował
swoja geometrię.
A przecież nikt nam nie zagwarantuje, że nasz Świat nie jest właśnie taki jak
w przedstawionym modelu.
Mógł Kolumb przy pomocy „jajka Kolumba” przekonywać, że Ziemia jest kulą wbrew
powszechnej opinii, że płaskość Ziemi jest oczywistą oczywistością, mogę i ja podjąć
próbę przekonania słuchaczy, że Ziemia wcale nie jest kulą, tylko jest bryłą wszędzie
wklęsłą (lub chodzimy wewnątrz kuli).
Wystarczy popatrzeć na buty jak się zdzierają,
Gdyby Ziemia była kulą, zelówki zdzierałyby się na środku, a przecież zdzierają się na
czubku i na pięcie, co jest dostatecznym dowodem na przedstawioną tezę o wklęsłości
Ziemi.
I to by było na tyle.
październik 2010
opracował: Franciszek Potulski