Transcript 4-ODBICIA_TRANSFORMACJA IMPEDANCJI

WARUNKI BRZEGOWE. FALE NA GRANICY OŚRODKÓW
Warunki brzegowe dla składowych stycznych

n
Ośrodek 2
2, 2, 2
Ośrodek 1
1, 1, 1
Ośrodek 1
 B 
E2t l  E2 /1n  l  E1t l  E1/ 2 n  l     ll
 t 
Uwzględniając, że l   l:
E1, H1

n
l
l

 
B 
E

d
l

l
  t  p d S
Prawo Faraday’a:
E2, H2
Ośrodek 2
  
(E  Et  Es )

p
E2t  E1t 0
  
n  E2 E1  0


Podobne rozważania dla pól
magnetycznych prowadzą do wzoru:



  
n  H2 H1  Js
1
Składowa styczna pola elektrycznego jest na granicy ośrodków ciągła:
Et1 = Et2 .
Składowa styczna pola magnetycznego jest w przypadku ośrodków
rzeczywistych także ciągła, ponieważ Js  0 .
Ht1 = Ht2
W przypadku, gdy drugi z ośrodków jest bardzo dobrym przewodnikiem
występuje efekt naskórkowy i prąd (którego gęstość szybko maleje
wykładniczo w miarę oddalania się od powierzchni) płynie cienką
warstwą.
Zjawisko to można zaproksymować przybliżając bardzo dobry
przewodnik - przewodnikiem doskonałym (), płynący
„naskórkowo” prąd - prądem powierzchniowym o gęstości Js [A/m]
. 
 
Wówczas (ponieważ H2 w doskonałym przewodniku się zeruje) nH1  Js .
Składowa styczna pola doznaje wtedy (na granicy
z idealnym
 
przewodnikiem) skoku o wartość Js (z tym, że H Js ).
2
Warunki brzegowe dla składowych normalnych
Ośrodek 2


n2  n

n
Prawo Gaussa:
 
 Dn d S   dV
S
Ośrodek 1


  
D2 D1  n  s


n1   n
Podobnie dla indukcji magnetycznej:
V
 
 B n d S  0
;



 
B2  B1  n  0
S
Składowa normalna wektora indukcji magnetycznej jest ciągła na granicy ośrodków:
B1n = B2n.
Dla ośrodków rzeczywistych składowa normalna wektora indukcji elektrycznej też jest
ciągła, ponieważ s = 0: D1n = D2n
Dla bardzo dobrego przewodnika ładunki gromadzą się głównie przy jego
powierzchni. Można go aproksymować przewodnikiem idealnym, na powierzchni
którego indukuje się ładunek o gęstości powierzchniowej s [C/m2]. Wówczas D1n = s ,
gdyż D2 = 0 wewnątrz przewodnika idealnego. Składowa normalna wektora indukcji
doznaje skoku o wartość s na granicy z idealnym przewodnikiem.
3
Fala padająca prostopadle na granicę ośrodków
x
Ośrodek 1
1 , 1 , 1
E1
H1
+
E1

H1
Wprowadza się współczynnik
odbicia pola elektrycznego na
granicy ośrodków:
Ośrodek 2
2 , 2 , 2
E1 z  0
 
E1 z  0
E2

z
+
H2
y
 
 z
E1  ix E0 e 1
 
 z
E1  ix E0 e 1


 z
E2  ix 1   E0 e 2
  <-1, +1>
   E0   z
H1  i y e 1
Z1

 E0  z
H1   i y  e 1
Z1


E  z
H 2  i y 1    0 e 2
Z1
4
Stosunek pól E2 /H2 w drugim ośrodku musi być równy impedancji Z2 tego
ośrodka. Możemy więc wyznaczyć współczynnik odbicia  oraz
współczynniki transmisji Te i Tm:
Z2 
Te 
1  Z1
1 
E2  z  0 
2Z 2

1



Z 2  Z1
E1 z  0

Z 2  Z1
Z 2  Z1
Tm 
H 2  z  0
2Z1

1



Z 2  Z1
H1 z  0
Jeżeli oba ośrodki są bezstratne to impedancje Z, współczynnik
odbicia , oraz transmisje T są liczbami rzeczywistymi.
  E
 
H1  i y 0 cos  t  1 z 
E1  ix E0 cos t  1 z 
Z1

 E0
 
H1   i y  cos  t  1 z 
E1  ix E0 cos t  1 z 
Z1




E




E2  ix 1   E0 cos  t  2 z
H2  i y 1    0 cos  t   2 z 
Z1

Z 2  Z1
Z 2  Z1
Tp = 1 - 2
gdzie:Tp – współczynnik
transmisji mocy
5
Całkowite pole w ośrodku pierwszym jest sumą fal: padającej i odbitej.
*
Amplitudę fali np. dla pola elektrycznego wyznaczymy z zależności: E1  E1  E1




E1  E0 e j  t e  j 1 z   e j 1 z  E0 e  j  t e j 1 z   e  j 1 z 
E0 1   e  j 21 z   e j 21 z   2  E0 1  2 cos 21 z   2
Zależność ta określa rozkład amplitud (obwiednię) pola elektrycznego.
dla Z2 > Z1 ,  > 0 na granicy ośrodków (z = 0) amplituda pola osiąga
maksimum E1+(1 +  )
dla Z2 < Z1 ,  < 0 na granicy ośrodków (z = 0) amplituda pola osiąga
minimum E1+(1 -  )
Ponieważ dla pola magnetycznego współczynnik odbicia jest równy -
obwiednia pola magnetycznego jest przesunięta w przestrzeni względem
pola elektrycznego o /4.
6
Wartości chwilowe i rozkład pól na granicy dwóch
ośrodków dielektrycznych
H1 y
E1x
E0
E0
1 + ||
Z0
1
1 - ||
z
0
4
z
z
-1
t=0
WFS   
E1 max
E1 min

1 
1 
T
t
8
;  <1,  >
t


T
4


Re E2 H 2
4
Tp 

1
Re E1 H 1
2

7
Przykład
 
Fala o wektorze pola elektrycznego E1  ix E0 cos t  0 z  pada prostopadle z
próżni na płaszczyznę doskonale przewodzącą (z = 0). Zapisać wektory E i H fali
odbitej oraz wypadkowej w pierwszym ośrodku. Obliczyć gęstość prądu
powierzchniowego na powierzchni płyty przewodzącej.
Rozwiązanie:
Z2 = 0 ;
  E
H1  i y 0 cos t   0 z 
Z0


E1   ix E0 cost  0 z 
Z2  Z0

 1
Z2  Z0

 E0
H1   i y cos t   0 z 
Z0

  

     2E
0
E1  E1  E1  ix 2E0 sin t  sin 0 z
H1  H1  H1  i y
cost  cos z
Z0
W płaszczyźnie z = 0:

 E0

 
  E0
Js  ix 2 cos t
Js   iz H1
  iz  i y 2 cos t
Z0
z0
Z0
Wartość gęstości prądu przewodzenia równa się polu magnetycznemu
w pierwszym ośrodku (w pobliżu granicy ośrodków),
  natomiast
kierunek prądu jest taki jak kierunek wektora E1
8
Fala padająca na granice trzech ośrodków
x
Ośrodek 1
Ośrodek 3
Ośrodek 2
Z1
2,3 
Z3  Z 2
Z3  Z 2
Z3
Z2
E ( z )
E ( z )  E ( z )
Z(z) 
 
H  ( z ) H  ( z )  H  ( z )
Kierunek
padania fali
-l
z
0
Z 2 z   Z 2
Z 2 ( z)  Z 2
e  j 2 z  2,3 e j 2 z
e  j 2 z  2,3 e j 2 z
Z 3  jZ 2 tg 2 z
Z 2  jZ 3 tg 2 z
Współczynnik odbicia w płaszczyźnie z = -l oblicza się ze wzoru:
1, 2 
Z 2  l   Z1
Z 2  l   Z1
9
a)
l 
2
2
Ponieważ tg 2 l = 0
Z2(z = -l) = Z3
Wynika stąd, że płytka półfalowa jest „impedancyjnie” przeźroczysta .
Z1
E
E0
Z2
Z3
1
1
2
2
2
0
z
10
b)
2
l
4
tg 2 l 
;
Z 22
Z 2 z   l  
Z3
Mamy do czynienia z inwersją impedancji. Można to zjawisko wykorzystać
do dopasowania dwóch różnych impedancji Z1  Z3 .
12 
Z 2 ( zl )  Z1
Z 2 ( z  l )  Z1
Dla Z3 < Z2
E
E0
0
1
Z 22
Z 2 ( z  l )  Z1 
Z3
1
2
Z1
Z2
Z3
Z 2  Z1 Z 3
0
z
2
4
11
Fala padająca ukośnie na granicę dwóch dielektryków
Polaryzacja równoległa
Ośrodek 1
1, 1, 1
sin1 v1


sin2 v2
Ośrodek 2
2, 2, 2
x
E1+
 
H1+
1
E1
+
tg  2  1 
tg  2  1 
y
1

z
2
E2
H1
2 2
11
Gdy wektor pola elektrycznego jest
prostopadły do płaszczyzny rysunku, mamy
do czynienia z polaryzacją prostopadłą

 
H2
Wyróżnić można dwa charakterystyczne przypadki:
1) sin 2  sin 1  1  1
2)     
1
2
2
2
Zjawisko całkowitego odbicia.
||| | = 1, || = 1
sin  2  1 
sin  2  1 
tg 1 B 
2
1
Kąt 1B nazywa się kątem Brewstera
||| |  0, || = 0
12