Transcript tutaj

ELEKTRON ZLOKALIZOWANY
W PUŁAPCE
(jedno- dwu- i trójwymiarowe studnie
potencjału, zagroda kwantowa, kropki
kwantowe, atom wodoru)
PROSTE MODELE ATOMU WODORU
(model Rutherforda, model Bohra)
1
PRZYPOMNIENIE: Fale bieżące i stojące w napiętej strunie
a) impuls o profilu f(x’) rozchodzący się
w kierunku +x:
y  f x'  f x  vt 
y’
x’
impuls o profilu f(x’) rozchodzący się w
kierunku –x:
y  f x'  f x  vt 
b) harmoniczna fala bieżąca rozchodząca
się w kierunku +x:
y  A 0 cosk x'  A 0 cosk x  vt 
y  A 0 cosk x  t 
k
Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright ©
Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003
2

; v

k
2
PRZYPOMNIENIE:
odbicie fali bieżącej na strunie od „sztywnej” ściany
Opis odbicia fali od „sztywnej”
ściany przy pomocy koncepcji
fali „rzeczywistej” i
„wirtualnej”
f 0  vt   g0  vt   0
gz   f  z 
gx  vt   f  x  vt 
Feynman, t. I, rozdz. 49
Dla fali harmonicznej:
f x  vt   A 0 coskx t 
g( x  vt )  f  x  vt    A 0 cos kx t 
gx  vt    A0 coskx t 
3
PRZYPOMNIENIE:
fale stojące w strunie przymocowanej do „sztywnej” ściany
Interferencja fali padającej i odbitej
daje falę stojącą:
f x  vt   gx  vt  
A 0 coskx t   A0 coskx t  
2A0 sinkxsin t 
y  A '0 sin t 
A '0  2A 0 sink x
Dopuszczalne rozwiązania dla fali
zlokalizowanej są dyskretne (skwantowane):
Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright ©
Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003
n
2L
2 sink n L  0; k n L  n; L  n ;  n 
2
n
Dla klasycznej fali zlokalizowanej kwantyzacji podlega długość fali i częstość,
4
a nie energia. Energia zależy także od amplitudy, która nie jest skwantowana
Lokalizacja fal materii (elektronu)
Bieżącą falę harmoniczną w strunie:
można, korzystając z równości Eulera:
y  A0 coskx t 
ei  cos   i sin 
przedstawić w zapisie rzeczywistym lub zespolonym:
y  A 0 coskx t 
y z  A 0ei kxt 
Dla fal materii (funkcji falowej) znaczenie ma
zarówno część rzeczywista jak i urojona.
Dla elektronu swobodnego:
z  z 0 cos   i sin  
dz  z 0  sin   i cos  d 
 z 0i cos   i sin  d  izd
dz
 id
z
ln z  i  C
z  z 0ei
  0e xpikx  t  ; px     *dx
E  
E  p 2c 2  m 02c 4
h
p2
p   k
lub: E 

2m
0
Lokalizacja funkcji falowej, poprzez
kwantyzację długości fali, prowadzi do
kwantyzacji energii
5
Elektron w pułapce jednowymiarowej
Jednowymiarowa
pułapka elektronowa
Stosując to samo podejście jak dla fali
w strunie otrzymamy:
 

1
0 e i kx t   e i  kx t 
2

  2i0 si nk xe  it
Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright ©
co prowadzi do kwantyzacji k, λ, p i
energii E elektronu w pułapce:
Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003
k L  n; k n 
n
2  2L
; n 

L
kn
n
 n 
 n x   A si n
x
 L 
2
Energia potencjalna elektronu w
pułapce jednowymiarowej
h
 
p2   
h2
En 


n2
2m
2m
8m L2
6
Funkcje falowe i energie elektronu w pułapce jednowymiarowej
n2
x  A
2
2  n

sin 
x
 L 
L = 100 pm
 h2  2
n
En  
2 
 8mL 
Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright ©
Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003
Przejścia optyczne:
h if  Ef  Ei
7
Elektron w skończonej studni potencjału
L = 100 pm
Energie elektronu w skończonej i
nieskończonej studni potencjału
Funkcje falowe elektronu
w skończonej studni potencjału
Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright ©
Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003
8
Elektron w pułapce dwuwymiarowej
Fala bieżąca elektronu:
Dwuwymiarowa
pułapka elektronowa

 e
0
i k x x  k y y  t
  0e


i kr  t

   e  i t e ik x x e ik y y
0
Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright ©
Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003
Fala stojąca dla elektronu w pułapce dwuwymiarowej
i jego energia wyrazi się następującymi wzorami:
 x, y , t   0e
 i t
 n1   n 2  
sin
x  sin
y

 L x   L y 
 h kx   h ky

 
p 2x  p 2y  2   2
En 1 ,n 2 

2m
2m
2
2



2  2
2 
  h  n1  n 2 
8m  L2x L2y 


9
Pułapka kwadratowa
Zagroda kwantowa
Funkcja falowa elektronu:
biez  0eikr t 
stoj  0eikr t   0e ikr t 
„Blue corral”- Niebieska Zagroda
Fala stojąca dla elektronu w zagrodzie
kwantowej kołowej i jego energia
wyrazi się następującymi wzorami:
Originally created by IBM, from American Scientist,
the cover of Physics Today, 1993
 r , t   0 2ie it sinkr
k n R  n
Fe na Cu
En 
h 2n 2
8m R2
Dla zagrody symetria kołowa;
przypadek jednowymiarowy
Originally created by IBM
10
Elektron w pułapce trójwymiarowej
Trójwymiarowa
pułapka elektronowa
Fala stojąca dla elektronu w pułapce
trójwymiarowej i jego energia wyrazi
się następującymi wzorami:
stoj x, y , z , t  
0e
 it
 n1   n 2    n 3  
sin
x  sin
y sin
z 


 Lx   Ly   Lz 
Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright ©
Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003
En1 ,n 2 ,n 3
h 2  n12 n 22 n 23 

 2  2
2

8m  L x L y L z 
Kropka kwantowa; „sztuczny atom”
kontakty umożliwiają kontrolę liczby
elektronów w kropce
11
ATOM WODORU, zlokalizowany elektron (dyskretne
energie)
Copyright © Springer-Verlag, The Physics of Atoms and Quanta by Hermann Haken and Hans Christoph Wolf
Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2002
Seria Balmera, widmo emisyjne atomowego wodoru
granica widma 364,56 nm
12
WZÓR BALMERA
 nm  
364.56  n 2
2
n 4
I linia n = 3, II n = 4, itd
WZÓR RYDBERGA dla wodoru
Liczba
falowa
1
R
 A

n2
R = 109737,32 cm-1 stała
Rydberga
WZÓR RITZA:
 1
hc
1 

h 
 Rhc


 m2 n2 
1
R
R


2
 m
n2
Rhc = 13.6 eV
13
SCHEMAT
poziomów atomu
wodoru
OBSERWOWANE
SERIE:
Lymana m = 1
Balmera m = 2
Paschena m = 3
Bracketa m = 4
Pfunda m = 5
n = m + 1, m + 2 itd
Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright ©
Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003
14
Proste modele atomu
Thomson (ciasto z rodzynkami)
Rutherford (model jądrowy)
Bohr (dla wodoru)
15
Doświadczenia Rutherforda nad rozpraszaniem
cząstek α
Większość cząstek α rozprasza się słabo, nieliczne
rozpraszają się bardzo silnie, niezgodnie z modelem T.
Copyright © 1972 by Addison-Wesley Publishing Company, Inc, Introduction to Atomic Physics by Harald A. Enge.
© Copyright for the Polish edition by Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983
16
Jądrowy model atomu Rutherforda
Problem ze stabilnością układu jądro – elektrony;
dlaczego ładunki ujemne nie zbliżą się do dodatniego
jądra, neutralizując je?
(obniżeniu energii towarzyszyłaby emisja
promieniowania elektromagnetycznego zgodnie z
równaniami Maxwella)
Wytłumaczenie; zasada nieoznaczoności
(klasyczny atom nie może być stabilny,
potrzebna jest mechanika kwantowa)
17
Atom wodoru; MODEL BOHRA
1 Zq e2 me v 2
F

2
40 r
r
Zq e2
v 
40mer
2
siła kulombowska (dośrodkowa)
I postulat Bohra (skwantowany
moment pędu):
nh
me vr 
2
n = 1, 2, 3 …
równoważny:
h
h
2r  n  n  n
p
me v
Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright ©
Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003
stojące fale de’Broglie’a
18
2
Ze
v2 
,
m er
h
vn
mer
i w konsekwencji:
2
Ze 2
h
 n2
m er
me2r 2
skąd:
h 2 n2
n2
rn 
 a0
2 Z
Z
mee
a0 – promień Bohra, a0 = 0.529 Å
2
1
Ze
EK  m e v 2 
,
2
2r
Ze 2
EP  
,
r
Ze 2
E  E P  EK  
2r
19
Ze 2
E
2r
h 2 n2
rn 
m ee 2 Z
En  
mee4 Z 2
2h 2 n
2 1
  ER Z
2
2
n
ER = Rhc, 13,6 eV
II postulat Bohra:
1 
2 1

h  Em  En  ER Z 

2
2
n
m 
Poprawka na skończoną masę jądra (ważne dla wodoru i jego
izotopów)
μ - masa
zredukowana
1
1
1

 ;
 me M
me 

R  R  1 

M

1
En  
mee4 Z 2
2h 2 n
2 1
  ER Z
2
2
n
M = 1850 me
20
pozytonium: elektron + pozyton
JONY
WODOROPODOBNE
porównanie
diagramów
energetycznych
Copyright © Springer-Verlag, The Physics of Atoms and Quanta by Hermann Haken and Hans Christoph Wolf
Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2002
21
JONY WODOROPODOBNE
seria Balmera dla wodoru i Pickeringa dla He+
1 
 1
E4 , n   4 E R   
 42 n 2 
 1

1

 ER  
 22 n 2 2 


Copyright © Springer-Verlag, The Physics of Atoms and Quanta by Hermann Haken and Hans Christoph Wolf
Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2002
22