Transcript tutaj
ELEKTRON ZLOKALIZOWANY
W PUŁAPCE
(jedno- dwu- i trójwymiarowe studnie
potencjału, zagroda kwantowa, kropki
kwantowe, atom wodoru)
PROSTE MODELE ATOMU WODORU
(model Rutherforda, model Bohra)
1
PRZYPOMNIENIE: Fale bieżące i stojące w napiętej strunie
a) impuls o profilu f(x’) rozchodzący się
w kierunku +x:
y f x' f x vt
y’
x’
impuls o profilu f(x’) rozchodzący się w
kierunku –x:
y f x' f x vt
b) harmoniczna fala bieżąca rozchodząca
się w kierunku +x:
y A 0 cosk x' A 0 cosk x vt
y A 0 cosk x t
k
Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright ©
Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003
2
; v
k
2
PRZYPOMNIENIE:
odbicie fali bieżącej na strunie od „sztywnej” ściany
Opis odbicia fali od „sztywnej”
ściany przy pomocy koncepcji
fali „rzeczywistej” i
„wirtualnej”
f 0 vt g0 vt 0
gz f z
gx vt f x vt
Feynman, t. I, rozdz. 49
Dla fali harmonicznej:
f x vt A 0 coskx t
g( x vt ) f x vt A 0 cos kx t
gx vt A0 coskx t
3
PRZYPOMNIENIE:
fale stojące w strunie przymocowanej do „sztywnej” ściany
Interferencja fali padającej i odbitej
daje falę stojącą:
f x vt gx vt
A 0 coskx t A0 coskx t
2A0 sinkxsin t
y A '0 sin t
A '0 2A 0 sink x
Dopuszczalne rozwiązania dla fali
zlokalizowanej są dyskretne (skwantowane):
Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright ©
Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003
n
2L
2 sink n L 0; k n L n; L n ; n
2
n
Dla klasycznej fali zlokalizowanej kwantyzacji podlega długość fali i częstość,
4
a nie energia. Energia zależy także od amplitudy, która nie jest skwantowana
Lokalizacja fal materii (elektronu)
Bieżącą falę harmoniczną w strunie:
można, korzystając z równości Eulera:
y A0 coskx t
ei cos i sin
przedstawić w zapisie rzeczywistym lub zespolonym:
y A 0 coskx t
y z A 0ei kxt
Dla fal materii (funkcji falowej) znaczenie ma
zarówno część rzeczywista jak i urojona.
Dla elektronu swobodnego:
z z 0 cos i sin
dz z 0 sin i cos d
z 0i cos i sin d izd
dz
id
z
ln z i C
z z 0ei
0e xpikx t ; px *dx
E
E p 2c 2 m 02c 4
h
p2
p k
lub: E
2m
0
Lokalizacja funkcji falowej, poprzez
kwantyzację długości fali, prowadzi do
kwantyzacji energii
5
Elektron w pułapce jednowymiarowej
Jednowymiarowa
pułapka elektronowa
Stosując to samo podejście jak dla fali
w strunie otrzymamy:
1
0 e i kx t e i kx t
2
2i0 si nk xe it
Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright ©
co prowadzi do kwantyzacji k, λ, p i
energii E elektronu w pułapce:
Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003
k L n; k n
n
2 2L
; n
L
kn
n
n
n x A si n
x
L
2
Energia potencjalna elektronu w
pułapce jednowymiarowej
h
p2
h2
En
n2
2m
2m
8m L2
6
Funkcje falowe i energie elektronu w pułapce jednowymiarowej
n2
x A
2
2 n
sin
x
L
L = 100 pm
h2 2
n
En
2
8mL
Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright ©
Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003
Przejścia optyczne:
h if Ef Ei
7
Elektron w skończonej studni potencjału
L = 100 pm
Energie elektronu w skończonej i
nieskończonej studni potencjału
Funkcje falowe elektronu
w skończonej studni potencjału
Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright ©
Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003
8
Elektron w pułapce dwuwymiarowej
Fala bieżąca elektronu:
Dwuwymiarowa
pułapka elektronowa
e
0
i k x x k y y t
0e
i kr t
e i t e ik x x e ik y y
0
Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright ©
Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003
Fala stojąca dla elektronu w pułapce dwuwymiarowej
i jego energia wyrazi się następującymi wzorami:
x, y , t 0e
i t
n1 n 2
sin
x sin
y
L x L y
h kx h ky
p 2x p 2y 2 2
En 1 ,n 2
2m
2m
2
2
2 2
2
h n1 n 2
8m L2x L2y
9
Pułapka kwadratowa
Zagroda kwantowa
Funkcja falowa elektronu:
biez 0eikr t
stoj 0eikr t 0e ikr t
„Blue corral”- Niebieska Zagroda
Fala stojąca dla elektronu w zagrodzie
kwantowej kołowej i jego energia
wyrazi się następującymi wzorami:
Originally created by IBM, from American Scientist,
the cover of Physics Today, 1993
r , t 0 2ie it sinkr
k n R n
Fe na Cu
En
h 2n 2
8m R2
Dla zagrody symetria kołowa;
przypadek jednowymiarowy
Originally created by IBM
10
Elektron w pułapce trójwymiarowej
Trójwymiarowa
pułapka elektronowa
Fala stojąca dla elektronu w pułapce
trójwymiarowej i jego energia wyrazi
się następującymi wzorami:
stoj x, y , z , t
0e
it
n1 n 2 n 3
sin
x sin
y sin
z
Lx Ly Lz
Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright ©
Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003
En1 ,n 2 ,n 3
h 2 n12 n 22 n 23
2 2
2
8m L x L y L z
Kropka kwantowa; „sztuczny atom”
kontakty umożliwiają kontrolę liczby
elektronów w kropce
11
ATOM WODORU, zlokalizowany elektron (dyskretne
energie)
Copyright © Springer-Verlag, The Physics of Atoms and Quanta by Hermann Haken and Hans Christoph Wolf
Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2002
Seria Balmera, widmo emisyjne atomowego wodoru
granica widma 364,56 nm
12
WZÓR BALMERA
nm
364.56 n 2
2
n 4
I linia n = 3, II n = 4, itd
WZÓR RYDBERGA dla wodoru
Liczba
falowa
1
R
A
n2
R = 109737,32 cm-1 stała
Rydberga
WZÓR RITZA:
1
hc
1
h
Rhc
m2 n2
1
R
R
2
m
n2
Rhc = 13.6 eV
13
SCHEMAT
poziomów atomu
wodoru
OBSERWOWANE
SERIE:
Lymana m = 1
Balmera m = 2
Paschena m = 3
Bracketa m = 4
Pfunda m = 5
n = m + 1, m + 2 itd
Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright ©
Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003
14
Proste modele atomu
Thomson (ciasto z rodzynkami)
Rutherford (model jądrowy)
Bohr (dla wodoru)
15
Doświadczenia Rutherforda nad rozpraszaniem
cząstek α
Większość cząstek α rozprasza się słabo, nieliczne
rozpraszają się bardzo silnie, niezgodnie z modelem T.
Copyright © 1972 by Addison-Wesley Publishing Company, Inc, Introduction to Atomic Physics by Harald A. Enge.
© Copyright for the Polish edition by Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983
16
Jądrowy model atomu Rutherforda
Problem ze stabilnością układu jądro – elektrony;
dlaczego ładunki ujemne nie zbliżą się do dodatniego
jądra, neutralizując je?
(obniżeniu energii towarzyszyłaby emisja
promieniowania elektromagnetycznego zgodnie z
równaniami Maxwella)
Wytłumaczenie; zasada nieoznaczoności
(klasyczny atom nie może być stabilny,
potrzebna jest mechanika kwantowa)
17
Atom wodoru; MODEL BOHRA
1 Zq e2 me v 2
F
2
40 r
r
Zq e2
v
40mer
2
siła kulombowska (dośrodkowa)
I postulat Bohra (skwantowany
moment pędu):
nh
me vr
2
n = 1, 2, 3 …
równoważny:
h
h
2r n n n
p
me v
Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright ©
Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003
stojące fale de’Broglie’a
18
2
Ze
v2
,
m er
h
vn
mer
i w konsekwencji:
2
Ze 2
h
n2
m er
me2r 2
skąd:
h 2 n2
n2
rn
a0
2 Z
Z
mee
a0 – promień Bohra, a0 = 0.529 Å
2
1
Ze
EK m e v 2
,
2
2r
Ze 2
EP
,
r
Ze 2
E E P EK
2r
19
Ze 2
E
2r
h 2 n2
rn
m ee 2 Z
En
mee4 Z 2
2h 2 n
2 1
ER Z
2
2
n
ER = Rhc, 13,6 eV
II postulat Bohra:
1
2 1
h Em En ER Z
2
2
n
m
Poprawka na skończoną masę jądra (ważne dla wodoru i jego
izotopów)
μ - masa
zredukowana
1
1
1
;
me M
me
R R 1
M
1
En
mee4 Z 2
2h 2 n
2 1
ER Z
2
2
n
M = 1850 me
20
pozytonium: elektron + pozyton
JONY
WODOROPODOBNE
porównanie
diagramów
energetycznych
Copyright © Springer-Verlag, The Physics of Atoms and Quanta by Hermann Haken and Hans Christoph Wolf
Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2002
21
JONY WODOROPODOBNE
seria Balmera dla wodoru i Pickeringa dla He+
1
1
E4 , n 4 E R
42 n 2
1
1
ER
22 n 2 2
Copyright © Springer-Verlag, The Physics of Atoms and Quanta by Hermann Haken and Hans Christoph Wolf
Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2002
22