http://web.utk.edu/~tbarnes/website/qm1/qm1.html

kurs mechaniki kwantowej przy okazji: język angielski

1

FALOWY CHARAKTER CZĄSTEK MATERIALNYCH POJĘCIE FALOWEJ AMPLITUDY PRAWDOPODOBIEŃSTWA W MECHANICE KWANTOWEJ (interferencja dla cząstek materialnych; doświadczenie Davissona – Germera i inne, zasada nieoznaczoności, tunelowanie, STM)

2

DOŚWIADCZENIE DAVISSONA – GERMERA Zmianie napięcia przyspieszającego towarzyszy powstawanie obrazu charakterystycznego dla dyfrakcji promieni X na krysztale Ni

Copyright © Springer-Verlag, The Physics of Atoms and Quanta by Hermann Haken and Hans Christoph Wolf Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2002

3

Copyright © Springer-Verlag, The Physics of Atoms and Quanta by Hermann Haken and Hans Christoph Wolf Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2002

DOŚWIADCZENIE DAVISSONA – GERMERA Silna interferencja występuje dla określonego napięcia przyspieszającego elektrony

4

DOŚWIADCZENIE MÖLLENSTEDTA DÜKERA Elektronowy analog bipryzmatu Fresnela; na włóknie ujemne napięcie odpychające elektrony; powstają dwa pozorne źródła; na płycie fotograficznej obserwujemy prążki interferencyjne.

Copyright © Springer-Verlag, The Physics of Atoms and Quanta by Hermann Haken and Hans Christoph Wolf Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2002

5

DYFRAKCJA NEUTRONÓW Feynman, III tom, rozdz. 3. Podrozdział 3.3 – dyfrakcja neutronów; kiedy jest, a kiedy nie ma interferencji

Copyright © Springer-Verlag, The Physics of Atoms and Quanta by Hermann Haken and Hans Christoph Wolf Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2002

6

DOŚWIADCZENIE YOUNGA NA ATOMACH

Copyright © Springer-Verlag, The Physics of Atoms and Quanta by Hermann Haken and Hans Christoph Wolf Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2002

7

PORÓWNANIE DYFRAKCJI ŚWIATŁA I ELEKTRONÓW

Copyright © Springer-Verlag, The Physics of Atoms and Quanta by Hermann Haken and Hans Christoph Wolf Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2002

8

Dla fal elektromagnetycznych i fotonów mieliśmy: FALA



exp



i



kx

 

t

 

E



h

   

p



h

 

2

 

h 2

 

k

  

k Efekt fotoelektryczny, zjawisko Comptona Związek p z λ zgodny z teorią klasyczną (pęd niesiony przez falę e-m, równania Maxwella) i teorią względności (trójkąt mnemotechniczny dla cząstek bez masy)

9

Obie relacje przenosimy na cząstki materialne: FALA



exp



i



kx

 

t

 

E

  

p



h

  

k wzór de’ Broglie’a E jest energią, p jest pędem cząstki materialnej Fala prawdopodobieństwa (amplituda prawdopodobieństwa) zwana funkcją falową i oznaczana ψ, jest falą płaską dla cząstek o określonej energii i nieokreślonym położeniu (Feynman t. I, rozdz. 37, 38) ω i k to częstość i wektor falowy funkcji falowej

10

PODSTAWOWE ZASADY MECHANIKI KWANTOWEJ 1. Prawdopodobieństwo pewnego zdarzenia (przejścia od stanu początkowego do końcowego) jest dane przez kwadrat modułu zespolonej liczby Φ nazywanej amplitudą prawdopodobieństwa, oznaczanej w notacji Diraca (bra i ket).

P = prawdopodobieństwo Φ = amplituda prawdopodobieństwa P = |Φ| 2 = ΦΦ * = ()() Amplitudę prawdopodobieństwa nazywamy funkcją falową. Dla cząstki o określonym pędzie (energii) i nieokreślonym położeniu funkcja falowa jest falą płaską, exp[i(kx – ωt)]

11

PODSTAWOWE ZASADY MECHANIKI KWANTOWEJ 2. Jeśli zdarzenie może zajść na kilka alternatywnych sposobów, np. dwa, poprzez dwa różne stany pośrednie: <1|początek>, <2|początek> to amplituda prawdopodobieństwa dla tego zdarzenia jest sumą amplitud prawdopodobieństwa dla każdego ze sposobów na jaki może ono zajść. Φ = Φ 1 + Φ 2 ; = <1|p> + <2|p> Wystąpi interferencja gdyż: P = | Φ 1 + Φ 2 | 2 = |Φ 1 | 2 + |Φ 2 | 2 + Φ 1 Φ * 2 + Φ * 1 Φ 2 = P 1 + P 2 + wyraz interferencyjny wyraz Przypadek ten występuje w omawianych wcześniej doświadczeniach (Davissona – Germera itd.)

12

PODSTAWOWE ZASADY MECHANIKI KWANTOWEJ 3. Jeśli jesteśmy w stanie określić, który z alternatywnych sposobów zachodzi (sprawdzamy przez który z otworów przechodzi elektron) to prawdopodobieństwo zdarzenia jest sumą prawdopodobieństw dla każdego z tych alternatywnych sposobów. Nie występuje interferencja.

P = | Φ 1 | 2 + |Φ 2 | 2 = P 1 + P 2 () = (<1|p>) (<1|k>) + (<2|p>) (<2|k>) „Sprawdzanie” nie oznacza, że sprawdzamy „my”, wystarczy, że taka możliwość istnieje, tzn. istnieje taka informacja w układzie fizycznym, nawet jeśli nie chcemy lub nie umiemy z niej skorzystać. Kot Schrödingera nie jest jednocześnie żywy i martwy zbyt długo tzn. Φ = Φ 1 + Φ 2 bardzo szybko przechodzi w P = P 1 + P 2 . Przypadek ten występuje także w omawianym przez Feynmana (rozdz. 3.3 t. III) rozpraszaniu neutronów.

13

Wzór de’Broglie’a; związek pomiędzy długością fali, a napięciem przyspieszającym dla cząstki naładowanej Cząstka nierelatywistyczna zatem: E kin m



m 0



m 0 v 2 2 E kin p



m 0 v



2 p m 2 0 Ponieważ: eV



E kin mamy ostatecznie:

 

h p



h 2 m 0 eV



12 .

27 1 V gdzie V wyrażamy w woltach, a λ w Å

14

Dla cząstek relatywistycznych, z trójkąta mnemo: pc



E 2



  

0 c m 0 c 2



E kin 2

  

0 2 Ponieważ: E kin



eV mamy ostatecznie:

 

h p



h 2 m 0 eV

   

1



eV 2 m 0 c 2

    

1 2



12 .

27 hc 2 m 0 c 2 eV



e 2 V 2



1 V

   

1



eV 2 m 0 c 2

    

1 2

15

Dyfrakcja funkcji falowej, a zasada nieoznaczoności

Copyright © Springer-Verlag, The Physics of Atoms and Quanta by Hermann Haken and Hans Christoph Wolf Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2002

16

Przed szczeliną płaska fala (nieoznaczoność położenia w kierunku x nieskończona, nieoznaczoność pędu zero) Za szczeliną: Z dyfrakcji:



p x p

    

d



x



d



x

 

p x a z relacji de’Broglie’a:



d

  

p p



h

 

x

 

p x



h zasada nieoznaczoności Heisenberga

17

Doświadczenie Younga na cząstkach materialnych

18

Warunkiem obserwacji prążków jest nieoznaczoność położenia cząstki w momencie przechodzenia przez szczeliny (nie możemy wiedzieć przez którą szczelinę przeszła cząstka):



y



D przybliżona a niepewność kierunku cząstki wynosi: Ponieważ: więc:



p y

 

p x a (de’Broglie):



y

 

p y



D

 

h

 

D

 

h D

 

h

  

D p x



h

 19

ZASADA NIEOZNACZONOŚCI A WIELKOŚĆ ATOMU Dlaczego elektron nie wyląduje na jądrze? Klasycznie, krążąc wypromieniowuje energię i promień powinien maleć do zera. Byłby to stan o najniższej energii, po wypromieniowaniu NIESKOŃCZONEJ energii.

Taki „zapadnięty” atom miałby mały rozmiar i nieskończoną energię wiązania. Wszystkie atomy byłyby jednakowe, nie ma chemii i biologii.

Elektron w takim atomie miałby określone położenie i pęd (x = 0 i p = 0), czyli mielibyśmy:



x

 

p



0 na co nie pozwala mechanika kwantowa.

20

ZASADA NIEOZNACZONOŚCI A WIELKOŚĆ ATOMU

21

ZASADA NIEOZNACZONOŚCI A WIELKOŚĆ ATOMU r – promień atomu (niepewność położenia elektronu) więc:



p



h r czyli pęd nie może być równy 0.

22

ZASADA NIEOZNACZONOŚCI A WIELKOŚĆ ATOMU r – promień atomu (niepewność położenia elektronu) więc:



p



h r czyli pęd nie może być równy 0. Powiedzmy, że średni pęd będzie: Energia kinetyczna elektronu: E K p

 

h p 2 r



2 m h 2 2 mr 2 ,

23

ZASADA NIEOZNACZONOŚCI A WIELKOŚĆ ATOMU r – promień atomu (niepewność położenia elektronu) więc:



p



h r czyli pęd nie może być równy 0. Powiedzmy, że średni pęd będzie: Energia kinetyczna elektronu: Energia potencjalna: E P

 

e 2 r E K p

 

h p 2 r



2 m e 2



h 2 2 mr 2 ,



4 q e



2 0 Całkowita energia atomu E



h 2 2 mr 2



e 2 r

24

E



h 2 2 mr 2



e 2 r a 0



h 2 me 2 promień Bohra 0.528Å E 0

 

e 2 2 a 0 R



E 0 hc

 

me 4 2 h 2



13 , 6



109677 , 581 cm 1 eV R - stała Rydberga a 0 E E k p E

Copyright © Springer-Verlag, The Physics of Atoms and Quanta by Hermann Haken and Hans Christoph Wolf Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2002

25

Zjawisko tunelowe, tunelowanie (przenikanie) cząstki materialnej przez barierę potencjału

  

0 exp



i



kx E

    

t

 

p



h

  

k (Re(Ψ)) 2 tu oscylacje o mniejszej amplitudzie E



p 2 2m E



p 2 0 L 2 m



U k 0 L



p 0 L

 

2 m



E U 0

  

i



2 m



U 0



E



Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003



0 L

 

0 exp



ik 0 L x T

 

exp

 

2 1



2 m



U 0



i



t

 

E



L

 

; Cząstka przenika przez barierę (T < 1); efekt kwantowy

26

Skaningowy mikroskop tunelowy STM (STM – Scanning Tunneling Microscope) Zasada działania: Piezoelektryczne pręty kwarcowe umożliwiają skanowanie powierzchni (x,y) i śledzenie wysokości ostrza nad powierzchnią próbki (z).

Mapa z(x,y) tworzy obraz powierzchni

Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003

Obraz STM powierzchni próbki Au Wikimedia Commons Made by: Erwin Rossen, Eindhoven University of Technology, 2006.

27