Transcript Szereg Fouriera

Analiza obwodów liniowych
pobudzanych okresowymi
przebiegami
niesinusoidalnymi
Prądy i napięcia mogą być
okresowe niesinusoidalne.
Aby uprościć analizę obwodów
z takimi prądami i napięciami
będziemy je przedstawiać
w postaci szeregu Fouriera.
f t   A 0 

A
mk
sin  k  0 t   k 
k 1
gdzie
0 
2
T
jest pulsacją przebiegu rozkładanego na szereg Fouriera.
Rozpatrzmy przykład:
f(ωt)
Am
0
-Am
π
ωt
2π
3π
W praktyce możemy przyjąć do obliczeń
skończoną liczbę składników szeregu,
zwanych harmonicznymi.
Suma szeregu daje wówczas
wartość przybliżoną funkcji czasu.
Dodanie kolejnej harmonicznej
poprawia dokładność,
tzn. przybliżenie jest coraz lepsze.
Ilustruje to przykład:
15
155
1
9% Am
10
efekt
G ib b sa
100
1
5
5
0
0
0,0
0
,0
-5
0,5
0
,5
11,0
,0
11,5
,5
22,0
,0
-5
-10
-1
-100
-15
-1
-155
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Szereg Fouriera
• Czy każdą funkcję okresową można
przedstawić w postaci szeregu Fouriera?
Z matematyki wiadomo, że musi ona spełniać
pewne warunki:
WARUNKI DIRICHLETA
1. W każdym przedziale o długości T funkcja f t  jest
bezwzględnie całkowalna
 f t  d t  
T
2. W każdym przedziale o długości T funkcja f t  ma
skończoną liczbę maksimów i minimów
3. Funkcja f t  może mieć w przedziale T co najwyżej
skończoną liczbę punktów nieciągłości, przy czym w
każdym punkcie nieciągłości istnieją granice –
lewostronna i prawostronna
f t   A 0 

A
mk
sin  k  0 t   k 
k 1
gdzie
0 
2
T
jest pulsacją przebiegu rozkładanego na szereg Fouriera.
A0 
C0
2
- składowa stała, nazywana
harmoniczną zerową
Am1 sin  0 t   1  - funkcja sinusoidalna o takiej
samej pulsacji jak funkcja
wymuszająca f t 
nosi nazwę pierwszej lub podstawowej harmonicznej
Rozpatrzymy k-tą harmoniczną
Am k sin  k  0 t   k  
 Am k sin  k cos k  0 t  Am k cos  k sin k  0 t
Oznaczymy:
C k  Am k sin  k
B k  Am k cos  k
i otrzymujemy:
Am k sin  k  0 t   k  
 C k cos k  0 t  B k sin k  0 t
wówczas:
f t  
C0
2

   B k sin k  0 t  C k cos k  0 t 
k 1
Z tych zależności wynika:
Am k 
Bk  C k
2
 k  ar ctg
2
Ck
Bk
PEWNE RODZAJE SYMETRII:
1. FUNKCJE PRZEMIENNE
T
 f t  d t  0
Spełniają warunek:
0
wartość średnia za
okres równa się zeru.
f (t)
0
t
2. FUNKCJE PARZYSTE
f   t   f t 
Spełniają warunek:
wówczas:
Bk  0
k  0 , 1, 2 , 
dla
f (t)

T
2
0
T
2
t
3. FUNKCJE NIEPARZYSTE
f   t    f t 
Spełniają warunek:
wówczas:
Ck  0
dla
k  0 , 1, 2 , 
f (t)
-T

T
2
0
T
2
T
t
4. FUNKCJE ANTYSYMETRYCZNE


f  t     f t 
2

Spełniają warunek:
wówczas:
C 0  0, B2 k  0,
dla
f(t)
0
C2k  0
π
2π
k  0 , 1, 2 , 
t
Obliczanie współczynników szeregu
Fouriera
C0 
A0 
Ck 
Bk 
T
2

T
f t  d t ;
0
C0

2
2
T
2
T
A0 
1
T
t0  T

T
 f t  d t ;
0
f  t  cos k  0 t d t
t0
t0  T
 f t  sin k 
t0
0
td t
C0
2
Funkcje
parzyste
T
f   t   f t 
F. parzysta
i antysymetryczna
F.
nieparzysta
i antysymetryczna
T
2
 f t  cos k  0 t d t
k  1, 2 , 
0
T
Funkcje
nieparzyste
Funkcje
antysymetr.
Ck 
4
f   t    f t 
Ck 
4
T
2
 f t  cos k  0 t d t
T
T 

f  t     f t 
2

oraz
Ck 
4
T
2

T
f t  cos k  0 t d t , B k 
4
T
2
 f t  sin k  0 t d t
0
T
Ck 
T 

f  t     f t 
2

8
T
4
 f t  cos k  0 t d t
0
k  1, 3 , 
f   t    f t 
T 

f  t     f t 
2

k  1, 3 , 
0
f   t   f t 
oraz
k  1, 2 , 
0
T
Bk 
8
T
4
 f t  cos k  0 t d t
0
k  1, 3 , 
Mamy dwie równoważne postaci szeregu Fouriera:
f t   A 0 

A
mk
sin  k  0 t   k 
k 1
f t  
C0
2

   B k sin k  0 t  C k cos k  0 t 
k 1
Wykładnicza postać szeregu Fouriera
f t  
C0
2
sin k  0 t 
e

   B k sin k  0 t  C k cos k  0 t 
k 1
jk  0 t
e
 jk  0 t
cos k  0 t 
2j
e

jk  0 t
e
 jk  0 t
2
 C k  jB k jk  0 t C k  jB k  jk  0 t 
f t  

e

e

2
2
2

k 1 
C0
Vk
V-k
Vk 
Vk 
C k  jB k
k  0 ,1, 2 ....
dla
2
C  k  jB  k
dla
k  0 ,1, 2 ....
2
C k  C k
Vk 
Bk  Bk
f t   V 0 

V
k 1
k
e
jk  0 t
V
k  1
k
e
jk  0 t
V
2



C k  jB k

 Vk e
k  

k
jk  0 t

f t  
 Vk e
jk  0 t
dla k  0 ,  1,  2 ,...
k  
Współczynniki Vk obliczamy jako:
Vk 
1
T
T

f t e
 jk  0 t
dt
0
Widmo:
Amplitudowe – wykres modułu Vk
Fazowe – wykres argumentu Vk dla wszystkich wartości k
Twierdzenie Parsevala
Jeżeli f t  i g t  są funkcjami okresowymi o tym samym
okresie T spełniającymi warunki Dirichleta, to zachodzi
zależność:
1
T
t0  T

 f t  g t  d t  

k
fk g 
k  
t0


k  
w szczególności gdy f  t   g  t 
1
T
t0  T

t0

f
2
t  d t   f k
k  
2

k
f gk
Wartość skuteczna funkcji
okresowej niesinusoidalnej:
A sk 
1
T
T

0
f
2
t  d t
Wartość skuteczna k-tej
harmonicznej:
Ak 
Am k
2
Wartość skuteczna funkcji f t  :
A sk 
A0 


k 1
Ak
2
Wartość średnia za okres funkcji
f t  :
A0 
1
T
T
 f t  d t
0
Wartość średnia z modułu funkcji
f t  :
A śr 
1
T
T
 f t  d t
0
Współczynnik szczytu s
s
A max
A sk
dla sinusoidy s  2
Współczynnik kształtu k:
k 
A sk
A śr
dla sinusoidy k  1,11
Współczynnik zawartości
harmonicznych h:
2
h
2
A 2  A3  
2
2
2
A1  A2  A3  
dla sinusoidy h  0
Współczynnik odkształcenia k0:
k0 
A1
2
2
A  A1  A2  
2
0
dla sinusoidy k 0  1
Współczynnik zawartości k-tej
harmonicznej hk:
hk 
Ak
A1
Obwody liniowe zasilane
odkształconymi napięciami i
prądami źródłowymi
Jeżeli
u U0 

Um
k l
oraz
i  I0 

 Im
k l
k
sin k  0 t   u k

sin
k

t


0
ik
k


to
U0
u1
un
oraz
I0
i1
in
Rozwiązanie obwodu tak zasilanego
polega na zastosowaniu zasady superpozycji
i rozwiązaniu obwodu dla każdej harmonicznej
oddzielnie.
1. Rozwiązujemy obwód dla składowej stałej,
kondensatory stanowią przerwę, a cewki – zwarcie.
2 Rozwiązujemy obwód dla kolejnych harmonicznych
metoda symboliczną, przy czym:
Z L  j k 0 L
ZC   j
1
k 0C
3. Przechodzimy do wartości chwilowych
dla poszczególnych harmonicznych
4. Po dodaniu wszystkich harmonicznych
otrzymujemy szereg Fouriera
dla szukanych prądów i napięć.
Wpływ indukcyjności i pojemności na wyższe
harmoniczne prądu i napięcia
Liniowa cewka o indukcyjności L
I mk
I m1

U mk

0L
k  0 L U m1
U mk 1


U m1 k
dla wyższych harmonicznych k >1, więc
I mk
I m1

U mk
U m1
Wniosek: Indukcyjność działa tłumiąco na wyższe
harmoniczne prądu i pobudzająco na wyższe
harmoniczne napięcia
Liniowy kondensator o pojemności C:
I mk

I m1
I mk
I m1

U mk k 0C
U m1  0 C
k
U mk
U m1
U mk
U m1
Wniosek: pojemność działa tłumiąco na wyższe
harmoniczne napięcia i pobudzająco na wyższe
harmoniczne prądu
Moc okresowych prądów
niesinusoidalnych
Moc czynną – definiuje wzór:
dla prądów okresowych
1
P 
T
T

p  u i
p dt
moc chwilowa
0
Z tw. Parsevala wynika:
P 
1
T
T

 u  i dt   Vk W
0
k  

k
P 
1
T
gdzie:
Vk , W k
Vk 
T
 u  i dt 
0


Vk W k
k  
- są współczynnikami zespolonej postaci
szeregu Fouriera
C uk  j Buk
Wk 

(1)
dla napięcia
(2)
dla prądu
2
C ik  j B ik
2
rozpatrzymy wyrażenie

k
Vk W  Vk W

k

k

k
 V kW  V W k 
 2 Re V k W

k

Po podstawieniu (1) i (2) otrzymujemy

k
Vk W  Vk W

k

1
2
C
uk
C ik  B u k C ik

(3)
ponieważ:
C u k  U m k sin  u k
B u k  U m k cos  u k
C ik  I m k sin  ik
B ik  I m k cos  ikz
prawą stronę wyrażenia (3) możemy zapisać w postaci:
3  
1

1
2
U
mk
sin  u k  I m k sin  ik  U m cos  u  I m cos  i  
k
k
k
k
U m k I m k cos   u k   ik



2

U m k I m k cos  k
k
dla składnika zerowego:
V0 W

0
C u 0 C i0


 U 0  I0
2
2
Podsumowując
:
P  U 0  I0 

 Uk
 I k  cos  k
k 1
podobnie
Q 

 Uk
 I k  sin  k
k 1
natomiast
S p  U sk  I sk
moc pozorna
Jednak tu nie obowiązuje
P Q  S
2
2
mocy
2
p
P Q T  S
2
2
2
T – moc zniekształcenia
2
p