Transcript Wyklad_2 - skaczmarek.zut.edu.pl

Ruch i jego parametry
Mechanika – prawa ruchu ciał
Kinematyka – ruch bez wnikania w przyczyny
Dynamika – uwzględnia przyczyny ruchu
Ciało rzeczywiste – obiekty badań mają skończone
rozmiary
Punkt materialny – bezwymiarowy obiekt obdarzony
masą
Bryła sztywna – ciało, którego punkty nie zmieniają
wzajemnych odległości
___________________________________________________________________________________________________________________________
2. Kinematyka
1
Ruch i jego parametry
Położenie punktu określa wektor wodzący

r  xˆi  yˆj  zkˆ
ˆi,ˆj,kˆ – wektory jednostkowe osi (wersory)
___________________________________________________________________________________________________________________________
2. Kinematyka
2
Ruch i jego parametry
Ruch ciała - zmiana położenia względem układu
odniesienia
 
– równanie wektorowe ruchu
r  r (t)
x(t), y(t), z(t)
– układ równań parametrycznych
___________________________________________________________________________________________________________________________
2. Kinematyka
3
Ruch i jego parametry






 

r  r2  r1
Przemieszczenie
Droga – odcinek toru przebyty przez punkt w danym czasie
Ruch postępowy – tory wszystkich punktów ciała są
równoległymi krzywymi
Ruch obrotowy – tory są okręgami o środkach leżących na
jednej prostej
Ruch prosty (jednowymiarowy)
Ruch złożony – wielowymiarowy, można rozłożyć na ruchy
proste, równoległe do osi układu współrzędnych.
___________________________________________________________________________________________________________________________
2. Kinematyka
4
Ruch i jego parametry
Badanie ruchu – ułożenie jego równania.
 Sprawdzamy, która pochodna współrzędnej po czasie nie zależy
od czasu. Jej rząd (n) określa liczbę parametrów ruchu [prędkość
(v), przyspieszenie (a), szarpnięcie (b)].

n
d x
dt
n
 const
___________________________________________________________________________________________________________________________
2. Kinematyka
5
Ruch i jego parametry

Prędkość średnia

v sr 

r
t
___________________________________________________________________________________________________________________________
2. Kinematyka
6
Ruch i jego parametry


r

dr

Prędkość chwilowa
v  lim

t  0 t
dt
jest zawsze styczna do toru.
___________________________________________________________________________________________________________________________
2. Kinematyka
7
Ruch i jego parametry

Droga jest równa powierzchni pod wykresem
prędkości w funkcji czasu
___________________________________________________________________________________________________________________________
2. Kinematyka
8
Ruch i jego parametry
położenie
prędkość

r ( t )  x ( t )ˆi  y( t )ˆj  z( t ) kˆ

 dr
dx ˆ dy ˆ dz ˆ
v

i
j
k
dt
dt
dt
dt

v  v ˆi  v ˆj  v kˆ
x
vx 
przyspieszenie
szarpnięcie
dx
dt
y
, vy 
z
dy
dt
, vz 
dz
dt

2

dv
d r
a

2
dt
dt

2
3

da
d v
d r
b


2
3
dt
dt
dt
___________________________________________________________________________________________________________________________
2. Kinematyka
9
Równanie ruchu
Zależność x(t) w postaci równania różniczkowego n-tego stopnia
n
d x
dt
n
 d  const
Rozwiązanie równania różniczkowego  szukanie funkcji x = x(t)
3
d x
dt
n
da
 b  const
równanie różniczkowe n-tego stopnia
 b
wybieramy parametr dla którego r-nie
jest pierwszego stopnia (a)
dt
a (t )
t
 da  b  dt
a0
rozdzielamy zmienne i całkujemy stronami
0
a ( t )  a 0  bt
a ( t )  a 0  bt
znajdujemy parametr jako funkcję czasu
___________________________________________________________________________________________________________________________
2. Kinematyka
10
Równanie ruchu
Powtarzamy całą procedurę dla parametru ruchu niższego rzędu ...
dv
 a (t)
dt
v( t )
t
 dv   a ( t )dt
v0
0
t
v( t )  v 0 
 a 0  bt dt
0
v( t )  v 0  a 0 t 
bt
2
2
___________________________________________________________________________________________________________________________
2. Kinematyka
11
Równanie ruchu
... aż do uzyskania bezpośredniej zależności x(t)
dx
 v( t )
dt
x(t)
t
 dx   v( t )dt
x0
0
2

bt
   v0  a 0t 

2
0
t
x(t)  x 0
x(t)  x 0  v 0 t 
a0t
x(t)  x 0  v 0 t 
a0t

dt


2

2
2
bt
3
6
2

bt
3
6
___________________________________________________________________________________________________________________________
2. Kinematyka
12
Ruch krzywoliniowy
x  x(t)
y  y( t )
Równanie
y = y(x)
toru
ds 
dx 2  dy 2
___________________________________________________________________________________________________________________________
2. Kinematyka
13
Ruch krzywoliniowy

Droga w ruchu krzywoliniowym
s   ds
c
ds 

dx 2  dy 2
y = y(x),
x
s

dy = y'(x)dx,
1  y' x  dx
2
x0
___________________________________________________________________________________________________________________________
2. Kinematyka
14
Wektory i pseudowektory



Przemieszczenie, prędkość, przyspieszenie – wektory.
Wektory biegunowe - zwykłe wektory - można przesuwać
tylko wzdłuż kierunku wektora.
Są przemienne względem dodawania.
 


F1  F2  F2  F1
___________________________________________________________________________________________________________________________
2. Kinematyka
15
Wektory i pseudowektory
Przemieszczenia kątowe (obroty) skończone nie są wektorami,
mimo że mają kierunek, zwrot oraz wartość. Nie mają punktu
zaczepienia i nie są przemienne względem dodawania.
1  2  2  1
___________________________________________________________________________________________________________________________
2. Kinematyka
16
Wektory i pseudowektory
Wektory osiowe – pseudowektory (nieskończenie małe obroty,
iloczyny wektorowe) - można je swobodnie przesuwać.




d1  d2  d2  d1
___________________________________________________________________________________________________________________________
2. Kinematyka
17
Wielkości kątowe i liniowe

 
d r  d  r


dr
d 

r
dt
dt


d

dt
  
v   r

2
 d d 


2
dt
dt
przemieszczenie
prędkość
prędkość kątowa
przyspieszenie kątowe
___________________________________________________________________________________________________________________________
2. Kinematyka
18
Wielkości kątowe i liniowe

a

dv

d

dr
 
d  
  r    r    

dt
dt
dt
dt
      
 
   r    v    r      r  
 


2
   r   r  as  a r

 
as    r

2
a r   r
przyspieszenie styczne
przyspieszenie dośrodkowe (radialne)
___________________________________________________________________________________________________________________________
2. Kinematyka
19
Wielkości kątowe i liniowe
ar 
r
a  as 
2
v
2

ar
a x  a y  as
2
2
v
2
2
2
a x  a y  as
2
2
v
r
2
2
2
 dv y
 dv x 

  
 dt 
 dt
2

 dv 
  

 dt 

2
___________________________________________________________________________________________________________________________
2. Kinematyka
20
Przykład ruchu złożonego
Zbadać ruch ciała rzuconego z wysokości yo, z prędkością vo,
pod katem a do poziomu. Określić parametry toru i ruchu,
zasięg, wysokość, czas trwania ruchu, prędkość chwilową,
przyspieszenie styczne i dośrodkowe, kąt upadku, promień
krzywizny toru
___________________________________________________________________________________________________________________________
2. Kinematyka
21
Przykład ruchu złożonego
x  v o cos a * t , y  y o  v o  sin a  t  1 / 2 gt
t 2 : y o  v o  sin a  t 2  1 / 2 gt 2  t 2 
2
vy 
dy
  gt  v o sin a
dt
2
 
dt
v
2
2
 0; a y 
2
an
dx
(1 
v

 v o cos a
v
(
dt
2
  g , at 
dv
)
2
) (
2
dy
2
) 
2
dt
v o  sin a
g
vy
vx
; t1  2 v o  sin a  cos a / g
tc
g t  2 gtv o sin a  v o
2 2
2
2

g t  2 gtv o sin a  v
2 2
dt
y max  y o 
tg  
v o  sin a
2
g t  gv o sin a
v o sin a
2
dv
dx
2 yo  g
dt
2
a (
2
d y
1
g
dt
d x
ax 
vx 
v o  sin a
t1  v o  cos a  2  t wzn ; t wzn 
2
2
2g
dt
;
a 
v o sin 2a
2
2
ax  a y  g
2
; x max 
v o sin a
2
y  y max  a  ( x  x max ) ; y  y o 
2
2
o
2g
2
2g

; x z  v o  cos a  t c [ m ]
2  v cos a
2
o
v o  sin 2a
2
g
2
(x 
)
2
2g
___________________________________________________________________________________________________________________________
2. Kinematyka
22
Przykład ruchu złożonego
dy
vy 
  gt  y 0 sin a
vx 
dx
dt
(
dx
vy
vx
at 
dv
 
v
sin a (  1 
1
g
 gt c  v o sin a
| t  tc 
v o cos a
2 yo g
v  sin a
2
o

v

2
2
a (
2
vo
; ax 
d x
dt
2
dv
)
2
2 2
vo
tc  2 t 1  t 2 
2
sin a  (1 
1
2 yo g
v sin a
2
o
2
)
2 yo g
2
vo
sin
2
a
2
v o sin

2
a  2 yo g
v o cos a
2
 0; a y 
2 3/2

gv o cos a
2
g t  2 gtv o sin a  v o
) 
g
( g t  2 gtv o sin a  v o )
2 2

)
dy
dt
2
g t  2 gtv o sin a 
2
2
cos a
2
2 2
2
sin a 1 
g t  gv o sin a

dt
an
vo
) (
dt
dt
t1  v o  sin a / g ; t 2 
tg  
v
 v o cos a
d y
dt
2
g
 g
2
v o cos a
4
(
2
a 
x
2
2
vo

2
ax  a y  g
sin 2a
2
x
g
v o sin
g
2
2
a
)
3/2
[m ]
dt
2
 ( 0 )   ( 2 t1 ) 
g cos a
2
y max  y o 
2
vo
v o sin
2
a
2g
[ m ];  ( t1 ) 
vo
cos a [ m ]
2
g
v o sin 2a
2
; x max 
2g
v o sin 2a
2
; xz 
2g
(1  1 
2 yo g
2
vo
sin
2
a
)[ m ]
___________________________________________________________________________________________________________________________
2. Kinematyka
23
Układy odniesienia






Układ odniesienia może być inercjalny lub
nieinercjalny.
Inercjalny układ odniesienia - spoczywa lub porusza się
ruchem jednostajnym względem tzw. gwiazd stałych.
Graniczne, mierzalne przyspieszenie a > 10-6 m/s2 .
Zwykle przyjmujemy za inercjalny układ laboratoryjny
związany z Ziemią.
ar = 3,4 x 10-2 m/s2 przysp. dośr. w ruchu obrotowym.
az= 6,0 x 10-3 m/s2 przysp. dośr. w ruchu postępowym
wokół Słońca.
___________________________________________________________________________________________________________________________
2. Kinematyka
24
Wahadło Foucaulta
v 0   R cos 
v N   R cos    r sin 
vS   R cos    r sin 
Rcos 
r
R
rsin 
 – szerokość geograficzna,
R – promień Ziemi,
r – amplituda drgań rzutu wahadła
na powierzchnię Ziemi

v  r sin 
T0 
2r
v

2r
r sin 

2 
sin 

24godz .
sin 
Na biegunie


2

sin   1 
T0  24 godz .
Na równiku
0

sin   0
T0  ,
W Szczecinie

  53 30'


sin   0,8

T  30godz .
0
___________________________________________________________________________________________________________________________
2. Kinematyka
25
Transformacja Galileusza
x '  x  ut
y'  y
z'  z
t'  t

dr ' 

v' 

dv' 

a
 
d r  udt
 
vu

dv

a'
v << c
___________________________________________________________________________________________________________________________
2. Kinematyka
26