Slide 1

Wykład 3. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań
kartograficznych

Wykład 3. Elementy teorii zniekształceń
odwzorowań kartograficznych
I forma kwadratowa powierzchni
skala poszczególna, skala główna i elementarna
skala zniekształceń odwzorowawczych
elementarna skala zniekształceń długości
skale parametryczne
elementarna skala zniekształceń długości jako
funkcja kąta kierunkowego


Slide 2

Wykład 3. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań
kartograficznych

I forma kwadratowa powierzchni
 
Różniczka funkcji wektorowej r  r u , v  ma następującą postać

 

d r  ru du  rv dv
 
Element łuku na powierzchni opisanej równaniem r  r u , v  ma postać
2
2
2
2
ds  d r  Edu  2 Fdudv  Gdv

E  ru

2

 

, F  ru  rv , G  rv



H  ru  rv 

EG  F

2

2


Slide 3

Wykład 3. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań
kartograficznych

Elementarny łuk na powierzchni kuli
Na powierzchni kuli opisanej równaniem

r   R cos  cos  , R cos  sin  , R sin  
  

 

    ,

,
2 2



obliczamy współczynniki I formy kwadratowej
E  R , F  0 , G  R cos  , H  R cos 
2

2

2

2

Elementarny łuk na powierzchni kuli ma postać
ds

2

 R d
2

2

 R cos  d 
2

2

2


Slide 4

Wykład 3. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań
kartograficznych

Elementarny łuk na powierzchni elipsoidy
Na powierzchni elipsoidy opisanej równaniem
 
a cos B cos L
r  X 
,Y 
2
2

1  e cos B
B 

 

,
2 2

a cos B sin L
1  e cos
2

L    ,

2

, Z 

B



sin

B 

2
2
1  e cos B 

a 1 e

2



obliczamy współczynniki I formy kwadratowej
E  M , F  0, G  N
2

2

cos

2

B , H  MN cos B

Elementarny łuk na powierzchni elipsoidy ma postać
ds

2

 M dB
2

2

 N

2

cos

2

B dL

2


Slide 5

Wykład 3. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań
kartograficznych

Skala poszczególna, skala główna i elementarna
skala zniekształceń odwzorowawczych


Slide 6

Wykład 3. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań
kartograficznych

Skala poszczególna, skala główna i elementarna
skala zniekształceń odwzorowawczych
Związek pomiędzy skalą poszczególną p, skalą główną 0 i
elementarną skalą zniekształceń odwzorowawczych 

 p  0
0 - skala główna odwzorowania, wyraża stosunek zmniejszenia
wymiarów
liniowych,
pomniejszenie
powierzchni
oryginału
(odwzorowanie przez podobieństwo), skala główna jest liczbą
rzeczywistą przedstawianą w postaci

0 

1
M


Slide 7

Wykład 3. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań
kartograficznych

Elementarna skala zniekształceń długości
Elementarna skala zniekształceń długości jest to stosunek
odpowiadających sobie elementarnych łuków na powierzchni obrazu i
na powierzchni oryginału

 

ds '

ds
gdzie:
ds – element łuku na powierzchni oryginału
ds’ – element łuku na powierzchni obrazu
Elementarna skala zniekształceń długości jest funkcją trzech zmiennych:
współrzędnych (u,v) wyznaczających położenie punktu na powierzchni
oryginału oraz kąta kierunkowego A elementu łuku ds na powierzchni
oryginału

   u , v , A 


Slide 8

Wykład 3. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań
kartograficznych

Elementarna skala zniekształceń długości w
postaci wektorowej oraz elementarne
zniekształcenie długości
Elementarną skalę zniekształceń długości można przedstawić w postaci

wektorowej

dr '
  
dr
 
 

gdzie d r  ru du  rv dv jest różniczką funkcji r  r u , v 

opisującej powierzchnię oryginału w odwzorowaniu kartograficznym


 

oraz d r '  r ' u du  r ' v dv jest różniczką funkcji r '  r ' u , v 

opisującej powierzchnię obrazu w odwzorowaniu kartograficznym
Elementarne zniekształcenie długości jest to odchylenie elementarnej
skali zniekształceń długości od jedności

z    1


Slide 9

Wykład 3. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań
kartograficznych

Elementarna skala zniekształceń długości
w kierunku linii parametrycznych
Podstawiając do wzoru na skalę


ds '



2

ds

2

2

elementarne łuki na powierzchni oryginału i powierzchni obrazu
ds

2

 Edu

2

ds '  E ' du
2

 2 Fdudv  Gdv
2

2

 2 F ' dudv  G ' dv

2

otrzymujemy wzór na skalę w postaci


2



ds '
ds

2

2



E ' du
Edu

2
2

 2 F ' dudv  G ' dv
 2 Fdudv  Gdv

2

2


Slide 10

Wykład 3. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań
kartograficznych

Elementarna skala zniekształceń długości
w kierunku linii parametrycznych
Obliczając skalę w kierunku południka v = const podstawiamy dv =0
otrzymujemy

u 

E'
E

Obliczając skalę w kierunku równoleżnika u = const podstawiamy du =0
otrzymujemy
G'
v 
G
Skale w kierunku linii parametrycznych noszą nazwę skal
parametrycznych.


Slide 11

Wykład 3. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań
kartograficznych

Elementarna skala zniekształceń długości
w kierunku linii parametrycznych
Dla powierzchni kuli skale parametryczne mają postać

 

E'

 

R

G'
R cos 

Dla elipsoidy skale parametryczne mają postać

B 

E'
M

L 

G'
N cos B


Slide 12

Wykład 3. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań
kartograficznych

Elementarna skala zniekształceń długości
jako funkcja kąta kierunkowego
Elementarną skalę zniekształceń długości ma postać


dr '
  
dr
 

 

Różniczki d r  ru du  rv dv oraz d r '  r ' u du  r ' v dv funkcji


 
r  r u , v  opisującej powierzchnię oryginału oraz funkcji r '  r ' u , v 


opisującej powierzchnię obrazu można przedstawić w postaci
   du
 
d r   ru
 rv  dv
 dv


   du
 
d r '   ru '
 rv '  dv
dv




Slide 13

Wykład 3. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań
kartograficznych

Elementarna skala zniekształceń długości
jako funkcja kąta kierunkowego
Kąt kierunkowy A definiujemy następująco



A    ru , d r 


Slide 14

Wykład 3. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań
kartograficznych

Elementarna skala zniekształceń długości
jako funkcja kąta kierunkowego
Tangens kąta kierunkowego A ma postać





ru  d r
ru   ru du  rv dv 
tan A  
 
  


ru  d r
ru   ru du  rv dv 
ru

stąd wyznaczamy

du
dv





ru  rv dv
Hdv

 
2
Edu  Fdv
du  ru  rv dv

H cot A  F
E

zastosowanie powyższego wzoru prowadzi do następujących postaci
różniczek




dv
d r '   H ru ' cos A   E ' rv ' F ru '  sin A 





d r   H ru cos A   E rv  F ru  sin A 

E ' sin A

dv
E sin A


Slide 15

Wykład 3. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań
kartograficznych

Elementarna skala zniekształceń długości
jako funkcja kąta kierunkowego
stąd wyznaczamy moduł

dr  H

dv

E

E sin A

Uwzględniając powyższe rozważania otrzymujemy następującą postać
elementarnej skali długości






   1 cos A   2 sin A

gdzie


1 


ru '
E



, 2 



E rv ' F ru '
H

E


Slide 16

Wykład 3. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań
kartograficznych

Elementarna skala zniekształceń długości
jako funkcja kąta kierunkowego
Jeżeli na powierzchni oryginału mamy parametryzację ortogonalną
(F=0) wektory 1 oraz 2 przyjmą postać


1 


ru '
E


, 2 


rv '
G

są to wówczas skale parametryczne


1   u 

E'
E


, 2  v 

G'
G


Slide 17

Wykład 3. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań
kartograficznych

Elementarna skala zniekształceń długości
jako funkcja kąta kierunkowego
Kwadrat elementarnej skali zniekształceń długości można przedstawić
w postaci


2

 P cos

2

A  Q sin 2 A  R sin

2

A

gdzie


2







P  1 , Q  1   2 , R   2

2

W przypadku parametryzacji ortogonalnej na powierzchni obrazu
(F=0) otrzymujemy
P 

E'
E

, Q 

F'
EG

, R 

G'
G