Transcript Metoda szeregu Fouriera

Metoda szeregu Fouriera
Cel pracy
Celem pracy jest napisanie programu, który
będzie wyznaczał przemieszczenia układu o
jednym stopniu swobody z tłumieniem oraz
wymuszeniem siłą okresową F(t). Położenie
układu o jednym stopniu swobody można
określić jednoznacznie za pomocą jednej
współrzędnej uogólnionej. Rozpatrywany
układ (rys. 1) składa się z nieodkształcalnej
bryły,
mogącej
przemieszczać
się
prostoliniowym ruchem postępowym wzdłuż
osi x połączonej z ostoją nieważką sprężyną
oraz nieważkim tłumikiem.
Rys. 1. Rozpatrywany układ o
jednym stopniu swobody
Równanie ruchu
Jeżeli na układ działa zmienne
obciążenie w czasie w postaci
siły F(t), to obciążenie takie
nazywamy wymuszeniem
siłowym. Równania ruchu
można wyrazić następująco:
mx  cx  kx  F (t )
Metoda szeregu Fouriera (1)
Występujące przy ruchu układów mechanicznych
siły mają zazwyczaj charakter okresowy. Tylko w
tym przypadku można stosować niżej opisaną
metodę.
Metoda szeregu Fouriera (2)
Niech siła będzie opisana funkcją czasu F(t),
mającą okres τ. Funkcję tę można rozłożyć na
składowe harmoniczne za pomocą szeregu Fouriera.

2


a0 
F (t )    a j cos jt   b j sin jt
2 j 1
j 1
Metoda szeregu Fouriera (3)

a0 
F (t )    a j cos jt   b j sin jt
2 j 1
j 1
gdzie: j – dodatnia liczba całkowita,
aj , bj – współczynniki nieskończonego szeregu.
Każda składowa harmoniczna jest wyrazem szeregu Fouriera,
na który rozkładamy badany przebieg. Każdy harmoniczny
sygnał składa się ze składowej stałej (fizycznie oznacza
wartość średnią) oraz ze składowych harmonicznych (fizycznie
oznaczają przebiegi sinusoidalne sygnałów).
Metoda szeregu Fouriera (4)
Równanie ruchu układu może być zapisane
następująco:


a0
mx  cx  kx  F (t ) 
  a j cos jt   b j sin jt
2 j 1
j 1
Metoda szeregu Fouriera (5)
Współczynniki rozkładu w szeregu Fouriera można wyrazić
następująco:
a0 
2

F (t )dt


0
aj 
2

F (t ) cos jt dt


j  1,2
0
bj 
2

F (t ) sin jt dt


0
j  1,2
Metoda szeregu Fouriera (6)
Można wyznaczyć odpowiedź układu dla
każdej składowej.
a0
mx  cx  kx 
2
mx  cx  kx  a j cos jt
mx  cx  kx  b j sin jt
Metoda szeregu Fouriera (7)
Odpowiedzi układu wyznaczone dla poszczególnych
składowych.
a0
x p (t ) 
2k
aj
x p (t ) 
cos jt   j 
k
1  j r   2jr 
2
2 2
2
bj
x p (t ) 
k
1  j r   2jr 
2
2 2
2
sin  jt   j 
Metoda szeregu Fouriera (8)
Zgodnie z zasadą superpozycji, odpowiedzią
wypadkową układu na okresową siłę wymuszającą
jest suma odpowiedzi na każdą oddzielą składową
harmoniczną wymuszenia.
Metoda szeregu Fouriera (9)
Kompletna postać rozwiązania równania
równowagi wygląda następująco:
aj

a0
x p (t ) 

2k j 1
k
1  j r   2jr 
2
2 2
2
cos( jt   j )
bj


j 1
k
1  j r   2jr 
2
2 2
2
sin( jt   j )
Metoda szeregu Fouriera (10)
a0 
x p (t ) 

2k j 1


j 1
aj
k
1  j r   2jr 
2 2 2
2
cos( jt   j ) 
bj
k
1  j r   2jr 
2 2 2
2
sin( jt   j )
gdzie:
 2jr 


oraz  j  arctg 
r
2 2 
1 j r 
n
Przykład
Układ jest wzbudzany siłą okresową o danym przebiegu (rys. 2). Wyznaczyć przebieg
czasowy przemieszczenia x(t).
Dane: k=100000 [N/m], c=0,1 [Nm/s], m=100 [kg], =0,12 [s], liczba punktów pomiarowych
n=24.
Rys. 2. Okresowe wymuszenie siłowe działające
na układ
Przykład (rozwiązanie)
Rozwiązanie otrzymane za pomocą programu MathCAD.
1
1 0.393
2 0.451
3 0.497
Wykres przemieszczeñ
4 0.523
5 0.525
0.6
6 0.497
7 0.447
8 0.382
0.5
9 0.311
10
0.24
11 0.177
0.4
x  12 0.124
13 0.082
14 0.052
xi
0.3
15 0.033
16 0.027
17 0.032
0.2
18 0.049
19 0.076
20 0.113
0.1
21 0.158
22 0.211
23 0.268
24
0.33
0
0
0.02
0.04
0.06
Ti
0.08
0.1
0.12
Wnioski
Program Fourier wykonuje tzw. analizę harmoniczną czyli
rozkłada wymuszenie okresowe w szereg Fouriera. Tak więc
wymuszenie można przedstawić jako sumę wymuszeń
harmonicznych, przy czym dokładność jest tym większa im
więcej uwzględniamy składowych harmonicznych. W
praktyce obliczeniowej uwzględnia się zwykle do kilkunastu
składowych harmonicznych. Przy rozwiązywaniu przykładów
wyniki obliczeń zmieniały się nieznacznie powyżej m=7.
Literatura
[1] Giergiel J.: Drgania układów mechanicznych. Skrypt AGH, Kraków 1986
http://victoria.bg.agh.edu.pl/BG/skrypty/
[2] Kruszewski J. Wittbrodt E.: Drgania układów mechanicznych w ujęciu
komputerowym. WNT, Warszawa 1992
[3] Rao S. S.: Mechanical vibrations. Addison – Wesley Publishing Company,
1986