Transcript Karioida jako obwiednia rodziny promieni odbitych
Slide 1
Szczególny ślimak Paskala, szczególna epicykloida
Kardioida w optyce 1/9
Krzywe o równaniu {y–a·|x|2/3}2 = b–x2 mają dla pewnych wartości
parametrów a,b (np. dla a= ½, ¾ i 1, gdy b= ¾) kształt serca.
Jednak to nie im przysługuje, wywiedziona z greckiego słowa kardi = serce,
nazwa kardioida.
Słowo kardioida po raz pierwszy użył, w r.1741,
Johann Castillon w odniesieniu do krzywej,
która jest zarówno pewną konchoidą okręgu
jak i pewną epicykloidą (mianowicie zakreślaną
przez punkt okręgu toczącego się po zewnętrznej
stronie okręgu mającego taki sam promień).
Konchoidy okręgu to krzywe, które badał
Étienne Pascal (1588-1651), ojciec Błażeja.
Gilles Roberval nazwał je ślimakami Paskala.
Cykloidy - krzywe powstające w wyniku toczenia
okręgu po prostej - budziły zainteresowanie już
Arystotelesa (384-322 p.n.e.). Cykloidami i ich uogólnieniami zajmowali się potem m.in..
Johann Kepler (1571-1630), Bonaventura Cavalieri (1598-1647) i Christopher Wren, który
- w r.1658 - pierwszy wyliczył długość łuku cykloidy.
W r.1674 kardioidę badał – poszukując optymalnego profilu dla przekładni zębowych –
duński astronom Ole Christensen Roemer, nota bene autor terminu epicykloida
W r.1708 jej długość wyliczył Phillippe de la Hire.
My przyjrzymy się, jak kardioida pojawia się w pewnym zadaniu z optyki.
Slide 2
Kardioida sfotografowana w kubku z kawą z mlekiem
Kardioida w optyce 2/9
fot. Piotr Kuświk
Tak jak to widać na fotografii obok,
odpowiednie oświetlnie zarysowało na
powierzchni płynu nietuzinkowy kształt.
Pokażemy, że
(pomijając tu dość już słabe efekty wyższego stopnia,
tj. odbicia rzędu 2 i wyższe, oraz przymykając oko na
silną ingerencję lampy błyskowej i dalekie od idealnego umieszczenie źródła odbijanych promienie)
ów kształt to kardioida.
p1. Z początku układu współrzędnych
zatoczmy okrąg o dowolnym promieniu a.
Ma on równanie x2 + y2 = a2.
p2. Z punktu A = (– a, 0)
wysyłamy promień
nachylony do osi Ox pod kątem kątem α .
p3. Promień dociera do okręgu w punkcie,
który oznaczamy przez B.
Tu się odbija i podąża w kierunku punktu C.
Napiszemy równania promieni padającego
i odbitego oraz wykażemy, że obwiednią rodziny
promieni odbitych jest właśnie kardioida.
Slide 3
Równanie promieni padającego
Kardioida w optyce 3/9
p4. Promień padający ma równanie
y = tg(α)·(x+a).
p5. Zatem współrzędne punktu B
wyznaczymy z układu równań
y = tg(α)·(x+a),
x2 + y2 = a2.
Otrzymujemy x2 +{tgα·(x+a)}2 = r2 ,
tj. {1+tg2α}·x2 + 2a·tg2α·x + {1–tg2α}·a2 =
0.
p6. Równanie to ma dwa zera:
x = –a
oraz x = a·{tg2α–1}/{tg2α+1} = a·cos(2α).
Pierwsze (tzn. x = – a) wyznacza punkt A,
drugie jest odciętą punktu B.
p7. Wstawiając tę odciętą do równania okręgu
natychmiast otrzymujemy rzędną punktu B.
I w ten sposób wiemy już, że B = (a·cos(2α), a·sin(2α)).
Znamy już równanie promienia wysyłanego z punkty A
i współrzędne punktu B, w którym dobiega on do półokręgu.
Teraz czas na równanie promienia odbitego.
Slide 4
Równanie promieni odbitego
Kardioida w optyce 4/9
p8. Połączmy punkt B ze środkiem O okręgu.
Ponieważ |AO| = |OB.|,
więc otrzymany trójkąt AOB
jest równoramienny
i dlatego kąt przy wierzchołku B
jest równy α.
p9. Trzeci kąt w AOB jest równy 180°–,
w konsekwencji czego odcinek OB
jest nachylony do osi Ox pod kątem 2.
p10. CBO = OBA = (wszak kąt odbicia jest równy kątowi padania),
więc odcinek BC jest nachylony do osi Ox pod kątem 180°–{180°–(2+)} = 3.
p11. Leży zatem odcinek BC na prostej o równaniu y = a·sin(2α)+tg(3)·(x–a·cos(2α)}.
p12. Powyższe równanie nie obejmuje jednego przypadku
– gdy α = 60º (wtedy promień BC biegnie równolegle do osi Ox).
Nie jest on wykluczony przy przedstawieniu
wektorowym prostej BC: x(t) = a·cos(2α) + cos(3α)·t,
y(t) = a ·sin(2α) + sin(3α)·t.
Powyższe równanie opisuje rodzinę promieni odbitych.
Aby przejrzyście wyrysować przedstawicieli tej rodziny (uzyskujemy ich dla konkretnych
wartości kąta α (-90º,90º)), należy wyznaczyć współrzędne punktów
C (tutaj promień odbity dobiega do okręgu) i D (tutaj przecina oś poziomą Ox).
Slide 5
Kardioida rysuje się jako obwiednia rodziny promieni
Kardioida w optyce 5/9
Wiemy już (p11), że każdy promień odbity leży na prostej o równaniu
cos(3)·{y–a·sin(2α)} = sin(3)·(x–a·cos(2α)}.
Korzystając ze wzoru na sinus różnicy kątów stwierdzamy,
że każda z tych prostych spełnia równanie
F(a,x,y,α) =0,
gdzie F(a,x,y,α) = a·sin(α) + sin(3α)·x – cos(3α)·y.
F(a,x,y,α) =0 jest równaniem rodziny tych prostych
(a kąt α identyfikuje jej członków, reprezentantów) .
Zmieniając kąt w zakresie od – 90º do 90º
uzyskujemy rodzinę promieni odbitych
wysłanych z punktu A = (–a, 0)
i odbitych od wnętrza okręgu.
Na rysunku obok pokazane są proste,
na których leży 45 reprezentantów tej rodziny
(dla = –88º, –86º,..., 84º, 86º, 88º).
Widać, że wyznaczają one pewną krzywą.
Jest ona styczna do każdej reprezentantki
rodziny F(a,x,y,α) =0.
Krzywą o takiej własności nazywa się
obwiednią rodziny F(a,x,y,α) =0.
Rysunek uzyskano w programie DERIVE 5
(Texas Instruments) w wyniku poleceniawizualizacji uproszczenia napisu
VECTOR(proOd1(,x,y),,-88°,88°,2°) przedtem zdefiniowawszy rodzinę
promieni odbitych (dla a=1) proOd1(,x,y):=SIN()-SIN(3)·x+COS(3)·y=0.
Slide 6
Równanie obwiedni rodziny promieni odbitych
Kardioida w optyce 6/9
Dowodzi się, że jeśli rodzina krzywych zadana wzorem
(x,y,)=0
ma obwiednię, a funkcja jest dostatecznie gładka,
to jest ta obwiednia określona układem złożonym
z równań (x,y,) = 0, D (x,y,) = 0,
gdzie D oznacza różniczkowanie
względem parametru rodziny.
W naszym zadaniu mamy więc układ
a·sin(α) + sin(3α)·x – cos(3α)·y = 0
a·cos(α) +3cos(3α)·x +3sin(3α)·y = 0
czyli
sin(3α)·x – cos(3α)·y = –a·sin(α)
cos(3α)·x + sin(3α)·y = a·cos(α)/3.
Po obustronnym podniesieniu
każdego z równań do kwadratu
i dodaniu stronami uzyskujemy związek
(x – 1/3)2 + y2 =2/3·(1 –cosα)}2.
Stąd wyznaczamy wartość cosα i wstawiamy ją do któregoś z wyjściowych równań.
Żmudne przekształcenia, mające na celu eliminację parametru α, prowadzą w końcu
do równania (z2 + y2)2 – 2b·z·(z2 + y2) – b2·y2) = 0, gdzie z=x–1/3, b=2a/3.
Zamiast eliminować parametr α można układ rozwiązać ze względu na x i y.
Otrzymujemy wtedy przedstawienie parametryczne kardioidy: x = {2cosα – cos(2α)}/3,
y = {2sinα – sin(2α)}/3.
Slide 7
Współrzędne punktów C i D
Kardioida w optyce 7/9
p13. Współrzędne punktu C uzyskujemy tworząc układ
x2 + y2 = a2
x = a·cos(2α) + cos(3α)·t,
y = a·sin(2α) + sin(3α)·t
złożony z równania okręgu
i pary równań opisujących wektorowo prostą BC
(przy tym kąta α = 60º nie rozpatrujemy,
gdyż dlań BC jest równoległe do osi Ox).
Pierwsze z trzech powyższych równań
przyjmuje postać
{r·cos(2α) + cos(3α)·t}2 +{r·sin(2α) + sin(3α)·t}2 = r2.
Jego rozwiązaniami są t = 0 i t = –2r·cos.
Pierwsze z nich daje punkt B,
drugie – poszukiwane współrzędne punktu C:
x = r·cos(2α) + cos(3α)·{–2r·cos)} = –r·cos(4α),
y = r·sin(2α) + sin(3α)·{– 2r·cos)} = –r·sin(4α).
p14. Odciętą punkt D uzyskujemy wstawiając do równania prostej BC, tzn. do równania
y = a·sin(2α)+tg(3)·(x–a·cos(2α)},
wartość y = 0 (jako że D leży na osi Ox).
Stąd, nadal przy założeniu, iż α 60, otrzymujemy
D = ( r·cos(2α)·{1–tg(2α)·tg(3α)},
0).
Slide 8
Uzyskanie ilustracji w systemie DERIVE 5 (Texas Instrs)
Kardioida w optyce 8/9
"_kardiOp.MTH kardioida jako obwiednia promieni odbitych
(A.Marlewski 14.11.2002)"
[CaseMode:=Sensitive,InputMode:=Word]
promienPadajacy(r,alpha,t):=[-r,0]+[COS(alpha),SIN(alpha)]*t
punktB(r,alpha):=r*[COS(2*alpha),SIN(2*alpha)]
promienOdbity(r,alpha,t):=punktB(r,alpha)+[COS(3*alpha),SIN(3*alpha)]*t
punktD(r,alpha):=IF(alpha/=pi/3,promienOdbity(r,alpha,r*SIN(2*alpha)/SIN(3*alpha)),r/2*[1,SQRT(3)])
punktC(r,alpha):=promienOdbity(r,alpha,-2*r*COS(alpha))
punktD(r,alpha):=promienOdbity(r,alpha,r*SIN(2*alpha)/SIN(3*alpha))
wezWedlugWiekszejRzednej(P,Q):=IF(P SUB 2>Q SUB 2,P,Q)
punktE(r,alpha):=wezWedlugWiekszejRzednej
(punktC(r,alpha),punktD(r,alpha))
"Definicja promienia padajacego i odbitego
(konczacego sie na okregu lub osi Ox):"
odAdoE(r,alpha):=[[-r,0],punktB(r,alpha),
punktE(r,alpha)]
"Rownanie okregu o srodku w [0,0] i promieniu 3,
nastepnie Plot:"
x^2+y^2=3^2
"Simplify Approximate, otrzymana macierz Plot:"
VECTOR(odAdoE(3,alpha),alpha,2*deg,89*deg,3*deg)
"Definicja wektorowa kardioidy:"
para_kardioida(C,a,t):=C+2*a*[COS(t),SIN(t)]
-a*[COS(2*t),SIN(2*t)]
"Simplify Basic, nastepnie Plot (od -Pi do Pi):"
para_kardioida([0,0],1,t)
Slide 9
Wiemy dlaczego widać kardioidę. Czas zatem na kawę !
Kardioida w optyce 9/9
Pierwsi, którzy
zauważyli, że
cykloida jest
katakaustyką okręgu
(czyli obwiednią rodziny
promieni świetlnych odbitych,
których źródło leży na
okręgu) byli – w r.1692 Jacob Bernoulli i jego ojciec
Johann.
Zarys kardioidy w kubku napełnionym kawą (fot. Piotr Kuświk)
Szczególny ślimak Paskala, szczególna epicykloida
Kardioida w optyce 1/9
Krzywe o równaniu {y–a·|x|2/3}2 = b–x2 mają dla pewnych wartości
parametrów a,b (np. dla a= ½, ¾ i 1, gdy b= ¾) kształt serca.
Jednak to nie im przysługuje, wywiedziona z greckiego słowa kardi = serce,
nazwa kardioida.
Słowo kardioida po raz pierwszy użył, w r.1741,
Johann Castillon w odniesieniu do krzywej,
która jest zarówno pewną konchoidą okręgu
jak i pewną epicykloidą (mianowicie zakreślaną
przez punkt okręgu toczącego się po zewnętrznej
stronie okręgu mającego taki sam promień).
Konchoidy okręgu to krzywe, które badał
Étienne Pascal (1588-1651), ojciec Błażeja.
Gilles Roberval nazwał je ślimakami Paskala.
Cykloidy - krzywe powstające w wyniku toczenia
okręgu po prostej - budziły zainteresowanie już
Arystotelesa (384-322 p.n.e.). Cykloidami i ich uogólnieniami zajmowali się potem m.in..
Johann Kepler (1571-1630), Bonaventura Cavalieri (1598-1647) i Christopher Wren, który
- w r.1658 - pierwszy wyliczył długość łuku cykloidy.
W r.1674 kardioidę badał – poszukując optymalnego profilu dla przekładni zębowych –
duński astronom Ole Christensen Roemer, nota bene autor terminu epicykloida
W r.1708 jej długość wyliczył Phillippe de la Hire.
My przyjrzymy się, jak kardioida pojawia się w pewnym zadaniu z optyki.
Slide 2
Kardioida sfotografowana w kubku z kawą z mlekiem
Kardioida w optyce 2/9
fot. Piotr Kuświk
Tak jak to widać na fotografii obok,
odpowiednie oświetlnie zarysowało na
powierzchni płynu nietuzinkowy kształt.
Pokażemy, że
(pomijając tu dość już słabe efekty wyższego stopnia,
tj. odbicia rzędu 2 i wyższe, oraz przymykając oko na
silną ingerencję lampy błyskowej i dalekie od idealnego umieszczenie źródła odbijanych promienie)
ów kształt to kardioida.
p1. Z początku układu współrzędnych
zatoczmy okrąg o dowolnym promieniu a.
Ma on równanie x2 + y2 = a2.
p2. Z punktu A = (– a, 0)
wysyłamy promień
nachylony do osi Ox pod kątem kątem α .
p3. Promień dociera do okręgu w punkcie,
który oznaczamy przez B.
Tu się odbija i podąża w kierunku punktu C.
Napiszemy równania promieni padającego
i odbitego oraz wykażemy, że obwiednią rodziny
promieni odbitych jest właśnie kardioida.
Slide 3
Równanie promieni padającego
Kardioida w optyce 3/9
p4. Promień padający ma równanie
y = tg(α)·(x+a).
p5. Zatem współrzędne punktu B
wyznaczymy z układu równań
y = tg(α)·(x+a),
x2 + y2 = a2.
Otrzymujemy x2 +{tgα·(x+a)}2 = r2 ,
tj. {1+tg2α}·x2 + 2a·tg2α·x + {1–tg2α}·a2 =
0.
p6. Równanie to ma dwa zera:
x = –a
oraz x = a·{tg2α–1}/{tg2α+1} = a·cos(2α).
Pierwsze (tzn. x = – a) wyznacza punkt A,
drugie jest odciętą punktu B.
p7. Wstawiając tę odciętą do równania okręgu
natychmiast otrzymujemy rzędną punktu B.
I w ten sposób wiemy już, że B = (a·cos(2α), a·sin(2α)).
Znamy już równanie promienia wysyłanego z punkty A
i współrzędne punktu B, w którym dobiega on do półokręgu.
Teraz czas na równanie promienia odbitego.
Slide 4
Równanie promieni odbitego
Kardioida w optyce 4/9
p8. Połączmy punkt B ze środkiem O okręgu.
Ponieważ |AO| = |OB.|,
więc otrzymany trójkąt AOB
jest równoramienny
i dlatego kąt przy wierzchołku B
jest równy α.
p9. Trzeci kąt w AOB jest równy 180°–,
w konsekwencji czego odcinek OB
jest nachylony do osi Ox pod kątem 2.
p10. CBO = OBA = (wszak kąt odbicia jest równy kątowi padania),
więc odcinek BC jest nachylony do osi Ox pod kątem 180°–{180°–(2+)} = 3.
p11. Leży zatem odcinek BC na prostej o równaniu y = a·sin(2α)+tg(3)·(x–a·cos(2α)}.
p12. Powyższe równanie nie obejmuje jednego przypadku
– gdy α = 60º (wtedy promień BC biegnie równolegle do osi Ox).
Nie jest on wykluczony przy przedstawieniu
wektorowym prostej BC: x(t) = a·cos(2α) + cos(3α)·t,
y(t) = a ·sin(2α) + sin(3α)·t.
Powyższe równanie opisuje rodzinę promieni odbitych.
Aby przejrzyście wyrysować przedstawicieli tej rodziny (uzyskujemy ich dla konkretnych
wartości kąta α (-90º,90º)), należy wyznaczyć współrzędne punktów
C (tutaj promień odbity dobiega do okręgu) i D (tutaj przecina oś poziomą Ox).
Slide 5
Kardioida rysuje się jako obwiednia rodziny promieni
Kardioida w optyce 5/9
Wiemy już (p11), że każdy promień odbity leży na prostej o równaniu
cos(3)·{y–a·sin(2α)} = sin(3)·(x–a·cos(2α)}.
Korzystając ze wzoru na sinus różnicy kątów stwierdzamy,
że każda z tych prostych spełnia równanie
F(a,x,y,α) =0,
gdzie F(a,x,y,α) = a·sin(α) + sin(3α)·x – cos(3α)·y.
F(a,x,y,α) =0 jest równaniem rodziny tych prostych
(a kąt α identyfikuje jej członków, reprezentantów) .
Zmieniając kąt w zakresie od – 90º do 90º
uzyskujemy rodzinę promieni odbitych
wysłanych z punktu A = (–a, 0)
i odbitych od wnętrza okręgu.
Na rysunku obok pokazane są proste,
na których leży 45 reprezentantów tej rodziny
(dla = –88º, –86º,..., 84º, 86º, 88º).
Widać, że wyznaczają one pewną krzywą.
Jest ona styczna do każdej reprezentantki
rodziny F(a,x,y,α) =0.
Krzywą o takiej własności nazywa się
obwiednią rodziny F(a,x,y,α) =0.
Rysunek uzyskano w programie DERIVE 5
(Texas Instruments) w wyniku poleceniawizualizacji uproszczenia napisu
VECTOR(proOd1(,x,y),,-88°,88°,2°) przedtem zdefiniowawszy rodzinę
promieni odbitych (dla a=1) proOd1(,x,y):=SIN()-SIN(3)·x+COS(3)·y=0.
Slide 6
Równanie obwiedni rodziny promieni odbitych
Kardioida w optyce 6/9
Dowodzi się, że jeśli rodzina krzywych zadana wzorem
(x,y,)=0
ma obwiednię, a funkcja jest dostatecznie gładka,
to jest ta obwiednia określona układem złożonym
z równań (x,y,) = 0, D (x,y,) = 0,
gdzie D oznacza różniczkowanie
względem parametru rodziny.
W naszym zadaniu mamy więc układ
a·sin(α) + sin(3α)·x – cos(3α)·y = 0
a·cos(α) +3cos(3α)·x +3sin(3α)·y = 0
czyli
sin(3α)·x – cos(3α)·y = –a·sin(α)
cos(3α)·x + sin(3α)·y = a·cos(α)/3.
Po obustronnym podniesieniu
każdego z równań do kwadratu
i dodaniu stronami uzyskujemy związek
(x – 1/3)2 + y2 =2/3·(1 –cosα)}2.
Stąd wyznaczamy wartość cosα i wstawiamy ją do któregoś z wyjściowych równań.
Żmudne przekształcenia, mające na celu eliminację parametru α, prowadzą w końcu
do równania (z2 + y2)2 – 2b·z·(z2 + y2) – b2·y2) = 0, gdzie z=x–1/3, b=2a/3.
Zamiast eliminować parametr α można układ rozwiązać ze względu na x i y.
Otrzymujemy wtedy przedstawienie parametryczne kardioidy: x = {2cosα – cos(2α)}/3,
y = {2sinα – sin(2α)}/3.
Slide 7
Współrzędne punktów C i D
Kardioida w optyce 7/9
p13. Współrzędne punktu C uzyskujemy tworząc układ
x2 + y2 = a2
x = a·cos(2α) + cos(3α)·t,
y = a·sin(2α) + sin(3α)·t
złożony z równania okręgu
i pary równań opisujących wektorowo prostą BC
(przy tym kąta α = 60º nie rozpatrujemy,
gdyż dlań BC jest równoległe do osi Ox).
Pierwsze z trzech powyższych równań
przyjmuje postać
{r·cos(2α) + cos(3α)·t}2 +{r·sin(2α) + sin(3α)·t}2 = r2.
Jego rozwiązaniami są t = 0 i t = –2r·cos.
Pierwsze z nich daje punkt B,
drugie – poszukiwane współrzędne punktu C:
x = r·cos(2α) + cos(3α)·{–2r·cos)} = –r·cos(4α),
y = r·sin(2α) + sin(3α)·{– 2r·cos)} = –r·sin(4α).
p14. Odciętą punkt D uzyskujemy wstawiając do równania prostej BC, tzn. do równania
y = a·sin(2α)+tg(3)·(x–a·cos(2α)},
wartość y = 0 (jako że D leży na osi Ox).
Stąd, nadal przy założeniu, iż α 60, otrzymujemy
D = ( r·cos(2α)·{1–tg(2α)·tg(3α)},
0).
Slide 8
Uzyskanie ilustracji w systemie DERIVE 5 (Texas Instrs)
Kardioida w optyce 8/9
"_kardiOp.MTH kardioida jako obwiednia promieni odbitych
(A.Marlewski 14.11.2002)"
[CaseMode:=Sensitive,InputMode:=Word]
promienPadajacy(r,alpha,t):=[-r,0]+[COS(alpha),SIN(alpha)]*t
punktB(r,alpha):=r*[COS(2*alpha),SIN(2*alpha)]
promienOdbity(r,alpha,t):=punktB(r,alpha)+[COS(3*alpha),SIN(3*alpha)]*t
punktD(r,alpha):=IF(alpha/=pi/3,promienOdbity(r,alpha,r*SIN(2*alpha)/SIN(3*alpha)),r/2*[1,SQRT(3)])
punktC(r,alpha):=promienOdbity(r,alpha,-2*r*COS(alpha))
punktD(r,alpha):=promienOdbity(r,alpha,r*SIN(2*alpha)/SIN(3*alpha))
wezWedlugWiekszejRzednej(P,Q):=IF(P SUB 2>Q SUB 2,P,Q)
punktE(r,alpha):=wezWedlugWiekszejRzednej
(punktC(r,alpha),punktD(r,alpha))
"Definicja promienia padajacego i odbitego
(konczacego sie na okregu lub osi Ox):"
odAdoE(r,alpha):=[[-r,0],punktB(r,alpha),
punktE(r,alpha)]
"Rownanie okregu o srodku w [0,0] i promieniu 3,
nastepnie Plot:"
x^2+y^2=3^2
"Simplify Approximate, otrzymana macierz Plot:"
VECTOR(odAdoE(3,alpha),alpha,2*deg,89*deg,3*deg)
"Definicja wektorowa kardioidy:"
para_kardioida(C,a,t):=C+2*a*[COS(t),SIN(t)]
-a*[COS(2*t),SIN(2*t)]
"Simplify Basic, nastepnie Plot (od -Pi do Pi):"
para_kardioida([0,0],1,t)
Slide 9
Wiemy dlaczego widać kardioidę. Czas zatem na kawę !
Kardioida w optyce 9/9
Pierwsi, którzy
zauważyli, że
cykloida jest
katakaustyką okręgu
(czyli obwiednią rodziny
promieni świetlnych odbitych,
których źródło leży na
okręgu) byli – w r.1692 Jacob Bernoulli i jego ojciec
Johann.
Zarys kardioidy w kubku napełnionym kawą (fot. Piotr Kuświk)