Transcript Trysekcja Maclaurina 1/2

Sylwetka Maclaurina
Trysekcja Maclaurina 1/3
Colin Maclaurin (1698-1746) studia uniwersyteckie podjął w Glasgow
mając 11 lat. W wieku 19 lat został profesorem Uniwersytetu w Aberdeen,
a od r.1725 piastował na Uniwersytecie Edynburskim stanowisko szefa
katedry, rekomendowany nań przez Izaaka Newtona (1642-1727).
W roku 1740 uhonorowany został w Paryżu nagrodą tamtejszej Academie
des Sciences, wraz z nim takie same wyróżnienie otrzymali Leonhard Euler (1707-83)
i Daniel Bernoulli (1700-82, syn Johanna, autor Hydrodynamica).
Już w Glasgow jego nauczyciel, Robert Simson (1687-1768, redaktor
wydania ksiąg 1-6, 11 i 12 Elementów Euklidesa), zaraził go entuzjazmem
do problemów geometrycznych postawionych w starożytnej Grecji.
W opublikowanej w r.1719 Geometria organica sive descriptio linearum
curvarum universalis podejmuje Maclaurin ważne problemy dotyczące
m.in. stożkowych i krzywych kubicznych.
Próbując rozwiązać problemy starożytnych Greków zdefiniował,
w roku 1742, krzywą, dziś zwana krzywą Maclaurina albo trysektrysą
Maclaurina, i za jej pomocą przeprowadził trysekcję kąta.
Szereg, zwany powszechnie szeregiem Maclaurina, nie był obiektem jego dociekliwości,
choć pisał o nim np. w r.1742 w Treatise of Fluxions.
Pierwsze wyrażenia, które obecnie nazywane są rozwinięciami Maclaurina i Taylora,
podał w swej książce Methodus incrementorum directa et inversa
James Gregory (1638-75), z którym Brook Taylor (1685-1731) współpracował.
Równania krzywej Maclaurina
Trysekcja Maclaurina 2/3
Krzywa Maclaurina zdefiniowana jest w układzie Oxy
współrzędnych prostokątnych (x,y) wzorem
x = 1–4cos2(t)
y = {1–4cos2(t)}·tg(t), t  (–/2,  /2).
Na rysunku obok widzimy tę krzywą
i jej łuk prowadzący przez III ćwiartkę układu współrzędnych
od punktu A do punktu O (a więc gdy t biegnie od 0 do /3).
Linią kropkowaną wkreślony jest okrąg o środku w (–3/2,0).
Podstawiając u = tg(t) możemy równaniu krzywej Maclaurina
nadać postać x = (u2–3)/(u2+1), y = u·(u2–3)/(u2+1).
Otrzymamy równanie bezpośrednio wiążące odciętą x i rzędną y dowolnego punktu na krzywej Maclaurina.
Ponieważ cos(t) = {1–x}1/2/2, więc sin(t) = {1–cos2(t)}1/2 = {3+x}1/2/2
i dlatego y = {1–4cos2(t)}·tg(t) = {1–4·(1–x)/4}·{1–x}1/2/{3+x}1/2 ,
(1–x)·y2 = (3+x)·x2.
czyli
Uzyskamy teraz równanie krzywej Maclaurina w układzie Or współrzędnych biegunowych.
Promień r i kąt  wiążą się z odciętą x i rzędną y równaniami x = r·cos, y = r·sin.
Dlatego równanie (1–x)·y2 = (3+x)·x2 przyjmuje postać
{1–r·cos}·r2sin2 = (3+r·cos}·r2cos2.
Po podzieleniu przez r2cos2() i skorzystaniu ze wzoru jedynkowego mamy
r = 1/cos – 4·cos,   (–/2, /2).
Uzasadnienie konstrukcji
Konstrukcja 1/3 kąta
Trysekcja Maclaurina 3/3
k1. W III ćwiartce układu współrzędnych kreślimy łuk krzywej
Maclaurina i zaznaczamy punkt B = (–2, 0).
k2. Przez punkt B prowadzimy prostą
nachyloną do osi Ox pod danym kątem   (0, ).
k3. Prosta ta przecina łuk w punkcie C.
k4. Łączymy punkt C z początkiem O. Kąt nachylenia
tego odcinka do osi Ox oznaczamy przez .
Jest  = /3.
u1. Prosta BC przechodzi przez punkt B
i jest nachylona do Osi Ox pod kątem ,
ma więc równanie y = tg()·(x+2).
u2. Prosta BC przechodzi przez punkty B i C = (1–4cos2, {1–4cos2}·tg  ),
ma więc równanie {y–0}/{(1–4cos2)·tg –0} ={x–(–2)}/{(1–4cos2)–(–2))},
tzn. y = k·(x+2), gdzie k = tg ·(1–4cos2)/(3–4cos2).
u3. Ponieważ 4cos2–1 = cos(2)+2cos2
oraz 4cos2–3 = cos(2)–2sin2, więc
sin α  cos(2 α )  2sin α  cos α
2
k 
cos α  cos(2 α ) - 2cos α  sin α
2

sin α  cos(2 α )  sin(2 α )  cos α
cos α  cos(2 α ) - sin(2 α )  sin α

sin( α  2α )
cos( α  2α )
 tg(3 α )
u4. A że, na mocy u1, k = tg ,
więc tg  = tg(3),
skąd (przy założonym zakresie zmienności kąta ) wynika, iż  = /3.