Wyklad_9 - skaczmarek.zut.edu.pl
Download
Report
Transcript Wyklad_9 - skaczmarek.zut.edu.pl
Ruch drgający
Funkcja okresowa o okresie T – jeżeli dla dowolnego argumentu t,
f(t+T)=f(t). Ruch drgający – zachodzący wokół stałego położenia r-gi.
Ruch drgający - postępowy ruch periodyczny zachodzący pod
wpływem siły centralnej F (r ) f (r ) r Tor ruchu przechodzi przez
centrum działania siły: F(x, v, t)=a1x+a2x2+a3x3+…+b1v+b2v2+…+f(t)
-proste drgania harmoniczne – a1≠0; drgania tłumione - b1≠0; drgania
wymuszone – f(t)≠0.
Ruch harmoniczny prosty – F(x)=-kx; k=-a1=-dF(x)/dx; oscylator
..
harmoniczny – md2x/dt2=-kx; x k x 0 x=A1sinwt+A2coswt=Asin(wt+d)
m
.
..
n=1/T=w/2p – częstotliwość
k ..
; x w 2 x 0
m
2p
2p
x A sin[w (t
) d ] A sin(wt d ); T
okres drgan
w
w
x wA cos(wt d ); x w 2 A sin(wt d ); w
drgań, w – częstość kołowa
drgań, A=xmax – amplituda, f=wt+d – faza drgań, d – faza początkowa
___________________________________________________________________________________________________________________________
9. Ruch drgający
1
___________________________________________________________________________________________________________________________
4. Dynamika
2
Warunki początkowe
xo 1
vo2
2
t 0 : x xo ; v vo ; xo A sin d ; vo wA cosd ;
tgd ; xo 2 A2
vo w
w
A xo2
vo2
w
2
; d arctg
wxo
vo
x A sin(wt d ); T
2p
w
okres drgan
v Aw cos(wt d ); a Aww sin(wt d )
Prędkość wyprzedza w fazie wychylenie
o p/2, przyspieszenie ma fazę przeciwną
do wychylenia.
Przykład: wahadło:
fizyczne
matematyczne
..
Pl
0; w
I
T 2p
Pl
m gl
I
; T 2p
I
I
m gl
l
I
; I m l2 ; l zr
g
ml
___________________________________________________________________________________________________________________________
9. Ruch drgający
3
Energia w ruchu harmonicznym prostym
Energia kinetyczna – Ek 1 mv 2 1 m[wA cos( wt d )] 2 1 kA 2 cos 2 (wt d ) Ekmax cos 2 (wt d )
2
Energia potencjalna –
Energia całkowita -
2
2
x
1
1
E p [ F ( x)]dx kx2 kA2 sin 2 (wt d ) E pmax sin 2 (wt d )
2
2
0
Ek E p
1 2
1
kA [sin 2 (wt d ) cos 2 (wt d )] kA 2 Ekmax E pmax Ecalkowita
2
2
Podczas ruchu drgającego następują cykliczne przemiany energii potencjalnej w
kinetyczną i na odwrót
___________________________________________________________________________________________________________________________
9. Ruch drgający
4
Oscylator harmoniczny tłumiony
Siła tarcia - F=-gdx/dt, g – współczynnik tłumienia
..
.
..
m x g x 0; x
v
g
m
.
x 0;
..
.
.
1.
1
dv
dt
; x x 0; x v; v v 0;
g
v
m
t
t
dv
1
t
dt
;
ln
v
ln
v
;
v
(
t
)
v
e
o
o
v v 0
o
t
t
t
t
t
x vdt v0 e dt vo (1 e ); x x (1 e )
0
0
Czas relaksacji procesu fizycznego – czas, po którym obserwowana
wielkość fizyczna zmieni swą wartość 1/e razy. Oscylator harmoniczny:
..
.
..
1.
m x g x kx 0; x x wo2 x 0; wo
k
; x Ao et sin wt
m
1
g
; w wo2 2
2 2m
Tarcie zmniejsza częstość drgań tłumionych.
Amplituda drgań zanika wykładniczo.
___________________________________________________________________________________________________________________________
9. Ruch drgający tłumiony
5
Logarytmiczny dekrement tłumienia - logarytm naturalny z ilorazu dwóch
kolejnych amplitud
A(t )
Ao e t
ln
T
A(t T ) Ao e t e T
wo ; w wo2 2 wo 1 (
Drgania wymuszone:
x(t ) A sin(Wt )
2
w T
) wo (1
);
wo
2wo wo
4p 4p
m x g x kx F (t ); x
1
x wo2 x
względna zmiana
częstości kołowej
F 1
F (t )
; F (t ) Fo sin Wt ; o o ; x x wo2 x o sin Wt
m
m
f - kąt przesunięcia między siłą wymuszającą i przemieszczeniem
oscylatora, W – częstość kołowa drgań wymuszonych
(wo2 W2 ) Asin(Wt ) W A cos(Wt ) o sin Wt
tg
W
w W
2
o
2
; A
o
W
(wo2 W 2 ) cos ( ) sin
o
W
(wo2 W 2 ) 2 ( ) 2
Drgania wymuszone odbywające się z częstością kołową siły wymuszającej mają inną fazę
niż ta siła. Różnica faz zależy od różnicy między częstościami W i wo.
Rezonans - maksymalny przekaz energii z układu wymuszającego do układu, w którym
drgania wymuszamy. Energia zależy od amplitudy, więc amplituda powinna osiągnąć
maksymalną
wartość (W = wo).
___________________________________________________________________________________________________________________________
9. Drgania wymuszone
6
d
W
1
[(wo2 W 2 ) 2 ( ) 2 ] 0; W rez wo2 2 ; Amax
dW
2
Warunek minimum
cos
1
1 tg
2
wo2 W 2
W
(w o2 W 2 ) 2 ( ) 2
; sin
tg
1 tg
2
Ao
1
W
1
; Ao
o
wo
4wo2 2
W
(wo2 W 2 ) 2 ( ) 2
Maksymalne wychylenie występuje dla f=-p/2, czyli gdy siła wymuszająca przesunięta
jest w fazie względem przemieszczenia o 90 o. Wtedy jest ona zgodna w fazie z
prędkością. Dla W=Wrez następuje maksymalna absorpcja energii przez układ wzbudzony do drgań.
1. W→0; cosf→1; sinf→0, f→0 przesunięcie jest zgodne w fazie z siłą wymuszającą
A=Fo/k, decydujący wpływ na drgania ma siła sprężysta
2. W>>wo, wo/W→0, cosf→-1, sinf→0, f→-p, A=Fo/mW2, decydującą rolę odgrywa
bezwładność drgającego układu
Fo
A
3. W→wo, cosf→±0, sinf→-1, f→-p/2,
2 km amplituda zależy od siły sprężystej
i masy ale decydujący wpływ ma tłumienie.
Moc absorbowana:
W
m o2
1
P
; P m o2
2 (w 2 W 2 ) 2 ( W ) 2
2
o
2
m o2W
T
1
P F x F xdt; F Fo sin Wt; x A sin(Wt ); P
T 0
W
1
2 2
sin Wt cos(Wt )
[(w W ) ( ) ]
2
o
2 2
im krótszy czas relaksacji, czyli silniejsze tłumienie
tym krzywa rezonansowa jest niższa i bardziej rozmyta
___________________________________________________________________________________________________________________________
9. Ruch drgający. Tłumienie drgań.
7
Współczynnik dobroci – iloczyn 2p i ilorazu energii zmagazynowanej
w układzie drgającym i średniej energii straconej w jednym okresie
W2
P
m o2
1
; P m o2
2 (w 2 W 2 ) 2 ( W ) 2
2
o
Q
A(W wo )
2pE
E
wo ; Q wo ; Fo const;
wo Q
P /n
P
A(W 0)
Zależność mocy absorbowanej przez układ drgający od częstotliwości drgań siły
wymuszającej dla różnych czasów relaksacji
___________________________________________________________________________________________________________________________
9. Tłumienie drgań
8
Składanie drgań
Równanie oscylatora harmonicznego liniowe względem x – superpozycja drgań:
wychylenie x1+x2 zachodzi pod wpływem F1(t)+F2(t)
Dodawanie drgań równoległych:
y1=A1sinw1t
1. w1≠w2 drganie wyp. nie jest harmoniczne
y2=A2sinw2t
2. w1=w2=w
y y1 y2 A sin(wt f );
A A12 A22 2 A1 A2 cosd ; tgd
A2 sin f
A1 A2 cosd
Dodawanie drgań prostopadłych:
1. w1=w2=w; x=A1sin(wt+f1); y=A1sin(wt+f2)
2. w1≠w2 krzywe Lissajous
Rownanie toru :
x 2 y 2 2 xy
2
cos(1 2 ) sin 2 (1 2 ) krzywa stozkowa
2
A1 A2 A1 A2
a ) 1 2 0; y
A2
x
A1
b) 1 2 p ; y
c) 1 2 p / 2;
A2
x
A1
x2 y2
1 elipsa; A1 A2 okrag
A12 A22
___________________________________________________________________________________________________________________________
9. Składanie drgań
9
Drgania prostopadłe Krzywe Lissajous
___________________________________________________________________________________________________________________________
9. Składanie drgań
10
Analiza Fourierowska
Każdą funkcję okresową można przedstawić w postaci szeregu Fouriera
1T
2T
2T
f (t ) Ao An cosnwt Bn sin nwt ; Ao f (t )dt ; An f (t ) cos nwtdt Bn f (t ) sin nwtdt ,
To
To
To
n
n
2t
x(t ) C ( 1), A0 0 drg. samowzb.
T
2 T 2t
2t
1
C ( 1) cos nwtdt | u ; v
sin nwt ; uv ' dt uv u ' vdt |
T 0 T
T
nw
2
t
2
1
C[ sin nwt |T0
cos nwt |T0
sin nwt |T0 ] 0
2
T
pn
T (nw )
nw
An
2 T 2t
2t
1
C ( 1) sin nwtdt | u ; v
cos nwt ; uv ' dt uv u ' vdt |
T 0 T
T
nw
2 2t 1
2
1
2C
C[
cos nwt |T0
sin nwt |T0
cos nwt |T0 ]
T T nw
T (nw ) 2
nw
np
Bn
C
p
1
1
1
1
; x sin wt sin 2wt sin 3wt sin 4wt sin 5wt ...
2
2
3
4
5
Widmo drgań
___________________________________________________________________________________________________________________________
9. Składanie drgań
11
Składanie drgań o niewiele różniących się częstościach.
Dudnienie.
x1 A cos w1t A cos(w w )t ; x2 A cos w2t A cos(w w )t ;
w
w1 w2
; w
w2 w1
;
2
2
x A cos(w w )t A cos(w w )t 2 A cos wt cos wt A' cos wt ; A' 2 A cos wt
Dudnienie jest to drganie o pulsacji w, którego amplituda zmienia się periodycznie w czasie.
Dwie struny nastrojone na niewiele różniące się tony
w instrumencie muzycznym. Dwie stacje pracujące na
bliskich częstotliwościach w odbiorniku radiowym.
___________________________________________________________________________________________________________________________
9. Drgania
12