Transcript Wyklad_9 - skaczmarek.zut.edu.pl

Ruch drgający
Funkcja okresowa o okresie T – jeżeli dla dowolnego argumentu t,
f(t+T)=f(t). Ruch drgający – zachodzący wokół stałego położenia r-gi.
Ruch drgający - postępowy ruch periodyczny zachodzący pod
wpływem siły centralnej F (r )  f (r ) r Tor ruchu przechodzi przez
centrum działania siły: F(x, v, t)=a1x+a2x2+a3x3+…+b1v+b2v2+…+f(t)
-proste drgania harmoniczne – a1≠0; drgania tłumione - b1≠0; drgania
wymuszone – f(t)≠0.
Ruch harmoniczny prosty – F(x)=-kx; k=-a1=-dF(x)/dx; oscylator
..
harmoniczny – md2x/dt2=-kx; x k x  0 x=A1sinwt+A2coswt=Asin(wt+d)
m
.
..
n=1/T=w/2p – częstotliwość
k ..
; x w 2 x  0
m
2p
2p
x  A sin[w (t 
)  d ]  A sin(wt  d ); T 
 okres drgan
w
w
x  wA cos(wt  d ); x  w 2 A sin(wt  d ); w 
drgań, w – częstość kołowa
drgań, A=xmax – amplituda, f=wt+d – faza drgań, d – faza początkowa
___________________________________________________________________________________________________________________________
9. Ruch drgający
1
___________________________________________________________________________________________________________________________
4. Dynamika
2
Warunki początkowe
xo 1
vo2
2
t  0 : x  xo ; v  vo ; xo  A sin d ; vo  wA cosd ;
 tgd ; xo  2  A2
vo w
w
A  xo2 
vo2
w
2
; d  arctg
wxo
vo
x  A sin(wt  d ); T 
2p
w
 okres drgan
v  Aw cos(wt  d ); a   Aww sin(wt  d )
Prędkość wyprzedza w fazie wychylenie
o p/2, przyspieszenie ma fazę przeciwną
do wychylenia.
Przykład: wahadło:
fizyczne
matematyczne
..

Pl
  0; w 
I
T  2p
Pl
m gl
I

; T  2p
I
I
m gl
l
I
; I  m l2 ; l zr 
g
ml
___________________________________________________________________________________________________________________________
9. Ruch drgający
3
Energia w ruchu harmonicznym prostym
Energia kinetyczna – Ek  1 mv 2  1 m[wA cos( wt  d )] 2  1 kA 2 cos 2 (wt  d )  Ekmax cos 2 (wt  d )
2
Energia potencjalna –
Energia całkowita -
2
2
x
1
1
E p   [ F ( x)]dx  kx2  kA2 sin 2 (wt  d )  E pmax sin 2 (wt  d )
2
2
0
Ek  E p 
1 2
1
kA [sin 2 (wt  d )  cos 2 (wt  d )]  kA 2  Ekmax  E pmax  Ecalkowita
2
2
Podczas ruchu drgającego następują cykliczne przemiany energii potencjalnej w
kinetyczną i na odwrót
___________________________________________________________________________________________________________________________
9. Ruch drgający
4
Oscylator harmoniczny tłumiony
Siła tarcia - F=-gdx/dt, g – współczynnik tłumienia
..
.
..
m x g x  0; x 
v
g
m
.
x  0;  
..
.
.
1.
1
dv
dt
; x x  0; x  v; v  v  0;

g


v

m
t
t

dv
1
t



dt
;
ln
v

ln
v


;
v
(
t
)

v
e
o
o
v v  0

o
t
t

t

t

t
x   vdt  v0  e dt  vo (1  e ); x  x (1  e )

0


0
Czas relaksacji procesu fizycznego – czas, po którym obserwowana
wielkość fizyczna zmieni swą wartość 1/e razy. Oscylator harmoniczny:
..
.
..
1.
m x g x kx  0; x x wo2 x  0; wo 


k
; x  Ao et sin wt
m
1
g

; w  wo2   2
2 2m
Tarcie zmniejsza częstość drgań tłumionych.
Amplituda drgań zanika wykładniczo.
___________________________________________________________________________________________________________________________
9. Ruch drgający tłumiony
5
Logarytmiczny dekrement tłumienia - logarytm naturalny z ilorazu dwóch
kolejnych amplitud
A(t )
Ao e  t
  ln

 T
A(t  T ) Ao e t  e T
  wo ; w  wo2   2  wo 1  (
Drgania wymuszone:
x(t )  A sin(Wt   )

 2

w T

)  wo (1 
);


wo
2wo wo
4p 4p


m x  g x  kx  F (t ); x 
1


x  wo2 x 
względna zmiana
częstości kołowej
F  1 
F (t )
; F (t )  Fo sin Wt ;  o  o ; x  x  wo2 x   o sin Wt
m
m

f - kąt przesunięcia między siłą wymuszającą i przemieszczeniem
oscylatora, W – częstość kołowa drgań wymuszonych
(wo2  W2 ) Asin(Wt   )  W A cos(Wt   )  o sin Wt
tg 

W

w W
2
o
2
; A
o
W
(wo2  W 2 ) cos  ( ) sin 


o
W
(wo2  W 2 ) 2  ( ) 2

Drgania wymuszone odbywające się z częstością kołową siły wymuszającej mają inną fazę
niż ta siła. Różnica faz zależy od różnicy między częstościami W i wo.
Rezonans - maksymalny przekaz energii z układu wymuszającego do układu, w którym
drgania wymuszamy. Energia zależy od amplitudy, więc amplituda powinna osiągnąć
maksymalną
wartość (W = wo).
___________________________________________________________________________________________________________________________
9. Drgania wymuszone
6
d
W
1
[(wo2  W 2 ) 2  ( ) 2 ]  0; W rez  wo2  2 ; Amax 
dW

2
Warunek minimum
cos  
1
1  tg 
2

wo2  W 2
W
(w o2  W 2 ) 2  ( ) 2
; sin  

tg 
1  tg 
2


Ao
1
W
1
; Ao 
 o
wo
4wo2 2

W
(wo2  W 2 ) 2  ( ) 2

Maksymalne wychylenie występuje dla f=-p/2, czyli gdy siła wymuszająca przesunięta
jest w fazie względem przemieszczenia o 90 o. Wtedy jest ona zgodna w fazie z
prędkością. Dla W=Wrez następuje maksymalna absorpcja energii przez układ wzbudzony do drgań.
1. W→0; cosf→1; sinf→0, f→0 przesunięcie jest zgodne w fazie z siłą wymuszającą
A=Fo/k, decydujący wpływ na drgania ma siła sprężysta
2. W>>wo, wo/W→0, cosf→-1, sinf→0, f→-p, A=Fo/mW2, decydującą rolę odgrywa
bezwładność drgającego układu
Fo
A
3. W→wo, cosf→±0, sinf→-1, f→-p/2,
2 km amplituda zależy od siły sprężystej
i masy ale decydujący wpływ ma tłumienie.
Moc absorbowana:

W
m o2
1

 P 
;  P  m o2
2 (w 2  W 2 ) 2  ( W ) 2
2
o
2
m o2W
T

1
 P  F  x   F xdt; F  Fo sin Wt; x  A sin(Wt   );  P 
T 0
W
1
2 2
 sin Wt  cos(Wt   ) 
[(w  W )  ( ) ]
2
o
2 2

im krótszy czas relaksacji, czyli silniejsze tłumienie
tym krzywa rezonansowa jest niższa i bardziej rozmyta

___________________________________________________________________________________________________________________________
9. Ruch drgający. Tłumienie drgań.
7
Współczynnik dobroci – iloczyn 2p i ilorazu energii zmagazynowanej
w układzie drgającym i średniej energii straconej w jednym okresie
W2
 P 
m o2
1

;  P  m o2
2 (w 2  W 2 ) 2  ( W ) 2
2
o

Q
A(W  wo )
2pE
E
 wo ; Q  wo ; Fo  const;
 wo  Q
P /n
P
A(W  0)
Zależność mocy absorbowanej przez układ drgający od częstotliwości drgań siły
wymuszającej dla różnych czasów relaksacji
___________________________________________________________________________________________________________________________
9. Tłumienie drgań
8
Składanie drgań
Równanie oscylatora harmonicznego liniowe względem x – superpozycja drgań:
wychylenie x1+x2 zachodzi pod wpływem F1(t)+F2(t)
Dodawanie drgań równoległych:
y1=A1sinw1t
1. w1≠w2 drganie wyp. nie jest harmoniczne
y2=A2sinw2t
2. w1=w2=w
y  y1  y2  A sin(wt  f );
A  A12  A22  2 A1 A2 cosd ; tgd 
A2 sin f
A1  A2 cosd
Dodawanie drgań prostopadłych:
1. w1=w2=w; x=A1sin(wt+f1); y=A1sin(wt+f2)
2. w1≠w2 krzywe Lissajous
Rownanie toru :
x 2 y 2 2 xy
 2
cos(1   2 )  sin 2 (1   2 )  krzywa stozkowa
2
A1 A2 A1 A2
a ) 1   2  0; y 
A2
x
A1
b) 1   2  p ; y  
c) 1   2  p / 2;
A2
x
A1
x2 y2

 1 elipsa; A1  A2 okrag
A12 A22
___________________________________________________________________________________________________________________________
9. Składanie drgań
9
Drgania prostopadłe Krzywe Lissajous
___________________________________________________________________________________________________________________________
9. Składanie drgań
10
Analiza Fourierowska
Każdą funkcję okresową można przedstawić w postaci szeregu Fouriera
1T
2T
2T
f (t )  Ao   An cosnwt   Bn sin nwt ; Ao   f (t )dt ; An   f (t ) cos nwtdt Bn   f (t ) sin nwtdt ,
To
To
To
n
n
2t
x(t )  C (  1), A0  0 drg. samowzb.
T
2 T 2t
2t
1
C  (  1) cos nwtdt | u  ; v 
sin nwt ;  uv ' dt  uv   u ' vdt |
T 0 T
T
nw
2
t
2
1
 C[ sin nwt |T0 
cos nwt |T0 
sin nwt |T0 ]  0
2
T
pn
T (nw )
nw
An 
2 T 2t
2t
1
C  (  1) sin nwtdt | u  ; v  
cos nwt ;  uv ' dt  uv   u ' vdt |
T 0 T
T
nw
2 2t 1
2
1
2C
C[
cos nwt |T0 
sin nwt |T0 
cos nwt |T0 ] 
T T nw
T (nw ) 2
nw
np
Bn 
C
p
1
1
1
1
; x  sin wt  sin 2wt  sin 3wt  sin 4wt  sin 5wt  ...
2
2
3
4
5
Widmo drgań
___________________________________________________________________________________________________________________________
9. Składanie drgań
11
Składanie drgań o niewiele różniących się częstościach.
Dudnienie.
x1  A cos w1t  A cos(w  w )t ; x2  A cos w2t  A cos(w  w )t ;
w
w1  w2
; w 
w2  w1
;
2
2
x  A cos(w  w )t  A cos(w  w )t  2 A cos wt  cos wt  A' cos wt ; A'  2 A cos wt
Dudnienie jest to drganie o pulsacji w, którego amplituda zmienia się periodycznie w czasie.
Dwie struny nastrojone na niewiele różniące się tony
w instrumencie muzycznym. Dwie stacje pracujące na
bliskich częstotliwościach w odbiorniku radiowym.
___________________________________________________________________________________________________________________________
9. Drgania
12